CC BY
31
счет оптимизации денежной массы потенциальный рост ВВП мог составить 19.7%, 13.1%, 6.9%, больше достигнутого соответственно на 11.5%, 7.6%, 1.5%. При этом оптимальная величина денежной массы за 2000 и 2001 гг. превышает фактическую величину на 12.6% и на 3.4% соответственно, а за 2002 г. фактическая величина превышает оптимальную величину на 18.3%. На основе полученных результатов можно сделать вывод, что эффективность кредитно-денежной политики постепенно повышается. Однако возможности повышения темпов роста ВВП за счет оптимизации денежной массы еще не исчерпаны. В связи с этим определенный интерес представляет создание и использование моделей более высоких уровней, позволяющих увеличить число параметров оптимизации и количество изменяемых параметров, описывающих экономическую ситуацию.
Разработанная макроэкономическая балансовая модель для стран с элементами переходной экономики может быть использована для информационной поддержки управленческих решений, направленных на максимизацию величины ВВП за счет оптимизации выбранных параметров управления. Благодаря возможностям изменения макроэкономических показателей в широких пределах (ограниченных только рамками реально допустимых значений), лица, принимающие управленческие решения, имеют возможность проводить исследования для выработки оптимальных вариантов макроэкономического развития.
Для дальнейшего расширения возможностей применения этой математической модели целесообразно ее совершенствование на основе введения для
пользователей интерактивных режимов общения с использованием специализированных баз данных, а также путем обеспечения возможности проведения исследований на модели через сеть Internet.
Список литературы
1. Львов Д. Будущее российской экономики. // Экономист. - 2000. - №12.
2. Стратегия развития государства на период до 2010 года: Доклад, подготовленный рабочей группой Государственного совета РФ под руководством В.И.Ишаева. // Российский экономический журнал. - 2001. - №1.
3. Белоусов А.Р. Эффективный экономический рост в 2001-2010 гг.: условия и ограничения. // Проблемы прогнозирования. - 2001. - №1.
4. Асташов К.И. Социально-экономическое развитие: итоги и перспективы. // Экономист. - 2001. - №9.
5. Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. / Пер. с англ.
- М., 1997.
6. Гайгер, Линвуд Т. Макроэкономическая теория и переходная экономика. / Пер. с англ. - М., 1996.
7. Burda M., Wyplosz C. Macroeconomics. Oxford University Press, New York, 1997.
8. Масюков В.А., Масюков В.В. Балансовая модель прогнозирования параметров макроэкономического развития. // Сб. науч. тр.: Теоретические проблемы управления производством и капиталом. - Тверь: МЭСИ. - 2001.
9. Багриновский К.А., Бендиков М.А., Хрусталев Е.Ю. Современные методы управления технологическим развитием.
- М.: РОССПЭН, 2001.
10. Катулев А.Н., Колесник Г.В. Программный комплекс оптимизации основных показателей развития отраслей промышленности. // Программные продукты и системы. -1997. -№ 2.
11. Российский статистический ежегодник: [Сборник]. -М.: Госкомстат России, 2001.
АЛГОРИТМЫ И ПРОЦЕДУРЫ ПОСТРОЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОИЗВОДСТВ
Г.П. Виноградов
Линейные модели непрерывных производств в
т -
форме затраты-выпуск вида 2 ауХу ^ Ь1;1 = 1,п, где
У
а^еБц, называются билинейными. Коэффициенты ау в них являются переменными параметрами и зависят от режимных параметров, таких как температура, давление и т.п. При решении задач оптимизации по таким моделям необходимо определять и вектор X , и оптимальные значения расходных норм а у.
Известен ряд работ, в которых описываются алгоритмы оценки параметров моделей в форме затра-ты-выпуск с переменными параметрами. Наибольший интерес представляют: метод граничных вариантов, метод, разработанный М.С. Меттом и М.Н. Нуриевым [1], и метод диапазонных моделей [2,3].
Недостатком первых двух методов является отсутствие способа учета свойств области допустимых
значений входных параметров, которая, как правило, для процессов химической технологии имеет сложную конфигурацию и является невыпуклой. Поэтому принцип оценки граничных значений изменения каждого параметра в отдельности приводит к тому, что, например, в случае нормального закона распределения вероятность правильного описания моделью реального процесса не будет превышать 0.68. Точность построения моделей будет ниже, если процесс характеризуется значительным запаздыванием момента выпуска продукции относительно факта использования сырья, а закон распределения входных и выходных переменных отличается от нормального.
Недостатком третьего метода является зависимость размерности задачи оценивания параметров модели от величины выборки, так, для примера, приведенного в работе [2], для двух входов и выходов и числа наблюдений, равного 20, решение задачи линейного программирования для оценки параметров
27
модели производилось для 76 переменных и 65 ограничений в форме равенств. Рекомендации, приведенные в [3] по уменьшению зависимости размерности решаемой задачи от выборки, носят эвристический характер и требуют предварительного анализа свойств процесса.
Как правило, процессы химической технологии относятся к классу нестационарных процессов вследствие изменения активности катализатора, структуры технологического комплекса, состава сырья и ряда других возмущающих воздействий. Действие этих факторов приводит к тому, что текущее значение вектора Х={х1; 1= 1, т } входных материальных потоков и режимных параметров, а также вектора У=(у|Л = 1,п) - показателей свойств выходного продукта и технико-экономических показателей -изменяется в некоторой области ОХ и Оу соответственно. Это позволяет предложить ряд простых процедур построения билинейных моделей, основанных на вписывании в область изменения режимных параметров гиперпараллелепипеда [4].
Общая постановка задачи имеет следующий вид. Пусть существует соотношение
РсХ®У. (1)
Область изменения показателей качества Оу задана в виде Ут1„<У<Утах, где Ут1„ и Утах - нижняя и верхняя границы допустимого диапазона изменения показателей качества. Требуется найти такую область допустимых значений Х, для которой справедливо ХеОХ^УеОу. Область ОХ можно представить „ (У)
как ОХ= П ОХ 1) . Область ОХ имеет сложную конфи-1=1
гурацию и может быть невыпуклой, хотя в ряде случаев можно подобрать такое преобразование ф(х), что область Бф(Х) будет выпуклой. Однако сложность области ОХ вследствие функциональной взаимосвязи параметров Х такова, что определение границ изменения расходных коэффициентов независимо друг от друга для различных входных материальных потоков возможно только в том случае, если область ОХ аппроксимировать прямоугольным параллелепипедом, грани которого параллельны координатным плоскостям:
^VeDy.
В={Х1ХГХ*1<ДХ^ ]=1,т }е П ОХ 1=1
где Х - номинальное значение ]-го параметра; ДXj -допуск в абсолютных величинах на j-й параметр, с помощью которого задаются пределы изменения параметров в области ОХ, при которых обеспечивается выполнение Уе Оу.
Длина ребра параллелепипеда определяет диапазон изменения режимных параметров при заданных значениях входных материальных потоков и условии, что УеОу.
Таким образом, задача оценки параметров модели типовых технологических операций в форме за-траты-выпуск может быть решена в два этапа. На первом этапе, исходя из требований к показателям качества, определяется диапазон изменения выходных параметров У. Область изменения режимных
параметров и входных воздействий ОХ аппроксимируется прямоугольным параллелепипедом, грани которого параллельны координатным плоскостям. На „ (У)
втором этапе для Xjе П ОХ , где j=1,2,3,...m1, где j=l
т1 - номер входного материального потока, рассчитываются диапазоны изменения расходных коэффициентов при таких значениях режимных параметров
Xie
i =1
няться
l=mi,m, при которых будет выпол-
Oj =
Oi =
Vi(Xi) _Xi Vi(Xi)
min Xje ПDXYi), j=l
max Xje ПD!
j=l
(Yi)
x
i= 1,n ; j=1,mi ,
где l - номер режимного параметра.
Степень адекватности моделей с переменными параметрами будет определяться точностью аппроксимации области Dx брусом В и может быть оценена с помощью критериев, приведенных в работе [5].
Алгоритм 1. Пусть область изменения режимных параметров Dx определяется системой неравенств вида gi(X)<bi, i= 1,P. Предположим, что W(X) - вогнутая функция, а gi(X) - выпуклые функции и на множестве Dx, определяемом системой неравенств gi(X)<bi, i=1,P, существует maxW(X). Тогда для построения билинейной модели надо выполнить следующую последовательность шагов.
1. Выберем WT(X)<maxW(X) и образуем множество Dx={Xe Dx !W(X)> WT(X)}. Как показано в [4], множество Dx ограничено для любого WT.
2. Обозначим через X1={X11,...,X1i,....,X1m} и d = {d1,^,di,^,dm} координаты одной вершины бруса В и его линейные размеры соответственно.
3. Введем вектор X ={X1; X2, ... ,X2m} координат вершин вложения бруса В. Задачу определения параметров модели с переменными параметрами сформулируем следующим образом:
Ф® — ) max
xl, d
W(X)>WT
gi(X) <bi, i= 1.P , Ximin <Xi < Ximax
max = minVj (X)
(2)
Xi maxV(X)
: Xi
Xj eDx < Pijmin, j= 1, m и
Xj eDx < Pijmax, i=1,n.
Применение для решения задачи (2) известных методов математического программирования ограничено тем, что с увеличением числа переменных Х={Х1, 1= 1, т } в два раза увеличивается размерность задачи и в 2т раз увеличивается число ограничений. Как показала экспериментальная проверка, такие алгоритмы целесообразно применять при числе переменных т<7 и числе ограничений Р<16. При большем числе ограничений и переменных задачу (2)
Xj
а
28
следует решать в два этапа. На первом этапе производится аппроксимация области Бх вписанным брусом В. На втором этапа рассчитывается диапазон изменения расходных коэффициентов.
Анализ результатов экспериментальных расчетов показал, что не все вершины вложенного бруса лежат на границе Бх. Следовательно, для сокращения размерности задачи целесообразно выделить вершины, лежащие на границе Бх, и организовать проверку
принадлежности Бх только выделенных Хк, к= 1,2т вершин.
4. Определим точку аеБх такую, что W(a)= maxW(X)lgi(Х)<bi, 1=1,Р. Если а находится на границе или близко к границе области Бх, то используем следующий прием. Вокруг области Бх строится описывающий брус В0. Для этого решается 2т задач следующего вида:найти ттХ1 и тахХ при условиях
W(X1)>WT, аСХХЬ, i= 1Р , Хт^Х^Хтах.
5. В брусе В0 проводятся 2т-1 диагоналей и определяется точка их пересечения Х=С. Начало координат переносится в точку С, делается замена переменных 2=Х-С. Решается задача
Ф2)
max
(3)
W(Z)> Wt , В.СХ) <bi; i=1,P,
Zmin < Z < Zmax*
6. Для каждой из 2m найденных точек строится брус Bi; i= 1,2m . Построение бруса осуществляется следующим образом. Из i-й точки на границе области B проводятся лучи параллельно координатным осям. Пересечение этих лучей с областью Dx определит щ вершин бруса В^ Из mi новых вершин проводятся лучи, параллельные координатным плоскостям, и ищутся точки пересечений их между собой и областью Dx. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будут найдены 2m вершин бруса Bi. Для найденных 2m-(m+1) вершин проверяется условие принадлежности области Dx. Если вершина не принадлежит Dx, то производится корректировка линейных размеров бруса, для чего координаты этих вершин смещаются по диагонали, проведенной из лежащей вне области Dx вершины. Для 2m брусов Вi рассчитывается критерий Ф[(Х) и выбирается такое решение, которое соответствует max Ф[(Х).
7. Очевидно, что Ф(Х) будет определяться выбранной точкой С. Будем варьировать координаты точки С методом случайного поиска. Для этого из точки Х=С производится k+1-й шаг в случайном направлении, определенном случайным единичным вектором ук. Величина шага задается параметром ДСк. При Ck+ACk»yk£Dx определяется maxФ(Xk+1, Ск+1). Если Ф^1, Ck+1)> Ф(Х\ С), то Ck+1=Ck+ ДС^, в противном случае вычисляется новый случайный вектор Yk. Подобные шаги выполняются до тех пор, пока при серии из N шагов не будет увеличения целевой функции. Если при k>N увеличения целевой функции не наблюдается, то изменяется шаг Д^ и производится расчет вектора Ck+1. В качестве критерия окончания поиска используется величина
приращения вектора Ck и целевой функции Ф(Х1). Полученные допуски на режимные параметры используются для расчета коэффициентов модели подсистемы с переменными параметрами. Если aijmax < Pijmax или aijmin > Pijmin , то определяются новые значения Хп1п и Хш|1х путем решения уравнений
Yi (Х) = b|max , 1 = М
YiСX)=b1pjin , j=m^m
8. Решение задачи (3) повторяется с новыми значениями ограничений на Х1, i= 1,mj .
Предложенный подход позволяет существенно сократить число проверяемых вершин по сравнению с методами математического программирования. Оценка эффективности работы алгоритма на тестовых и реальных задачах показала его хорошую сходимость и точность поиска параметров модели. В ряде случаев хорошее решение было получено уже на первом шаге поиска.
Зачастую получение математической модели подсистемы связано с большими затратами ресурсов. Поэтому целесообразно рассмотреть метод, который исключает использование функциональных зависимостей между выходами и входами, а непосредственно использует экспериментальную выборку.
Алгоритм 2. Пусть область изменений технологических параметров охватывает область допустимых значений Dx, определенную технологическим регламентом. Пусть задано условие, определяющее пределы изменения критерия эффективности:
V <V<V
min max
Пусть соотношение между допусками задано в виде ДХ1Р1 = ДХ2Р2 = ... = ДХтрт, где |3Ь р2.....рт -
весовые коэффициенты, отражающие усредненное влияние технологических факторов на показатели качества, то есть
m -
Pi = Z Р ij /m, i=1,n ,
j=1
где pij - весовые коэффициенты, учитывающие влияние i-го фактора на j-й показатель качества.
Выбор значения Ру определяется спецификой решаемой задачи с учетом некоторой совокупности требований и может быть назначен экспертным путем; m - размер выборки.
1. Обозначим через Хп1, i=1,m совокупность выборочных данных, которые сведем в матрицу следующего вида:
Х11 —• ХИ — Х1ш P1 ХИ —• ХИ — х1ш Pk Хп1 —• Хп1 — Хшп Pn
где
1, если для |Хи,...,Хи,...,Хкт1
выполняется условие Ут|п < У(Х) < Утах ; 0, в противном случае
п - число экспериментальных точек.
z
P
k
29
2. Для первого приближения выберем в качестве центра бруса среднеарифметическое число точек,
для которых признак Рк=1: „ *
= Хи с _■
Хц, если выполняется условие
Ут1„ < У(Х) < Утах 0 , в противном случае
где „1 - число экспериментальных точек, для которых Рк=1.
3. Проведем замену переменных Zn1=|Зi(X„i*-Sn1), 1= 1, т . В новых координатах т-мерный брус преобразуется в т-мерный куб, ОХ отображается в О,. Очевидно, что куб, вписанный в замкнутую область, должен касаться ее, по крайней мере, двумя вершинами. Эти вершины лежат на одной из диагональных прямых, канонические уравнения которых имеют вид
|Zll = = ... = IZml- (4)
4. Раскрывая знаки абсолютных значений в (4), получим уравнения, различающиеся комбинацией знаков при Zi- Общее число таких уравнений, а значит, и диагональных прямых, не лежащих в гиперплоскостях граней т-мерного гиперкуба, равно 2т-1.
Точки Сг, г= 1,2т—1 являются пересечением прямых, так как 8, = {8г1, 8^, ..., 82т}еО2 и существует Z2=
{Z21, 822, ..., 82т}е
5. В качестве Zг выберем точку пересечения диагональных прямых с гиперплоскостями описанного куба В0 (алгоритм построения приведен выше):
и Zг=bi,
где ai=maxZij; bi=m1nZij, 1=1,„; ц=1,т. Тогда ^1=^221= ... =IZ2mI=a и ^1 = ^1= ... =IZгmI=b,
г= 1,2т .
6. Координаты точек Сг находим последовательным делением отрезков 8,, Zг пополам, определяя каждый раз, какой области (О, или ) принадлежит полученная середина. Обозначим текущие границы отрезка, соединяющего С5:
Ц® = {ЦЛ Ц*®, ..., Цт®},
WгlW = Wг2(h), ..., '^(11)},
где Ь - номер последовательного деления.
Таким образом, процедура деления отрезков начинается при иг(1)=8, и Wг(h)=Zг , г= 1,2т-1 .
Середина отрезка Ц.® и Wг(h) 'на Ь-м шаге имеет координаты
С®=
и®+ц?+wh) шт+wгm)
2
2
2
Для каждого последующего шага процедуры производится коррекция координат вершин отрезков следующим образом:
Цг(
(Ь+1)_
Ц<Ь)
с(ь) С г
/-(Ь) , если Сг
£ Б,
Wгl
<Ь+1)_
Wr(h) , если С?'
е О,
С® , если Сг11) £ О,.
(Ь),
Процедура заканчивается при достижении заданной точности, то есть при выполнении условия:
, где е - заданная точ-расстояние между точками
Б(Цг(1) , Wг(h))<е, г= 1,2' ность; Б(Ц.® , Wг(h)) -Ц® и Wг(h)-
В результате имеем Сг = Сг(Ь+1).
Вершины куба допусков с центром в точке
имеют координаты Zrку5а =С*уг, г= 1,2т-1, где уг -диагональная матрица отражения размера тхт, элементы которой равны: diag уг = {±1, ±1, ..., ±1}.
С =1Сг11 для любого 1 определяются из условия вписания куба в то есть у куба с центром в начале координат абсолютные значения координат любой вершины одинаковы.
7. Нахождение оптимального положения центра куба допусков является задачей нелинейного программирования без ограничений с критерием
С* ^тах, (5)
С* = «8,). (6)
8. Искомые допуски определяются с учетом проведенных ранее преобразований координат по формулам:
Х1т
, Х1т
* Р1 Р1
где 8, - оптимальные, в смысле (5) значения координат центра допусков.
Так как зависимость (6) неизвестна, то определение 8, осуществляется поисковым алгоритмом, не использующим производные, в данном случае алгоритмом Хука-Дживса.
Модель в форме расходных коэффициентов с использованием полученных результатов ищется по методике, описанной выше.
Необходимость периодической коррекции моделей подсистемы вызвана нестационарным характером рассматриваемой ХТС вследствие:
- высокой агрессивности используемого сырья и полупродуктов;
- изменения свойств катализатора при отравлении каталитическими ядами;
- варьирования входной нагрузки по сырью и энергоресурсам.
При этом каждое новое наблюдение должно использоваться для коррекции ранее полученного результата.
Если область допустимой вариации параметров О, представить как пересечение гиперповерхности
У = Ц(Х) (7)
с гиперповерхностью заданного качества 1Р1(Х)1= = ет1„, то действие описанных выше дестабилизирующих факторов приводит к изменению вида уравнения (7) и, следовательно, области Бх. Поэтому возникают задачи:
т-1
„
8* + С
30
- определения в новой ситуации допустимых пределов изменения по каждому параметру в отдельности;
- перераспределения допусков на параметры с целью достижения заданных требований к качеству функционирования системы и ее элементов.
В качестве критерия функционирования технологического агрегата можно рассматривать вероятность нахождения выходной величины У в заданном поле допуска при фиксированных значениях входных переменных Хь i= 1,т, определенных через параметры Оц. Требования к результату функционирования агрегата в этом случае задаются неравенством
Р|Уе[Л,Б]1ад > Ро, (8)
где Р0 - заданная вероятность, величина которой больше, например, 0,7.
Тогда задача коррекции допусков сводится к отысканию в моменты времени 1 такой области
п
чтобы ХеБх = ПОх(У|) и выполнялось условие (8).
1=1
Пусть Р(У(Х^) - плотность распределения выходных параметров технологического агрегата. Тогда при выполнении предположения о нормальном законе распределения можно записать условие (8) в следующем виде:
|аьР(У(Х0)аУ =
(V-Г(х)
2
1
ау > Р,
0 .
(9)
с у л/2П
Таким образом, задача коррекции параметров модели комплексов с переменными параметрами сводится к коррекции моделей отдельных агрегатов типа АСХъ Х2, Хт), решению уравнения (8) и к последующей аппроксимации полученной области гиперпараллелепипедом.
Список литературы
1. Метт М.С., Нуриев М.Н. К вопросу определения параметров моделей текущего планирования нефтеперерабатывающего предприятия. // Изв. вузов. Нефть и газ. - 1975. - №4. -С. 88-92.
2. Зенков В.В., Соркин Л.Р. Построение и использование диапазонных моделей. // УСИМ. - 1978. - №4. - С.216-221.
3. Зенков В.В. Диапазонные модели участков производства для АСУП. // Изв. АН СССР: Техническая кибернетика. -1975. - №5. - С.57-63.
4. Виноградов Г.П., Кузнецов В.Н., Торбин С.И. Алгоритм многоуровневой оптимизации производственного комплекса с переменными параметрами. // Матер. 3-й Всесоюзн. конф.: Математические методы в химии. Т.4. Оптимизация. -М.: ЦНИИТЭИнефтехим. - 1980. - С.13-19.
5. Абрамов О .В., Бернацкий Ф.И., Здор В.В. Параметрическая коррекция систем управления. - М.: Энергоиздат, 1982.
с
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭКСТРАПОЛЯТОРА ВЕКТОРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
И.В. Абраменкова
При решении слабоструктурированной задачи, связанной с прогнозированием векторного случайного процесса с использованием искусственной нейронной сети (НС), возникают проблемы с выбором топологии сети, оптимизацией ее параметров и т.п. [1-3].
Принимая во внимание проблемы, связанные с использованием НС в задачах прогнозирования, остановимся на предлагаемых в данной статье методах их решения. Прежде всего, наиболее эффективный подход к решению задачи прогнозирования (экстраполяции) в нейросетевом логическом базисе заключается в том, что топология и алгоритмы оптимизации параметров сети разработаны на основе решаемой задачи, а не в результате «подгона» задачи под одну из стандартных парадигм. В статье предлагается архитектура специализированной многослойной НС и алгоритмы настройки ее структуры, предназначенные для прогнозирования и диагностики временных рядов произвольной природы.
Структура экстраполятора. В соответствии с известными теоремами о полноте [1,4], а также с известным следствием [1] для построения экстраполя-
тора выберем из них НС с одним скрытым слоем типа многослойного персептрона с сигмоидальными функциями активации нейронов как скрытого, так и выходного слоев сети.
Предлагаемый экстраполятор представляет собой НС типа многослойного персептрона, охваченную обратной связью, которая реализует некоторую нелинейную зависимость вида
+а = ФЙ1+а-1> +а-2>...> +1., (1)
где \1 - векторные значения процесса; а - так называемая глубина погружения.
Данная модель может быть проиллюстрирована рисунком 1, где через обозначен оператор задержки на один такт, то есть = а через НС -используемая (однослойная) НС с Ь нейронами скрытого слоя.
К сожалению, упомянутая выше теорема о полноте и следствие из нее мало применимы в задачах экстраполяции рассматриваемых процессов: они не указывают оптимальное число нейронов Ь скрытого слоя. Неизвестным, вообще говоря, является и оптимальная глубина погружения а. Очевидно, структура
31
