CC BY
30
Оригинальная статья / Original article УДК 621.9
DOI: http://dx.d0i.0rg/l0.21285/1814-3520-2018-4-62-72
АЛГОРИТМ РАЗБИЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ СВОБОДНОЙ ФОРМЫ ПО ЗНАЧЕНИЯМ КРИВИЗНЫ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ ДЛЯ СТАНКОВ С ЧПУ
© Б.Б. Пономарев1, Нгуен Ши Хьен2
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Разработать алгоритм разбиения поверхностей свободной формы на локальные области (отдельные участки), построения границ между этими областями и подготовки исходных данных для формирования оптимального технологического процесса механической обработки и подготовки управляющих программ формообразования таких поверхностей. МЕТОДЫ. Разбиение выполняется на основе средней и гауссовой кривизны в точках поверхности свободной формы. В качестве исходных данных для проведения анализа геометрии участков поверхности предложено использовать координаты узлов сетки ее 3D модели или данные для построения NURBS поверхности. Для разбиения использован программный комплекс Matlab, разработана программа для реализации алгоритма и определения координат границ областей, которые могут импортироваться в любые CAD/CAM-программы. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Алгоритм позволяет разделить поверхность свободной формы на плоские, выпуклые, вогнутые и седлообразные области. Для получения таких поверхностей на деталях различных изделий могут быть использованы современные фрезерные станки. При этом станки должны быть оснащены инструментом различного типоразмера и номенклатуры. Их количество и стратегии обработки, определяющие траектории движения инструмента на участках поверхности относительно заготовки, существенно влияют на производительность. ВЫВОДЫ. Получаемые данные являются основой для выбора формообразующего инструмента и решения задачи оптимизации траектории движения инструмента при многокоординатном концевом фрезеровании в зависимости от формы участков поверхности.
Ключевые слова: разбиение поверхностей, кривизна, фрезерование, поверхности свободной формы, пятико-ординатная обработка.
Информация о статье. Дата поступления 20 февраля 2018 г.; дата принятия к печати 6 марта 2018 г.; дата онлайн-размещения 30 апреля 2018 г.
Формат цитирования: Пономарев Б.Б., Нгуен Ши Хьен. Алгоритм разбиения поверхностей свободной формы по значениям кривизны при подготовке управляющих программ для станков с ЧПУ // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 4. С. 62-72. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-4-62-72
AN ALGORITHM FOR FREE FORM SURFACE PARTITIONING BASED ON SURFACE CURVATURE VALUES UNDER CONTROL PROGRAM DEVELOPMENT FOR CNC MACHINE-TOOLS
B.B. Ponomarev, Nguyen Sy Hyen
Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation
ABSTRACT. The PURPOSE of the study is to develop an algorithm of free-form surface partitioning into local domains (individual regions), construction of boundaries between these regions and preparation of the initial data for the formation of an optimal technological process of machining and preparation of control programs for shaping such surfaces. METHODS. Partitioning is based on the mean and Gaussian curvature in the points of a free-form surface. The coordinates of the 3D model grid nodes or the data for NURBS surface construction are proposed to be used as initial data or the analysis
1Пономарев Борис Борисович, доктор технических наук, профессор кафедры технологии и оборудования машиностроительных производств, e-mail: pusw@istu.edu
Boris B. Ponomarev, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Technology and Equipment of Machinery
Production, e-mail: pusw@istu.edu
2Нгуен Ши Хьен, аспирант, e-mail: syhiendk35@gmail.com
Nguyen Sy Hyen, Postgraduate, e-mail: syhiendk35@gmail.com
0
of the surface region geometry. The Matlab software package has been used for mesh partitioning. A program has been developed to implement the algorithm and determine the coordinates of domain regions which can be imported into any CAD/CAM programs. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The algorithm allows partitioning of free-form surfaces into flat, convex, concave and saddle-type regions. Modern milling machines can be used to obtain these kinds of surfaces on the parts of various products. These machines must be also equipped with the tools of various sizes and product lines. Their number and machining strategies which determine the toolpaths on the surface regions in relation to the workpiece have a significant influence on milling performance. CONCLUSIONS. The obtained data serve as a basis for tool selection and solving of the optimization problem of toolpath planning under multi-axis end milling depending on the shape of the surface regions.
Keywords: surface partitioning, curvature, milling, free-form surfaces, five-axis machining
Information about the article. Received February 20, 2018; accepted for publication March 6, 2018; available online April 30, 2018.
For citation: Ponomarev B.B., Hyen Sh. Nguyen An algorithm for free form surface partitioning based on surface curvature values under control program development for CNC machine-tools // Proceeding of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 4, pp. 62-72. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-4-62-72
Введение
Повышение производительности в современном машиностроении является одной из важных задач, решаемых технологическими методами. Продолжительность формообразования поверхностей деталей может быть сокращена путем оптимизации режимов и других параметров обработки, назначаемых при проектировании технологических процессов. Обоснованность выбора параметров особенно важна для чистовой обработки поверхностей свободной формы (сложных поверхностей), в том числе, скульптурных, которые получают, как правило, на станках с числовым программным управлением с использованием концевых сфероцилиндрических и конических фрез. При этом обработку приходится вести инструментами нескольких типоразмеров. Назначаемый инструмент должен не только обеспечивать обработку всей поверхности, но и иметь возможно больший радиус его сферической и цилиндрической части [1, 2]. Учитывая зависимости, определяющие производительность процесса механической обработки, становится очевидным, что если обработку всей поверхности вести только одним инструментом, обеспечивающим полное ее формообразование, в том числе и в областях с малым радиусом поверхностей сопряжения участков, требуется значительно больше времени, чем при обработке
этой поверхности несколькими инструментами. Выбор оптимальных типоразмеров инструментов для обработки выпуклых, вогнутых и седлообразных областей, карманов и пазов деталей в зависимости от геометрических параметров их поверхностей -задача многокритериальная, требующая теоретического и практического решения [3, 4].
В общем случае, поверхность свободной формы имеет четыре основных типа областей: плоские, выпуклые, вогнутые и седлообразные. От типа и геометрических характеристик области зависит типоразмер и геометрия формообразующей части инструмента, выбираемого при проектировании технологического процесса обработки [5]. Следует учитывать, что детали, имеющие поверхности свободной формы, в современном машиностроении представляются чаще всего 3й-моделями. В связи с отсутствием в этом случае аналитического описания поверхностей, без задания их размеров и формы в числовом виде, при разработке технологического процесса фрезерования возникает необходимость в «распознавании» характера и параметров их отдельных участков. Эта задача может быть решена путем разбиения поверхности свободной формы на области по значениям гауссовой и средней кривизны, а для определения границ каждой из них могут быть использованы их бинарные изображения.
Ш
Разбиение поверхности представляет собой разделение поверхности свободной формы на несколько областей. При этом следует учитывать, что в каждой точке области одного типа имеют одинаковый характер кривизны [6].
С позиций технологии формообразования сложных поверхностей деталей машиностроения, скульптурных объектов, бытовой техники, упаковки, технологической оснастки и тому подобных изделий, их отдельные области могут быть получены по
локальным стратегиям обработки на многокоординатных фрезерных станках с ЧПУ с использованием концевых фрез различных типоразмеров [7, 8]. Целью работы является разработка алгоритма разбиения поверхностей свободной формы на локальные области, построение границ между этими областями и подготовка исходных данных для формирования оптимального технологического процесса механической обработки управляющих программ формообразования таких поверхностей.
NURBS-поверхности свободной формы
Поверхности свободной формы могут быть сконструированы на компьютере. Наиболее часто используемыми формами построения поверхностей в CAD-системах являются поверхности Безье, В-сплайновые поверхности, неоднородные рациональные В-сплайновые поверхности (NURBS).
NURBS поверхность строится на сетке вершин, представленной совокупностью точек Py, размещенных в m рядов по n точек в каждом ряду. Индексы вершины Pу, означают то, что данная точка является j-й по счету в /-м ряду. Уравнение NURBS-поверхности может быть записано в эквивалентной форме [9-10]:
S(u,v) = ZU rjl=0Ri>p.J>q(u,v)Pi>_
(1)
щей вершины; т - количество рядов вершин; п - количество вершин в каждом ряду;
Щд(у) - базисные функции степени р и q в и-направлении и ^-направлении соответственно.
Базисные функции находятся по рекуррентной формуле:
Ni,v(u) =
и- и,
i+p
Ui
Niip-i(u) +
+ ■
и
i+p+i
ii+p+i ui+i
ui.-Ni+1'P-
Nipfä =
1 если ui < u < ui+1 0 в противном случае
(3)
(4)
и определены для значении узлов вида:
где Rip.jq(u, v) - радиус-вектор (рациональная базисная функция) NURBS поверхности, определенный как:
П Л. и) _ "ijNi,p(M)NJ,q<?)Pij RW*(U'V) = Zh Z?=0VijNiiP(u)Nlq(v) ' (2)
где Py, - вершины; wjj- вес соответствую-
p+i p+i V = j0_0,Vq + i.....Vs-q-i,l,.1L\.
q+1 q+1
Здесь r = n+p+1, s = m+q+1.
(5)
К классификации поверхностей свободной формы
С целью группирования поверхностей деталей в некоторые семейства по форме для нормализации, моделирования и типизации технологических процессов их изготовления в работах ряда авторов пред-
лагаются различные подходы к их классификации по определенным признакам [6]. Как правило, методы классификации основываются на двух подходах: систематизации поверхностей в целом как таковых (глобальный подход) и по возможным видам их
@
локальных участков (локальный подход).
Глобальный подход основан на проведении классификации поверхностей свободной формы по характеристическим кривым и их топологическим структурам, таким как: плоские, вогнутые, осевые, шарообразные, конические, объединенные и т.д.
В работе [11] предложено использовать при классификации локальный подход, основанный на анализе внутренних свойств и локальной топологии поверхностей. В этом случае основными признаками является средняя кривизна (Н) и Гауссова кри-
визна (К). При этом можно выделить следующие типы локальных участков поверхностей свободной формы:
1. Если К>0 и Н<0 - локальный участок поверхности выпуклый.
2. Если К>0 и Н>0 - локальный участок поверхности вогнутый.
3. Если К<0 и Н*0 - локальный участок поверхности имеет седлообразный вид.
4. Если К=0 и Н=0 - локальный участок поверхности плоский.
Алгоритм разбиения поверхностей свободной формы
Для разбиения поверхности свободной формы на локальные участки (области поверхности) может использоваться программа математического анализа Matlab. Следует рассмотреть два случая формирования исходных данных обрабатываемой поверхности:
1) поверхность NURBS с узлами и весами;
2) поверхность, созданная в CAD-программах.
В первом случае исходные данные узлов и весов могут быть представлены в файле Excel и импортированы в программу Matlab. После этого происходит построение поверхности, создание сетки точек поверхности, разделение поверхности на области по значениям кривизны и построение границ. Затем происходит экспорт координат точек границ в * TXT файл. Кроме того, в программе Matlab создается подпрограмма создания файла * STEP для импорта 3D модели поверхности в любую САПР-программу.
Во втором случае, создание сетки точек поверхности происходит в CAD-программе, например, в Unigraphics NX, затем координаты этих точек импортируются в Matlab, где по значениям кривизны определяются области обработки и их границы.
На рис. 1 представлен алгоритм разбиения поверхностей свободной формы для
двух случаев представления исходных данных.
Алгоритм определения областей при разбиении поверхностей свободной формы предполагает выполнение следующих действий:
1) расчет гауссовой (К) и средней кривизны (Н) в каждой точке сетки поверхности;
2) определение в каждой точке по значениям К и Н идентификационных номеров и заполнение ячеечного массива с обозначением по правилу: 0 - значение элементов исходной матрицы, 1 - точки плоской области, 2 - точки вогнутой области, 3 - точки выпуклой области и 4 - точки седлообразной области;
3) «возврат» декартовых координат точек каждой области в ячеечный массив и построение матрицы точек для отображения разделенных областей поверхности.
На рис. 2 представлен пример структуры ячеечного массива точек вогнутой области.
На основе представленного выше алгоритма, инструментальных средств программного комплекса МаИаЬ, теории дифференциальной геометрии кривых и поверхностей [12], подходов, предложенных в работе [13], разработана программа разбиения поверхностей свободной формы на области по значениям кривизны.
Ш
Алгоритм определения границ областей
Разбиение поверхности свободной формы позволяет выделить области, геометрические параметры которых оказывают влияние на формирование технологии формообразования. Для выделенных областей могут быть применены различные типоразмеры инструментов, номенклатура, их количество и стратегии обработки, определяющие траектории движения инструмента относительно заготовки. Для подготовки
управляющей программы обработки области выбранным инструментом или комплектом инструментов требуется определить ее границы.
Для этого предлагается использовать метод цепного кода [14], который отслеживает наружные границы объекта на бинарном изображении. Матричное бинарное изображение, создаваемое из ячеечного массива каждой области, представляет собой исходные данные, в результате обра-
NURBS
Импорт данных из файла Excel / Data import from the Excel file
Создание сетки точек по направлениям и и v/ Point grid creation in и and v directions
Создание сетки точек I Point grid creation
Импорт данных в Matlab / Data import in Matlab
Построение поверхности I Surface construction
Расчет гауссовой и средней кривизны / Calculation of Gaussian and mean curvature
Экспорт файл модели поверхности и точек границ / Export file of the surface and boundary points model
Рис. 1. Алгоритм разбиения поверхностей свободной формы Fig. 1. Algorithm of free form surface partitioning
Ш
По направлению v/ In v direction
1 2 3 4 5 6 7
<D T3
c; <D
m .;=
ГО "О
ÉP =
ГО !=
И! -
О
7
0 0 0 0 0 0 0
0 0 2 2 0 0 0
0 2 2 2 2 0 0
0 2 2 2 2 0 0
0 2 2 2 2 0 0
0 0 2 2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
Рис. 2. Пример структуры ячеечного массива области Fig. 2. Example of the matrix structure
ботки которых может быть получена матрица, содержащая координаты точек, определяющих границы между областями [15]. При этом ненулевые пикселы ячеечного массива (цифры 1, 2, или 3) (рис. 2) соответствуют 1 бинарного изображения области поверхности, границу которой необходимо определить, а нулевые пикселы соответ-
ствуют фону и отображают переход к другим типам областей поверхности.
С помощью метода цепного кода определяются границы для каждой области поверхности. Координаты границ экспортируются в * ТХТ файл, с помощью которого строится линия границы в САй/САМ-программах.
Разбиение NURBS-поверхностей
Интерфейс работы программы по предлагаемому алгоритму демонстрируется
на рис. 3. Применение функций МаИаЬ для разбиения поверхности свободной формы
Рис. 3. Интерфейс программы в Matlab Fig. 3. Program interface in Matlab
3
4
5
6
Ш
на области и определение их границ по значениям кривизны позволяет значительно сократить время на подготовку данных для разработки управляющих программ для станков с числовым программным управлением (ЧПУ), а также повысить достоверность получаемых результатов.
Пример разбиения поверхности, исходные данные по узлам и весам которой представлены в таблице заимствованы из библиотеки Mathworks [16], демонстрирует простоту решения и точность получаемого результата. Данные в скобках таблицы: три первых значения - координаты узлов, четвертое значение - вес линий NURBS. Значения узлов должны образовывать неубывающую последовательность, а в остальном на них не накладывается никаких ограничений [11]. В работе значения узлов каж-
дого порядка по параметрическим направлениям u и v определяются рядом {0 0 0 1/3 2/3 1 1 1}.
На рис. 4 представлен результат создания и разбиения NURBS-поверхности на области с использованием программного обеспечения МаИаЬ. В результате анализа поверхность делится на 7 областей: 2 вогнутые области выделены голубым цветом, 1 выпуклая область - желтым цветом, 4 седлообразные области - синим цветом, границы областей выделены красным цветом.
После расчета границ в МаНаЬ, NURBS-поверхность экспортируется в *^ТЕР файл, а координаты точек границ в *.ТХТ файл. Полученные данные могут импортироваться в программу итдгарЫсБ NX для создания линий границ и 3й модели (рис. 5).
Узлы и веса NURBS поверхности Nodes and weights of the NURBS surface
По направлению v / In v direction
По направлению u / (0,0,2,1) (3,0,2,1) (5,0,7,1) (8,0,7,1) (10,0,8,1)
(0,3,0,1) (3,3,0,1) (5,3,5,1) (8,3,5,1) (10,3,7,1)
(0,5,0,1) (3,5,0,1) (5,5,5,1) (8,5,5,1) (10,5,7,1)
(0,8,5,1) (3,8,5,1) (5,8,8,1) (8,8,8,1) (10,8,10,1)
(0,10,5,1) (3,10,5,1) (5,10,8,1) (8,10,8,1) (10,10,10,1)
NURBS surface
Рис. 4. Результат создания и разбиения NURBS-поверхности Fig. 4. Result of NURBS surface creation and partitioning
Ш
Рис. 5. Построение границ областей в Unigraphics NX Fig. 5. Construction of domain boundaries in Unigraphics NX
Разбиение поверхности SD-модели
Для деталей, проектируемых в САй-программах в виде 3й-моделей, сложно определить исходные данные узлов и весов для описания поверхности в МаНаЬ. Поэтому для разбиения поверхности предлагается создавать сетку точек поверхности, подлежащей обработке, в других программах и затем координаты точек сетки импортировать в программу МаНаЬ в качестве исходных данных для выполнения дальнейших операций. На рис. 6 представлена сетка на поверхности, созданная с использованием программы итдгарЫсБ NX.
Интерфейс программы в аналитической программе МаНаЬ и результат создания и разбиения поверхности представлены на рис. 7, 8.
После разбиения файл в формате *.ТХТ, содержащий координаты точек границ областей поверхности, импортируется в САй-программу. «Возврат» координат позволяет построить линии границ (рис. 9) и с использованием САМ-системы подготовить управляющую программу формообразования детали. При этом модули оптимизации процесса обработки отдельных областей поверхности дают возможность подобрать комплект инструментов и определить стратегии фрезерования ограниченных ее участков (локальные стратегии обработки), обеспечивающих повышение производительности формообразования и минимизацию объемов доводочных работ.
Рис. 6. Сетка точек поверхности Fig. 6. Surface grid
m
Рис. 7. Интерфейс программы для разбиения на области CAD-модели поверхности в Matlab Fig. 7. The program interface for CAD-surface model partitioning in Matlab
Рис. 8. Результат создания и разбиения 3D-модели поверхности Fig. 8. The result of 3D-surface model creation and partitioning
Рис. 9. Границы областей в CAD-модели Fig. 9. Boundaries of regions in the CAD model
Вывод
Предложенный алгоритм позволяет произвести деление поверхности свободной формы на отдельные области (плоские, вогнутые, выпуклые и седлообразные) и определить границы этих участков на основе параметров кривизны в узловых точках поверхности. На примерах показано, что при этом могут быть использованы возможности высокопроизводительных систем математического анализа МаИаЬ и 3й-моделирова-ния итдгарЫсБ МХ. Получаемые данные являются основой для решения задачи оп-
тимизации траектории движения инструмента при многокоординатном концевом фрезеровании поверхностей в зависимости от формы участков. Результаты решения позволяют обоснованно выбирать инструмент, соответствующий конфигурации обрабатываемых деталей, что обеспечивает повышение производительности процесса формообразования, сокращает затраты на доводочные работы, а также способствует повышению эффективности использования дорогостоящего технологического оборудования.
Библиографический список
1. Пономарев Б.Б. Оптимизация стратегии фрезерования сложных поверхностей. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2003. 239 с.
2. Сергеев О.С., Гисметулин А.Р., Маданов А.В. Автоматизация подготовки управляющих программ для станков с числовым программным управлением // Известия Самарского научного центра РАН. 2012. Т. 14. № 4 (2). С. 399-402.
3. Ponomarev B.B., Paykin D.B. Selecting Optimal Machining Strategy Parameters when Milling Complex Surfaces by Spherical Milling Cutters, International Journal of Mechanical & Mechatronics Engineering. 2014. Vol. 14. № 1. P. 1-5.
4. Данилов В.А. Формообразующая обработка сложных поверхностей резанием. Мн.: Наука и техника, 1995. 264 с.
5. Chen Z., Dong Z., Vickers G. W., "Automated Surface Subdivision and Tool Path Generationfor 3 1/2 axis CNC Machining of Sculptured parts", Computer in Industry. 2003. Vol. 50. P. 319-331.
6. Нгуен Ши Хьен. О классификации поверхностей свободной формы // Новая наука: Современное состояние и пути развития: материалы Междунар. науч.-практ. конф. (г. Стерлитамак, 30 августа 2016 г.). Стерлитамак, 2016. C. 99-105.
7. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. М.: Физматлит, 2002. 472 с.
8. Piegl, Les and Tiller, Wayne. The NURBS Book, 2 nd Edition, Springer-Verlag (Berlin), 1997.
9. Радзевич С.П. Формообразование поверхностей деталей. Растан, 2001. 592 с.
10. Манфредо П. до Кармо. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. 608 с.
11. NURBS Toolbox by D.M. Spink re-uploaded. The previous link has broken. URL: https://www.math-works.com/matlabcentral/fileexchange/26390-nurbs-toolbox-by-d-m-spink (15.01.2010).
12. Gonzalez R.C., Woods R.E, Eddins S.L., Digital Image Processing Using MATLAB, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 2004.
13. Jensen, C.G., Red, W.E., and Pi J. 2002. Tool selection for five-axis curvature matched machining. Computer Aided Design, 34 (3), рр. 251-266.
14. Shih Frank. Image processing and pattern recognition: fundamentals and techniques. IEEE Press, 2010, 537 p.
15. Nurbs2IGES - File Exchange - MATLAB Central. URL: https://www.mathworks.com/matlabcen-tral/fileexchange/12087 (31.08.2006).
References
1. Ponomarev B.B. Optimizatsiya strategii frezerovaniya slozhnykh poverkhnostey [Optimizing the strategy of complex surface milling]. Irkutsk: Irkutsk State Technical University Publ., 2003, 239 p. (In Russian).
2. Sergeev O.S., Gismetulin A.R., Madanov A.V. Avtom-atizatsiya podgotovki upravlyayushchikh programm dlya stankov s chislovym programmnym upravleniyem [Development of methodics of automatic programming for computer numerical control machines] // Izvestiya Sa-marskogo nauchnogo tsentra RAN [Izvestia of Samara
Scientific Center of the Russian Academy of Sciences], 2012, vol. 14, no. 4 (2), pp. 399-402. (In Russian).
3. Ponomarev B.B., Paykin D.B. Selecting Optimal Machining Strategy Parameters when Milling Complex Surfaces by Spherical Milling Cutters, International Journal of Mechanical & Mechatronics Engineering, 2014, vol. 14, no. 1, pp. 1-5.
4. Danilov V.A. Formoobrazuyushchaya obrabotka slozhnykh poverkhnostey rezaniyem [Shaping of complex surfaces by cutting]. Nauka i tekhnika [Science and Technology], 1995, 264 p. (In Russian).
5. Chen Z., Dong Z.,Vickers G. W., "Automated Surface Subdivision and Tool Path Generationfor 3 1/2 1/2 axis CNC Machining of Sculptured parts", Computer in Industry, 2003, vol 50, pp. 319-331.
6. Nguen Sh.H. O klassifikacii poverhnostej svobodnoj formy [On the classification of free form surfaces]. Ma-terialy Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konfer-encii Novaja nauka "Sovremennoe sostojanie i puti razvitija" [Proceedings of the International scientific and practical Conference New science "Current state and development directions"]. Sterlitamak, 2016. P. 99-105. (In Russian).
7. Golovanov N.N. Geometricheskoye modelirovaniye [Geometric modeling]. Moscow, Phismatlit Publ., 2002, 472 р. (In Russian).
8. Piegl, Les and Tiller, Wayne; The NURBS Book, 2nd Edition, Springer-Verlag (Berlin), 1997.
9. Radzevich S.P. Formoobrazovaniye poverkhnostey detaley [Part surface shaping]. Kiev: Rastan Publ., 2001, 592 р. (In Russian).
Критерии авторства
Пономарев Б.Б., Нгуен Ши Хьен подготовили статью и несут ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
10. Manfredo P. to Carmo. Differentsial'naya geometriya krivykh i poverkhnostey [Differential geometry of curves and surfaces]. M.-Izhevsk: Institute of Computer Sciences Publ., 2013, 608 p. (In Russian).
11. NURBS Toolbox by D.M. Spink re-uploaded. The previous link has broken. URL: https://www.math-works.com/matlabcentral/fileexchange/26390-nurbs-toolbox-by-d-m-spink (accessed 15 January 2010).
12. Gonzalez R. C.,Woods R. E, Eddins S. L., Digital Image Processing Using MATLAB, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 2004.
13. Jensen, C.G., Red, W. E., and Pi, J. 2002. Tool selection for five-axis curvature matched machining. Computer Aided Design, 34(3), pp 251-266.
14. Shih Frank. Image processing and pattern recognition: fundamentals and techniques. IEEE Press, 2010, 537 p.
15. Nurbs2IGES - File Exchange - MATLAB Central. URL: https://www.mathworks.com/matlabcentral/ fileexchange/12087 (accessed 31 August 2006).
Authorship criteria
Ponomarev B.B., Hyen Sh. Nguyen have prepared the article for publication and bear the responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
