Алгоритм выделения ядер в нечетких графах на основе моделирования эволюции Текст научной статьи по специальности «Математика»

предложенного Конструктора при выборе генетических операторов для оптимизации функций Розенброка и Растригина представляются следующим образом.

ГА для оптимизации функции Растригина имеет следующие параметры: размер популяции - 82; вид отбора - элитный; тип мутации - инве рсия; вероятность мутации - 0.05; выбор родительской пары - дальнее родство на генотипе; кроссин-говер - рекомбинация; количество итераций - 22.

ГА для оптимизации функции Розенброка: размер популяции - 41; вид отбора

- с огран ичением; тип мутации - ген ная; вероятность мутации - 0.44; выбор родительской пары - ближнее родство на генотипе; кроссинговер - 2-х точечный; количество итераций - 15.

Применение полученных с помощью Конструктора параметров ГА, используемых для оптимизации функций Розенброка позволило сократить число итераций ~ до k=10-15 (по сравнению с k=25 в предыдущих экспериментах) и Растригина до k=20-25 (по сравнению с k =50) при той же точности.

4. Заключение. Проведенные исследования показали, что автоматический подбор параметров ГА с помощью Конструктора при решении конкретных задач , -ритмы, позволяющие уменьшать время сходимости и повышать вероятность нахо-.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Состояние. Проблемы. Перспективы// Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. №1.

2. Practical Handbook of Genetic Algorithms // Ed. By I.Chambers. Washington. USA, CRC Press. 1999.

3. Комарцова Л.Г. Двухэтапный алгоритм обучения нейронной сети на основе генетиче-

// . . .: . 2001.

1.

4. . .

// . .: -

ностроение. 2000. №5.

5. Рекпейтис А., Рейвиндран А. и др. Оптимизация в технике. В 2-х кн. М.: Мир. 1988.

6. Батищев ДМ., Исаев С.А. Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетического алгоритма //http://www.chat.ru/~saisa/index.html.

7. Пападимитриу Х.,Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность.

.: , 1985.

УДК 681.3.06

Л.А. Гладков, Е.В. Корнюшенко, Е.В. Маслов АЛГОРИТМ ВЫДЕЛЕНИЯ ЯДЕР В НЕЧЕТКИХ ГРАФАХ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ*

При решении различных практических задач особое место занимают оптимизационные задачи, основанные на классических графовых алгоритмах, таких, на,

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 02-01-01275

графах, т.е. графах, ребра которых имеют дополнительные веса, находящиеся в диапазоне от 0 до 1. Числовые значения этих весов задаются в зависимости от вероятности существования ребра в графе или ценности данной связи относительно некоторого заранее заданного критерия (целевой функции). Нечеткие графы и гиперграфы применяются при разработке и проектировании ЭВА, в различных областях искусственного интеллекта (задачи классификации, принятия решений, ).

Пусть О = (X, и) - неориентированный граф без петель, где X - множество вершин графа, |Х| = п, а И - множество ребер, |И| = т. Если две любые вершины подмножества графа О не смежны, то оно называется внутренне устойчивым /1/. Подмножество вершин графа называется независимым подмножеством, если добавление к нему любой вершины делает его не внутренне устойчивым.

Минимальное подмножество вершин графа О, связанных со всеми остальными вершинами этого графа, называется доминирующим подмножеством.

Ядром графа называется такое подмножество вершин графа, которое является одновременно и независимым и доминирующим.

Применительно к нечетким графам наличие или отсутствие связей между вершинами графа достаточно условно и зависит от числовой характеристики (вероятности или полезности) ребер нечеткого графа.

, -мейств независимых и доминирующих подмножеств и выбор лучших из них в соответствии с заданными критериями оценки качества.

При разработке алгоритмов, моделирующих эволюцию, одним из ключевых , ,

.

процесс поиска /2/.

В данном случае под хромосомой понимается числовая последовательность, каждое число которой представляет собой комбинацию номера вершины графа и . . длины хромосомы можно воспользоваться формулами, определяющими нижнюю и верхнюю оценки соответствующих чисел графа, что позволяет уменьшить избыточность представления данных характерную для первого случая, т.е. число разрядов N в хромосоме Н равно числу вершин графа, либо некоему числу, полученному после применения формул для оценки исследуемого параметра. Так как реальное число элементов выделяемого подмножества Н, как правило, меньше N, то оставшаяся часть хромосомы заполняется нулями.

При нахождении независимых подмножеств, чем больше значащих разрядов имеет хромосома, тем больше мощность независимого подмножества. Также существенным критерием является сумма весов вершин, входящих в подмножество. Эти параметры можно использовать в качестве критерия оценки качества получаемых решений:

Е(И) = /{1Н; ^ wi) тах,

где /(1Н; ^ -^>1) - аддитивная функция двух переменных; 1Н - число ненулевых разрядов хромосомы; £ щ - сумма весов вершин, входящих в подмножество.

При нахождении доминирующих подмножеств, наоборот, лучшим будет вариант, когда число вершин, входящих в подмножество, минимально. При этом сумма весов входящих ребер по-прежнему стремится к максимуму.

После декодирования хромосомы по номерам задействованных вершин строится нечеткий подграф и проверяется выполнение заданного условия экстремальности.

Другим важным моментом является подбор, настройка, а при необходимости и разработка новых модификаций генетических операторов. Они, с одной стороны, должны обеспечивать разнообразие популяции и препятствовать преждевременной , , , .

В алгоритме разработаны новые модификации генетических операторов крос-синговера и мутации.

Оператор кроссинговера ((Ж) на основе логических операций. При выполнении данного оператора образование новых решений, из уже имеющихся, производится с использованием основных логических операций И, ИЛИ, И-НЕ и других.

При выполнении ОК на основе операции «И» потомок образуется по правилу: если два числа равны 1, то результат 1, иначе 0. При выполнении ОК на основе операции «ИЛИ» потомок образуется по правилу: если два числа равны 0, то результат - 0, иначе - 1), и т.д. На рис.1 показан пример выполнения ОК когда для образования первого потомка применена операция И, а для образования второго -.

Оператор мутации (ОМ) на основе целевой функции. На некотором шаге вы-

( ).

хромосомах случайным образом выбираются два разряда и меняются местами. Для решения, целевая функция которого в результате улучшилась, фиксируем измене.

Другой вариант выполнения оператора мутации заключается в следующем. На некотором шаге выполнения алгоритма случайным образом выбирается хромосома из числа уже имеющихся. Затем в ней случайным образом выбирается разряд и его значение изменяется на инверсное (1 - Р(И;)). Если при этом целевая функция решения улучшается, то изменения фиксируются.

Для решения поставленной задачи был разработана модифицированная схема проведения поиска на пространстве решений. Введем несколько понятий.

- , .

Герб семьи - хромосома, являющаяся маской для всех остальных хромосом входящих в семью. Принцип построения маски таков. Те разряды хромосомы, которым в маске соответствует значение 1, могут изменяться при выполнении гене, , 0, поиска не изменяются.

Каждая семья может иметь один герб. Важной характеристикой герба является процентное соотношение числа нулей и единиц - жесткость герба.

1

Родитель 2

0,3 0,7 0,2 0,4 0,6

0,5 0,9 0,3 0,2

Потомок 1 0,3 0,5 0,2 0,3 0,2

Потомок 2 0,8 0,7 0,9 0,4 0,6

Рис.1

Разработанный алгоритм предусматривает проведение поиска на двух уров-

.

Уровень 1.

На этом уровне создается популяция решений, которые затем распределяются . -

.

Г енерация семьи происходит следующим образом:

- создается герб семьи путем задания фиксированных или нефиксированных позиций в хромосоме (количество фиксированных позиций в гербе задается

);

- случайным образом генерируется хромосома, являющаяся основателем дан-

;

-

, .

Основной целью создания семей является усиление направленной составляющей процесса поиска решений. При случайной генерации начальной популяции, получаемые решения, как правило, разбросаны в пределах всего пространства решений. В ходе применения генетических операторов, сформированные решения случайным образом изменяются, причем в этом случае вероятности улучшения или ухудшения характеристик генерируемых решений одинаковы. Популяция, сформированная по принципу семейственности, предоставляет большие возможности для целенаправленной улучшения качества решений и, соответственно, является дополнительным направляющим фактором процесса эволюции.

В рамках каждой отдельной семьи происходит процесс генерации новых решений, для чего применяются операторы кроссинговера и мутации (кроме опера).

( ).

В процессе эволюции решений могут также применяться различные операто-

( ) ( ).

популяцию из общего множества индивидов, как родителей, так и потомков теку, -

ней среде индивидов и исключению нереализуемых решений. В алгоритме использовались совместно элитный и равновероятный оператора отбора. При этом задается вероятность элитного отбора Рэ, а вероятность равновероятного отбора вычисляется как Рр = 1 - Рэ. Генерируется случайное число р е [0, 1]. Если р попадает в интервал [0, Рэ], то выполняется элитный отбор, иначе выполняется равнове-. -

разием генетического материала и дает лучшие результаты, чем при использовании

какого-либо одного вида отбора. На каждом шаге, после выполнения всех преобразований, полученные новые решения сравниваются с родителями и главой семьи, после чего лучшие решения сохраняются и происходит редукция популяции до .

Если при генерации новых решений на протяжении заданного числа шагов не происходит улучшения целевой функции (ЦФ), то в маске (гербе семьи) случайным образом выбирается одна из позиций и удаляется из числа фиксированных, расширяя текущую область поиска.

, -

же заданного предела, то данная семья уничтожается и вместо нее генерируется

.

На данном уровне также предусмотрен взаимный обмен информацией между . :

1) -раем две семьи из числа существующих;

2) ;

3) выбранные хромосомы подвергаются воздействию операции кроссинговера без учета гербов их семей;

4) полученные в результате выполнения оператора кроссинговера потомки сравниваются с главами каждой семьи. При этом, если целевая функция потомка лучше целевой функции главы семьи, то возможны три варианта:

a) создается новая семья на основе данного решения, и эта семья замещает

( );

b) создается новая семья на основе данного решения, при этом популяция семей расширяется без удаления одной из существующих семей;

c) вновь образованное решение (потомок) становится главой семьи без изме-

, -вым главой семьи.

Такая методика межпопуляционного обмена способствует лучшему покрытию общего пространства поиска.

В целом механизмы поиска и генерации новых решений на первом уровне алгоритма направлены на улучшение среднего качества решений, а также создание в каждой семье хотя бы одного элитного решения с наилучшей целевой функцией. При этом внутрисемейные процедуры позволяют добиваться улучшения уже существующих в данной области пространства решений, а механизмы межсемейных обменов дают возможность выхода к новым областям пространства поиска.

Уровень 2.

На данном уровне работа ведется с популяцией сгенерированных на первом уровне и отобранных из различных семей элитных решений. При этом существует ограничение на максимальное количество хромосом в данной элитной группе.

При появлении на первом уровне новых решений, соответствующих элитному

,

, .

В существующей элитной популяции также происходят эволюционные процессы, в ходе которых к имеющимся в популяции решениям применяются операторы кроссинговера и мутации. Причем основным оператором на данном этапе является оператор мутации на основе целевой функции. Этот оператор играет ключевую роль в преобразованиях решений на данном этапе, поскольку позволяет быстро улучшать имеющиеся решения. Новые решения с лучшими характеристиками вытесняют из популяции решения с худшими характеристиками.

Основная цель преобразований на втором уровне состоит в улучшении уже имеющихся решений и получении, в конечном счете, семейства лучших экстремальных подмножеств в соответствии с имеющимся критерием оценки.

Разработанный алгоритм представляет эффективное средство для решения не только поставленной задачи, но может применяться и для нахождения других экстремальных подмножеств графа (клики, паросочетания и т.д.). Для этого достаточ-

но изменить критерии оценки качества решений, а также дополнительные пара.

Разработанные в алгоритме подходы и методики поиска и генерации решений позволяют добиться существенного улучшения качества получаемых решений без увеличения времени работы алгоритма.

Использование семей и гербов позволяет разделить пространство решений на

,

( ), и изменения герба.

Использование механизмов межсемейных обменов в свою очередь дает возможность переходить к новым секторам пространства решений, увеличивая тем самым эффективность поискового процесса.

Увеличению эффективности процесса генерации новых решений способствуют разработанные модификации генетических операторов.

Временная сложность разработанного алгоритма составляет порядка 0(п2), что сравнимо с временной сложностью эвристических алгоритмов основанных на идеях поиска в глубину. Однако, при этом разработанный алгоритм позволяет значительно повысить качество решений, а также предоставляет пользователю возможность выбора наиболее подходящего решения из полученного множества.

Так, например, при проведении серии тестов для случайных графов на 50 вершин с заданным значением средней локальной степени (графы генерировались случайно таким образом, чтобы средняя локальная степень вершин графа была равна 3) были получены следующие значения параметров: оптимальный размер

- 5; - 5 10; - 5;

вероятность выполнения оператора мутации на основе целевой функции - 50%;

- 30. -

ных экстремальных подмножеств равна 13.

Эффективность данного алгоритма была проверена и подтверждена в ходе тестовых испытаний разработанных программ. Программы, реализующие алгоритм тестировались на персональных компьютерах типа 1ВМ РС с процессорами ЛМБ ЛШоп 1000-1700. Результаты тестовых испытаний подтвердили предварительные теоретические оценки эффективности алгоритма.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курейчик В. М. Математическое обеспечение конструкторского и технологического проектирования с применением САПР. М.: Радио и связь, 1990.

2. .. . . : -во ТРТУ, 2002.

УДК 658.512

С.И. Родзин, О.Н. Родзина ЭВОЛЮЦИОНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

. -

речие между строгостью математики и неопределенностью мира. В частности,