Алгоритмика адаптивной фильтрации цифровых хроматограмм Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------------------------------ © И.Б. Мовчан, А.А. Яковлева,

2005

УДК 550.831

И.Б. Мовчан, А.А. Яковлева

АЛГОРИТМИКА АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЦИФРОВЫХ ХРОМАТОГРАММ

Семинар № 9

1. Постановка задачи

А ктуальность темы определяется

.¿л. разработкой нового типа переносного газового хроматографа, конструкция которого не предполагает газового баллона. Устройство дает на выходе сигнал с низко-высоко-частотными помехами. Последние обладают меньшими и сопоставимыми амплитудами по сравнению с амплитудой полезного сигнала (апериодичных вещественных пиков). Источники помех: собственные

температурные и электромагнитные колебания измерительного контура, изменение скорости подачи многокомпонентного газа. Невозможность полного технического решения проблемы определила разработку способа исключения этих помех, позволяющего выделять вещественные пики с минимумом их искажения по амплитуде и по фазе. Задача усложняется тем, что в условиях неидеального покомпонентного разделения газовой смеси вещественные пики накладываются друг на друга. Это дает значимые погрешности в оценках концентраций соответствующих газовых компонент. Алгоритмическая реализация указанного способа должна быть частью аппаратурного комплекса, т.е. ориентирована на полностью автоматизированное выделение вещественных пиков.

2. Основные проблемы в решении задачи

Формально разделение сложного сигнала, составленного квазипериодической и непериодической высоко- и низкоам-

плитудными компонентами сводится к стандартной фильтрации:

fres {t)= H(г)* f {t) ИЛИ Fres (®)= H {a)-F (®),

где f (О И fres (0 - исходный и остаточный сигнал, H (г) - передаточная функция, F(®), Fres (®) и H(®) - их Фурье-образы, t и т - параметры времени, а - частота. Для формирования передаточной функции, выделяющей вещественные пики оптимально в смысле соотношения сигнал/шум, необходимо предварительное исследование амплитудно-частотного состава хроматограммы. Невозможность аппроксимации ее квазипериодической компоненты упрощенной моделью гармонической функции (рис. 1, а, б) или белого шума, недетерминированность частотных диапазонов определяют интерактивное выделение частотных диапазонов помехи. Временная нестационар-ность хроматограммы, обусловленная изменением во времени амплитудночастотных характеристик помехи, амплитуд и ширины вещественных пиков, приводит к значительным амплитудным и фазовым погрешностям при применении любого унифицированного фильтра (рис. 1, в). Сопоставимость помехи и полезного сигнала по амплитуде делает неприменимыми известные методы энергетической фильтрации.

Простейший подход к разделению наложенных вещественных пиков в услови-

Рис. 1. Аппроксимация фона хроматограммы: а

- линейная; б - нелинейная; в - остаточный сигнал

ях фона, близкого к нулевому, основан на аналитической аппроксимации этих пиков гауссианой:

/) = (М2^))- ехр(- [в - г)2 /(V ^

где в - временной отсчет точки экстремума вещественного пика, г] - величина разности между отсчетом в и отсчетом по времени для точки перегиба в графике вещественного пика, г - текущее значение времени. На практике гауссиа-на (рис. 2, а) - часто встречающаяся, но не единственная форма вещественных пиков: они могут иметь вид сочетания двух полугауссиан (рис. 2, б), а также

представлять не максимумы, а минимумы (инверсия вещественного пика). При наложении вещественные пики формируют аддитивный сигнал (рис. 2, в), в условиях которого положение точек перегибов полугауссиан и истинная амплитуда вещественных пиков определяются с большой погрешностью.

3. Автоматизированный алгоритм адаптивной фильтрации

Две части алгоритма (сведение многокомпонентной помехи хроматограммы к

Рис. 2. Аппроксимация вещественного пика: а -

гауссианой, б - двумя полугауссианами в - аддитивное наложение вещественных пиков уровню, близкому к нулевому; разделение

в разной степени наложенных вещественных пиков) сформированы как самонастраивающиеся итерационные процедуры. Основные элементы итерации первой части: а. исключение из исходной хроматограммы вещественных пиков; б. оценка автокорреляционной функции (АКФ) хроматограммы без учета области разрыва в окрестности исключенных вещественных пиков; в. расчет радиуса автокорреляции гас/ ; г. сглаживание хроматограммы, полученной на стадии «а», в предметной плоскости без учета указанной области разрыва; д. заполнение этой области разрыва в сглаженной хроматограмме посредством сплайн-интерполяции; е. вычитание итоговой сглаженной хроматограммы из исходной хроматограммы. Ниже следует краткое пояснение к каждой из процедур.

а. Распознавание и исключение вещественных пиков реализуется в задаче расчета низкочастотной (гладкой и квазипериодической) составляющей хроматограммы и основано на эталонной выборке. Она сформирована первыми пятнадцатью значениями хроматограммы, по которым вычисляем среднее (/(/)) и дисперсию а/ , образующие критерий распознавания.

Он состоит в том, что любое значение хроматограммы /(г) , не попадающее в исходную эталонную выборку, отсеивается, если оно находится за пределами интервала (/(/)}±А-С/ . Если данное значение попадает в указанный интервал, то оно включается в эталонную выборку. Стандартная в статистике величина Л = 3 заменено нами на Л = 15 и остается неизменным, если исследуемая помеха, кроме высокочастотной низкоамплитудной компоненты, содержит высокоамплитудную составляющую, аппроксимируемую линейной или квадратической функцией. Если эта высокоамплитудная составляющая является квазипериодической, то Л итерационно увеличивается, пока число

значений итоговой хроматограммы /а (г) не совпадет с числом значений исходной хроматограммы / (г).

б. В расчете автокорреляционной функции использован интеграл свертки, где бесконечные пределы интегрирования заменены на конечные, определяемые размером интервала задания хроматограммы /а (/):

Я/ I/а ^ )/а г .

— ОТ

в. Если Я/ (г) - знакопостоянная

функция, то Гас/ равен величине смещения вдоль оси абсцисс, которому соответствует первое относительно т = 0 значение Я/ = 0,3(Я/) . В случае знакопере-

менной АКФ Гас/ определяется величиной смещения т , при котором имеем первое пересечение графика Я/ (г) с осью

абсцисс [1].

г. Сглаживание представлено операцией свертки: /г(/) = Н(да)*/а(/) , где

т = 2гас/ +1 - величина интервала задания передаточной функции Н , представленной куполообразной функцией Хэннинга [2].

д. Пропуски в интервалах регистрации

вещественных пиков заполняются с помощью кубического сплайна

{/д (0); = а]■ + Ъ! (' - -1) + с]■ (' - -1 У +

+ (*- 1} _! ^

определенного в интервале г е [/;-_1, г}- ].

е. Процедуры а-д в совокупности с операцией вычитания /е (/)= /(/)- /} (/) формируют отдельную итерацию, в конце которой выполнено переприсваивание: исходной хроматограммой /(/) считается остаточный сигнал /е (/) . На этапе подбора низкочастотной составляющей помехи хроматограммы запланировано

три итерации, а при подборе высокочастотной составляющей - две итерации.

Во второй части алгоритма задача разделения вещественных пиков переформулирована нами как обратная задача теории потенциала. Вещественный пик формально рассматриваем как аномальный эффект в наблюденном потенциальном поле от источника, скрытого от непосредственного наблюдения. Начальное задание источника состоит в выборе его геометрии и физических параметров (горизонтальный стержень единичной длины и нулевой плотности), а также пространственного положения (стержень располагается в полупространстве, ограниченном осью абсцисс, в окрестности точки экстремума вещественного пика). Критерий корректности подбора параметров источника состоит в минимизации отклонения поля рассчитанного Q от поля наблюденного / . При этой минимизации и переходе от одной итерации к другой организовано вращение каждого источника, изменение

Рис. 3. Частотная фильтрация (а-в) и оптимальное разделение пиков (г, д)

его размеров и плотности по определенным нелинейным пространственной и параметрической сеткам (авторская разработка [2]). На каждой итерации осуществляется решение прямой задачи с расчетом общего для всех источников аддитивного поля (методика Ци-рульского A.B. [3]).

Применение описанного алгоритма демонстрирует исключение многокомпонентной помехи из хроматограммы вплоть до слабо дифференцированного близкого к нулевому фона. Исключенная высокочастотная составляющая помехи не меняет своих амплитудно-частотных характеристик как в области высокоамплитудного вещественного пика, так и за ее пределами, что является косвенным критерием оптимальности фильтрации (рис. 3, а-в). Разделение наложенных вещественных пиков реализуется с отсутствием погрешности по фазе и с 5 %-й погрешностью (оценка на эталонах) по амплитуде (рис. 3, г, д).

4. Резюме

Разработан способ исключения сложной многокомпонентной недетерминированной помехи из цифрового сигнала, представленного в данной задаче хроматограммой. Способ включает метод оптимального разделения в разной степени наложенных вещественных пиков. В алгоритмической реализации способ пол-

1. Серкеров С.А. Спектральный анализ в гравиразведке и магниторазведке. М., 1991.

2. Мовчан И.Б. Методика линеаментно-спектрального анализа грави-магнитных данных

ностью автоматизирован в смысле оценок структуры хроматограммы и выделения изолированных вещественных пиков. Способ представляет дополнительный интерес при оптимальном выделении и интерпретации любых изолированных геофизических аномалий.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

при картировании геологических структур. СПб., 1995, с. 64, 82-87.

3. Цирулъский A.B. Функции комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей. Свердловск, 1990.

— Коротко об авторах ------------------------------------------------------------

Мовчан И.Б. - кандидат геолого-минералогических наук, доцент, кафедра геоэкологии, Яковлева A.A. - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики,

Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет) (СПГГИ ТУ).

------------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

ИНСТИТУТ УГЛЯ И УГЛЕХИМИИ СО РАИ

ГЕРИКЕ Павел Борисович Разрушение горных пород дисковым инструментом машин для послойного фрезерования 25.00.20 к.т.н.

ШУРАКОВ Александр Владимирович Разработка технологических требований к техническим средствам подземной гидравлической выемки угля в сложных горногеологических условиях 25.00.22 к.т.н.