Алгоритм упорядоченной перекодировки вершин графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 223 1972

АЛГОРИТМ УПОРЯДОЧЕННОЙ ПЕРЕКОДИРОВКИ ВЕРШИН ГРАФА

Ю. Н. ЕФИМОВ, П. А. СЕДЕЛЬНИКОВ

(Представлена научным семинаром УВЛ)

В настоящее время широкий класс задач, решаемых на ЦВМ, формулируется в терминах теории графов. При этом возникают противоречивые требования к кодированию вершин графа (сети). Составителям сетей удобно пользоваться многоразрядными десятичными шифрами, имеющими содержательный смысл, однако с точки зрения удобства машинной обработки желательна сквозная нумерация вершин. Она позволяет записать топологию графа и другие информационные массивы более компактно и упрощает процессы сортировки и поиска. Однако известные алгоритмы перекодировки очень трудоемки, так как требуют многократного просмотра топологии и большого числа сравнений непе-рекодированных шифров с все возрастающим по величине массивом перекодированных шифров вершин [2].

С другой стороны, часто бывает удобным, а иногда и необходимым представление графа в виде слоев, расположенных в порядке возрастания порядковой функции ф его вершин, где <р = 0,1,2,..., /с,..., п[1]. Процесс нахождения порядковой функции без .предварительной перекодировки вершин трудоемок. Если же такая перекодировка произведена, то упорядочивание топологии по возрастанию порядковой функции делает необходимой повторную перекодировку [2].

В данной работе предлагается алгоритм упорядоченной перекодировки вершин графа, являющийся модификацией алгоритма Кана [3]. Он позволяет одновременно производить упорядочивание топологии графа по возрастанию функции ср и сквозную нумерацию его вершин в прямом или обратном порядке при минимальном числе сравнений неперекодированных шифров с перекодированными шифрами вершин слоя, выделенного при предшествующем просмотре топологии.

Пусть граф О задан множеством вершин / и их прямым или обратным отображением Г/ [4], т. е.

С= (/, Г,.).

По значению порядковой функции он разбивается на слои 1<?к , являющиеся подмножествами множества I и состоящие из вершин / с одинаковыми порядковыми функциями.

Множеству вершин графа /, разнесенных по слоям, можно поставить во взаимнооднозначное соответствие равномощное ему множество натуральных чисел, т. е.

\i\~m,

что дает упорядоченную перекодировку вершин.

Упорядоченная перекодировка осуществляется за п + 2 просмотра исходной топологии графа, во время которых составляется таблица соответствия (ТС) шифров вершин и чисел натурального ряда.

При каждом просмотре исходной топологии выделяются в очередной слой те вершины, у которых все элементы отображения на предшествующие слои, т. е. все связи, перекодированы.

При первом просмотре выделяется слой с <р = 0 (нулевой слой), вершины которого не имеют связей, т. е. Г,- = 0. Шифры вершин нулевого слоя записываются в ТС. В исходной топологии они заменяются соответствующими им числами натурального ряда и отмечаются признаками. Кроме того, вершины нулевого слоя записываются в массив топологии с упорядоченной перекодировкой.

При втором просмотре топологии перекодируются и отмечаются признаками те элементы отображения / вершин графа для которых Л (гли.т.е. перекодируются все имеющиеся в графе связи вершин последующих слоев с вершинами нулевого »слоя. Если для некоторой вершины Г/С/уо , т. е. перекодированы все связи, то ее шифр записывается в ТС, в исходной топологии производится перекодировка и ставится признак. Вершина и ее отображения записываются в массив перекодированной топологии. После полного просмотра топологии в ТС будут выбраны шифры всех вершин первого слоя, в исходной топологии перекодированы все элементы отображения вершин последующих слоев на нулевой. Поэтому шифры вершин нулевого слоя ТС при последующих просмотрах топологии в перекодировке не участвуют. Вершины и элементы их отображения, отмеченные в топологии признаками, в дальнейшем процессе перекордировки также не участвуют.

При &-ом просмотре перекодируются и отмечаются признаками те элементы отображения вершин графа, для которых

уе(гг п

В к-й слой выбираются, заносятся в ТС, перекодируются, отмечаются признаками в исходной и записываются в перекодированную топологию те вершины, для которых

г/с (и'/т).

- 9=0

Если при очередном просмотре топологии не было перекодировано ни одной вершины, то процесс упорядоченной перекодировки заканчивается. Присутствие в исходной топологии неперекодированных шифров вершин и элементов их отображения говорит о наличии в графе контуров и обрывов. В этом случае такие вершины и элементы их отображения не имеют признаков, что позволяет быстро локализовать их.

Как видно из описания алгоритма, при прямом задании графа в нулевом слое упорядоченной топологии будут находиться стоки, а при обратном задании —источники. Порядок нумерации вершин в упорядоченной топологии (прямой или обратный) определяется порядком нумерации шифров в ТС. Произведя дополнительно сортировку упорядоченной топологии по убыванию порядковой функции, можно получить в начале записи топологии для прямого задания графа источники, а для обратного — стоки. Следовательно, имеется 8 режимов работы алгоритма.

К достоинствам рассмотренного алгоритма можно отнести следующее.

1. Совмещение в одном алгоритме двух трудоемких процессов: упорядочивания графа по слоям и перекордировки ©го вершин.

2. Минимизация числа сравнений шифров элементов отображения вершин графа с шифрами перекодированных вершин.

3. Возможность более рационального использования оперативной памяти ЭЦВМ, так как нет необходимости хранить в МОЗУ всю ТС.

4. Инвариантность алгоритма относительно способа задания графа (прямого или обратного).

Предлагаемый алгоритм был реализован на ЭЦВМ «Урал-11Б». Программа содержит около 400 команд. Время работы программы для графа, имеющего 1000 вершин и коэффициент сложности около 2, оказалось равным 55 сек. Топология графа полностью размещалась в оперативной памяти машины. Для графа с 400 вершин и коэффициентом сложности около 5 время работы программы было равно 29 мин. Массив топологии занимал около 90 зон по 256 слов. Основная доля времени работы программы падает на поиск в ТС шифров элементов отображения вершин путем последовательных сравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ю. Н. Е ф и м о в. Алгоритм нахождения порядковой функции сетевого графика. Изв. ТПИ, т. 168. Изд. ТГУ, 1968.

2. Ю. Н. Е ф и м о в. Применение малых ЭЦВМ в автоматизированных системах планирования и управления. Кандидатская диссертация, Томск, 1968.

3. А. В. Kahn. Topological Sorting of large Networks. Communication of the ACM, № 1, 1962.

4Д. Б e p ж. Теория графов и ее применения. М., Изд. ИЛ, 1962.