CC BY
21
Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика: Период, сб. переводов иностр. ст. 1961. № 3 (67). С. 77-100.
2. Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // УМН, 1963. Т. 18, вып. 2 (110). С. 3-23.
УДК 624.131+5539.215
А. Г. Марку шин
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИСТЕЧЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ
Сыпучее тело, отдельные зёрна которого не испытывают пластических деформаций ни при каких обстоятельствах его переработки, будем называть твердозёренным сыпучим материалом, или сыпучим телом с т,вёрды,м, зерном. Понятно, что предел текучести отдельных зёрен подобного сыпучего тела должен быть во много раз большим предела пропорциональности самого сыпучего материала. К таким материалам относятся все каменные породы мелкой фракции, пески и т.д.
Рассмотрим истечение сыпучего тела при разгрузке бункера в форме параллелепипеда с горизонтальным выпускным отверстием в виде щели во всю длину днища бункера, расположенным у одной из его боковых
рассмотрение в одном из
движения ма-этих сечений.
стенок, и воспользуемся при этом моделью истечения сыпучего тела [1], основанной на теории пластического течения при переменных нагруже-ниях.
Предположим, что длина бункера достаточна для того, чтобы в каждом поперечном сечении, удалённом от торцевых стенок, можно было бы считать движение сыпучего тела одинаковым, что позволяет ограничить териала его исследованием только
Отнесем выделенное сечение бункера к декартовой системе координат согласно рисунку. Для определения плоского напряженно - деформированного состояния материала и его движения при рассмотрении процесса разгрузки бункера в квазистатической постановке имеем уравнения теории упругости в приращениях напряжений [2]:
д+ дАтХу =0 дАтХу + дAay = дх ду ' дх ду
В основе уравнений состояния пластически деформируемого материала лежат, как правило, условия пластичности, условия упрочнения и ассоциированный закон течения.
В теории течения в случае плоской деформации устанавливается связь между приращениями деформаций dex, dey, djxy7 приращениями напряжений dax, day, dTxy и напряжениями ax, ау, тху.
Будем считать, что упрочнение является изотропным, а приращения деформаций складываются из приращений упругих и пластических составляющих
dex = dexe + dexv, de у = der + deyP, d^xy = d^xy* + d^xyp, (2)
здесь индексами e и p обозначены упругие и пластические составляющие соответственно.
Предположим также, что относительное изменение объёма в и среднее напряжение а связаны также, как и при упругой деформации: а = Кв или da = К de, где К = Х/^, объемный модуль упругости.
Будем считать, что приращения напряжений и упругих деформаций
связаны между собой обобщенным законом Гука:
dsxe = 1/E[(1 -ß2)d(jx-ß(1 +ß)d(jy], d£ye = 1/E[(1 -ß2)d(y-ß(1 + ß)dax],
dYxye = 1/GdTxy. (3)
В качестве условия пластичности возьмем энергетическое условие, по которому наступление пластического состояния определяется только вторым инвариантом девиатора напряжений, а в качестве параметра^ упроч-
(=
= Ф(д) можно построить по диаграмме деформирования материала, найденной из опытов.
Приращения пластических деформаций запишем в виде [2,3]
d£xp = Fa((i)((x - ()d(i, d£yp = Fa((i)((y - ()d(i,
dYxyp = Fa ((i)Txy d(i, (4)
где
( ^ ^^3Txy, (5)
( = (1 + +ß)/3((7x + (y).
Значение функции Fa (ai) может быть найдено с помощью обычной
[4]
' (1 - ß)/((1 + ß)(i)(1/Ek - (1 - 2ß2/(1 - ß))/E), F() = l (i >a1,d£i > (6)
^ 0, (i < aj, d£i < 0, Ek = d(i(£i)/d£i,
где aj - интенсивность напряжений, соответствующая по кривой деформирования пластической деформации eijp, накопленной к началу рассматриваемого этапа нагружения sijp = J dep. Здесь интенсивность дифференциалов пластической деформации вычисляется по формуле
dep = 2/3у/(dexp)2 + (deyp)2 - d£xpd£yp + (djxyp)2. (7)
(3) (4) (2) деформируемой среды по теории течения:
d£x = 1/E[(1 - ß )d(x - ß(1 + ß)d(y] + Fa(ai)(ax - a)d(i,
d£y = 1/E[(1 - ß2)d(y - ß(1 + ß)d(x] + Fa(ai)(ay - a)dai, (8) dYxy = 1/GdTxy + Fa (ai)Txy dai.
122
Численное решение рассматриваемой задачи проведем методом дополнительных деформаций [5], согласно которому решение задачи проводится поэтапно в смысле нагружения. При этом реальный процесс нагру-жения - разгрузки материала аппроксимируется квазистатическим процессом, в котором изменение нагружающего параметра ассоциируется с изменением времени. В качестве нагружающего параметра выберем перемещение V в центре отверстия выпуска материала, а в роли начального приближения решения задачи возьмем решение этой же задачи, но при закрытом выпускном отверстии.
Согласно технике применения метода дополнительных деформаций выполним интегрирование соотношений (8) по времени для п-го этапа нагружения, в результате получим
Апех = 1/Е[(1 - д2)Апах - д(1 + д)Апау] + АпехР,
Ап£у = 1/Е[(1 - д2)Апау - д(1 + д)Апах] + Ап£ур,
АП^Уху 1/^АпТХу + Ап^ХуР 5 (9)
где
Ап£хр —< £хри > Лф^, Ап£уР —< £ури > Лф^, Ап£хуР —< £хуРп > &Ф{,
при этом под < £хрп >, < £урп >, < £хурп > понимается среднее значение величин
£хр = [^ (фг)(фх - ф)]п, £ур = [^ (ф{)(фу - ф)]п, 1хур = [^ап (фг)Гхуп. (10)
(8)
учитывая равенство нулю объемной пластической деформации, будем иметь
АпФх = (А + 2С)Ап£х + \А„£у - 2СА„£хх)
Апфу = (А + 2G)Аn£y + ААп£х - 5 Аптху = ^^^^п^!ху - ^^^^п^хур.
(11)
Для вычисления приращений напряжений, деформаций и перемещений на каждом этапе нагружения построим процесс последовательных приближений. Первоначально приращения перемещений будем вычислять по напряженно-деформированному состоянию предыдущего этапа, затем будем полагать
< Аип >= 1/2(Аип-1 + Аип), < А^п >= 1/2(А^п-1 + А^п),
< £хрп >- 1 /2(£хрп-1 + £хрп), . . . (12)
Расчет будет повторяться до тех пор, пока значения приращений перемещений и пластических деформаций на смежных итерациях не окажутся достаточно близкими.
(11) (1) соотношения, аналогичные соотношениям Коши, связывающие приращения компонент деформации с приращениями перемещений, то можно получить систему дифференциальных уравнений для последних. Решение этой системы относительно приращений перемещений проводилось методом конечных разностей, для чего была поставлена соответствующая краевая задача. Краевые условия для указанной системы определялись следующим образом (рисунок): на границе ЬЫ и ЕЫ: Аптху = 0 АпФу = 0
- свободная поверхность; на границе ЫЫ Апи = 0 Аптху = tgФАnфх -шероховатая стенка, Ф - угол трения; на границе ЕО: Апи = 0 Апу = 0
- абсолютно шероховатая стенка; на границе ОЬ Апи = 0 Аптху=о - идеально гладкая стенка. Конечно-разностная краевая задача (КРКЗ) решалась методом верхней релаксации.
По приведенным выше формулам вычисления проводились в следующей последовательности. Предварительно определялись исходные данные задачи: задавались геометрические характеристики , 6, области решения, механические характеристики материала Е, д, Ф, ф\, ф2, ф^, ф4 и зависимость = Ф{(£{) в аналитической форме или таблично. Далее задавались начальные значения всех величин, принимающих участие в вычислениях - и, V, Аи, Ау, £х, Фх, £х, ер, ... Затем решалась упругопластическая задача при закрытом отверстии, т.е. на всей границе ОЫ принимались условия Аи = 0 Ау = 0. При этом нагружение собственным весом осуществлялось не сразу, а поэтапно -зат- этапов. Алгоритм решения этой задачи является частным случаем алгоритма задачи истечения, и поэтому отдельно его описывать не будем, тем более, что разгрузка отдельных элементов материала при нагружении собственным весом принципиально невозможна. Под элементом материала здесь и далее понимается достаточно большая совокупность отдельных зерен в окрестности узла (г, ]).
Решение задачи при закрытом отверстии будем считать первым этапом решения задачи истечения. Определение компонент решения и2, у2, 2£х, ..., 2Фх, ..., 2ер (индексами внизу условимся отмечать номер этапа нагружения, а индексами вверху, слева или справа, - номер итерации метода последовательных приближений) на втором этапе проводились по формулам
и2 = Щ + А2и, У2 = VI + А2У, 2£х =1 £х + А2£х, . . . , 2Фх =1 Фх +
+А-2&Х, ..., 2ер =1 ер + А2вр (13)
и следующей схеме.
По найденным на первом этапе дополнительным деформациям, при Ар = 0, открытом отверстии и заданным значениям (А^)^ о по некоторому закону (линейному или синусоидальному, % - соответствовало точкам отверстия) решением КРКЗ находилось первое приближение А^1,
1, затем по формулам - аналогам соотношений Коши - определялись соответствующие им величины А2£р, ... •> далее, по ним и формулам (11) при А2£хР = 0, ... вычислялись А2ар, ..., после чего - величины 2ар =1 аХ + А2ар, ... 5 п0 ним и Ф°Рмуле (5) вычислялись интенсивности напряжений а^ Далее, то фор муле (3) определялись приращения упругих деформаций А21 £Хе, затем - приращения пластических деформаций А21 £хр = А21 £Х--А21 £Хв, ..., и то ним и формуле (7) вычислялась интенсивность 2(ер дифференциалов пластических деформаций. После чего определялось значение интенсивности 2ер =1 ер+1 (ер и, наконец, значение интенсивности полных деформаций по формуле
2е1 = аг/\/3 +2 ер.
При этом знак «+» или «-» для а выбирался (так же, как и для 2(ер) исходя из знака объемной деформации 0 = £р + £2, именно, е ели 0 > 0 (т.е. и а > 0, что соответствует растяжению элемента материала), то принимался знак «-», в противном случае при сжатии элемента материала -знак «+».
Далее вычислялось приращение интенсивности деформаций Аei = = 2ер — 1 е,; и затем включался алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела, который выдавал значение а^ интенсивности напряжений, соответствующее кривой деформирования, найденной опытным путем, и значение производной = да(£^)/д£{ - модуль упрочнения, затем по формулам (6) и (10) определялись вели чипы 12£рХ, .■■, и по ним и формулам (11) и (9) переопределялись дополнительные деформации А^Р, ..., причем (а,ь вычислялось как (а,ь =2 а^ —1 а
После чего с найденными значениями А2£Р выполнялась вторая итерация процесса последовательных приближений, затем вычисления повторялись в описанном порядке до тех пор, пока различия в значениях А2—1£1Х ... 6%£Х, ... оказывались меньше требуемой погрешности, после чего по формулам (13) и находились компоненты решения на втором этапе выгрузки бункера (втором этапе нагружения). Третий этап начинался с решения КРКЗ при А2£РХ, ... и нахождения А\п, А^, далее процесс повторялся до значений п2, V2, при которых сохранялся физический смысл получаемого решения.
В заключение отметим, что при учете истории нагружения элемента материала были использованы пределы текучести при растяжении-сжатии динамически уложенного сыпучего тела наряду с таковыми для
[1]
ской укладкой понимается следующее. Предполагается, что при течении материала его зерна, стремясь занять устойчивое положение, ориентируются длинными осями и утолщенными частями по направлению к отверстию и, двигаясь к нему, сближаются (регулярно укладываются), увеличивая тем самым плотность материала и пределы текучести.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего тела с твердым зерном // Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующим с агрессивными средами: Материалы межвуз, науч. конф. Саратов, март 2000 г. Саратов, 2000.
2. Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Сер. Механика. 1965. №2. С. 113-119.
3. Биргер И.А. Теория пластического течения при неизотремичееком нагружении // Изв. АН СССР. Сер. Механика и машиностроение. 1964. №1. 193 с.
4. Маркушин А.Г. Об основных деталях построения теории истечения сыпучего тела с твердым зерном // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 123-126.
5. Шевченко Ю.А. Термопластичность при переменных нагруженных. Киев: Наук, думка, 1970.
УДК 629
И.А. Панкратов, Ю.Н. Челноков
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
В работе [1] было показано, что задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА) посредством ограниченной реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты, сводится к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений десятого порядка и восемью краевыми условиями, которые необходимо дополнить условиями трансверсальности и равенством Н= Н(Л, и°)к = 0, имеющим место для оптимального управления и оптимальной траектории. Здесь Н-
Л
ентации орбитальной системы координат относительно инерциальной системы координат; до - кватернион, сопряженный к фазовой переменной Л;
