13Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-1493-1498
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Мажид Юсупов
Доцент кафедры Методика преподвания информатики Чирчикский государственный педагогический институт myusupov 19561 @gmail. com
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрены и проанализированы алгоритмы краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнении, выведена оптимальная математическая модель.
Ключевые слова: Моделирование, алгоритмы, краевые задачи, дифференциал, эффективность, теория решения уравнений.
ALGORITHMS FOR SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
ABSTRACT
The article discusses and analyzes algorithms of boundary value problems for nonlinear differential equations, an optimal mathematical model is derived.
Keywords: Modeling, algorithms, boundary value problems, differential, efficiency, theory of solving equations.
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование задач механики, физики и других отраслей науки и техники сводятся к дифференциальным уравнениям. Многие дифференциальные уравнения, описывающие физические явления, обычно линейны лишь в первом приближении. Детальное и более точное исследование физических явлений, как правило, приводит к нелинейным уравнениям. Решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны, и их трудно представить простыми формулами. Значительная часть современной теории решения нелинейных дифференциальных уравнений посвящена качественному анализу их поведения [1-3].
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-1493-1498
МЕТОДОЛОГИЯ
Приближенные решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть найдены численными методами. Именно при решении таких уравнений применяются итерационные методы. В вычислительной математике изучаются численные методы решения дифференциальных уравнений, которые особенно эффективны в сочетании с использованием вычислительной техники.
В данной работе предлагается численный метод решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, основанного на использование метода итерации в сочетании метода дифференциальной прогонки (МДП) [4].
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами вида
у' ' (х) + А(х)у'(х) + В(х)у(х) + L(x,y) = С(х) (1)
с граничными условиями:
(аг ± у'( а) + а12 у ( а) = Ь1 { а21у'(Ъ) + а22у(Ъ) = Ь2 '
(2)
Здесь у(х) — искомая функция; А(х), В(х), С(х) — заданные непрерывные функции на отрезке х Е [а; Ь]; Ь(х,у) — нелинейные часть уравнение; а11, а12, а21, а22,Ьг,Ь2 — заданные числа, определяющие вид граничных условий
(2).
постоянные числа, которое подборам можно сформулировать различные краевые условия.
Для решения краевой задачи (1), (2) предлагается вычислительный алгоритм, основанный на использование метода итерации в сочетание с методом дифференциальной прогонки [2].
Рассмотрим следующую линейную краевую задачу
у^(х) + А(хШх) + В(х)уп(рс) = Р(х,уп _ г) (3)
(а± ± у^( а) + аг 2 уп( а) = Ь1
{ а2 1 уп(а) + а22уп(а) = Ь2 ( )
где Р(х,уп -1) = С (х) — Р (х, у п -1 ).
Итерационный процесс осуществляется в следующим порядки. уп - ^х) из правой части уравнение (3), задаётся как начальное приближенное решение, и решается краевые задачи (3), (4). Каждый раз проверяется условии Критерием
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-1493-1498
сходимости итерационного процесса принимается 1уп(х) — у п_г(х) | < г, где s - заданная точность.
Сходимости метода итерации зависит точностью решение краевой задачи (3), (4). Полученное решение МДП с заданными степенью точностью, обеспечить сходимости итерационного процесса.
Согласно методу дифференциальной прогонки решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющей краевым условиям (4), ищется в виде
а(х)у'(х) + ß(x)yn(x) = у(х) (5)
где а(х), ß(x), у (х) — неизвестные функции и определяются, как решение системы дифференциальных уравнений
' а'(х) = а(х)А(х) — ß(x)
ßl (х) = а(х)В(х) (6)
у'(х) = — а{х)Р (х,уп _ 1 ) с начальными условиями
а(а) = aii, ß (а) = % 2, у (а) = bi. (7)
Решая задачу Коши (6), (7) в интрвале [а;b], определяем значения а(b), ß(b) и у(b).
Подставляя а(b) , ß(b) и у(b) в (5) при х = b имеем
а( b)y'( b) + ß(b )уп( b ) = у( b) (8)
Решая совместно (8) и второе условие (4) относительно уп(b) и у'(b) имеем
(b) _ Ъ2а(Ь)_а2ггЧЮ , b2ß(b)_а22У(Ь) ^
уп( ) а22а(Ь)_а2tßib) уп( ) а2±ß(b)_а22а(Ь) ( )
Далее решается уравнение (3) при начальных условиях (9) в интервале [b; а]. Вследствие получим численные решение задачи (1), (2).
Предлагаемый алгоритм решения краевой задачи (1), (2) реализован на персональном компьютере в виде комплексных программ на языке Паскаль.
В качестве тестового примера решены следеющие дифференциальное уравнение
е4х
у'' (х) + (1 + х)у' (х) + (2 — х)у(х) + (1 + х + х2)2у 3(х) =
= (1 + х2)(4 — 3 х)е_ 2х
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-1493-1498
(10)
с краевыми условиями:
[у'( 0 ) + 2 у ( 0 ) = 1 у'(1 )+у( 1 ) = 0 .
Нетрудно убедится, что краевая задача (10), (11) имеет точное решение
(11)
вида
( ) ( )
В таблице приведены точное и приближенное решения краевой задачи (10), (11) и их погрешность А.
Таблица
Точное решение
Приближенно е
решение
Л
0,0 1,00000 0,99973 2,7-10-4
0,1 0,90879 0,90854 2,5-10-4
0,2 0,83120 0,83097 2,3-10-4
0,3 0,76285 0,76264 2,1-10-4
0,4 0,70095 0,70076 1,9-10-4
0,5 0,64379 0,64361 1,8-10-4
0,6 0,59034 0,59017 1,7-10-4
0,7 0,54005 0,53989 1,6-10-4
0,8 0,49263 0,49248 1,5-10-4
0,9 0,44796 0,44783 1,3-10-4
1,0 0,40601 0,40589 1,2-10-4
Полученные результаты показывают эффективность предлагаемого алгоритма при решении нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.
REFERENCES
1. Makhmudova, D. M., Tadjibaev, B. R., Kholboevna, G., Yuldasheva, G. T. (2020). Information and communication technologies for developing creative
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-1493-1498
competence in the process of open teaching physics and maths. International Journal of Psychosocial Rehabilitation, 24(09).
2. Юлдашева, Г. Т. (2021). Методологические основы использования медиа технологий в повышении эффективности обучения. Экономика и социум, 5-2, 1129-1133.
3. Юлдашева, Г. Т. (2021). Тенденции развития навыков интерактивных онлайн-курсов в дистанционных условиях современного общества. Экономика и социум, 5-2, 1134-1141.
4. Tileuovna, G. Y. (2020). Organization of creative activity of students based on innovative technologies. European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences, 8 (5), 140-144.
5. Akhmedov, B. A., Xalmetova, M. X., Rahmonova, G. S., Khasanova, S. Kh. (2020). Cluster method for the development of creative thinking of students of higher educational institutions. Экономика и социум, 12(79), 588-591.
6. Sultanov, R., Xalmetova, M. (2021). Ikki g'ildirakli transport robotlari harakatini dasturlash. Academic Research in Educational Sciences, 2(2), 108-114.
7. Xalmetova, M. X., Sobirova, S. R., Sultanov, R. O., (2021). Robototexnika sohasini maktablarda joriy qilish samaradorligi. Scientific progress, 1(5), 14-17.
8. Abdukarimovich, G. N., Khudainazarovna, K. M., Ravshabekovna, S. S. (2020). Building models of territorial distributed systems. International Journal on Integrated Education, 3(10), 300-303.
9. Нуралиев, У. А. (2021). Исскуственный интеллект в образовании. Academic Research in Educational Sciences, 2(11).
10. Нуралиев, У. А. (2021). Информатика ва ахборот технологилари фанини укитишда инновацион технологиялардан фойдаланиш тамойиллари. Экономика и социум, 11.
11. Ахмеджонов Дилмурод Гуломович, Нодиржон Носиржонович.Гадаев (2020). Development of irrigation water saving technology using an interpolymer complex screen. Наука и Мир, 6(82), 44-47.
12. Ахмеджонов Дилмурод Гуломович, Нодиржон Носиржонович.Гадаев (2020). Разработка технологии экономии поливной воды с применением экрана из интерполимерного комплекса. Наука и Мир, 6(82), 42-44.
13. Ахмеджонов Дилмурод Гуломович, Нодиржон Носиржонович.Гадаев (2020). Пахта сугориш учун ППК фильтрацияга карши экранлардан фойдаланган хрлда сувни тежаш технологилар. Агро процессинг, 3, 58 - 66.
Academic Research in Educational Sciences VOLUME 2 | ISSUE 11 | 2021
ISSN: 2181-1385
Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723 Directory Indexing of International Research Journals-CiteFactor 2020-21: 0.89
DOI: 10.24412/2181-1385-2021-11-1493-1498
14. Ахмеджонов Дилмурод Гуломович, Нодиржон Носиржонович.Гадаев (2020). IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1425.
15. Мухамедов, Г. И., Ахмеджонов, Д. Г., Гадаев, Н. Н. (2019). Оросительный лоток из интерполимерных композиционных материалов. Водоочистка. Водоподготовка. Водоснабжение. 5, 66-68.
