CC BY
40
УДК 519.7
И. Б. Фуртат
АЛГОРИТМ СУБИНВАРИАНТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИСТИЛЛЯЦИОННОЙ КОЛОННОЙ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ1
Введение
В настоящее время дистилляционная колонна находит широкое применение во многих областях промышленности: химической, нефтеперерабатывающей, фармакологической, пищевой и т. д. Область применения дистилляционной колонны постоянно расширяется. Этому способствуют внедрение в производство новых продуктов и технологических процессов, повышение требований к защите окружающей среды и т. п.
Для качественного управления дистилляционной колонной необходимо создание простых и надежных регуляторов. В настоящее время предложено достаточное множество решений этой задачи.
Так, в [1, 2] при предположении полной определенности параметров объекта управления и о том, что модель объекта описывается линейным дифференциальным уравнением, приводится расчет ПИ- и ПИД-регуляторов. В [3] регулятор строится на базе обращения передаточной функции объекта управления. В [4] предложен способ синтеза системы управления на базе подходов LGQ, LGQ/LTR, DNA/INA, IMC и т. д. В [5] на базе модели дистилляционной колонны, предложенной в [6], синтезируется алгоритм оптимального нечеткого управления в предположении, что параметры объекта управления известны. Задача оптимального управления дистил-ляционной колонны для подобной модели объекта рассматривается также в [7].
Однако в [8] отмечено, что процессы в дистилляционной колонне в значительной степени чувствительны к изменению внешних потоков и в меньшей степени чувствительны к изменению внутренних процессов в колонне. Именно поэтому даже незначительные отличия параметров модели от исходной (прототипа) приведут к невыполнению заданных показателей качества или к потере устойчивости, если при проектировании системы управления использовать алгоритмы [1-7].
В [8-10] для управления процессом дистилляции, математическая модель которого описывается неопределенным линейным дифференциальным уравнением, строился регулятор на базе метода H “-оптимизации. В [11] для аналогичной модели процесса предложено управление на базе нейросети.
Однако структуры регуляторов [9-10] и расчет настраиваемых параметров в них достаточны сложны, поэтому возникает интерес решить задачу управления дистилляционной колонной, математическая модель которой описывается параметрически и функционально неопределенным дифференциальным уравнением, причем разработанный алгоритм должен быть простым как в технической реализации, так и в расчете настраиваемых параметров.
В статье предложен простой алгоритм робастного субинвариантного управления дистил-ляционной колонной, математическая модель которой представлена параметрически и функционально неопределенным линейным дифференциальным уравнением. Цель управления состоит в синтезе непрерывного закона управления, обеспечивающего слежение выхода дистил-ляционной колонны за эталонным сигналом с заданной точностью. Решение основано на использовании вспомогательного контура, предложенного в [12]. Работоспособность схемы проиллюстрирована на числовом примере для модели дистилляционной колонны, взятой из [5, 6].
Постановка задачи
Рассмотрим дистилляционную колонну, представленную на рис. 1.
1 Работа выполнена в Институте проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург) при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., реализуемой в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина (г. Москва).
Пусть динамические процессы в дистилляционной колонне описываются уравнением
) = Лх^) + Bu (V) + Df (V), у (V) = Сх(:), (1)
где х^) = [хй(V), хп(V),х/(V),х^), хь(V), Рс(V), V(0]Г - вектор состояния; xd (V) - концентрация легкой фракции в верхнем продукте; хп (V) - концентрация легкой фракции в холодильнике; х2^),..., хп-1^) - концентрации легкой фракции в камерах № 2, ...; № п - 1; х^) - концентрация легкой фракции в нагревателе; х/ (V) - концентрация легкой фракции в той части колонны, куда поступает исходная смесь (сырье); хь (V) - концентрация легкой фракции в нижнем продукте; Рс (V) - давление в верхней камере колонны; (V) - обратный расход нижнего продукта; и([) = Ьг (V) - расход орошения в верхней части колонны;
/(V) = Р^ (V), ^(V), г/ (V), Р„ (V), Ху (V)] - вектор неконтролируемых возмущений; Р/- (V), ^(V)
и г/-(V) - давление, расход и концентрация легкой фракции в исходной смеси (сырье); Р„ (V),
Ху (V) - давление и содержание легких фракций в обратном потоке нижнего продукта;
С = [0,1, 0,..., 0] - матрица соответствующей размерности.
Качество процесса регулирования определим эталонной моделью, которая задана уравнением
хт (V) = Лтхт (V) + Втит (0 + Dm/m (V),
Ут (t) = Схт ().
(2)
Здесь хт (ґ) є Я”+5 - вектор состояния эталонной модели; ит (ґ) є Я
и ут (ґ) є Я - задающие воздействия и выход эталонной модели; Ат є Я
Бт є Я(п+5)х5 - матрицы и вектор с известными постоянными значениями. Все сигналы и параметры в (2) имеют тот же физический смысл, что и соответствующие сигналы и параметры в (1). Очевидно, что уравнение (2) представляет идеальный случай модели (1), т. е. когда модель (1) не подвержена воздействию параметрических (неопределенность параметров модели и начальных условий) и функциональных (неконтролируемое изменение /(ґ)) возмущений.
При решении задачи на объект управления накладываются следующие ограничения.
т
(п+5)х(п+5)
/т (ґ) є Я Вт є ЯП+5
5
х
а
Предположения
1. Неизвестные элементы матриц Л, В и D зависят от некоторого вектора неизвестных параметров Фе X , где х - известное множество.
3. Объект управления (1) - минимально-фазовый.
4. Относительная степень объекта управления и эталонной модели равна у.
5. В системе управления доступны измерению сигналы у^), и(V) и ут (V).
Требуется спроектировать систему управления, обеспечивающую слежение выхода дис-тилляционной колоны у^) за эталонным сигналом ут (V) в условиях неопределенности начальных условий, параметров и внешних возмущений модели (1), чтобы было выполнено условие
Здесь 5 > 0; Т - время, по истечении которого с начала работы системы должно выполняться неравенство (3).
Метод решения. Преобразуем уравнение (1) к форме вход-выход:
где D = й /Л - оператор дифференцирования; W1(D), W2(D) - передаточные функции в операторной форме, полученные при переходе от (1) к (4). Учитывая (2) и (4), составим уравнение для ошибки слежения ) = у (V) - ут (V) в виде
Для компенсации неконтролируемых возмущений воспользуемся подходом [12]. Согласно [12], введем вспомогательный контур
где е(V) е Я - выход вспомогательного контура; Wm Р) - устойчивая минимально-фазовая передаточная функция с относительной степенью у. От выбора Wm Р) зависит характер сходимости у^) к ут (V). Для оценки близости выходов (1) и (2) составим ошибку рассогласования
где WR (т, 1) - устойчивая минимально-фазовая передаточная функция с относительной степенью равной у, а также ||^Я (т, 1)||¥ = 1; т > 0 - достаточно малое число.
Подставив в (8) сначала выражение (10), затем (9), и выразив ), получим уравнение замкнутой системы по ошибке слежения:
2. Пара (Л, В) - управляема, пара (Ь, Л) - наблюдаема.
\у(ґ) - ут (ґ)| <5 при ґ > Т для "Фє X .
(3)
У(ґ) = Щ Р)и(ґ) + ^(Р)/(ґ),
(4)
Є(ґ) = Ж (Р)и(ґ) + Ж2 (Р)/(ґ) - Ут (ґ) .
(5)
Выразим в (5) сигнал управления
и(ґ) = Жі-1 (Р)є(ґ) + Жі-1 (Р) [Ут (ґ) - Ж2 (Р)/(ґ)].
(6)
Є (ґ) = Ж (Р)и(ґ),
(7)
(8)
е(ґ) =1 - Ж (Р)Ж1-1 (Р) Є(ґ) - Ж (Р)Ж1-1 (Р) [Ут (ґ) - Ж2 (Р)/(ґ)] .
(9)
Зададим закон управления в виде
и(ґ) = -Ж-1( Р)Жя (т, Р)е(ґ),
(10)
(і - ж (т р) )ж (Р)жг1(Р) і-(і - жк (т, р) )(і - Жт (Р)Жі-1( р))
[Ут (О - Ж2(Р)/(І)].
В итоге получена система субинвариантного управления, структурная схема которой представлена на рис. 2.
Рис. 2. Схема робастного субинвариантного управления с вспомогательным контуром
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений 1-5. Тогда существует число т0 > 0 такое, что при т < ц0 алгоритм управления (7), (10) обеспечивает выполнения условия (3). Подставив в (10) выражение (8), сигнал управления и(,) можно переписать как
=е,,). (Ц)
Жк (Б) -1
В итоге получим более упрощенную систему субинвариантного управления, изображенную на рис. 3.
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений 1-5. Тогда существует ^ > 0 такое, что при т < ^0 алгоритм управления (11) обеспечивает выполнение условия (3).
Следует отметить, что регулятор (11) подобен регулятору, предложенному в [13]. Отличия состоят в том, что передаточная функция (т, 1) может иметь произвольный вид, главное,
чтобы выполнялось условие \\Wft (т, 1)¥ = 1.
Примеры моделирования. Рассмотрим модель дистилляционной колонны (1), которая содержит семь тарелок с входным потоком Е, поступающим на четвертую питающую тарелку [5, 6]. Такая колонна предназначена для разделения бензино-толуоловой смеси.
Согласно [5, 6], параметры в эталонной модели (2) определим в виде:
Ат =
"-0,0135 0,0063 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,029 -0,0436 0,0168 0 0 0 0 0 0 0 -0,049
0 0,029 -0,0457 0,212 0 0 0 0 0 0 -0,0908
0 0 0,029 -0,0502 0,029 0 0 0 0 0 -0,1369
0 0 0 0,027 -0,0626 0,0346 0 0 0 0 -0,1176
0 0 0 0 0,0356 -0,0702 0,0446 0 0 0 -0,1369
0 0 0 0 0 0,0356 -0,0802 0,0548 0 0 -0,124
0 0 0 0 0 0 0,0356 -0,0904 0,0628 0 -0,0892
0 0 0 0 0 0 0 0,0081 -0,0157 0 -0,0123
0 0 0 0 0 0 0 0 -15,224 -5,0086 299,42
0 0 0 0 0 0 0 0,0004 0,0283 0,0084 -0,6868
" 0 ' "0 0 0 0 0 '
0,533 -0,0005 0 0 0 0
0,0988 -0,009 0 0 0 0
0,152 -0,0014 0 0 0 0
0,1653 -0,0019 -0,1169 0,0086 0 0
Вт = 0,1129 , Рт = -0,0011 0,1129 0 0 0 ,
0,1023 -0,001 0,1023 0 0 0
0,0736 -0,0007 0,0736 0 0 0
0,0102 -0,0001 0,0102 0 0 0
0 0 0 0 0,6229 1,4409
0,0005 Ь = [0 0 1 0 0 0,0005 000 0 000 0 0]. 0
(12)
Зададим также в эталонной модели (2): гт (,) = 0,1404, /т (,) = 0,14 [1 0,2 1 1 1]Т
и х(0) = [10,8983 1111110,4878 11]Т .
Отметим, что при исследовании модели дистилляционной колонны, представленной первым уравнением в [5] с параметрами (12), выявлено, что только передаточная функция по выходу ут (,) и задающему воздействию г (,) - минимально-фазовая передаточная функция. Поэтому в этой статье, в силу предположения 3, строится система регулирования качеством верхнего продукта (дистиллята).
Очевидно также, что передаточная функция по выходу ут (,) и задающему воздействию г (,) - устойчивая с относительной степенью g= 1.
Цель управления состоит в выборе алгоритма, обеспечивающего выполнение целевого условия (3).
Зададим в (7) Wm (Р) = —1— . Тогда вспомогательный контур определится как
Р —1
є (і) =
1
Р —1
и(ґ).
Пусть в (10) (или (11)) Ж(Р, ц) =^~—“ и ц = 0,1. Очевидно, что \\ЖК(Р, т)||¥ = 1. Тогда
закон управления (10) (или (11)), компенсирующий неопределенности, действующие на дистил-ляционную колонну, определим как
Р — 1 ....... Р — 1
и(ґ) = -
-є(ґ) (и(ґ) = -
-ф)).
0,1Р — 1 0,1Р
Пусть параметры в дистилляционной колонне (1) следующие:
(13)
A =
-0,0135 0,0063 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,0823 0,0097 0,0701 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533 0,0533
0,0988 0,1278 0,0531 0,12 0,0988 0,0988 0,0988 0,0988 0,0988 0,0988 0,008
0,152 0,152 0,181 0,1018 0,1018 0,152 0,152 0,152 0,152 0,152 0,0124
0,1653 0,1653 0,1653 0,1923 0,1027 0,1999 0,1653 0,1653 0,1653 0,1653 0,0477
0,1129 0,1129 0,1129 0,1129 0,1485 0,0427 0,1575 0,1129 0,1129 0,1129 -0,024
0,1023 0,1023 0,1023 0,1023 0,1023 0,1379 0,0221 0,1571 0,1023 0,1023 -0,0217
0,0736 0,0736 0,0736 0,0736 0,0736 0,0736 0,1092 -0,0168 0,1364 0,0736 -0,0156
0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0102 0,0183 -0,0055 0,0102 -0,0021
0 0 0 0 00 0 0 -15,224 -5,0086 299,42
0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0009 0,0288 0,0089 -0,6863
" 0 " 0 0 0 0 0 -
0,533 -0,0005 0 0 0 0
0,0988 -0,009 0 0 0 0
0,152 -0,0014 0 0 0 0
0,1653 -0,0019 -0,1169 0,0086 0 0
B = 3 0,1129 II 2 -0,0011 0,1129 0 0 0 ,
0,1023 -0,001 0,1023 0 0 0
0,0736 -0,0007 0,0736 0 0 0
0,0102 -0,0001 0,0102 0 0 0
0 0 0 0 0, 6229 1,4409
0,0005 0 0,0005 0 0 0
х(0) = [0,5 0,8 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,4 0,5 0,5]Г , f (t) = 0, 14[1 + 2sint, 0,2 + 2sin1,5t, 1 + 2sin2t, 1 + 2sin3t, 1 + 2sin0,5t]r .
На рис. 4 представлены результаты моделирования по выходам y(t) и ym (t), на рис. 5 по ошибке e(t) = y(t) - ym (t).
Рис. 4. Результаты моделирования по y(t) и ym (t)
Моделирование показало, что предложенная система управления компенсирует параметрические и функциональные неопределенности в (1) и обеспечивает выполнение целевого условия (3) с заданной точностью 5. Качество переходных процессов зависит от выбора передаточной функции вспомогательного контура (7), а также величины m в (10) (или (11)). Важно отметить, что реализация системы управления и расчет параметров в ней значительно проще по сравнению со схемами управления дистилляционными колоннами в [8-11].
Заключение
В статье предложен алгоритм робастного субинвариантного управления дистилляционной колонной, математическая модель которой определена параметрически и функционально неопределенным линейным дифференциальным уравнением. Задача решалась с использованием вспомогательного контура, впервые предложенного в [12]. Цель управления состояла в синтезе непрерывного закона управления, обеспечивающего слежение выхода дистилляционной колонны за эталонным сигналом с заданной точностью. Моделирование выявило хорошие показатели качества переходных процессов и подтвердило результаты аналитических расчетов.
В отличие от [8-11], здесь предложен алгоритм, который прост в технической реализации и расчете настраиваемых параметров, а также обеспечивает лучшие показатели качества переходных процессов при любых типах возмущений, действующих на объект управления из указанного класса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Xianku Z., Yicheng J. Control of a multivariable high purity distillation column based on closed-loop gain shaping algorithm // International Journal of Information Technology. - 2005. - Vol. 11, N 5. - P. 116-123.
2. Hsu T.-S., Yu C.-C., Liou C.-T. Composition control of high-purity distillation columns // Journal of Chine Institute of Chemistry Engineering. - 1990. - Vol. 21, N 2. - P. 105-113.
3. Tyreus B. D. Multivarieble control system design for an industril distillation column // Industrial & Engineering Chemistry Process Design and Development. - 1979. - Vol. 18, N 1. - P. 177-182.
4. Diggelen R. C., Kiss A. A., Heemink W. Comparison of control strategies for dividing-wall columns // Industrial & Engineering Chemistry Research. - 2010. - Vol. 49, N 1. - P. 288-307.
5. Буяхияуй К., Григорьев Л., Лаауад Ф. Оптимальное нечеткое управление для снижения энергопотребления в дистилляционных колоннах // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 2. - С. 36-45.
6. Khelassi A. Analysis and assessment of interaction in process control systems: PhD Dissertation, University of Nottingham. - England, 1991.
7. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высш. шк., 2003. - 614 с.
8. Skogestad S., Morari M., Doyle J. Robust control of ill-conditioned plants: high-purity distillation // IEEE Transaction on Automatic Control. - 1988. - Vol. 33, N 12. - P. 1092-1105.
9. Razzaghi K., Shahraki F. Robust control of a high-purity distillation column using m-synthesis // Iranian Journal of Chemical Engineering. - 2006. - Vol. 3, N 2. - P. 20-32.
10. Musch H. E., Steiner M. Robust PID control for an industrial distillation column // IEEE Control Systems Magazine. - 1995. - Vol. 15, N 4. - P. 46-55.
11. Yu W., Poznyak A. S., Alvarez J. Nero control multicomponent distillation column // 14th World Congress of IFAC, Beijing, 1999. - P. 379-384.
12. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.
13. Цыкунов А. М. Алгоритм робастного управления линейными динамическими объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 8. - С. 7-12.
Статья поступила в редакцию 11.02.2011
ALGORITHM OF SUBINVARIANT CONTROL OF DISTILLATION COLUMN WITH DISTURBANCE COMPENSATION
I. B. Furtat
An algorithm of robust subinvariant control of a distillation column, which mathematical model is represented parametrically and by functionally uncertain linear differential equation, is considered in the paper. The received algorithm is simple both in realization and in calculation of adjusted parameters. The algorithm allows to compensate the uncertainties in the distillation column with a specified accuracy. Numerical examples and results of the computer modeling demonstrating the operational capability of the offered scheme are given.
Key words: distillation column, robust subinvariant control, disturbance compensation, auxiliary plant.
