CC BY
131
удк 519.7
И. Б. Фуртат (к.т.н., доц., с.н.с.)1,2,3, М. Е. Бардин (асп., инж.)1, Г. С. Скорикова (студ., инж.)1, Р. Е. Твердый (асп., инж.)1, Я. А.Чудаков 1 (студент, инж.)
Алгоритм управления ректификационной колонной с компенсацией возмущений, запаздывания и учетом ограничений на фазовые переменные
1 Российский государственный университет нефти и газа» имени И. М. Губкина, кафедра физической и коллоидной химии 119331, г. Москва, Ленинский пр., 65, корп. 1; тел. (499) 2339589, e-mail: vinok_ac@mail.ru
2Институт проблем машиноведения РАН 199178, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, Большой проспект, 61; тел. 89052637761,
e-mail: cainenash@mail.ru 3Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49, тел. 89052637761, e-mail: cainenash@mail.ru
I. B. Furtat123, M. E. Bardin1, G. S. Skorikova1, R. E. Tvyordyj1, Ya. A. Chudakov1
The control algorithm for rectification column with compensation perturbation, delays and considering the restrictions on the the phase variables
1 Gubkin Russian State University of Oil and Gas, 65, Leninskii pr, 11999!, Moscow, Russia; ph. (499) 2339589, e-mail: vinok_ac@mail.ru 2Institute of Problems of Mechanical Engineering of Russian Academy of Sciences 6!, Bolshoy pr., Vasilievsky Island, 199178, St. Petersburg, Russia; ph. 8905263776!,
e-mail: cainenash@mail.ru 3St. Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics; 49, Kronverksky pr, 197101, St. Petersburg; ph. 89052637761, e-mail: cainenash@mail.ru
Решена задача управления ректификационной колонной с компенсацией параметрических и внешних возмущений. Получен простой алгоритм робастного управления, обеспечивающий показатели качества процесса ректификации с требуемой разработчиком точностью. Приведены результаты моделирования, иллюстрирующие работоспособность предложенного алгоритма.
Ключевые слова: ректификационная колонна; робастное управление.
The problem of controlling a distillation column with a compensation of parametric and external perturbations is solved. A simple algorithm for robust control, providing quality distillation process with the required accuracy, is presented. Simulation results illustrating the performance of the algorithm are presented.
Key words: distillation column; robust control.
На сегодняшний день дистилляционная колонна находит широкое применение во многих областях промышленности: химической, нефтеперерабатывающей, фармакологической, пищевой и т.д. Область применения дистилля-ционной колонны постоянно расширяется. Этому способствуют внедрение в производство
Дата поступления 28.11.12
новых продуктов и технологических процессов, повышение требований к защите окружающей среды и т.п.
Для качественного управления дистилля-ционной колонной необходимо создание простых и надежных регуляторов. В настоящее время предложено достаточное множество решений этой задачи.
Так в работах1'2 при предположении полной определенности параметров объекта управления и о том, что модель объекта описывается линейным дифференциальным уравнением, приводится расчет ПИ и ПИД регуляторов. В работе3 регулятор строится на базе обращения передаточной функции объекта управления. В статье4 предложен способ синтеза системы управления на базе подходов LGQ, LGQ/LTR, DNA/INA, IMC и т.д. В статье5 на базе модели дистилляционной колонны, предложенной в работе6, синтезируется алгоритм оптимального нечеткое управления в предположении, что параметры объекта управления известны. Задача оптимального управления дистилляционной колонны для подобной модели объекта также рассматривается в работе7.
Однако в работе8 отмечено, что процессы в дистилляционной колонне в значительной степени чувствительны к изменению внешних потоков и в меньшей степени чувствительны к изменению внутренних процессов в колонне. Поэтому, даже при незначительном отличии параметров модели от исходной (прототипа) приведет к невыполнению заданных показателей качества или к потери устойчивости, если при проектировании системы управления использовать алгоритмы1-7.
В публикациях8-10 для управления процессом дистилляции, математическая модель которого описывается неопределенным линейным дифференциальным уравнением, строился регулятор на базе метода Я'-оптимизации. В работе11 для аналогичной модели процесса предложено управление на базе нейросети.
Однако структуры регуляторов и расчет настраиваемых параметров в них достаточны сложны9-10. Поэтому возникает интерес решить задачу управления дистилляционной колонной, математическая модель которой описывается параметрически и функционально неопределенным дифференциальным уравнением, и при этом, разработанный алгоритм должен быть простым как в технической реализации, так и в расчете настраиваемых параметров.
В статье предложен простой алгоритм ро-бастного субинвариантного управления дистилляционной колонной, математическая модель которой представлена параметрически и функционально неопределенным линейным дифференциальным уравнением. Цель управления состоит в синтезе непрерывного закона управления, обеспечивающего слежение выхода дистилляционной колонны за эталонным
сигналом с заданной точностью. Решение основано на использовании вспомогательного контура, предложенного в статье12 с обобщением в работах13-15. Работоспособность схемы проиллюстрирована на числовом примере для модели дистилляционной колонны5'6. При моделировании учитываются ограничения на фазовые переменные.
Постановка задачи. Рассмотрим дистил-ляционную колону, представленную на рис. 1.
Рис. 1. Схема дистилляционной колонны
Пусть динамические процессы в дистилляционной колонне описываются уравнением:
х( t) = Ax(t ) + Nx(t - T(t )) + Bu(t ) + Df( t ), y(t) = Cx(t),
где x(t ) =
xjt), x„(t), ..., xf(t), ..., xv(t), xb(t), AO), V/t) вектор состояния;
xd(t) — концентрация легкой фракции в верхнем продукте;
xjt) — концентрация легкой фракции в холодильнике;
x2(t), ..., xn_/t) — концентрации легкой фракции в камерах № 2, ..., № п— 1;
x1(t) — концентрация легкой фракции в нагревателе;
Xj-(t) — концентрация легкой фракции в той части колонны, куда поступает исходная смесь (сырье);
xb(t) - концентрация легкой фракции в нижнем продукте;
Pc(t) — давление в верхней камере колонны; Vs(t) — обратный расход нижнего продукта; и(0 = Lr(t) — расход орошения в верхней части колонны;
f(t) = [Pf(t), F(t), zf(t), PJt), X/tjJ - вектор неконтролируемых возмущений;
Pf(t), F(t) и zf(t) — давление, расход и концентрация легкой фракции в исходной смеси (сырье);
Pss(t), Xv(t) — давление и содержание легких фракций в обратном потоке нижнего продукта;
C = [0, 1, 0, ..., 0] — матрица соответствующей размерности;
£(£) > 0 — неизвестное время запаздывания, обусловленное возвратом ректификата в колонну.
Качество процесса регулирования определим эталонной моделью, которая задана уравнением:
= Amxm(t) + — т) +
ш \ / ш ш\ / ш \ /
+Bmum(t) + (2)
Уш(t) = сХш (^).
где xm(t) е К"+5 — вектор состояния эталонной модели;
um(t) е К , fm(t) е Я5 и ym(t) е К — задающие воздействия и выход эталонной модели;
Аш е К
?(„+5)х5
(„+5)х(„+5)
е К
(п+5)х(п+5)
Вш е К"+5,
налом ym(t) в условиях неопределенности начальных условий, параметров и внешних возмущений модели (1), чтобы было выполнено условие:
\У(0-Ушр) <5 (3)
при t > Т для УЭ е Е .
Здесь 5>0, Т время, по истечении которого с начало работы системы должно выполняться неравенство (3).
Метод решения. Преобразуем уравнение (1) к форме вход-выход:
у^) = ^(БМО + Ж (Б)у( — т0)) + +Ж2 (Б)/^),
(4)
Бш е К1"+ — матрицы и вектор с известными постоянными значениями;
£ >0 — номинальное время запаздывания.
Все сигналы и параметры в (2) имеют тот же физический смысл, что и соответствующие сигналы и параметры в (1). Очевидно, что уравнение (2) представляет идеальный случай модели (1), то есть когда модель (1) не подвержена воздействию параметрических (неопределенность параметров модели и начальных условий) и функциональных (неконтролируемое изменениеf(t)) возмущений.
При решении задачи на объект управления накладываются следующие ограничения.
Предположения:
1. Неизвестные элементы матриц А, Ы, В и Б зависят от некоторого вектора неизвестных параметров ЭеЕ, где е — известное множество.
2. Пара (А, В) — управляема и пара (Ь, А) — наблюдаема.
3. Объект управления (1) — минимально-фазовый.
4. Относительная степень объекта управления и эталонной модели равна .
5. В системе управления доступны измерению сигналы у(г), и(г) и уш(г).
Требуется спроектировать систему управления, обеспечивающую слежение выхода дис-тилляционной колоны у(г) за эталонным сиг-
где Б = А / А — оператор дифференцирования;
Ж1(Б), Жт(Б), Ж2(Б) — передаточные функции в операторной форме, полученные при переходе от (1) к (4).
Учитывая (2) и (4), составим уравнение для ошибки слежения s(t) = y(t) — ym(t) в виде:
ф) = Ж/ВМО) + Ж (Б)у^ — ф)) +
Уm(t) (5)
Выразим в (5) сигнал управления
и^) = Ж'1 (Б МО) +
+w;l(D)[ym(t)—Ж2 (Б)/0)]
(6)
Для компенсации неконтролируемых возмущений воспользуемся описанным ранее подходом 12. Согласно 12, введем вспомогательный контур:
ё(0 = Жш(Б)и(0 (7)
где ъ(t)е К — выход вспомогательного контура;
Жш(Б) — устойчивая минимально-фазовая передаточная функция с относительной степенью у. От выбора Жш(Б) зависит характер сходимости у(г) к уш(1). Для оценки близости выходов (1) и (2) составим ошибку рассогласования e(t) = s(t) — s(t):
е(0 = ф) — Жш(Б)иО)
(8)
и подставим в нее сигнал и^), полученный в (6):
e(t) = [1 - Wm(D)W;l(D)]z(t}-
-Wm(D)Wl-l(D)
ym(t)-W (D)f(t) + +W (D)y(t -T(t))
(9)
Зададим закон управления в виде
u(t) = —Жш'(Б)ЖК(Ц, D)e(t) (10)
где ЖК(ц, X) — устойчивая минимально-фазовая передаточная функция с относительной степенью раной у , а также \\ЖК(ц, x)я= 1; ц> 0 — достаточно малое число.
Подставив в (8) сначала выражение (10), затем (9), и выразив г(t) , получим уравнение замкнутой системы по ошибке слежения
s(t) = -
Регулятор
(1 — жк(ц, б)т(б)ж;1(б) _
1 — (1-жк(ц, Б))(1-жш(б)ж1-1(б))' • [) — (б)/0) + +Жт (d)y(t — ф))]
В итоге получена система субинвариантного управления, структурная схема которой представлена на рис. 2
Рис. 2. Схема робастного субинвариантного управления со вспомогательным контуром
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений 1-5. Тогда существует число ц0 > 0 такое, что при Ц<Ц0 алгоритм управления (7), (10) обеспечивает выполнения условия (3).
Подставив в (10) выражение (8), сигнал
управления u(t) можно переписать как: = ^
— 1 (11)
В итоге, получим более упрощенную систему субинвариантного управления, изображенную на рис. 3.
Рис. 3. Упрощенная схема робастного субинвариантного управления
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений 1—5. Тогда существует ц0 > 0 такое, что при ц<ц0 алгоритм управления (11) обеспечивает выполнения условия (3).
Следует отметить, что регулятор (11) подобен регулятору, предложенному в публикации 13. Отличия состоят в том, что передаточная функция ||wr(ц, x) = 1 может иметь произвольный вид, главное, чтобы выполнялось условие \\WR(ц, X)ю= 1.
Примеры моделирования. Рассмотрим модель дистилляционной колонны (1), которая содержит семь тарелок с входным потоком F, поступающим на четвертую питающую тарелку 5'6. Такая колонна предназначена для разделения бензино-толуоловой смеси.
Параметры в эталонной модели (2) определены согласно 5'6 (12).
Зададим, также, в эталонной модели (2): rjt) = 0,1404 , fjt) = 0,14[1 0,2 111' и x(0) = [1 0,8983 1 1 1 1 1 1 0,4878 1 1]г, t = 120 c.
Отметим, что при исследовании модели дистилляционной колонны с параметрами (12), выявлено, что только передаточная функция по выходу ym(t) и задающему воздействию r(t) — минимально-фазовая передаточная функция. Поэтому в этой статье, в силу предположения 3, строится система регулирования качеством верхнего продукта (дистиллята).
Очевидно, также, что передаточная функция по выходу ym(t) и задающему воздействию r(t) — устойчивая с относительной степенью у = 1.
Цель управления состоит в выборе алгоритма, обеспечивающего выполнение целевого условия (3).
Зададим в (7) Wm(D) = d+Y . Тогда вспомогательный контур определится как:
1
e(t) = ■
D +1
Пусть в (10) (или (11)) Wr(D, ц) = 1
u(t)
цО +1 и ц = 01
А =
-0,0135 0,029 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-0,0005 -0,009 -0,0014 -0,0019 -0,0011 -0,001 -0,0007 -0,0001 0 0
0,0063 -0,0436 0,029 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0,0168 -0,0457 0,029 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
-0,1169 0,1129 0,1023 0,0736 0,0102 0
0,0005
0 0 0 0
0,0086 0 0 0 0 0 0
0 0
0,212 -0,0502 0,027 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,6229 0
0 0 0
0,029 -0,0626 0,0356 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,4409 0
£ = [0 1 0 0 0
0 0 0 0
0,0346 -0,0702 0,0356 0 0 0 0 0
0,533 0,0988 0,152 0,1653 0,1129 0,1023 0,0736 0,0102 0
0,0005 0 0
0 0 0 0 0
0,0446 -0,0802 0,0356 0 0 0
■ -О»
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0,0548 -0,0904 0,0081 0
0,0004 0
-0,0005 -0,009 -0,0014 -0,0019 -0,0011 -0,001 -0,0007 -0,0001 0 0 0] .
0 0 0 0 0 0 0
0,0628 -0,0157 -15,224 0,0283 0 0 0 0
-0,1169 0,1129 0,1023 0,0736 0,0102 0
0,0005
0 0 0 0 0 0 0 0 0
-5,0086 0,0084
0
-0,049 -0,0908 -0,1369 -0,1176 -0,1369 -0,124 -0,0892 -0,0123 299,42 -0,6868
0 0 0 0
0,0086 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,6229 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,4409 0
(12)
=
Очевидно, что Ц^ (О, ш = 1. Тогда, за кон управления (10) (или (11)), компенсирую щий неопределенности, действующие на дис тилляционную колонну, определим как:
О +1
п(г) = -
0,1- +1
Пусть параметры в дистилляционной колонне (1) следующие:
-0,0135 0,0063 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,0823 0,0097 0,0701 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533
0,0988 0,1278 0,0531 0,12 0,0988 0,0988 0,0988 0,0988 0,0988 0,0988 0,008
0,152 0,152 0,181 0,1018 0,1018 0,152 0,152 0,152 0,152 0,152 0,0124
0,1653 0,1653 0,1653 0,1923 0,1027 0,1999 0,1653 0,1653 0,1653 0,1653 0,0477
0,1129 0,1129 0,1129 0,1129 0,1485 0,0427 0,1575 0,1129 0,1129 0,1129 -0,024
0,1023 0,1023 0,1023 0,1023 0,1023 0,1379 0,0221 0,1571 0,1023 0,1023 -0,0217
0,0736 0,0736 0,0736 0,0736 0,0736 0,0736 0,1092 -0,0168 0,1364 0,0736 -0,0156
0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0183 -0,0055 0,0102 -0,0021
0 0 0 0 0 0 0 0 -15,224 -5,0086 299,42
0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0009 0,0288 0,0089 -0,6863
0
0,533
0,0988
0,152
0,1653
0,1129 ¥ = 2
0,1023
0,0736
0,0102
0
0,0005
0
-0,0005 -0,009 -0,0014 -0,0019 -0,0011 -0,001
0 0 0 0
-0,1169 0, 0,1129 0,1023
-0,0007 0,0736 -0,0001 0,0102
0
0,0005
0,6229 1,4409 00
х(0) =[0, 5 0, 8 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, 4 0, 5 0, 5] ¡(1) = 0, 14[1+ 2 ИИ Л 0,2 + 2ии1,5г, 1 + 2ии 2t, 1 + 2эт3г, 1 + 2ии 0, 5t]T
На рис. 4 представлены результаты моделирования по выходам у(^) и ут ^), на рис. 5 по ошибке е^) = у(^) - ут ^) .
✓ * ✓ * О + 1 X ! в(г) п(г) = -0— е(') . (13)
1.2
0.8
0.6
\
г, с
500 1000 1500
Рис. 4. Результаты моделирования по у( ^) и ут( ^)
0.4
0.3 0.2 0.1 о -0.1
1
1
\ ^
t. С
5 10 15 20
Рис. 5. Результаты моделирования по ()
Моделирование показало, что предложенная система управления компенсирует параметрические и функциональные неопределенности в (1) и обеспечивает выполнение целевого условия (3) с заданной точностью 5. Качество переходных процессов зависит от выбора
передаточной функции вспомогательного контура (7), а также величины т в (10) (или (11)). Важно отметить, что реализация системы управления и расчет параметров в ней значительно проще по сравнению со схемами управления дистилляционными колоннами в 8-11.
К тому же, при моделировании учитывались ограничения на фазовые переменные, присутствующие в реальной ситуации.
В статье предложен алгоритм робастного субинвариантного управления дистилляцион-ной колонной, математическая модель которой определена параметрически и функционально неопределенным линейным дифференциальным уравнением с запаздыванием. Задача решалась с использованием вспомогательного контура, впервые предложенного в работе 12. Цель управления состояла в синтезе непрерывного закона управления, обеспечивающего слежения выхода дистилляционной колонны за эталонным сигналом с заданной точностью. Моделирование показало хорошие показатели качества переходных процессов и подтвердило результаты аналитических расчетов.
В отличие от работ 8-11, здесь предложен алгоритм, который прост в технической реализации и расчете настраиваемых параметров, а также обеспечивает лучше показатели качества переходных процессов при любых типах возмущений, действующих на объект управления из указанного класса.
Литература
1. Xianku Z., Yicheng J. // International Journal of Information Technology.- 2005.- V.11, №5.- P.116.
2. Hsu T.-S., Yu C.-C., Liou C.-T. // Journal of Chine Institute of Chemistry Engineering.-1990.- V.21, №2.- P.105.
3. Tyreus B. D. // Industrial & Engineering Chemistry Process Design and Development.-1979.- V.18, №1.- P.177.
4. Diggelen R. C., Kiss A. A., Heemink W. // Industrial & Engineering Chemistry Research.-2010.- V.49, №1.- P.288.
5. Буяхияуй К., Григорьев Л., Лаауад, Ф. // Автоматика и телемеханика.- 2005.- №2.- 36.
6. Khelassi A. Analysis and assessment of interaction in process control systems. PhD Dissertation, University of Nottingham, England.- 1991.
7. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления.- М.: Высш. шк., 2003.- 614 с.
8. Skogestad S., Morari M., Doyle J. // IEEE Transaction on Automatic Control.- 1988.- 33, 12.- 1092.
9. Razzaghi K., Shahraki F. // Iranian Journal of Chemical Engineering.- 2006.- 3, 2.- P.20.
10. Musch H.E., Steiner M. // IEEE Control Systems Magazine. - 1995.- 15, 4.- P.46.
11. Yu W., Poznyak A.S., Alvarez J. Nero control multicomponent distillation column // 14th World Congress of IFAC. Beijing.- 1999.- P.379.
12. Цыкунов А. М. // Автоматика и телемеханика.- 2007.- №7.- C.103.
13. Цыкунов А. М. // Мехатроника, автоматизация, управление.- 2008.- №8.- C.7.
14. Фуртат И.Б. // Изв. ВУЗов. Приборостроение.- 2011.- №9.- С.22.
15. Фуртат И.Б. // Баш. хим. ж.- 2011.- Т.18, №4.- С.222.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-01-31354), а также Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г. г., выполняемые в РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина (государственный контракт № 16.740.11.0553 и соглашения 14.B37.21.1480, 14.B37.21.0182 и 14.B37.21.0255).
