Алгоритмическое обеспечение реализации процедуры последовательной D-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 004.942

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ Б-ОПТИМАЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В РЕАЛЬНОМ МАСШТАБЕ ВРЕМЕНИ

В. А. Фатуев, А.Г. Храпова,А.Н. Морозова

В статье рассмотрена процедура последовательной Б-оптимальной идентификации динамических регрессионных моделей. Алгоритм включает в себя синтез участков локального Б-оптимального тестирующего сигнала и поэтапное уточнение оценок неизвестных параметров модели в реальном масштабе времени.

Идентификация, Б-оптимальная процедура, реальный масштаб времени, синтез тестирующего сигнала, оценивание неизвестных параметров.

При решении задач управления важную роль играют методы построения адекватных математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям -методы идентификации. Поскольку подобные модели являются приближенными, при их синтезе должны быть сформулированы требования (критерии оптимальности), которым они должны удовлетворять. Синтез адекватной в смысле того или иного критерия оптимальности регрессионной модели реальной динамической системы осуществляется экспериментально-статистическими методами, основанными на современной теории планирования эксперимента и статистической обработке экспериментальной информации.

Рассмотрим алгоритм последовательной процедуры Б-оптимальной идентификации(БППИ) в реальном масштабе времени, для моделей вида:

У(пМ) = Ф (А, и) + е(пА 0 ,

где А - вектор неизвестных параметров динамической регрессионной модели; У(лА/) - дискретное значение выхода объекта.

В качестве факторов планирования принимаются дискретные значения входного сигнала:

ÜТ = (u((n - 1)Ät), u((n - 2)Ät ((n - 1)Ät)), где l - дискретное время памяти идентифицируемой системы.

Пространство планирования определяется следующей системой неравенств:

Ü0 = min £ u((n - i)Ä t) £ umax ,i = 11}.

Сформулировать D-оптимальную процедуру последовательной идентификации можно следующим образом: на вход объекта исследования в момент времени t0 подается «затравочный» тестирующий сигналпротя-женностью t3. В качестве «затравочного» сигнала можно использовать псевдослучайный двоичный сигнал.

Далее, начиная с момента времени (t0 +t3) в течение времени ^вычисляются начальные оценки элементов вектора A0, ковариацион-

/V

ная матрица оценок cov( Ao ) и синтезируется первый участок локального D-оптимального тестирующего сигнала.

Вычисление начальной оценки Д по результатам «затравочного» тестирования производится методом Гаусса-Ньютона:

A0( s+1) = A0( s) + м _1( A0(s))f( A0( s)), s=0,1,...,

где

м (A0( s)) = I VF (A0( s),Üi )VFT (A0( s),Üi); 1=1

Vs)) = IVF(a40(s),Ui) yi-F(AA0(s),Ui) i=1 L Определяется начальная ковариационная матрица:

2

cov(4) @se

Г щ л Л-1

f уф( тол )УФг ( ад

где n0- число измерений выхода на этапе «затравочного» тестирования.

Далее осуществляется синтез первого участка непрерывного локального D-оптимального тестирующего сигнала. Он заключается в поиске такой точки 1 пространства планирования, в которой дисперсия предсказания выхода по модели, построенной по результатам «затравочного» тестирования, будет максимальной:

u 1 = arg max УФtfu]covf A 1уфГA, u

Ue U0 К J V J V J

Эта точка будет определять ординаты участка оптимального тестирующего сигнала, реализуемого на первом этапе DnnH.

Для нелинейных систем при синтезе участков оптимального тестирующего сигнала необходимо просматривать всё пространство планирова-

613

ния. Для линейных же систем достаточно просматривать лишь те вершины пространства планирования, соответствующие которым участки сигнала

имеют не более (q-1) переключения, где q- размерность вектора А [1-3].

Непрерывность тестирующего сигнала обеспечивается путем «сшивания» участков на тактов по алгоритму:

ui((n-1 + j)At) = щ_i((n-g + j)Dt), i = 1,2,3,...; j = 0,1,...,(g -1),

где i- номер участка.

Для каждой пары участков глубина возможного «сшивания» у; может меняться от 1 до 1-1 и определяется дискретными значениями ординат этих участков.

Если «сшивание» пары участков невозможно, то их необходимо состыковать.

Для линейных систем корректно использовать двухуровневые D-оптимальные тестирующие сигналы [1-3].

Число уровней D-оптимальных тестирующих сигналов, предназначенных для идентификации нелинейных систем, априори неизвестно, но должно быть не менее трех. Очевидно, что использование сигналов с минимально возможным числом уровней позволяет увеличить глубину «сшивания» строк матрицы плана, а, следовательно, и сократить общее время идентификации.

На первом этапе так же определяется оптимальная глубина памяти (1опт) по следующему алгоритму:

1) задается 1 = 1mm = q;

2) синтезируется участок сигнала, соответствующий 1min. Для этого вычисляется критериальная функция:

dj = max УФ T ^ cov^ AA0 ^УФ^ ;

3) синтезируется участок сигнала для 21. Для этого участка вычисляется критериальная функция d21 .

4) сравниваются по модулю: |dj _ d2j| £e,

где e - априори задаваемая малая величина.

Если это условие выполняется, задача решена, переход на 7, иначе переход на 5;

5) задается новое значение 1min = 1min + А1, причем А1> 1;

6) переход на 2;

7) конец.

Оптимизация параметра 1обычно производится один раз при синтезе первого участка тестирующего сигнала, то есть первой точки плана. При определении остальных участков сигнала (точек плана) используется 1=1опт или минимально возможное кратное ему значение.

614

После окончания реализации очередного, например, К-го этапа БППИ, и проведения всех запланированных измерений выхода необходимо уточнить НМНК оценку вектора А N и синтезировать (К+1)-й участок локального Б-оптимального тестирующего сигнала, проверив перед этим правило останова БППИ.

Уточнение производится с учетом всех ранее произведенных измерений выхода, включая измерения этапа «затравочного» тестирования.

Если эффективнее планировать на этапах БППИ несколько измерений выхода, то синтез части локального Б-оптимального плана, реализуемого на (К+1)-м этапе, осуществляется по алгоритму:

им+11 = а^шахуфТ( ам,и)соу( ааы 1 _1 )уф| аам,и),1 = 1,..,пм+1; ие и0 1 У V ' У V У

^ Л ( соу("^-1 ]УфГА^и#+и]УФ т VА N, и N+1,1 1 1 /ил соу( АN1 I = I--^^-^-л ^-^ x соу( AN,1-1 1,

1 У „.2 . \7/гчт ( 1 и )—( Л 1 и ) V У

^е + УФ | ^, ¿N+1,1 у СОУ||^,1-1 ^, ¿N+1,1 где иN+11 - 1-я точка части локального Б-оптимального плана, опреде-

/V

ляющая (К+1)-й этап БППИ; соу(Ад7- ) - ковариационная матрица вектора

Ак, если его уточнить по результатам 1 планируемых измерений выхода на (К+1)-м этапе.

После синтеза очередного участка тестирующего сигнала минимальной длины он подается на вход объекта, и процедура повторяется вплоть до выполнения правила останова, которое происходит на томК-ом этапе, при планировании которого отличие локального плана, состоящего из точек, полученных на всех предыдущих этапах, от Б-оптимального становится меньше порогового значения е.

.2

шах УФ Т | an, и у соу( an ^)уф(( an, и ^ ■

N • к1у

<е

2 ~ где ое - дисперсия случайной составляющей выхода; е - априори задаваемая малая величина.

Алгоритм реализации процедуры последовательной Б-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени представлен на рис.1 - 3.

Алгоритм оптимизации параметра 1 представлен на рис. 4.

Таким образом, в процессе реализации в реальном времени осуществляется синтез участков локального Б-оптимального тестирующего сигнала и поэтапное уточнение НМНК оценок параметров модели. По окончании ДППИ получается близкая к Б-оптимальной нелинейно-параметризованная динамическая регрессионная модель.

Рис. 1. Алгоритм реализации процедуры последовательной Б-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени

(часть 1)

616

Л/5+1) = Л/5) + МЛ(5))~(Л(5)), 5 = 0,1,. осу( Л) @&е 2[Л0 уф [ Л, иу ^УФт [ Л, иу

иу,/ = argmax УФТ [ А_ьи] еоу[ л41-1, /_1 ]УФ[ А_ьи

и^ио

соу[ Л1 _1, / I =

/ _-

соу[ А_1, /_1 |УФ[ л4,_1, щ, / ]УФ т[ Л_1, и.

^ + УФТ [ Л1 _1, Й1,/ |соу[Л1 _1,/_1 ]УФ[ Л_1, щ,//

х соу[ Л1 _1, /_1

с^, = УФТ I Л1_1, Й1,/ I соу[ Лу_1,/ 1УФ[ Л1_1, Й1,

Рис. 2. Алгоритм реализации процедуры последовательной В-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени (часть 2)

V

У

ОБ1 =

овг <е

Формирование ¡-го

Реализация ¡-го

иь Ук; к= 1,..,п0 +

0к,

к = 1,.., п0 + 1 * к1у

6

* о2

и1, 1 1 * к1У е

А1

ооу | А1

А1 ,ООУ( А1 )

А1+1

ооу Ау+1

1 = 1+ 1

А+1(5+1)=А+/5)+м-1(А+1(5))~(А+1(5)), 5=0,1,.

ООУ( А+!) @ [ П0 +5:;klУVфf "(УФ7 ( 4+!, и

Рис. 3. Алгоритм реализации процедуры последовательной Б-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени

(часть 3)

1=1

1 = ц

Синтез участка сигнала, соотв и

621

1 = 1 + А1

q - число неизвестных коэффициентов

61 = тах УФ1 [ А0, й1 ) соу [ А0 )УФ[ А0, и1

— и1 еи 0

621 = тах УФ11 4, Й21 ) соу| А |УФ| А&, ^21

I— и 21 еи0

тоё 1 = Ш1 - 621

^ 1опт 1 ^

Рис. 4. Алгоритм оптимизации параметра 1

Данное алгоритмическое обеспечение является универсальным и может быть использовано при синтезе Б-оптимальных динамический регрессионных моделей широкого класса линейных и нелинейных систем, описываемых моделями типа «вход-выход» и пространства состояний.

Список литературы

1. Круг, Г.К. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции / Г.К. Круг, Ю.А. Сосулин, В.А. Фатуев. М.: Наука, 1977. 208 с.

2.Фатуев В. А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным: учеб.пособие / В.А. Фатуев. Тула:Тул. гос. техн. ун-т., 1993. 104с.

3. Фатуев, В.А.Математические модели объектов управления / В.А. Фатуев, Т.Н. Маркова. Тула:Тул. гос. ун-т., 2002. 119 с.

Фатуев Виктор Александрович, д-р техн. наук, проф., Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Храпова Анна Геннадиевна, бакалавр техники и технологии, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Морозова Анна Николаевна, бакалавр техники и технологии, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ALGORITHMIC ENSURING REALIZATION OF SERIAL PROCEDURE D-OPTIMAL

IDENTIFICATION IN REAL TIME

V.A.Fatuev, A.G.Khrapova, A.N.Morozova

The article describes the serial procedure D-optimal identification for dynamic regression models.The algorithm includes the synthesis of D-portions local optimum test signal and incremental refinement of estimates of the unknown parameters of the model in real time.

Key words: Identification, D-optimal procedure, real-time test signal synthesis, evaluation of unknown parameters.

Fatuev Viktor Aleksandrovich, doctor of technical science, professor, Russia, Tula, Tula State University,

Khrapova Anna Gennadievna, bachelor of engineering and technology, Russia, Tula, Tula State University,

Morozova Anna Nikolaevna, bachelor of engineering and technology Russia, Tula, Tula State University