Алгоритмы квазиоптимальной фильтрации многолучевых сигналов на фоне импульсных помех Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

АЛГОРИТМЫ КВАЗИОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОЛУЧЕВЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ИМПУЛЬСНЫХ ПОМЕХ

© Г.В. Романенко

Romanenko G.V. Algorithms of quasi-optimum filtering of polyray signals under pulse interference. On the basis of optimum filtering theory of continuous-impulse Markov random fields, the problem of contaminating signal reception is solved. As a result, a synthesis of the quasi-optimum receiver is obtained; the signal algorithm having impulse contaminating screening is reciprocally delayed.

В радиотехнике существует целый ряд задач, связанных с обработкой взаимозадержанных сигналов, например, пространственно-временная обработка сигналов, многопозиционный прием и прием многолучевых сигналов. Особенностью таких задач является то, что в состав случайных параметров сигнала входят взаимозадержанные копии этих параметров.

В работе [1] предложена методика обработки взаимозадержанных сигналов, состоящая в том, чтобы в каждый момент времени / оценивать не отдельные взаимозадержанные значения марковского процесса, а всю его реализацию на интервале от / — Т до Т. Такую реализацию можно получить на выходах линии задержки с распределенными параметрами (РЛЗ), на вход которой воздействует марковский процесс Х(/) . Выходной сигнал РЛЗ

X(t, т) = X(t — т), О <т< T,

(1)

т. е. временную задержку т можно представить как пространственную координату и свести вопрос к решению задачи фильтрации марковских случайных полей, что невозможно было сделать традиционными методами марковской теории.

Наряду с этим, до настоящего времени не было работ, которые в рамках методики, предложенной в [1], позволяли бы получать алгоритмы синтеза квази-оптимальных приемников взаимозадержанных сигналов, обладающих защитой от импульсных помех. Настоящая работа позволяет разрешить указанную проблему.

Рассмотрим вопрос о применении к данной задаче полученных в [2] уравнений квазиоптимальной фильтрации непрерывно-импульсных случайных полей, причем их импульсную составляющую будем понимать, как пространственно-распределенную импульсную помеху (ИП).

Для простоты рассмотрим сумму случайного поля и случайного процесса, под которым понимаем ИП.

Пусть поле наблюдений имеет вид

где п(/, т) - пространственно-временной белый

шум, с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

Q(t1,t2,т1т2) = Nо(т1)§(т2 -т1)§(?2 -?1)-

Сообщение рассматриваем как случайное поле Х(/, т) , удовлетворяющее условию (1), т. е.

д X(t, т) д X(t, т)

д t

дт

(3)

с граничным условием

Х(/,0) = Х(/) , Г > 0 , (4)

и начальным условием

X (0,т) = 0, т > 0 . (5)

При этом модель сообщения задается уравнением )

dt

(6)

где Пх (/) - информационный белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

Априорные данные для ИП "q(t) имеют вид

£,(t, т) = S(t, т, X (t, т)) + ^(t) + n(t, т),

(2)

d^(t) dt

= О .

(7)

Интенсивности пуассоновских потоков появлений и исчезновений ИП положим соответственно равными а и Р .

Кроме того, считаем, что М{"л(/)} = т^ , и что

множество амплитудных значений ИП является гаус-

- ~2

совским с априорной дисперсией .

Уточним значения аналогов коэффициентов сноса и диффузии, входящих в уравнения, представленные в работе [2]. С учетом (3), (6) и (7) коэффициенты сноса:

а(-, х, Х(/,т)) = — дХ(/, т) , ^(1, Х(/)) = /(-, X(-)),

дх

а(-,п(-)) = 0 ;

коэффициенты диффузии:

Ъ(-, X!, Х2, Х(/, х)) = Ъ(-,п(-)) = 0, й(/,Х(/)) =

2

Приведенные данные позволяют записать уравнения квазиоптимальной фильтрации сообщения при

Л л

приеме на фоне ИП. Пусть X (-, х) и X (-, х) - оценки сообщения при отсутствии и наличии ИП соответственно. Тогда, согласно [2], уравнения формироваЛ

ния X1 имеют вид

л . . ЗХ!(/,х) , ч ЗХ!(/,х) , *0,

Рі (-)-----— = —Рі (-)-----------— + аРо (- )[Х0 (-, х) —

д -

д х

— Х!(-, х)] + Рі(-) х

Т 1 л

[«їх(-,х,х) 8 ^Х1(-,х>,^х>) +

0 8X1 (X )

(8)

. 8Р(-, X (-, х), п(-, х))п ,

+ «щ (-, х, х)-----------------;----------------^х.

А

8п- (х)

Рі (-) = Рі (-)/(-, Xі (-)) + аР0 (-)[XО (-) —

а-

л

— Xі (-)] + Рі(-) х

Т 1 л

Т [«* (-,0.x) 8 Г(-, ^х), п(-»

+ «а-п(-,0, х)

8 Xі (х)

л л

8F (-, X1(-, х) п(-))

Л

8п- (х)

(9)

]ах.

С учетом того, что ^(/) - случайный процесс, можно положить, что

Ц({, т) = -л(?,0), тогда

а л л

Рі(-) — П(-) = аР0(-)[т п — П(-)] +

аТ

(10)

+ Рі(-) І [«іп (-,0, х) >

1

.,8 Р(-,Xі(г,х),п(-)) +

Л

8п-(х)

Лі л

,п ,8 Р(-,X1(t,х),п(-))п,

+«іЛп (-,0, х )---------------------]ах.

8 X і (х )

Здесь «іл и «а - апостериорные ошибки

фильтрации ИП и сообщения соответственно. «^у -взаимная ошибка фильтрации (корреляционный момент между оценками непрерывной и импульсной составляющими поля). Уравнения для ошибок фильтрации при наличии ИП имеют вид

д д Рі(-) — «у (-,хі,х2) = —Рі(-)[--------«у (-,хі,х2) +

д - 1 д хі ^

д

+-«у (-,хі,х2)] + аР0 (-)[Ку (-,хі,х2) —

д х2

2 2 Т

— «її (-, хі, х2)] + Рі(-) X X 11 «їр (-, хі, х) х

р=1 у=1 0

п , ч82Р(-,X1(-,х),п(-)) , ,

X «у (-,У,х2)----- ----------------------Лхёу,

8Уц (х )8Уу(У)

где «іі = «а, «і2 = «2і = «ал > «22 = «іп ^

Л О' Л Л

Уі =Xt > У2 =п- ,

Л ЛА ^

(тл — п(-Ж* (-, хї) — X (-, хї)), і Ф і

л л л

аг| + тл — 2тл п(-) + XV,хі)XV,х2), і = і = 2,

(11)

, хі,0) = Л(0[—хі,0) + д ? У д І!

+ Яу(/, хі,0)] + О>о(0[км, хі,0) — М, хі,0)] +

У

2 2 Т

+Рі(-) І І ІІ«іц(-,хі,х)«у^-(-,У,0) л л

Ц=1 У=1 0 8У ц (х )8Уу (У)

82Р (t,X1(t, х), п(-))

(12)

ахау,

0

л

л

л

А

А

л

А

«0 + (X0 (-, хі) — Xі (-, хі))(X0 (-, х,) — Xі (-, х2)) + Xі (-, хі) XX-, х2), і = І = 1

+

X

0

/\

/11 = 5 / ^ , /12 = /21 = /22 = 0 .

ЭЯ1

а

р (,)—=р (/){[ + /у Щj(t№+р (о х

2 2 Т

х { Е Е II «ц (,А х)^(/, у,0) X Ц=1 У=1 0 (13)

Л Л

х52^^^)) а

л л '

8Уц(х)8Уу(У)

г = у = 1, Nу = 0, г,/ * 1,

8 ^лп) = -^Е«) - п«) - Ех.<',х,(,))]3(*). 8п,(*) ^0 '=0

Л Л Л

= 2 {[ Е эЧСО^ (*-Г( )8(,-Гу )][,(,)-.(,) -

8 Я., (* )8Я,(у) 0 '=0 элЛ.

Л Л

т л т т ЭР •(, Я •(,)) ЭР у(,,Я у(,))

- Е5СЛ-(,))] - Е Е '( Я'(" у/ 8(*-Г'. )8(у-Ту )]}.

'=0 '=0 у=0 ЭЯ.'- ЭЯу

2 Л Л

8 Г(,, Я, п) _ 2 Л Л N 0

8п, (* )8п, (у)

8( * )8( у).

_Э / (,,Я1)

Й2 = &1 = Й1 =------------.-----, ^22 = 0 .

ЭЯ1

Входящий в формулы (8)-(13) логарифм функционала правдоподобия определяется выражением

Г(/,Я(/,т),п(,)) = 1|N0-1(т){2§ (,,т)[Р(/,т,Я(/,т)) + п(,)] -

0 (14)

-[5 (,, т, Я(,, т)) + п(,)] [Р (,.т, Я(,, т')) + п(, )] }^Г'.

Алгоритмы синтеза квазиоптимального приемника в случае отсутствия ИП аналогичны (8) - (13).

При решении задач квазиоптимального приема на фоне импульсных помех необходимо проводить и синтез обнаружителей ИП на основе уравнений для Р0(,) и Р^) («0 + Р = 1). Такие уравнения получены в работе [3].

Обратимся к задаче приема многолучевого сигнала.

Уравнение наблюдения в этом случае имеет вид:

£(,) = ЕР ((, - Т' ), Я(, - Г' )) + п(,) + П0(,) = '=0

т

= ЕР' (,,Я' (,)) + п(,) + П0(,),

'=0

(15)

2 л л Л

8 Г(, Я п) 2 т ЭР,-(,,Я,-(,))

8 Г (,, Я,п) =_ 2 8( *) Е у ( л' ())8(у-Т').

N 0

ЛЛ

8П,(* )8Я,(у )

'=0 ЭЯ,

С учетом гармонического характера функции S, выражения, содержащие вторые производные от этой функции, опустим. Тогда получим

Л

ЭSІ (,, Я,- (,)) х

Л Л Л

82* (,, Я, п) 2 т т ЭЯ,

-------------=-----ЕЕ .

8 Я, (х)8 Я., (у) М° г=0 -/=0 х (Г,Яу(,))

Л

ЭЯ

8(х - Т )8(х - Т,).

С учетом этих данных, (8) - (13) приобретут вид:

_ , ,ЭЯ1(,, т) ЧЭЯ1(,, т)

Р^)------------— = -Рх(*)---------— + а«0(,) х

Э т

где Т , ' = 0, т - время задержки, связанное с

Л Л 2 х [Я0(,,т) -Я1(,,т)] +----х

N 0

т ЭР ■

хРг(,)[ Екгл(ит,Т. ) + ЛЯп(,,т,0)]

'=0 8 Я1'

л т .

х [4(,) -п(,) - ЕРу (,,Я1/)];

у =0

(16)

многолучевым характером полученного сигнала S; П(,) - ИП, являющаяся в данном случае случайным процессом.

Вычисляя вариационные производные от функционала правдоподобия Е, получаем

Ж, (,, Я,)

8 *(Г,Я,П) ^-^[2^(,) Е

N

т Л

ЭЯ,-

Л

8 Я, (х)

г=0 л т л

х [%(,) - п(,) - Е (,,Я)],

у=0 ^ ^

Рх(,) ^я1« = -р1(, (,, я!(, )) +

а,

Л Л

+ аР0(/)[я0(, ) - л1(/)] + х

N 0

т ЭР .

х Р1(,)[ Е^1Я (Г,0,Г ) + Л Яп (,)] х

'=0 8 Я1'

л т .

х[^(^)-Ф)- Е(Г,Яу)]; у=0

(17)

Л Л

Л

Л

Л

Л

т

х

Л

Л

ЛЛ

d Л(-) л 2

Pl(-) — aPo(-)[m — л(-)] + — Pl(-) x

d t N o

-S,

[ХRЛл(t,0,r )^-+Rln(-)]x s Лі

(1S)

Pl(t )— Rлп (-,Ті,О) = —Pl(t )-^-«Лл (t, т1,0) + aPo(t )[K[2 (-, Ті,0) —

- t — Т'

2 mm

— ЛЛл (-,т1,0)] — -— Pl(t)[ E E ЛіЛ(t,Т1,Tl■ )ЛЛл (t,Tj ,0) x

N

o i=0 j=0

—S- -S, m —S-

x-^“І + RH (-) ХR1Л(t,Тl,Tl■ )+

Д-1 д-l i—0 Д-1

(23)

Л m Л

:£(-) — л(-) — ХSj (-,Л1, )]; j=0

—S,

+ ЛЛл(t,т1,0) ХЛЛл(t,Tj ,0) л + R'л(t)Rт1,0)];

j=0

ЭЛ'

P1(-)-Л1Л (-,т1,т2 ) — —P1(-)[-------Л1Л (-,т1,т2 ) +---------Л1Л (-,т1,т2)] +

Э - -ті Э Т2

2 mm

+ aPo(-)[Kn(-,ті,т2) — Л'Л(-,Ті,Т2)]+ —Л(-)[ Х Х«1Л(-,ті,Ti )x

N0 i—0 j—0

—S- -S , m (19)

xЛ1Л.(-Т, >т2)-Л- —j + ЛЛл (->т1,0) ХЛ1Л(-,Tj .т2 ) x

j—0

j 2 л Л

ЭЛ' ЭЛ1,

-Si m -S ■

x ^ (t,0, т2 ) ХR1Л (.t, ТТі) —^ + ЛЛл (-,0,т2 )RЛл ft т1,0)];

ЭЛ'

ЭЛ'

P'(t)—«іл(-,Т',0) = —P'(t){—Лл(-,Т1,0) + - f (ЛЛ )Лл(-,Т1,0)} +

Э t Э Т' Л

ЭЛ1

2 mm

+ aPo(-)[K'i(t,Т',0) — R,(-,ті,0)]^ P'(t)[ Х Х^лС-ДіТ )

N0 i—o j—О

-S ■ -S ,■ m -S ,■

xЛіЛ(t,Tj ,0) Л j + Ллл(-,Ті,О) ХЛіЛ(.-,Tj ,0) j +

Я-11 я-l1 j =0 Я-11

(20)

ЭЛ1

Pl(t)—«Лл (-) — Pl(t)- У~(-,ЛІ)Ллл (-) + aPo(t)[Ki2(t) — ЭЛ1

2 mm -S

—Ллл (t)] — TT-PiC-)[ E E R;(t,o,Ti )Ллл (-,Tj ,0) —^ x No l—0 J—0 ЭЛ.'

—S, rn —S- (24)

x—л- + (t) ХЛіл (-,0,Ti )_^ +

ЭЛ'

1 i—o

ЭЛ'

-S,

+ЛЛл (t) ХЛЛл (-TJ ,0)—Л.- + Л1л (t)ЛЛл (t)];

j =0

ЭЛ1,

m —S (t Л1 )

+ ЛЛл (-,0,0) ХЛіЛ(.-,xi,Ti) l(Л l) + Ллл (-,0,Т2)ЛЛл (-,Т',0)];

l—0 —л1,-

Pl(t)dR,(-,0,0) = 2Pi(t)- Л-,Л ) Rr(-,0,0) + aPo(t)[Km(-,0,0) —

d t Л ЭЛ1

2 mm —S і

—ЛіЛ(-,0,0)] P](t)[ Х ХЛіЛ(t,o,Ti )ЛіЛ(t,T. ,0) —x

No i—o j=o J -*! (21)

-S , m dSl N-г

x—.+«Лл(-,0,0) ХЙ1Л(.-,Tj ,0)-^г+«Лл(-,0,0)] + Pi(t)-Л;

Л

ЭЛ і

j—О

ЭЛ

Pl(t)—RЛл (-,Ті,Т2) = —Pl(t)^-^-«Лл (-,Ті,Т2) «Лл (-,Ті,Т2)] +

Э - -Ті Э Т2

2 mm

+ aPo(t)[К'2 (-,Ті,Т2) — «Лл (-,Ті,Т2 )]^T^PlC-)[ S E «1Л(-,Ті,T, ) x

N0 i—o j—О

-S- -Sj m -S.

x «Лл (t,Tj > т2 ) Л Л" + «1л(-,0,т2) Х«1Л (-,т1.Ti ) + (22)

-л1, ЭЛ1,

ЭЛ'

j—О

-Лі

Pl(t)------«іл (-, Ті, Т2) =

д - '

дд = —Pl(t)[-------«іл (-, Ті, Т2) +----------«іл (-, Ті, Т2)] +

д Т' - Т2

+ aP0(t )[K 22 (t, т1, т2) — «іл (t, т1, т2)] —

2 mm

Pi(-)[ E E Rлл(-,ті,t, )x

i—0 J —o

N0

-S- -S,

x RЛл (-,Tj ,т2) —+ ЭЛ' ЭЛ1,

(25)

-S,.

+ «1л (t,0, т2) ХR Лл (t,-1, Ti ) —ЛТ +

i =0

— Лі

m —S , (t, Л1, )

+ «іл (-,Т',0) Лл (-,Tj ,Т2) j Л j +

і —О

ЭЛ1,

+Ллл(t,Ті,О) Х^Лл(-Тj ,Т2)^S.L + Ліл(-,0,Т2)«Лл(t,Ті,О)]; + «1л(-АТ2)«1л(t,Т1,0)];

Л

x

m

Л

l—О

Л

X

Л

Л

Л

i—0

Pi(t)------Л'л (-, Т',0) —

— t

д

= -P1(-)--------Л1л ft т1,0) + aP0(t)[K22 (А т1,0) -

— Т'

2 mm

- Л1л (-; т1,0)] P1(-)[ E E Л Лл (-, xb Ti )Л Лл (t,T j ,0) x

N0 l—0 J—0 (26)

—S ■ —S ,■ m —S ■

x Л-j + Ліл (-,0,0) Х Л Лл (-, Ті,T, ) —^ +

— Л1, —Л1,

i=0

— Л1

-S,

+ Л1л(t,т1,0) ХЛЛл(t,Tj ,0)—J + Ліл(t)Л'л(t,ті,0)];

j =0

ЭЛ1,

Pl(t) d^ = aPo (t )[m л — л(-)] +

d t (30)

+ 7— P1(t)[RЛл (t,0,T1) + RЛл (t,0,T2 ) +

N0

Л Л Л + Л'л (-)]Ц(-) — л(-) — Л'(- — Ті) — л'(- — Т 2)];

P1(t~)—Л1Л(-,т1,т2 ) = —P1(t)[^Л1Л(-,т1,т2 ) + Т-"Л1Л(t,ТЬт2 )] + д - —Т! —Т2

л л

л л

+ aP0(t)[Ro(t,Ті,Т2) + Л!(- — Ті)Л!(- — Т2 ) + Л0(- — Т' )Л0(- — Т2 ) —

л л л л

— ;0(t — т!);1(t — т2 ) — ;1(t — т1);0(t — т2 ) — Л1Л(-,т1,т2 )] — x

N 0

Pi(t)—Rlл(t) = aPO(t)[K22(t) - R^(t)] -

2 mm

P(t)[ E E Rлл (t,0,T, ) x (27)

no i=0 J=0 11 ( )

cS, -Si m -S,

x Rлл(t,TJ ,0)—^ + R^(t) Х Rлл (t,0,T, )—^ +

д д Л1,. 1

д 1

-S,

+л1л(-) ХRЛл (-,Tj ,0)—J + R21л(-)].

j =0

д Л1,

Это алгоритмы квазиоптимальной фильтрации многолучевого сигнала при наличии ИП.

Для простоты рассмотрим применение полученных алгоритмов для синтеза тракта приема двулучевого низкочастотного сигнала. Здесь

x P1(t){Л1Л(-,т1,Т1 )Ri;(t,T2 ,т2 ) + R1 Л(-,т1,Т1 )Ri;(t,T2,т2) +

+Л1 Л(t,т1,Т2)Л1 Л(-,ТЪт2) + Л1 Л(->т1,Т2)Л1 Л(-,Т2,т2) + ЛЛл ^Дь0^ x[R1 Л(-,Т1,т2 ) + Л1 Л(-,Т2’т2 )] + ЛЛл (-’0,т2 )[Л1 Л(-,т1,Т1) + Л1 Л(->т1,Т2)] +

+R Лл (-,о, Т2 )R Лл (-, Т',0)}; (31)

Pl(t)—Rix(t, Т',0) — —P'(t )^^Ліл(-,Ті,0) — Y«l л(-,Ті,0)] + aPo(t )[Ло(-,Ті,0) + д - -т

Л ЛЛ ЛЛ ЛЛ Л

+ л'(- — Т' )Л' (-) + Л0(- — Т')Л0(-) — Л0(- — Т' )Л' (-) — л'(- —Т')Л0(-) — Л1;(-,т1,0)] —

N

-P\(t ХЛ1 Л(-,т1,Т1)Л1 Л(-,Т2,0) + Л1 Л(t, т1,Т1 )R1 Л(-,Т2,0) +

+ Pi(t)-d-Rlx(t) — — 2Pi(t)Y Ri;(t) + aP0(t)[R0(t) + (Л1(/) — Л.°(г))2] — (32)

— Pi(t){RrJt,O,Ti)RrJt,T2,O) + RrJt,O,Ti)RrJt,T2,O) +

N0

+RL лХ^0, T2 )R1 T1,0) + R1 ,(tA T2 )R1 лХ^ T2,0) + RЛл (/Х^лХ^ T ,0) +

N

+ Ri,(t,T2,0)] + (t)[Ri,(t,0,Ti) + Ri,(t,0,T2)] + R2i,(t)} + ;

S(t) — Л(- — Ті) + Л(- —T2) + л(-) + no(t).

При наличии ИП

- Л'о

д Л'

/(/, Я1) = -у Я1 (у - полоса частот сообщения). Тогда алгоритмы фильтрации примут вид:

Л Л

Р1(,)ЭЯ^ = -Р1(,) + аР0(,)[ Л°(/, т) -*.'(/, т)] +

Э , Эт

+ ^ Р1 (' )[^1Я (-, т,Т1) + ^л^ т,Т 2)+Л Яп х,0)]х (28)

л . .

х [К/)-п(,) - Я'(/-ТО - Я'(/ -Т2)];

Pl(t)—RЛл (-,Ті,Т2 ) = —Pi(-)[^^RЛл (-,Ті,Т2 ) +-^RЛл (-,Ті,Т2 )] + Э - Э Т' Э Т2

1 Л Л Л

— S (-,Л0) ^ —S (-,,') ^ +aPo(t Ж^л-1!*-))(;0(t — т2) — ;1(t — т2)) — Л Лл (-,т1,т2)] — (33)

N

"P1(t){[Л1 Л(-,т1,Т1) + Л1 Л(-,т1,Т2 )][ЛЛл (-,ТЬт2) + ЛЛл (-,Т2,т2 )] +

+ «'л (-,0,т2 )[Л1 Л(-,т1,Т1) + Л1 Л(-т1,Т2 )] + ЛЛл (-’Т1,0)[ЛЛл (-,Т1’т2) +

+R Лл (-,т 2, т2)] + R іл (-,0, Т2 )Л Лл (-, ті,»)};

Pi(t )-^t R Лл (t, Т1,0) — —Pi (t )JL R Лл (t, Т1,0) +

д ^ д т1

Л Л Л

a?0 (t)[(м_ — л(t)) x (Л0 (t) — Л1 (t)) — Rлл (t, т i ,0)] —

_2_

Pi (t ){[Ri; (t, Т1, Ti) + Ri; (t, Т1, T2 )] x

(34)

x [RЛл (^T1,0) + RЛл ftT2,0)] +

+Rlл(t)[Ri;(t, Т1,Ti) + Ri;(t,Т 1,T2)] +

+RЛл (^Т1,0)[ЛЛл (t,T1,0) + RЛл (t,T2,0)] + Л1л(-)RЛл (t,т1,0)};

Pl(t) -л1(^ — -y^'C-Pi(t) + aPo(t)[ x0(t) -dt Л 2 -Л1 (t)] + — Pi(t)x [Ri;(t,0,Ti) +

N 0

Л

+ Ліл(-,0,Т 2) + R Лл (-)][§(-) - л(-) - Л1 (--Ті) -

Л

- Л1 (- - Т2)];

(29)

Pl(t )~~Л Лл (-) = Pl(-)-f^ Л Лл (-) + aPo(-)[(“л - л(-)) x

д Л1 2

x (Л0(-) - Л'(-)) - Л Лл (-)] Pi(t ){[Л' л (-,0,т і) + Лі л(-,0,Т2)] x

' N 0

x [ЛЛл (t,T1,0) + ЛЛл (t,T2,0)] + +Л1л(-)[Л1 Л(-,0,Т1) + Л1 Л(-,0,Т2 )] +

+ЛЛл (t)[ЛЛл (-,Т1,0) + ЛЛл (-,Т2,0)] + Л'л (t)ЛЛл (t)}; (35)

Л

2

Л

Л

Л

Л

Л

л

л

Л

Рі(-) —— «1п(-,хі,х2 ) = —Рі(-)[ д «1п(-,хі,х2 ) ^-^-«1Л(-,хі,х2 )] + д - д хі д х2

л л л

+ аР0(-)[а^ + тЛ2 — 2тЛ п(t) + X1(t — хі )X1(t — х2) — «іЛ(-Ді^)] —

— "— Р1(-){[«Xn (t,х1,Т1) + «Яп (-,х1,Т2 )][«Xn (t,T1,х2) + «Яп (-,Т2,х2 )] + N 0

+ «1п(-,0,х2 )[«Xп (t,х1,Т1) + «Д;п (-,х1,Т2 )] + «іп^х1,0)[«Xп (t,T1,х2) + +« Xп №, х2)] + «1п(-,0,х2 1п (-, хі,0)}; (36)

аРі(-) = аР0(-) - РРіС-) + Рі(-)[(1 - Рі(-)) X а-

X І І ^УД^х),п(-Ші(-,X-(х),п(-))В%{(х)Оп — Р0(-) X

л п (44)

X

ІР (-, X(-, х),0)Г0 (-, х, Xt (х))DXt (х)]

п

Рі(-)—«іп(-,хі,0) = —Рі(-)-^- «іп (-, хі,0) +

д -

д хі

9 9 л 1 і

+ аР0(-)[аЛ + тЛ — 2тЛ п(-) + М- — хі ^ (-) — «^ (-,хі,0)] —

— 7^ Р1(-){[«(-,х1,Т1) + «Лп (-,х1,Т2 )][«Лп (-,Т1,0) + «Лп (-,Т2,0)] +

#0 (37)

+ «іп (-)[«Xп (->х1,Т1 ) + «(-,х1,Т2 )] + «іп (-’х1,0)[«(-,Т1,0) +

+«Xп (-,Т2,0)] + «1п(-)«1п(-,х1,0)};

а ? 2 л 1

Рі(-)---«іп(-) = аР0(-)[Оп+ тп — 2тпЛ(-) + X- (-) — «іп(-)] —

а -

— Т2-Рі(-){[«Xп (-0Ті ) +«Xn (-0Т2 )][«Xп (-Ті,0) + «Xп (-Т,0)] +

(38)

+ «іп(-)[«Xп (-,0,Т1 ) + «Xn (-,0,Т2 )] + «1п(-)[«Xп (-,Т1,0) +

+«Xn ^, Т2,0)]+«1п2(-)}.

Получим алгоритм построения обнаружителя ИП. Согласно [4], алгоритм синтеза оптимального обнаружителя ИП, перефразированный на случай решаемой задачи, имеет вид.

а

Р0(- ) = —аР0(-) + РР1(-) +

а-- ^ ------------^ , (39)

+ Р0 (-)[ ІР (-, X(-, х),0)Г 0 (-, X- (х))DXt (х) — Р (-)]

—Рі(-) = аР0(-) — рРі(-) + а-

+ Рі(-)Р0(-))[ І І Р(-М-, х), п(-)) X

л п

X (ґ, (х), п(О)DXґ (х)а?п —

— } Р(ґ, Х(ґ, х),0)^0 (ґ, х, (х)) Ш, (х)].

п

(45)

Это уравнение примем за основное для дальнейших выкладок, которые, как правило, можно удобнее доводить до реализуемых на практике уравнений в каждой конкретной задаче (с применением гауссовой аппроксимации имеющихся функционалов плотностей вероятности W0 и Wl).

В дальнейшем учитываем:

X1(-, х) = І І!(-, х)^і(-, х, X- (х), п(-)^ !- (х)а?п Л п

л

п(-) = І Іп(-Жі(-,х,X-(х),п(-))DXt(х)ап ,

Л п

Рі(-) = аР0(-) — РРіС-) +

(40)

+Рі(-)[ І І F(t,X(t,х),п(-Жі(-,X-(х),п(-(хУл —

Л п

—Р (ґ)].

XV х) = ІX (-, х)Г0(-, х, X - (т)DXt (х),

а также известные соотношения, справедливые для любых случайных величин X и Г

Здесь Я, (т) = Я(/, т) в момент Г, а интеграл по области Л - континуальный интеграл Фейнмана по реализациям (,, т) . При этом

Ы[Х2] = Dx + т2х , М[ХУ ] = «ху + тхту (Ц.

дисперсия, Яху - корреляционн^ій момент).

В нашей задаче

Рі(- ) + Р0(- ) = 1,

(41)

Р(-) = І І Р(-,X-(х)’п(-))Г (->х= Я-(т>,п(--(х)ап. п (42)

Р (-Х п) = -^{2£(->[X(- — Ті) + X(- — Т 2 ) + п(-)] —

0 ,

— [X(- — Ті) + X(- — Т 2) + п(-)]2}

Так как согласно [3]

W (/, т, Я, (т), п(/)) = Р0(/ )W 0(/,Я, (т))8(п(/)) + + Р1(/ )W (/, Я / (т), п(/)),

то, например, (39) можно переписать в виде

(43)

поэтому

І ІР(ґ, X, г)Щ (ґ, х, X, (х), п(ґ))(х)^п = Л п

1 л л л

= — {25(ґ )^1 (ґ — Ті) + XI (ґ — Т2) + п(ґ)] —

N г\

2

Л

л

Л

— [Xі (ґ — Ті) + Xі (ґ — Т2) + п (ґ) +

+ R1X(Ґ, Ті,0) + Т2) + Яіп (ґ)] —

л л

— 2[ Яа(ґ, Ті, Т2) + Щґ — Ті) Xі (ґ — Т2) +

лл

+ ЯXn (ґ, Ті,0) + ^(ґ — Ті) п(ґ) +

л

+ ЯхЛ (ґ,0, Т2) + Xі (ґ — Т2) п(ґ)]},

ІР (-,X,0>W0(-, х, X- ( х>>D X- (х) =

Л

л л

= —Ш- XX0 (-—Ті)+X0 (-—Т2)] — N 0

2

2

— [X0 (- — Ті) + X0 (- — Т2) +

+« 0(-,Ті,0) + «0(-,0,Т2)] —

лл

— 2[«0(-,Ті,Т2) + X0- — Tl)X0(- — Т2)]}.

Окончательно, уравнение обнаружения ИП примет вид

аРі(-) = —рРі(-) + аР0(-) + Рі(-)Р0(-) X а- N 0

л1 л1 л

X да Х^- — Ті) + Xі (- — т 2) + п(-) —

л л л2

— X0- — Ті) — X0- — Т2)] — [Xі (- — Ті) +

2

л л2

+ X (- — Т2 ) + п (-) + «1X(-,T1,0) + «і X(-,0,T2 ) +

+ «іп (-) — х0(- — Т1) — ^ (- — Т2 ) —

— «0(-,Ті,0) — «0 (-,0,Т 2)] — 2[«і X (-,Ті,Т2) + л л (46)

+ Xі (- — Tl)X1(- — Т 2) + «хл (-,Ті,0) +

0

+ Я, (- — Т1)п(-) + «Xn (-,0,Т2 ) +

л л л л

+ Xі (- — Т 2) п(-) — XV — Ті) X0 (- — Т 2) —

— « 0(-,Ті,Т 2)]},

причем это уравнение необходимо решать совместно с (41).

Уравнения (28) - (41), (46) образуют алгоритм фильтрации двулучевого сигнала. Структура этого алгоритма говорит о том, что функциональная схема приемника может быть разделена на три основных блока: обнаружитель ИП, блок оценивания ИП и блок оценивания параметра. Следует отметить, что при больших отношениях ИП/сигнал алгоритмы существенно упрощаются и, как правило, отпадает необходимость отдельного построения фильтра при отсутствии ИП.

В заключение отметим, что предложенная методика может быть использована не только в радиотехнике, но и в любых других отраслях науки и техники в случаях наличия импульсных полей и процессов.

ЛИТЕРАТУРА

Ершов Л.А., Коренной А.В. Квазиоптимальные алгоритмы фильтрации взаимозадержанных марковских процессов // Радиотехника. 1994. № 10.

Коренной А.В., Романенко Г.В. Квазиоптимальная фильтрация случайных полей при наличии пространственно-распределенных импульсных помех // Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация: Материалы Всерос. науч.-технич. конф. Воронеж, 1997. Т. 2. С. 601-607.

Бацунов В.П., Романенко Г.В. Квазиоптимальная фильтрация импульсных случайных полей // Направления развития систем и средств радиосвязи: Материалы Всерос. науч. -технич. конф. Воронеж, 1996. Т. 1 С. 201 -206.

Коренной А.В., Романенко Г.В., Горев П.Г. Совместная оптимальная фильтрация непрерывных и импульсных случайных полей // Информационные технологии и системы. Воронеж: МАИ (Воронеж. отдел.), 1996. № 1. С. 13-17.

Поступила в редакцию 22 июня 2000 г.

2 2 2 л 2 л 2 л2

л

л