CC BY
30
2005 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сеу. 4- Вып. 2
ХИМИЯ
УДК 519.2:536.758:539.23 М. Д. Балъмаков
АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ СТРУКТУРОЙ НАНОСОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА*)
Введение. Первоначально приставка «нано-» использовалась для образования соответствующих дольных единиц. В дальнейшем она получила более широкое распространение. Стали уже привычными такие понятия, как наночастица, нанокластер, наноструктура, наноразмерная система, наноколлоиды, нанокомпозиты, нанокристал-лическое состояние, нанотехнология, наноэлектроника и т.д. [1-11].
Это модные термины. Они весьма многочисленны. Многие из них еще даже не имеют общепризнанных однозначных трактовок. Так, одни исследователи [7] отличают наночастицы от ультрадисперсных частиц, другие [8] не видят в этом особого смысла, считая, что здесь мы имеем дело лишь с терминологической проблемой, которая не столь принципиальна.
Впрочем, многое определяется и терминологией. Сам факт использования терминов коллоидной химии, традиционно изучающей высокодисперсные системы на основе поверхностных явлений, предопределил целесообразность применения в нанохимии и нанофизике теоретических концепций коллоидной химии [10]. Вместе с тем для развития наших представлений о наносостоянии вещества не обойтись без новых концепций. Дело в том, что мы еще далеки даже от создания «моделей нанокристаллического состояния, позволяющих дать его описание, адекватное реальности» [2, с. 81]: «... до сих пор материаловедческие проблемы чаще решают эмпирическим путем» [12, с. 307]. Далеко не очевидно, что можно вообще разработать теорию наносостояния вещества, исходя из известных принципов квантовой механики и статистической физики.
В подобных ситуациях обьгчно полезна многовариантная стратегия научного поиска, основанная на альтернативных подходах. Для их сравнения целесообразно использовать строго доказанные утверждения. Рассмотрим одно из них. Речь идет о числе различных наносистем**) фиксированного химического состава.
О многообразии наносистем. Современные экспериментальные методы позволили обнаружить и изучить самые разнообразные структурные элементы наносистем -нульмерные, одномерные, двумерные, трехмерные, фрактальные и всевозможные их комбинации. В настоящее время нет общепризнанного подхода для объяснения все-
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 04-03-33049), программы Министерства образования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (грант № 01.01.056) и программы «Интеграция» (грант Л'» Б0028).
Будем считать, что наносистема образована некоторым множеством наночастиц (нанофрагмен-тов). Для числа N элементов этого множества справедливо неравенство N > 1.
© М. Д. Бальмаков, 2005
го многообразия наносистем. Оно практически безгранично [6]. Это непосредственно следует из простой асимптотической формулы [13]
G ~ exp(/JnM) при М оо (1)
для числа G различных многоатомных систем, имеющих одинаковый химический состав и состоящих из М атомов. Здесь неотрицательный параметр j3n, называемый удельной информационной емкостью [4], зависит от относительных концентраций щ атомов каждого вида, точнее от концентраций щ изотопов каждого вида*). Компоненты щ вектора п удовлетворяют условию нормировки
Х> = 1. (2)
г
. Формула (1) строго выводится из аналогичной формулы для числа минимумов адиабатического электронного терма [4]. Поясним физическую суть асимптотического соотношения (1), исходя из известного принципа пространственного ослабления корреляций между группами частиц по мере удаления групп .друг от друга [15]. Когда расстояния между ними велики, они становятся статистически независимыми. Это справедливо и для достаточно больших фрагментов многоатомной системы. В данном приближении число G различных структурных модификаций системы равно произведению аналогичных чисел для ее фрагментов. С учетом этого сравнительно просто получается экспоненциальная зависимость (1).
Численные значения удельной информационной емкости ¡Зп (1) обычно отличаются от In2 т 0,69 меньше чем на порядок. Интервал [О, В-1)] изменения параметра (Зп
О < < В« (3)
сравнительно мал. Полуэмпирическая оценка постоянной вт в (3), определяющей _ точную верхнюю границу величин удельной информационной емкости /Зп, такова [4]
В(1) « 3. (4)
Согласно (1), число G различных наносистем фиксированного (n = const) химического состава экспоненциально быстро возрастает с увеличением числа М атомов. Даже для сравнительно малого по сравнению с оценкой (4) значения параметра /Зп — 0,02 и М = 104 величина G ~ 7 • 1086 значительно превышает постоянную Авогадро. Вот почему «библиотека» всевозможных наносистем, состоящих из десяти тысяч атомов (М « 104), должна иметь космические масштабы [13]. Фактически такая «библиотека» является «виртуальной».
Иначе говоря, нам никогда не удасться просинтезировать все наносистемы. Экспериментально можно исследовать лишь отдельные «избранные» наносистемы. Потенциальная возможность реализации экспоненциально большого числа G различных наносистем затрудняет осуществление воспроизводимого на микроскопическом уровне синтеза требуемой наносистемы. Не так просто получить ее точную копию [4], особенно в том случае, когда велика вероятность реализации «ближайших» структурных модификаций, отличных от требуемой. Вот почему воспроизводимость является одной из центральных проблем нанотехнологии [16].
Данное уточнение важно для задач изотопической инженерии [14].
Рис. 1. Атомная структура фрагмента нанокристал-лической системы, состоящей из атомов одного вида.
о - атомы, принадлежащие кристаллитам; • - атомы меж-кристаллитйых границ.
Как правило, большинство наносистем одного и того же химического состава {М, п} имеет близкие аддитивные свойства. Достаточно изучить одну из них, чтобы судить об остальных. Вместе с тем есть и «особые» наносистемы. Их свойства заметно отличаются от среднестатистических и могут быть уникальны по сравнению как с макромолекулами, так и с компактными материалами. В силу своей уникальности именно такие наносистемы представляют наибольший интерес для нанотехнологии.
Среди всех наносистем «особые» составляют меньшинство. Впрочем, их число хотя и меньше <7 (1), нередко также экспоненциально велико. Последнее означает, что как и (7, оценивается правой частью соотношения (1), только вместо /5П надо использовать параметр $ [13], отвечающий г—му многообразию наносистем. Параметр в^п не может быть больше удельной информационной емкости /Зп
№<Рп, (5)
что непосредственно следует из (1) и неравенства < С.
В качестве простейшего примера «особых» систем приведем компактные нанок-ристаллические материалы, состоящие из атомов одного вида [2]. В данном случае численное значение ¡Зп ^ определяется размерами й кристаллических зерен (кристаллитов), протяженностью и строением межкристаллитных границ раздела, количеством и размерами нанопор (рис. 1).
Подобного рода детализация не нужна для расчета удельной информационной емкости /?п. Главный вклад в ее численное значение обычно вносят неупорядоченные (аморфные) структуры [17]. Последние, в частности, реализуются в расплаве того же самого химического состава. Это позволяет получить следующую полуэмпирическую оценку [17]:
Рп
0,503
■I т
(б)
где Тт - температура плавления (К); д - теплота плавления, отнесенная к одному молю атомов (кал-моль-1); ДС - скачок теплоемкости при плавлении, отнесенный
к одному молю атомов, (кал-моль-1 К-1). Для ¡3^ в (5) не существует столь же универсального соотношения, как (6). Все зависит от того, каков конкретно г-й набор свойств, позволяющий выделить из всевозможных наносистем г-е многообразие.
В частности, это могут быть нанокристаллические материалы без нанопор*) одинакового химического состава. Их свойства зависят главным образом от вариаций взаимного расположения кристаллических зерен и их размера <1. Таких вариаций при фиксированном числе М атомов, очевидно, становится меньше по мере увеличения ё. Это означает, что при прочих равных условиях с ростом в, уменьшается число рассматриваемых нанокристаллических систем, и, следовательно, понижается величина параметра ¡3$. Данная закономерность приближенно описывается соотношением
А«м> - т
вывод которого основан на предположении, что структура рассматриваемых наносистем преобразуется подобным образом при изменении размера кристаллических зерен.
Численное значение параметра в, можно варьировать в широких пределах, меняя методы и режимы получения наноматериалов. Так, для компактного нанокристалли-ческого палладия (пс-Рё [2]) размер в, зерен составляет от б до 150 нм. Соответствующие величины параметра (3^ , согласно (7), отличаются друг от друга на четыре порядка.
Наносистемам с уникальными свойствами, как правило, отвечают достаточно малые параметры /Зп ^ (5). Их численные значения могут быть на порядки меньше удельной информационной емкости (Зп (1)**^. Знать конкретно, насколько ¡3$ меньше /Зп, необходимо для оценки роли случайного фактора при синтезе «особых» наносистем. Действительно, их доля 7 в ансамбле всевозможных многоатомных систем данного химического состава {М, п} (2)
7 = а({)/<?~ехр[-(/Зп-/3£))М] _>0 при М оо (8)
экспоненциально быстро убывает по мере увеличения числа М атомов. Когда М достаточно велико, практически невозможно из этого ансамбля случайным образом с первой попытки выбрать «особую» наносистему. Чтобы добиться желаемого, процедуру выбора надо повторять многократно. Точнее, число Nerg повторений должно удовлетворять неравенству
^ег87>1, (9)
при выполнении которого вероятность выбрать хотя бы один раз «особую» наносистему заведомо больше 0,63 [18]***).
Спрашивается, как поступать, когда нельзя добиться в эксперименте выполнения неравенства (9)? В этом случае синтезу интересующей нас наносистемы «мешает» энтропийный фактор, обусловленный потенциальной возможностью реализации экспоненциально большого числа (1) других наносистем того же'химического состава {М, п}. «Нейтрализовать» данный фактор можно за счет соответствующей информации.
Плотность нанокомпактных материалов может достигать 97% плотности соответствующего идеального кристалла [2]. В таких материалах, очевидно, мало нанопор, и их наличием можно пренебречь.
""^Наносистема с конкретным набором уникальных свойств может быть единственной. В этом случае = 0.
***^3десь предполагается, что вероятность одноразового выбора «особой» наносистемы равна 7 (8).
Информационный аспект структурной организации наносистем. Управление и контроль на микроскопическом уровне химическими процессами требуются для решения многих проблем нанотехнологий, прежде всего тиражирования наносистем. Для этого, очевидно, достаточно разработать методы, позволяющие получать точные копии [4] интересующих нас наносистем.
Копирование представляет собой информационный процесс. Осуществить его в принципе нельзя без должной информации об исходной наносистеме. Так или иначе при тиражировании наносистем приходится на микроскопическом уровне управлять их синтезом (химической сборкой) из определенных элементов - отдельных атомов, молекул, наночастиц и т.д. Всякое управление невозможно без обмена информацией и наличия иерархической организации.
Какова же иерархия структурных элементов, образующих наносистему? Каковы эти элементы? Из каких элементов лучше всего синтезировать требуемую наносистему? При каких условиях реализуется самоорганизация наносистем в иерархические структуры по принципу «снизу вверх» благодаря целенаправленным локальным воздействиям? Когда информационное взаимодействие кардинально меняет ход эволюции и способствует самоорганизации наносистемы? Каковы оптимальные пути синтеза интересующей нас наносистемы? Можно ли осуществить переход под действием света нанокристаллов в ферромагнитное состояние?
На поставленные вопросы вряд ли существуют простые и вместе с тем исчерпывающие ответы. Многое зависит от исходной информации о копируемой наносистеме. Скорее всего, исчерпывающие ответы представляют собой пока неизвестные нам алгоритмы большого размера, реализация которых предполагает использование большого количества исходной информации.
Полная информация о копируемой наносистеме прежде всего должна содержать данные о ее структуре. Для осуществления воспроизводимого на микроскопическом уровне синтеза обычно достаточно разработать методику, позволяющую многократно получать одну и ту же структуру. Информация о ней в рамках классической физики закодирована в компонентах вектора Н^)
К(М)=(Г1,Г2,...,Г;,...,ГМ), (Ю)
где
Тг = (Хг,Уг,гг,М{), (11)
здесь х^у^г^ - декартовы координаты г-го ядра элемента (изотопа) системы из М атомов, номер Л^ задает вид этого ядра.
Таким образом, структура и химический состав {М, п} любой системы определяются соответствующим вектором Ы/м)(10). Координаты (жг-, Х{ ) (11) атомных ядер могут, вообще говоря, принимать любые значения, как, например, в случае одноатомного идеального газа. Поэтому множество всевозможных физически неэквивалентных конфигураций не является даже счетным. Оно имеет мощность континуума.
Гораздо меньше равновесных конфигураций. Их счетное множество. Им отвечают минимумы 'к\М"> адиабатических электронных термов и^рДвижение атомных ядер многоатомной системы обычно локализовано вблизи данных минимумов. В
*)Речь идет о собственных [19] минимумах адиабатических электронных термов 11^)) как функций декартовых координат (11), удовлетворяющих условиям х\ = уг = = Х2 = У2 = хз = 0, 22 > 0, уз > 0. Последние учитывают неизменность каждой функции при любых па-
силу последнего многие равновесные конфигурации могут самопроизвольно со-
храняться в течение длительного промежутка времени. Такие равновесные конфигурации определяют структуры стабильных многоатомных систем.
Проблема их синтеза была бы окончательно решена, если бы была известна методика получения любой наперед заданной конфигурации (10) атомных ядер. Спрашивается, можно ли в принципе разработать такую методику?
Оптимизм внушают следующие высказывания лауреата Нобелевской премии Р. Ф. Феймана: «Манипуляция атомами, в принципе, вполне реальна и не нарушает никаких законов природы... Как только физики создадут устройства, способные оперировать отдельными атомами, многие методы традиционного химического синтеза могут быть заменены приемами "атомной сборки"... Развитие техники манипуляции на атомарном уровне (а я убежден, что этого нам просто не избежать) позволит решить многие проблемы химии и биологии... » [20, с. 6].
В плане обсуждения рассматриваемой проблемы полезно представление о гипотетическом устройстве - конфигурационной машине, в работе которой следует различать два аспекта: материальный и идеальный [21]. Первый связан с экспериментальной методикой, позволяющей .менять по заранее заданным траекториям координаты (см. (И)) атомных ядер; второй - с программой работы конфигурационной машины, т.е. с информацией, которая не материальна. В частности, это может быть информация, однозначно определяющая вектор К^) (Ю). В практическом плане так поступать можно далеко не всегда. Например, в случае идеального кристалла число компонент г, (И) вектора (10) бесконечно (М = оо). Представить их в виде таблицы конечных размеров, очевидно, нельзя. Впрочем, это фактически и не требуется.
Действительно, в силу трехмерной периодичности вся структура (10) иде-
ального кристалла задана, если известна структура^ фундаментальной области - элементарной ячейки. Такое описание вектора основано на алгоритмической информации [22]. В рассматриваемом случае она представляет собой наиболее короткую компьютерную программу, с помощью которой можно рассчитать любой компонент г* (11) вектора И^00^ (Ю), исходя из данных о строении элементарной ячейки.
Существует ли подобного рода программа для любой многоатомной системы? Какова ее фундаментальная область? Что можно сказать о структуре Н^) и свойствах всей системы из М атомов (рис. 2), основываясь на данных о строении малого
фрагмента из т атомов (т < М)?*^
Перечисленные вопросы - лишь часть проблемы структурной организации вещества. Разумеется, ее решение не сводится только к заданию численных значений ко-
раллельном переносе и повороте многоатомной системы как целого, когда не меняется взаимное расположение атомных ядер. Различные стационарные квантовые состояния электронной подсистемы нумеруются индексом }-. Его изменение необходимо учитывать, например, при описании микроскопического механизма перехода под действием света нанокристаллов в ферромагнитное состояние.
Число различных физически неэквивалентных минимумов адиабатического электронного терма отвечающего основному состоянию электронной подсистемы (у = 0), также оценивается с помощью асимптотической формулы (1). Только в этом случае вместо параметра /Зп используется соответствующий параметр ап [4].
*)Ответы на поставленные вопросы неоднозначны. Так, из локальной информации о структур« фрагмента, вообще говоря, не следует глобальная информация о структуре ЯМ всей системы. Вместе с тем структура и свойства однородной системы в значительной мере определяются строением ее одного фрагмента диаметром порядка длины однородности [17]. Данные о таком фрагменте позволяют построить функции радиального распределения. С их помощью можно в принципе рассчитать большинство аддитивных свойств многоатомной системы.
Рис. 2. Система, состоящая из М атомов, и ее фрагмент из т атомов.
о и • - области локализации атомных ядер двух разных видов.
ординат (10), (11). Важны алгоритмы получения искомых структур*). Это могут быть, например, алгоритмы химической сборки [23], определяющие различные последовательности присоединения к формирующейся наносистеме тех или иных атомов, молекул, структурных единиц [17], наночастиц, нанофрагментов и т.д.
Биологические системы, осуществляющие копирование необходимых им многоатомных систем, фактически «разработали» такого рода алгоритмы. Закодированы они в структуре соответствующих нанофрагментов, например, в последовательности нукле-отидов, из которых состоит ДНК. Данная информация необходима для реализации на микроскопическом уровне управления химическими процессами. Кроме того, требуется соответствующее иерархическое строение. Одни нанофрагменты «управляют» другими.
Примечательно, что «биологическая» конфигурационная машина функционирует, ничего «не зная» о квантовомеханических уравнениях. Следовательно, не только на языке квантовой теории возможно «запоминание» (кодирование) информации, принципиально необходимой для создания точных на микроскопическом уровне копий [4] многоатомной системы. Последнее существенно, если учесть, что мы, как правило, имеем не точные решения основополагающих уравнений, а лишь некоторые аппроксимации, качество которых часто оставляет желать лучшего.
Конечно, «биологическая» конфигурационная машина может копировать не все, а лишь некоторые конфигурации. Другие конфигурации создает игла сканирующего туннельного микроскопа, которая «способна "капать" любые атомы, в любом числе на любые грани, ребра, террасы любого кристалла ...» [6, с. 105]. Путем таких манипуляций уже синтезирован ряд нанокластеров [7]. А как быть с остальными конфигурациями? Является ли разрешимой в общем случае проблема технического создания конфигурационной машины, позволяющей фиксировать произвольную конфигурацию (10)?
*) Такого рода алгоритм можно трактовать как одну из программ, задающих работу конфигурационной машины. Если, кроме того, использовать подпрограмму - генератор случайных: чисел, то можно моделировать статистический фактор в процессе синтеза и самоорганизации наносистем [18].
Прежде чем ответить на данный вопрос, целесообразно сначала разработать методики, предназначенные для многократного воспроизводства того или иного класса равновесных конфигураций. Одна из таких методик упомянута выше. Она использует сканирующий туннельный микроскоп.
Каждой такой методике можно сопоставить программу, с помощью которой конфигурационная машина повторяет на микроскопическом уровне процессы, реализующиеся при копировании многоатомной системы. Суть каждой такой методики фактически закодирована в соответствующей программе.
Протекающие при синтезе микроскопические процессы могут быть повторены конфигурационной машиной, если имеется соответствующая программа ее работы. Такая программа (алгоритм) фактически задает некоторый класс структур {Н^} (10), (11). Данное обстоятельство может быть использовано для классификации наносистем.
Следовательно, в основу классификации наносистем может быть положена алгоритмическая информация [22]. Она определяет не только суть метода синтеза, но и структурную организацию соответствующего класса наносистем. Последнее служит обоснованием целесообразности классификации наносистем, исходя из методов их получения [9] или же из алгоритмической информации.
Заключение. Наши знания о природе наносостояния вещества еще весьма ограничены. В данной области прикладные исследования опережают фундаментальные, что сдерживает разработку теоретических основ конструирования материалов с заданными составом, строением и свойствами.
Фактически, мы находимся на начальном этапе создания теории наносостояния вещества. Еще немало «подводных камней» на пути решения этой проблемы. По всей видимости, не обойтись без принципиально новых концепций. В частности, необходимо учитывать информационный аспект наносостояния вещества, важность которого еще не до конца осознана.
Действительно, традиционные подходы, как правило, отдают предпочтение не индивидуальным состояниям многоатомной системы, а их ансамблю. Дело в том, что обычно усредненные по ансамблю значения аддитивных физических величин практически совпадают с соответствующими характеристиками для большинства состояний. Остальные - это флуктуации. Встречаются они сравнительно редко. Кроме того, во многих случаях их времена жизни малы. Потому часто ими вообще пренебрегают. Такой подход позволяет обойтись минимумом информации для задания термодинамически равновесного состояния. Достаточно знать объем, температуру и химический состав {М, п} (2). Дополнительная информация, скажем, о способе достижения термодинамически равновесного состояния не требуется. Свойства термодинамически равновесной системы вообще от этого не зависят.
Ситуация совсем иная в случае наносистем. Как правило, они термодинамически неравновесны. Необходимо гораздо больше информации для однозначного определения интересующей нас наносистемы*). Это могут быть данные о структуре либо
Химический, точнее изотопный, состав {М, п} (2) однозначно определяет молекулу, состоящую из нескольких атомов. Так, из одного атома кислорода и двух атомов водорода можно получить только молекулу НгО. В данном случае левая часть соотношения (1) С — 1. Поэтому информации {М — 3, пн = 2/3, по = 1/3} удовлетворяют только изолированные молекулы воды, которые являются точными копиями друг друга [4]. Для сравнения, информации {М = 30 ООО, пн = 2/3, по = 1/3} соответствует, в частности, экспоненциально большое число б (1) ассоциатов молекул воды, различающихся по своей структуре И*30000) (10), (11). Для задания структуры В,(3000°) каждого такого ассоциата требуется дополнительная информация.
другая альтернативная информация, например о методике, позволяющей многократно получать точные копии искомой наносистемы.
Закодированная в компонентах вектора RM (10), (11) информация о структуре наносистемы и информация о методе ее получения не эквивалентны друг другу. Зная все о структуре, мы далеко не всегда умеем ее воспроизвести. Какой же информации следует отдать предпочтение?
На первый взгляд, разработка метода синтеза определенного класса наносистем, скорее всего, не фундаментальная, а техническая проблема. Впрочем, до ее решения, вообще говоря, не существует даже единственного экземпляра интересующей нас наносистемы. Она «виртуальна» и остается таковой, пока не разработана и не применена методика ее получения. Переход от виртуального к реально существующему по своей сути фундаментален.
Здесь уместно привести основной принцип конструктивизма: существовать - значит быть построенным [24]. Любое построение осуществляется по некоторому алгоритму. Нельзя получить искомую структурную модификацию многоатомной системы без соответствующей алгоритмической информации, которая учитывает детали микроскопического механизма информационного взаимодействия.
Summary
Bafmakov М. D. Algorithmic approach to the problem of control of matter's nanostate structure.
One of the first quantum mechanics principle is analyzed - the information aspect of matter's nanostate. It is shown that the description of structure of nanosystems can be based on the algorithmic information. Special attention is given to the problem of nanosystem classification.
Литература
1. Шека E. Ф. //Русск. хим. журн. 2002. Т. 46, № 5. С. 15-21. 2. Гусев А. И. //Успехи физ. наук. 1998. Т. 168, № 1. С. 55-83. 3. Анисимов С. И., Лукъянчук B.C. //Успехи физ. наук. 2002. Т. 172* № 3. С. 301-333. 4. Бальмаков М. Д. //Успехи физ. наук. 1999. Т. 169, № 11. С. 1273-1280. 5. Андриевский Р. А. //Успехи химии. 1994. Т. 63, № 5. С. 431^48. 6. Буча-ченко А. Л. //Успехи химии. 1999. Т. 68, № 2. С. 99-118. 7. Рубин С. П. //Русск. хим. журн. 2000. Т. 44, № 6. С. 23-31. 8. Сумм В. Д., Иванова Н. И. //Успехи химии. 2000. Т. 69, № 11. С. 995-1008. 9. Суздалев И. П., Суздалев П. И. //Успехи химии. 2001. Т. 70, К« 3. С. 203-240. 10. Русанов А. И. Мицеллообразование в растворах поверхностно-активных веществ. СПб., 1992. 11. Уваров Н. Ф., Болдырев В. В. //Успехи химии. 2001. Т. 70, № 4. С. 307-329. 12. Лазоряк Б. И. //Успехи химии. 1996. Т. 65, JY« 4. С. 307-325. 13. Бальмаков М. Д. //Журн. общ. химии. 2002. Т. 72, вып. 7. С. 1094-1102. 14. Плеханов В. Г. //Успехи физ. наук. 2000. Т. 170, JV« 11. С. 1245-1252. 15. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. М., 1977. 16. Помогайло А. Д., Розенберг А. С., Уфлянд И. Е. Наночастицы металлов в полимерах. М., 2000. 17. Бальмаков М. Д. Стеклообразное состояние вещества. СПб., 1996. 18. Bal'makov М. D. //Glass Phys. and Chem. 2002. Vol. 28, N 6. P. 437-440. 19. Фихтенголъц Г. M. Основы математического анализа: В 3 т. М., 1964. Т. 1. 20. Фейман Р. Ф. //Русск. хим. журн. 2002. Т. 46, № 5. С. 4-6. 21. Bal'makov М. D. //Glass Phys. and Chem. 2003. Vol. 29, N 6. P. 589-595. 22. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. М., 1997. 23. Алесковский В. Б. Химия надмолекулярных соединений. СПб., 1996. 24. Гейтпинг А. Интуиционизм / Пер. с англ.; Под ред. А. А. Маркова. М., 1965.
Статья поступила в редакцию 23 ноября 2004 г.
