Алгоритм вычисления D-пробельных чисел и d-вейерштрассовых точек Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2011

Секция 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 511

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ Д-ПРОБЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И Д-ВЕЙЕРШТРАССОВЫХ ТОЧЕК

Е. С. Алексеенко

Множество вейерштрассовых точек является важным инвариантом алгебраической кривой, который можно использовать для изучения автоморфизмов. Исследуя вейер-штрассовы точки, можно, например, показать, что группа автоморфизмов кривой конечна. Рассмотрим функциональные поля кривых; будем использовать определения и обозначения из [1, 2].

Будем полагать, что ^/к — алгебраическое функциональное поле степени трансцендентности один над полем констант к. Предполагаем, что ^/к имеет сепарирующий элемент и род д поля ^/к инвариантен относительно расширения поля констант. Считаем также известными процедуры вычисления точек, дивизоров и пространств, ассоциированных с дивизором Д (пространства Римана — Роха): &(Д) = (а € ^х : (а) + Д ^ 0} и(0}.

Определение 1. Пусть Д —дивизор, Р — точка степени один поля ^/к. Целое число ^ ^ 1 называется Д-пробельным числом точки Р, если &(Д + (^ — 1)Р) = = & (Д + ^Р).

Теорема 1. Все точки степени один поля ^к/к, быть может кроме конечного их числа, имеют одинаковые сопрк/^ (Д)-пробельные числа.

Определение 2. Д-пробельные числа поля ^/к определены почти для всех точек по предыдущей теореме. Точка степени один поля ^/к называется Д-вейерштрас-совой точкой, если ее Д-пробельные числа отличны от Д-пробельных чисел поля ^/к.

Теорема 2. Существует, по крайней мере, одна вейерштрассова точка поля ^к/к для д ^ 2, где к — алгебраическое замыкание поля к.

Пусть Ь — линейная система поля ^/к. Отметим, что Ь можно рассматривать как множество эффективных дивизоров ((а) + Е : а € V — (0}} для дивизора Е и некоторого к-линейного пространства &(Е). Полной линейной системой является линейная система, определенная с помощью Е и &(Е). Отметим также, что для любого дивизора Е € Ь полная линейная система определена с помощью Е и к-линейного пространства V, порожденного (а € ^х : (а) = Д — Е, Д € Ь}. Таким образом, можно рассматривать Ь как класс эквивалентности пары (Е, V), где (Е, V) ~ (Е — (a),aV). Следует также отметить, что deg(L) = deg(E), ^ш(Ь) = ). Будем полагать, что

Ь(^Р) = (Б € Ь : ур(Д) ^ ^} для целого ^ ^ 0.

Определение 3. Пусть Ь — полная линейная система и Р — точка степени один. Целое число ^ ^ 0 называется порядком (вронскианом) Ь в точке Р, если Ь(^Р) = = Ь((^ + 1)Р).

Теорема 3. Пусть Ь — полная линейная система, определенная с помощью Ш—Д. Тогда ^ является Д-пробельным числом тогда и только тогда, когда ^ — 1 — порядок Ь в точке Р.

В соответствии с теоремой 3, для того, чтобы вычислить пробельные числа и вей-ерштрассовы точки, достаточно исследовать порядки Ь в различных точках.

Теорема 4. Каждый порядок ^ линейной системы Ь в точке Р удовлетворяет условию 0 ^ ^ ^ deg(L). Существует dim(L) порядков Ь в точке Р.

Определение 4. Пусть Ь — полная линейная система, определенная с помощью Е и V. Пусть VI,... , уп — базис V, х — сепарирующий элемент ^/к и £1,... , £п — порядки Ь. Дивизор Я(Ь) = ^е1;(Д1ег)(у^ ))^-) + ( ^ £ 1 (^х) + пЕ называется дивизором

ч»=1

ветвления в L.

Опишем алгоритм вычисления вейерштрассовых точек алгебраического функционального поля, ассоциированного с алгебраической кривой, произвольной характеристики.

Алгоритм 1

Вход: Функциональное поле F/k, сепарирующий элемент х, дивизор D.

Выход: D-пробельные числа и D-пробельные вейерштрассовы точки.

Шаг 1. Вычисляем канонический дивизор W := (dx).

Шаг 2. Если dim(W — D) = 0, то дивизор ветвления полной линейной системы, определенной с помощью W — D, является нулевым и не существует D-пробельных чисел и D-пробельных вейерштрассовых точек. Алгоритм завершен.

Шаг 3. Вычисляем базис Vi,... , vn в L(W — D).

Шаг 4. Полагаем е1 := 0; M := (v1,...,vn); i := 1; е := 0; G := 0.

Шаг 5. i := i + 1. Если i > n, то переходим к шагу 8.

Шаг 6. е := е + 1. Если =0 в k для некоторого g G G, то G := G У {е} и повторяем шаг 6.

Шаг 7. Обозначим M G FiXn — матрица, полученная добавлением D(e)(v1),... , D(e)(vn)) к M. Если rank M > rank M, то M := M; е* := е и переходим к шагу 5. Иначе G := Gy {е} и переходим к шагу 6.

Шаг 8. Вычисляем дивизор ветвления R := (det(M)) + е^ (dx) + n(W — D) полной системы, определенной с помощью W — D.

Шаг 9. Возвращаем е1 + 1,... , е„, + 1 и точки степени один, лежащие в носителе R.

Пример 1. Рассмотрим функциональное поле F/k, определенное уравнением y7 + y = x4 над полем F49. Род поля g = 9, число точек степени один N = 176. Используя алгоритм, получаем, что 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15 — пробельные числа поля F/k. Все 176 точек степени один являются вейерштрассовыми точками. Существуют 8 вейерштрассовых точек веса 9 с пробельными числами 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17 и 168 вейерштрассовых точек веса 5 с пробельными числами 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 17. Дивизор ветвления имеет степень 912. Все вычисления были проведены в системе компьютерной алгебры MAGMA.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kuribayashi A. and Komiya K. On Weierstrass Points of non-hyperelliptic compact Riemann surfaces of genus three // Hiroshima Math J. 1977. No. 7. P. 743-768.

2. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Berlin; Heidelberg; New York: Springer Verlag, 1993.

УДК 519.174

КОДИРОВАНИЕ КОНЕЧНОЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ РЕШЕТКИ В КЛАССЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ИСКАЖЕНИЯ1

А. А. Евдокимов

Пусть е и 5 — натуральные числа из области определения метрик pa и рн, заданных на множествах вершин V(G) и V(H) графов G и H, а Sk(v) —шар с центром в точке v G V(G) и радиусом k. Скажем, что отображение f : G ^ H, действующее из V(G) в V(H), обладает свойством (е, 5)-ограниченного искажения, если

f (S<s(v)) С (S£(f (v))

для любой вершины v G V(G).

Скажем, что отображение f : G ^ H сохраняет (е, 5)-отделимость, если

Imf П S£(f (v)) С f (S^(v)).

Вложение f : G ^ H графа G в H называем (е, 5)-вложением, если f обладает свойством (е, 5)-ограниченного искажения и сохраняет (е, 5)-отделимость.

В отличие от аналогичных определений в [1-3], здесь выбраны (е, 5)-язык и окрестности (шары), чтобы подчеркнуть общность с определениями классической математики. При «малых» значениях параметров (е, 5)-вложение означает, что оно связные части не разрывает, а «далёкие» не становятся «близкими». Первое является дискретным аналогом непрерывного отображения, а вместе со вторым свойством — аналогом гомеоморфного вложения.

Пусть Nm = {0,1,... , m — 1} и = Nm х Nm — двумерная целочисленная решетка размера m х m с расстоянием

PN 2 (u,v) = |xi — X2| + |yi — У2 |

между ее вершинами (узлами решетки) u = (x1,y1) и v = (x2,y2).

В [3] описана конструкция (3, 2)-вложения целочисленной решетки N-j^ (плоского решётчатого табло) в булев гиперкуб I10 и показано, что наибольший размер решетки Nm для любого (3, 2)-вложения f : Nm ^ I10 равен 14 х 14; (3, 2)-вложение сохраняет все расстояния, не превосходящие 3, а вершины, находящиеся на расстоянии больше 1, не могут оказаться на расстоянии 0 или 1. Таким образом, изометричное 3 х 3 окно в классе обратимых кодирований двоичными словами длины 10 возможно для квадратного табло из 196 ячеек размера 1 х 1.

Теорема 1. Существует и эффективно строится конструкция (4,3)-вложения f : Nm ^ In целочисленной решётки размера m х m в булев куб In, избыточность

хРабота поддержана проектами РФФИ №09-01-00070 и 11-01-00997 и программой фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН.