CC BY
41
ах^^ =
-и1х3(х3 + С05Х2)/(2 + 2Х3С05Х2 +х3) -и2 5тх2/(2 + 2х3совх2 + х2), ах2/^ = и15
ах3/а1 = и2, (7)
где х = (х1,х2,х3) £Я3, и = (и^^) е R2,
с граничными условиями
х(0) = (л/4, л/2,1), х(Т) = (л/2,0,2) (8) и фазовыми ограничениями -л/2 < х1 < л/2, -л/2 < х2 < л/2, 0 < х3 < 2. (9)
Для приближенного решения задачи (7)-(9) применяется следующая стратегия, реализуемая программой GlobAlg. На первом шаге решения задачи (7)-(9) выбирается промежуточная целевая точка внутри области (9), и система (7) с границы области (9) перемещается в выбранную целевую точку с помощью постоянных управлений. Затем внутри области (9) выбирается вторая промежуточная цель, достаточно близкая к первой, и решается двухточечная граничная задача управления двумя способами: 1) с помощью центральных управлений исеп1ге(1), £ = 10"2, 2) с помощью оптимальных управлений иор1(1), £ = 10_3. На последнем шаге решения задачи (7)-(9) система (7) посредством постоянных управлений перемещается из £-окрестности второй промежуточной целевой точки в £-окрестность финальной точки условия (8). В первом случае траектория системы (7) называется центрально-постоянной траекторией. Она приходит в финальную точку условия (8) с точностью £ = 10"2. Во втором случае траектория системы (7) называется оптимально-постоян-
ной траекторией, она приходит в финальную точку условия (8) с точностью £ = 10_3. В течение общего времени движения Т = 1 обе траектории остаются в области, являющейся объединением параллелепипеда (9) и соответствующей £-окрест-ности терминальной точки.
Подытоживая, следует отметить, что в статье приводится компьютерная реализация FindCon-trolLoc вычислительного алгоритма приближенного решения локальной задачи управления (1)-(3). Описывается библиотека управлений NilpControls, благодаря которой программа FindControlLoc осуществляет пять стратегий управления системой в малой окрестности целевой точки. Описывается программный комплекс, основанный на базовой программе FindControlLoc, который позволяет решать глобальные задачи управления с фазовыми ограничениями. Приводятся примеры работы локального алгоритма и глобального, учитывающего фазовые ограничения системы. Дальнейшее развитие программного комплекса для повышения эффективности вычислений планируется с использованием методов параллельного программирования.
Литература
1. Дьяконов В. Maple 6: учебный курс. СПб: Питер, 2001.
2. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах оптимального управления. М.: Наука, 1997. 288 с.
3. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.
4. Jean. F. // Lectures on Dynamical and Contol Systems, Trieste, 2003.
5. Сачкова Е.Ф. Решение задачи управления для нильпо-тентной системы // Дифференциальные уравнения. 2008. № 12. С.1704-1707.
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ И ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-06-00141)
С.А. Амелъкин, к.т.н. (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславлъ-Залесский, sam@sam.botik.ru)
В работе рассматривается производственное предприятие, работающее в открытой экономической системе. Технологическое оборудование предприятия представляет собой тепловую машину. Требуется определить максимальное значение термодинамической (КПД тепловой машины) и экономической (рентабельности предприятия) эффективности такого производства. Получены условия оптимальности для этой задачи.
Ключевые слова: открытая экономическая система, тепловая машина,термодинамическая и экономическая эффективность производства.
Максимальная прибыль производственной фирмы может быть достигнута как за счет выбора цен (или объема выпуска товара) при наличии монополистической власти, так и за счет оптимальной организации технологического процесса. Задача оптимального выбора технологического процесса сводится к определению минимальных издержек при заданном объеме производства. Решение ее - кривая развития фирмы - дает возмож-
ность ставить задачу оптимального ценообразования, позволяющего добиться максимума прибыли или предельного значения любого другого экономического критерия.
Подробно изучен случай, когда технологическая линия представляет собой тепломеханическую систему (например тепловую машину). Исследования в этой области получили название «термоэкономика» [1]. Кривая производственных
возможностей в этом случае - это кривая зависимости максимального КПД тепловой машины от ее мощности. На этой кривой выбираются точки, соответствующие максимуму прибыли при постоянных издержках (см. рис.).
1
0,9
0,8
0,7
0,6
н
к 0,Ь
и
0,4
0,3
0,2
0,1
0
И
. N ■N \ \
-T0h=1500 К — • T0h-2000К --T0h=1800К ----T0h=2500К
о
10
20
30
40
50
60
Мощность двигателя. кВт (тестовый пример)
Зависимость максимального КПД тепловой машины _от ее мощности_
Такой подход не учитывает взаимосвязи между стоимостью ресурсов, требуемых для технологического процесса, и параметрами этого процесса: затраты на потоки теплоты связаны не с экзогенными параметрами этих потоков (температурой источника, площадью поверхности контакта рабочего тела с источником), а с интенсивностью потока, определяемого температурой рабочего тела.
Рассмотрим задачу определения кривой развития фирмы, то есть зависимость минимальных издержек фирмы от производимой мощности, и проанализируем ее свойства для случая, когда
• фирма может влиять на цены как целевого потока (мощности), так и потоков теплоты, поступающих и отводимых от рабочего тела;
• цены на ресурсы зависят не только от интенсивности потоков, но и от значений параметров уравнений теплопередачи; это означает, что цена ресурса определяется и количеством ресурса, и его качеством.
Опишем тепловую машину. Рабочее тело с распределенными параметрами контактирует с двумя источниками, имеющими постоянные температуры Т0ь и Т0/. Температуры рабочего тела в контакте с источниками - Т0ь и Т0/ соответственно. Будем предполагать законы теплопередачи линейными:
Яь а (Т0ь -Ть); Ф=а, (Т«-Т,). (1)
Тепловая машина за счет теплообмена с источниками вырабатывает мощность п=яь+я/. Предприятие, технологической линией которого является тепловая машина, покупает теплоту и продает мощность. На всех рынках оно обладает монополистической властью: цены на теплоту рь, р/ и мощность рп зависят от интенсивности потоков. Цены рь, р1 зависят и от параметров источников тепла, так что рь=рь(Яь, Ть), р/=р/(Я/, Т<и).
Цель предприятия - получение максимальной прибыли п от продажи мощности. Рассмотрим стационарный режим, когда интенсивность потоков не изменяется во времени.
Алгоритм решения задачи
Задача определения оптимальных технологических параметров решается в три этапа.
На первом этапе для каждого значения п определяются такие величины температуры рабочего тела Т0ь, Т0/ и потоков теплоты Я/, которые обеспечивают наибольший КПД тепловой машины. Для этого следует решить задачу определения минимальной диссипации:
Яь(Тсь,Ть) Я,(Тог,Т/ )
G =
T
Aftl
-+-
T
-»min
Th,T;
(2)
10Ь *01
при условии, вытекающем из энергетического баланса рабочего тела
Яь(Т0ь, Ть)+Я,(Т0„ Т/)=п, (3)
и условии энтропийного баланса рабочего тела
Qh(Tch,Th) , q,(T0/,Ti )
. г
0h T01
+
=0.
(4)
TT
T0h T0,
На втором этапе требуется найти минимальные издержки предприятия. При заданном значении мощности n и известной зависимости цены готовой продукции p(n) доход предприятия np(n) также задан. Поэтому задача о минимуме издержек идентична задаче о максимальной экономической эффективности - рентабельности предприятия:
с=Ph(qh,T0h)qh(T0h,Th*)+
+P/(q/Л,)qi(T01 ,T;)^ min, (5)
10h,10/
где Th, T, - решение задачи (2)-(4). На этом этапе не требуется учитывать условие (3), так как значе-
т> * т*
ния lh , T определены с учетом этого условия и выражения для оптимальных значений этих температур зависят от n.
В задаче (5) учитываются только текущие издержки на приобретение теплоты. Когда требуется учесть издержки на другие факторы производства (например, на труд, капитал в виде амортизации оборудования и пр.), выражения для этих факторов производства должны быть включены в критерий (5). Впрочем, если эти факторы производства не зависят от температур T0h, T0/, задача (5) будет сепарабельной. Например, если амортизация оборудования (определяемая капитальными вложениями) ck зависит от площадей контакта рабочего тела с источниками ck=f(ah, «,), то требуется наряду с задачей (5) решить задачу
f(ah, а min (6)
«h.«/
при условии либо сохранения общей площади теплообмена,
аь+Ог=Л, (7)
либо сохранения эквивалентного значения коэффициента теплопередачи
-ап •
а а,
(7')
h^i
(Примем, что коэффициенты теплопередачи пропорциональны площади контакта с источниками. Тогда ограничение на общую площадь теплообмена можно заменить на требование постоянства суммы коэффициентов теплопередачи.) Решение этих задач рассмотрено в [2].
Решая задачу минимума издержек при заданной мощности, получим решение задачи об эффективности производства - как технологической (КПД машины), так и экономической (рентабельность). В результате решения задач (2)-(4), (5) и (6)-(7') получаем зависимость с(п), которая может использоваться на третьем этапе для решения задачи
П=р(п)п-с(п)^тах . (8)
п
Решение задачи (8), стандартной для курса микроэкономики, приводит к требованию равенства максимальных издержек предельному доходу [3].
Можно решать и другие задачи, например, о максимальной мощности. При любом абсолютном критерии на этом этапе решение соответствует максимальным значениям КПД и рентабельности, а значит, режим работы предприятия относится к классу процессов минимальной диссипации и в термодинамическом, и в экономическом смыслах.
Рассмотрим задачи каждого этапа подробнее.
Задача о минимуме диссипации при заданном целевом потоке (мощности) (2)-(4) решена в [4]. Получена зависимость КПД тепловой машины от мощности и параметров линейных законов теплопередачи:
П=1-
g(T0h + T )-n-^n+a(T„h -TM )J -4аТ„,|П
2аТ„,
'(9)
где а=аьа; /(аь+а;) - эквивалентный коэффициент теплопередачи.
На данном этапе решения задачи нас интересуют оптимальные зависимости потоков теплоты от источников к рабочему телу.
Получим эти зависимости. Функция Лагранжа для задачи (2)-(4) имеет вид
Ь=Ьь+Ьг+Хп, (10)
где Ь, = qi(T„i,Ti)
" Ti У
T
T0i
, ie {h, l}.
(11)
Здесь X, ц - неопределенные множители Ла-гранжа, соответствующие ограничениям (3)-(4). Необходимые условия оптимальности ЭЬ/ЭТрО (1е {Ь, /}) приводят к равенствам
T = T
Ц
T„i Я.-1
=T„i (1-Xi(T„i)).
(12)
Обозначив xi(T0i)=1-
Ц
и подставив
f T„i ^-1
найденные значения Tj в условия (3), (4), получим систему уравнений
ahT„hxh (T„h )+ai T„i xi (T„i)=n; • а X|(T„h) +а xi(T„i) (13)
=0.
1-хь(Тоь) 1-х; (Тог) Выражая из первого уравнения (13) х;(хь) и подставляя полученное выражение во второе уравнение (13), получаем квадратное уравнение
а
ahT0hXh
n (T0h-
■T01 )
-n=0.
Используя выражение для эквивалентного коэффициента теплопередачи а=аьа1/(аь+а;), находим значения хь и х;, подставляем их в (12), получаем выражения для Ть и Т;. Найденные значения подставляем в уравнения кинетики (1) и находим искомые выражения для теплоты:
qh = n+a(T0h - T0i )-VD], qi=2 [n-a(T0h - T01 )+VD] ,
(14)
где D =[n+a(T)h -T0i )J -4aT0hn . (15)
Задача о минимуме издержек. Зная зависимость потоков теплоты (14), (15) от значений T0h, T0l, можно выписать условия оптимальности для задачи (5):
Эе
dT„,
Эе dT„,
= 0^
+
dPh(
dqh
dPi
dqi
u+р,
dqh
3Tm
+Pi
dq
i +IP4,=0,
dT0h dT0h
(16)
=0^
+
dPi(
dqi
dPh(
i, + р,
i+Pi
dq,
3T0i
i.+_dPi
dT0i dT0
qi = 0.
Рассмотрим значения производных Эqi/ЭT0j=0 (1, je{h, /}). Для этого представим выражения для потоков теплоты в виде
qh = 2(п+к)^; = 2(п-к), (17)
где к=а(Т0Ь-То; )-л/б . Только к зависит от значений Тоь, То, Поэтому ^=-^, je{h, I} , (18) Э10 ЭT0j
а значит, уравнения (16) могут быть сведены к ра-дРь „ дР;
венству
эх,
q,
dT0i
dPh dPi ' dT0h dT0i
(19)
ah+ai
Надо учесть, что Яь>0, qí<0, Эqh /ЭТ№<0, Эqг /ЭТ0/<0. Последние два неравенства требуют пояснений, так как согласно (1) обе производные должны быть положительными. Однако мы рассчитываем эти производные с учетом решения задачи (2)-(4). В этом случае qh=qh(Toh, Ти), qh=qh(T0h, Тог), которые определяются формулами (14), (15). При увеличении температуры Т№ требуется меньший поток теплоты, чтобы обеспечить заданную мощность п; при увеличении температуры Т0г требуется большее значение интенсивности отвода теплоты от рабочего тела, а значит, меньшее значение qог.
Из равенства (14) примем, что
sign
dT,
=sign
'ap.^
Oh
\3T0i J
Это также становится понятным, если учесть, что при q,<0 требуется, чтобы р, было также отрицательным. Производные dqh/dT0h, dq/3T0l связаны с интенсивностью потоков qh и q, следующим образом:
dqh = 415^2а(П +a(Toh - Toi ))-4ап]=
dToh 2
4s 1+
n-a(Toh - To, )
VD
aq,
VD'
dq, 3Tn,
=^a- 4!Dt-2a(n+a(Toh - To, ))> a L n+a(Toh - To, )"
2
1
VD
aq, VD'
(20)
С учетом (20) равенство (19) примет вид
f \2 qh,
dp, dT
"dp,,/ 3To,
(21)
откуда с учетом отрицательности величины q,:
dp,/ dT
q,
q, \3pJ dTo,
n=i+^=i-
или
dp,/ dT
(22)
Чь PpJ dToh
Уравнение (22) является условием оптимальности для выбора таких значений T0h, T0l, чтобы экономическая эффективность предприятия была бы наибольшей, а значит, диссипация капитала -наименьшей [2].
Интересно, что для выбора функций спроса и предложения (кинетики ресурсообмена в экономической системе), определяющих зависимость цен от интенсивностей потоков и величин температур источников T0j (je {h, /}), удобно воспользоваться следующей зависимостью:
Pj = Vj _ Pjqj(T0h,T°' ),je{h,,}. (23)
Это связывает цену с потоком энтропии, отбираемым от j-го источника.
К сожалению, расчет значений T0h, T0, для зависимостей (23), удовлетворяющих условиям (22), а значит, и решение задач третьего этапа, аналитически невозможны - требуется численный расчет для конкретных значений параметров кинетики ресурсообмена a, ph, р,, vh, v,, а также заданной функции спроса p(n).
Литература
1. Sieniutycz S., Salamon P. (eds.). Finite-Time Thermodynamics and Thermoeconomics. Taylor & Francis, 1990.
2. Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин А.М. Математические методы термодинамики при конечном времени. М.: Химия, 2000.
3. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика. Дело, 1992.
4. Цирлин А.М. Оптимальные циклы и циклические режимы. М.: Энергоатомиздат, 1985.
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.А. Ахременков, к.т.н. (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский,
andrei@eco. botik. ru)
В работе рассмотрена задача расчета максимальной извлекаемой мощности для термической системы произвольной конфигурации, содержащей тепловую машину.
Ключевые слова: оптимизационная термодинамика, тепломеханический преобразователь, тепломеханические системы.
Термодинамика при конечном времени получила первый толчок для своего развития в задаче о цикле тепловой машины с максимальной мощностью [1, 2]. При этом в большинстве работ рассматривалась система, состоящая из тепловой машины и нескольких резервуаров с заданными и постоянными температурами [3].
Между тем эта задача особенно актуальна для систем, состоящих из термических резервуаров и
подсистем конечной емкости с различающимися температурами, находящихся в контакте с резервуарами и друг с другом (см. рис.).
В такой системе с отличающимися друг от друга температурами резервуаров при заданных законах и коэффициентах теплопереноса устанавливается стационарный режим, характеризующийся распределением температур между подсистемами и дискретным температурным полем. При
