Научная статья на тему 'Алгоритмическая реализация s-боксов на основе модифицированных аддитивных генераторов'

Алгоритмическая реализация s-боксов на основе модифицированных аддитивных генераторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

47
3
Поделиться
Ключевые слова
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АДДИТИВНЫЙ ГЕНЕРАТОР / МАГ / S-БОКС / РЕГИСТР СДВИГА / MODIFIED ADDITIVE GENERATOR / MAG / S-BOX / SHIFT REGISTER

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фомичев Владимир Михайлович, Лолич Дамир Мурадифович, Юзбашев Артём Владимирович

Предложен алгоритмический способ реализации s-боксов (в том числе большого размера) на основе модифицированных аддитивных генераторов (МАГ). Свойства полученных подстановок обоснованы как с помощью алгебраических и перемешивающих свойств МАГ, так и с помощью эксперимента на ЭВМ. Проверены следующие свойства сгенерированных подстановок: 1) совершенность (существенная зависимость координатных функций от всех переменных; 2) нелинейность всех нетривиальных линейных комбинаций координатных функций; 3) близость максимальной разностной характеристики к максимальной разностной характеристике случайной подстановки. С использованием МАГ и нескольких отобранных s-боксов 4 х 4 сгенерированы и исследованы около 219 s-боксов 8 х 8. Почти все они имеют свойства 1 и 2. Для большого количества (несколько тысяч) построенных s-боксов 8 х 8 максимальная разностная характеристика равна 10/256 и для четырёх s-боксов 8/256. Данный подход позволяет строить s-боксы большего размера.

S-boxes algorithmic realization based on modified additive generators

S-boxes give the properties of non-linearity and diffusion to cryptosystems and are essential parts of symmetric iterative block ciphers. Usually, they are described as vector Boolean functions and are represented by a memory-consuming tables limiting the practical size of them (6 x 4 bits in DES cypher, 4 x 4 bits in GOST cypher, 8 x 8 bits in Kuznyechik cypher). In this paper, we present an algorithm for constructing s-boxes (including large ones) using modified additive generators (MAG). The required cryptographic properties of the created substitutions follow from algebraic and mixing properties of MAG and are determined in experiments with a software implementation of the algorithm. Each created substitution s on Vn is tested to determine whether it has the following desirable properties: 1) essential dependence of coordinate functions of s on all their variables; 2) non-linearity of all the non-zero combinations of the coordinate functions of s; 3) nearness of the difference characteristics ps to a random value, where ps = max |{x G V8 : s(x) ф s(x ф a) = в}|. As a result of the research, 219 s-boxes 8 x 8 were created using MAG with several selected s-boxes 4 x 4. Almost all of them satisfy requirements 1 and 2. For a large number (several thousands) of constructed s-boxes 8 x 8, ps = 10/256, and four s-boxes have ps = 8/256. The results show that the presented method is capable of constructing large and crypto-graphically strong s-boxes.

Текст научной работы на тему «Алгоритмическая реализация s-боксов на основе модифицированных аддитивных генераторов»

УДК 519.1

DOI 10.17223/2226308X/10/41

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ s-БОКСОВ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ АДДИТИВНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ1

В. М. Фомичев, Д. М. Лолич, А. В. Юзбашев

Предложен алгоритмический способ реализации з-боксов (в том числе большого размера) на основе модифицированных аддитивных генераторов (МАГ). Свойства полученных подстановок обоснованы как с помощью алгебраических и перемешивающих свойств МАГ, так и с помощью эксперимента на ЭВМ. Проверены следующие свойства сгенерированных подстановок: 1) совершенность (существенная зависимость координатных функций от всех переменных; 2) нелинейность всех нетривиальных линейных комбинаций координатных функций; 3) близость максимальной разностной характеристики к максимальной разностной характеристике случайной подстановки. С использованием МАГ и нескольких отобранных з-боксов 4 х 4 сгенерированы и исследованы около 219 з-боксов 8 х 8. Почти все они имеют свойства 1 и 2. Для большого количества (несколько тысяч) построенных з-боксов 8 х 8 максимальная разностная характеристика равна 10/256 и для четырёх з-боксов— 8/256. Данный подход позволяет строить з-боксы большего размера.

Ключевые слова: модифицированный аддитивный генератор, МАГ, в-бокс, регистр сдвига.

Критически важные узлы замены симметричных итеративных блочных шифров (s-боксы), обеспечивающие нелинейность и полное перемешивание входных данных, задаются, как правило, таблично и реализуют отображения двоичных векторных пространств малой размерности (6x4 битов в алгоритме DES, 4x4 битов в ГОСТ 28147-89, 8 x 8 битов в алгоритме «Кузнечик»). Размер s-боксов ограничен в силу ресурсоёмко-сти их табличной реализации по размеру памяти и времени.

Для построения s-боксов использованы МАГ длины 3 с точками съёма 0 и 2 и МАГ длины 4 с точками съёма 0 и 3 [1].

Обозначим: X0,... , Xn-i —знаки начального состояния МАГ длины n (числа кольца вычетов Z256; b — биекция, определяющая двоичное 8-разрядное представление числа X G Z256 по правилу: если X = 27x0 +... + 2x6 + x7, то b(X) = X = (x0,..., x7) G V8; g — преобразование множества V8 (модификация аддитивного генератора); ф9 — преобразование регистра сдвига длины n над V8, реализуемое МАГ:

Перемешивающий орграф Г(ф9) преобразования ф9 имеет 8п вершин, где разрядам числа X соответствует множество вершин {8г, 8г + 1,..., 8г + 7}, г = 0,..., п — 1.

Преобразование ф9 —подстановка, если и только если д — подстановка [1]. Знаки гаммы Хг, генерируемые МАГ, образуются по закону рекурсии

При фиксации переменных Xо = z0,... ,Хп-2 = zn_2 реализуемая в соответствии с (1) функция Xп-1 ^ Xп-1+ при любом I ^ 1 есть преобразование множества У8.

1. Построение подстановок с помощью МАГ

ф9(Xо,..., Xn_i) = (X!,..., Xn_i, bg((Xo + Xn-i) mod 256)).

Xi = bgb-i((Xi-i + Xi-n) mod 256), i ^ n.

(1)

Математические методы криптографии

103

Для краткости обозначим это преобразование s(1)(z,x), где z = (z0,...,zn-2) G V8(n-1),

x = O^ . . . , x7) = Xn-1-

Теорема 1. Пусть 0, n — 1 — точки съёма МАГ, g — подстановка. Тогда при l = 1,... ,n — 1 и при любой фиксации z преобразование s(1)(z,x) есть подстановка множества V8.

2. Способ построения подстановок

Для построения s-боксов размера 8 х 8 использованы s-боксы 4 х 4 и модификации g(x0,...,x7) = (K(x0 ф x4,x1 ф x5,x2 Ф x6,x3 ф x7),K(x0,x1 , x2,x3)), где K G {K1,..., K8, E1,..., E8,11,..., /8}, Ki — узлы замены ГОСТ 28147-89 [2], Eh I — узлы шифра Serpent [3], i = 1,... , 8. Каждому узлу замены соответствует 28(n-1) подстановок вида s(1)(z,x), l = 1,...,n — 1. Перемешивающие свойства подстановок оценены с помощью локального экспонента [4].

Теорема 2. Пустьg(x0,...,x7) = (K(ж0фж4,ж1фж5,ж2фж6,ж3фж7),K(x0,x1,x2,x3)), где K — совершенный s-бокс 4 х 4; 0 и n — 1 — точки съёма МАГ. Тогда при J = = {8n — 8, 8n — 7,..., 8n — 1} локальный экспонент J2-exp Г = 2.

3. Экспериментальное исследование свойств сгенерированных подстановок

С помощью теорем 1 и 2 сделан обоснованный выбор параметра l = 2 при n = 3 и l = 3 при n = 4. С помощью программной реализации МАГ на ЭВМ для каждого узла замены получены все 216 подстановок при n = 3 и 219 подстановок (выборочно) при n = 4. Для каждой подстановки s с координатными функциями s1,... , s8 проверены следующие свойства:

1) совершенность (существенная зависимость функции Sj от переменных xi, i, j = = 1,..., 8;

2) нелинейность всех нетривиальных линейных комбинаций функций s1,... , s8;

3) близость максимальной разностной характеристики ps к максимальной разностной характеристике случайной подстановки, где ps = max |{x G V8 :

s(x) ф s(x ф a) = в}|.

Установлено, что свойства 1, 2 имеют большинство подстановок (при n = 3 не имеют 1088 подстановок, соответствующих узлу /1, и менее 400 — любому другому узлу).

Характеристика ps подстановок при n = 3 принимает значения (10 + 2k)/256, k = = 0,1,... , 15. В табл. 1 приведено число полученных при n = 3 подстановок s, для которых ps = 10/256.

Таблица 1

Число подстановок со свойствами 1, 2 и характеристикой ps = 10/256, n = 3

Узлы замены Ki K2 К K4 K5 Кб К7 Kg Ei E2 E3 E4 E5 Еб Ег Eg h I2 Is I4 I5 1б I7 Ig

Число подстановок 44 24 68 100 24 48 84 48 32 12 20 128 152 140 4 64 104 116 8 160 92 124 44 80

При п = 3 посчитано, что обратные подстановки (к каждой подстановке табл. 1) обладают свойствами 1, 2 и их разностная характеристика р3 также равна 10/256.

При п = 4 характеристики р3 подстановок принимают значения (8 + 2к)/256, к = = 0,1,...; в табл. 2 приведены количества подстановок для к = 0 и 1.

Сравним характеристики р3 у полученных и известных з-боксов размера 8 х 8 (табл.3). Видим, что характеристики р3 полученных с помощью МАГ подстановок з

Таблица 2

Число подстановок со свойствами 1, 2 и характеристикой

Ps е {8/256,10/256}, n = 4

Ps Узлы замены, использованные в МАГ

Ki K2 K3 K4 K5 Кб Кг Kg

8/256 0 2 0 0 0 0 0 2

10/256 18615 19968 20309 19921 20107 18898 18506 19807

близки по порядку к характеристике 6/256 наилучших на сегодняшний день з-бок-сов [5]. Заметим, что величина р = 10/256 соответствует большому количеству случайных подстановок степени 256 и не превышает их среднего значения [5, табл. 1].

Таблица 3

Сравнение характеристик ps для s-боксов известных алгоритмов

Алгоритм «Skipjack» «Кузнечик» s-боксы работы [5] s-боксы табл. 1 и 2

Ps 12/256 8/256 6/256 8/256,10/256

Выводы

Алгоритмический подход позволяет построить с использованием МАГ и s-боксов 4 х 4 большое количество s-боксов 8 х 8 с рядом позитивных криптографических свойств. Представляется перспективным совершенствование характеристик s-боксов 8 х 8 за счёт изменения параметров схемы построения и исследование вопросов синтеза s-боксов больших размеров (16 х 16, 32 х 32 и др.).

ЛИТЕРАТУРА

1. Коренева А. М., Фомичев В. М. Перемешивающие свойства модифицированных аддитивных генераторов // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2017. T.24. №2. С. 47-67.

2. Рекомендации по стандартизации. Задание узлов замены блока подстановки алгоритма шифрования ГОСТ 28147-89. М., 2013.

3. Anderson R., Biham E., and Knudsen L. R. Serpent: A Proposal for the Advanced Encryption Standard. NIST AES Proposal, 1998.

4. Фомичев В. М., Кяжин С. Н. Локальная примитивность матриц и графов // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2017. T.24. №1. С. 97-119.

5. Menyachikhin A. Spectral-linear and spectral-difference methods for generating cryptographi-cally strong S-boxes // CTCrypt Preproceedings. Yaroslavl, 2016. P. 232-252.

УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/10/42

О ПОСТРОЕНИИ S-БОКСОВ РАЗМЕРА 4 х 41

В. М. Фомичев, П. В. Овчинников

Предложен и реализован метод построения всех s-боксов размера 4х4, для которых выполнены следующие криптографические свойства: 1) биективность; 2) отсутствие неподвижных точек; 3) нелинейность всех нетривиальных линейных комбинаций вида координатных функций; 4) значение разностной характеристики Ps