CC BY
62
Алгоритм вычисления минимального времени одного такта работы шагового двигателя
В.И. Капля, А.Г. Пан, Т.В. Дягилева Волжский политехнический институт (филиал) ВолгГТУ
Аннотация: в статье рассмотрена математическая модель ШД. Анализ математической модели показал наличие колебательности импульсной характеристики, вследствие чего требуется резервировать длительность управляющих импульсов. В работе приводится пример реализации алгоритма вычисления минимального времени одного такта работы шагового двигателя. Результаты проведенных исследований могут быть использованы в системе управления ШД с целью увеличения скорости работы, а также уменьшения энергопотребления, связанного с управлением ШД.
Ключевые слова: шаговый двигатель, математическая модель, передаточная функция, коэффициент затухания, дифференциальное уравнение, рекуррентное решение, итерационное решение.
Шаговый двигатель является одним из наиболее распространённых приборов для управления в системах, требующих повышенной точности позиционирования. От шагового двигателя (ШД) требуется высокое быстродействие и экономичность потребления энергии.
Вращение вала ШД осуществляется путем подачи последовательности прямоугольных импульсов на обмотки статора [1]. Предельная скорость вращения вала ШД зависит от конструктивных особенностей двигателя, нагрузки, а также частоты управляющих импульсов. Из теории оптимального управления известно [2], что одноимпульсное управление [3] с ограничением по величине воздействия может обеспечить предельное по быстродействию позиционирование только объектов первого порядка. Анализ известных [4] математических моделей показывает, что более точные модели ШД имеют второй, а в некоторых случаях и третий порядок. Процесс позиционирования ротора характеризуется колебательностью и перерегулированием, что не позволяет использовать ШД на предельных скоростях, и требует резервирования длительности управляющих импульсов. Резервирование
1
длительности управляющих импульсов является причиной неэффективного потребления электроэнергии.
Скорость вращение ШД при ограниченном управляющем воздействии достигается путем формирования последовательности импульсов переменной длительности и знака [5].
Упрощённая модель ШД представляется в виде дифференциального уравнения [6]:
3 • у + Б • у + [2р2ФМп1 о ]• у = [2р2ФМп1 о ]• и, (1)
где 3 - момент инерции (кг • м2); р - число пар полюсов; Б - коэффициент вязкого трения (Н • м • с • рад- ); ФМ - магнитный поток (Тл • м2); п - число витков; 10 - сила тока (А); и - регулирующий параметр (напряжение на обмотке статора).
Представим дифференциальное уравнение (1) в разностном виде, используя соответствующие замены переменных:
у=у - у к - у к-1 . Ук - 2 • Ук-1 +Ук-2 У У к 'У . У
От " ы2
где Ог - дискретный шаг времени.
Дифференциальное уравнение (1) в разностном виде примет следующий вид:
3 • Ук - 2 • Ук-! +Ук-2 + Б • Ук - Ук-1 + 2р 2фм п1 о • Ук - [2р 2Фм п1 о ]• и. оТ от
Выразив переменную Ук, получим следующую рекуррентную зависимость угла ротора Ук от дискретного времени гк - к • Ог:
о , I 3 Б \ 3
2рфмпо • и + Ук-1 + ОТ I-Ук-2 • ^
ук =-3 Б „ ^ т-• (2)
— + - + 2 р 2Фм п1 о
:
Проверить корректность полученной зависимости (2) можно посредством проведения численного эксперимента со следующими значениями параметров:
Б = 0,319 Н ■ м ■ с ■ рад- ;ФМ = 135 -10-5 Тл ■ м2 ;р = 32;
а = 360;3 = 4,3 -10-4кг м2;п = 300.
64
Результат численного эксперимента по вычислению зависимости угла ротора представлен на рис.1
Рис. 1. - График зависимости угла ротора от времени.
Операторное решение дифференциального уравнения (1) позволяет получить передаточную функцию [6]:
Ж (у )
2 Р 2Фм п10
^2 J + sD + 2 р 1ФМ п10
Данной передаточной функции соответствует коэффициент затухания
[7]:
1
е--. (3)
2 • 2р2ФМп1 о • --—-
Р М о \ 2р2Фмп1 о
Из теории автоматического управления известны [7] следующие условия, определяющие вид временных характеристик:
- если о < е < 1, то характеристики носят колебательный характер; (4)
- если е >1, то характеристики носят монотонный характер;
- если е - о, то характеристики имеют вид незатухающих колебаний.
Значение коэффициента затухания (3) в проведенном численном
эксперименте равно о,174, что соответствует условию (4).
По переходной характеристике и в соответствии с расчетными значениями функции (3) видно, что процесс обладает свойством колебательности. Определение оптимального времени шага осуществляется путем поиска локального экстремума, который входит в диапазон ± А от установившегося значения, например, А - 7%. Поиск экстремума осуществляется в процессе итерационных вычислений до момента к, при котором выполняется следующее условие:
[[Ук < Ук-1) л {ук-1 ^ Ук-2) л {ук-1 < ^ •(1 + А))] V (5)
V [{(к > Ук-1) л {Ук-1 < Ук-2) л {Ук-1 ^ а •{1 - А))] где а - угол поворота вала на 1 шаг.
Если условие (5) выполняется, то на к -м шаге получены оптимальные значения ук- - уопт , к -1 -копт и как следствие гопт -копт •Ог. Полученное значение является оптимальным временем одного такта работы ШД, которое зависит от параметров математической модели.
Результаты анализа математической модели и численного эксперимента позволяют определить минимальное время одного такта работы шагового двигателя. Данное время является оптимальным в случаях, когда требуется обеспечить максимальную скорость вращения вала двигателя.
Литература
1. Кацман М. М. Электрические машины: учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования. Издание 5-е, перераб. и доп. - Москва: Academia, 2003, 496 с.
2. Красовский А.А. Справочник по теории автоматического управления. - М.: Наука, 1987, 712 с.
3. Лысенко А.В., Ченцов А.Г. Об асимптотических версиях одноимпульсного управления в линейной системе: множества притяжения в пространстве траекторий // Дифференциальные управления и процессы управления, 2003, № 2, URL: www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j111.pdf.
4. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. Издание 3-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2001, 327 с.
5. Моисеев А. А. Оптимальное управление при дискретных управляющих воздействиях // Автоматика и телемеханика, 1991, № 9, С. 123132.
6. Kenjo Takashi, Sugawara Akira. Stepping Motors and Their Microprocessor Controls. Oxford University Press; 2 edition, 1994, 279 p.
7. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для "чайников". Санкт-Петербург, 2008, 139 c.
8. Athani V. V. Stepper Motors: Fundamentals, Applications And Design. New Age International, 1997, 201 p.
9. Колесникова О.Н. Аппаратно-программный модуль для расчета и испытаний антенно-фидерных устройств // Инженерный вестник Дона, 2007, №2, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/page/20.
10. Диаб А.А.З., Котин Д.А., Панкратов В.В. Непосредственное векторное управление асинхронными электроприводами с использованием прогнозирующих моделей // Инженерный вестник Дона, 2014, №1, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2247.
References
1. Kacman M. M. Jelektricheskie mashiny: uchebnik dlja studentov uchrezhdenij srednego professional'nogo obrazovanija. [Electric machines Textbook for students of institutions and secondary vocational education] Izdanie 5-e, pererab. i dop. Moskva: Academia, 2003, 496 p.
2. Krasovskij A.A. Spravochnik po teorii avtomaticheskogo upravlenija [Reference book on the theory of automatic control]. M.: Nauka, 1987, 712 p.
3. Lysenko A.V., Chencov A.G. Differencial'nye upravlenija i processy upravlenija (Rus), 2003, № 2, URL: www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j111.pdf.
4. Kopylov I.P. Matematicheskoe modelirovanie jelektricheskih mashin [Mathematical modeling of electrical machines]. Izdanie 3-e, pererab. i dop. M.: Vysshaja shkola, 2001, 327 p.
5. Moiseev A. A. Avtomatika i telemehanika (Rus), 1991, № 9, pp. 123-132.
6. Kenjo Takashi, Sugawara Akira. Stepping Motors and Their Microprocessor Controls. Oxford University Press; 2 edition, 1994, 279 p.
7. Poljakov K.Ju. Teorija avtomaticheskogo upravlenija dlja "chajnikov" [The theory of automatic control for "noob"]. Sankt-Peterburg, 2008, 139 p.
8. Athani V. V. Stepper Motors: Fundamentals, Applications and Design. New Age International, 1997, 201 p.
9. Kolesnikova O.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2007, №2, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/page/20.
10. Diab A.A.Z., Kotin D.A., Pankratov V.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №1, URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2247.
