CC BY
10Алгоритм расчета сталежелезобетонных водоводов
К.т.н., начальник отдела расчетных обоснований сооружений Г.Л. Козинец*,
ОАО «Ленгидропроект»
Ключевые слова: сталежелезобетонные гидротехнические сооружения; напорные водоводы; металлическая оболочка; метод конечных элементов; матрица жесткости; метод Ньютона-Рафсона; трещинообразование; критерии прочности
Постановка задачи. Работоспособность сталежелезобетонного гидротехнического сооружения зависит от прочности составляющих его элементов: бетона, арматуры и стальной оболочки, на которую непосредственно действует гидростатическое давление воды. Для исследования напряженно-деформированного состояния сталежелезобетонного гидротехнического сооружения классические теории применимы лишь условно, так как сталежелезобетон - комплексный материал, обладающий способностью к трещинообразованию. Этот фактор определяет появление деформационной анизотропии, поэтому актуальной является задача адекватного математического моделирования и расчета напряженно-деформированного состояния таких сооружений.
Изученность проблемы. В настоящее время для расчета сталежелезобетонных сооружений используется ряд методик. Существующие российские нормативные документы фактически приводят все расчетные зависимости лишь для плосконапряженных железобетонных конструкций, при этом не учитываются особенности работы пространственных сталежелезобетонных гидротехнических конструкций, не регламентируется учет возможных схем изменения элементов сооружения.
Большинство новых методик разработано за рубежом, они положены в основу действующих международных норм по проектированию (DIN, AMERIKAN-STANDART) и применимы для строительных конструкций. Использование указанных норм для гидротехнических сооружений в Российской Федерации не регламентировано и крайне ограничено, так как в российских нормах заложены гипотезы и подходы, отличающиеся от тех, что реализованы в международных стандартах.
Систематические исследования бетона и его физической нелинейности были начаты в работах А.Ф. Лолейта [1] и В.И. Мурашева [2]. Первые исследования в этом направлении отражены в работах А.А. Гвоздева и Н.И. Карпенко [3], [4], [5], Т.А. Балана, С.Ф. Клованича, Н.И. Мироненко [6], [7],
A.С. Городецкого [8]. Способ распределения арматуры для плоского железобетонного элемента предложен в статье А.А. Гвоздева и Н.И. Карпенко [3] и в дальнейшем использовался в работах А.С. Городецкого,
B.С. Здоренко [8], Г.Р. Бидного [9], М. Suidan, W.C. Schnobrich [10], V. Cervenka [11], [12], D. Darwin, D.A. Pecknold [13] и др. Этот способ получил значительное распространение и используется в большинстве численных исследований железобетонных строительных конструкций [14], [15]. Наряду с этим в строительных конструкциях сегодня применяются бетоны с повышенными прочностными характеристиками - так называемые нанобетоны [16].
В настоящее время вопросы моделирования сталежелезобетонных гидротехнических сооружений, таких как турбинные сталежелезобетонные водоводы и блоки спиральных камер зданий ГЭС, в полной мере не изучены, и проблема анализа поведения неоднородного материала в условиях возникающего в процессе эксплуатации объемного трещинообразования требует дополнительного исследования. Присоединенные массы воды при определении сейсмостойкости водоводов и спиральных камер задаются по коэффициентам присоединения, зависящим, в частности, от форм колебаний и расчетного напора на сооружение.[17]
Методика решения задачи. Для решения инженерной задачи с помощью метода конечных элементов всегда возникает вопрос: как корректно аппроксимировать все составляющие сталежелезобетонной конструкции, чтобы в итоге получить напряжения в арматуре и металле, сравнить результат с нормативными значениями, оценить запас прочности конструкции, находящейся в эксплуатации или определить проектную толщину металлической оболочки и расчетную арматуру проектируемой конструкции. Первоочередная задача, которую необходимо выполнить - численное моделирование работы железобетонных элементов, работающих совместно с металлической оболочкой. Предложим следующий алгоритм моделирования, представленный на блок-схеме рис. 1.
Алгоритм моделирования сталежелезобетонных сооружений
бетонное тело конструкции разбивается на объемные конечные
элементы SOLID или TETRA. Элементы бетона задаются со свойствами нелинейности и имеют возможность образовывать
трещины при растяжении;
->
армокаркас моделируется приведенным слоем элементов с жесткостями, эквивалентными жесткости предполагаемой арматуры (для решения задач проектируемого сооружения);
->
армокаркас моделируется приведенным слоем элементов с жесткостями, эквивалентными жесткости установленной арматуры (для решения задач эксплуатируемого сооружения);
металлическая оболочка моделируется плоскими конечными
элементами SELL;
О
к
для сталежелезобетонных сооружений с мягкой прокладкой между металлической оболочкой и бетоном моделируется зазор исследуется НДС оболочки и НДС бетона в упругой работе модели;
Выполняется обоснование проектных решений сооружения
для жестких сталежелезобетонных сооружений выполняется нелинейный расчет модели в условиях образования трещин в бетоне, исследуется НДС оболочки и НДС арматуры, результат сопоставляется с натурными данными;
Выполняется обоснование работоспособности сооружения
Рисунок 1. Алгоритм моделирования сталежелезобетонных сооружений
Начало работы программы. Ввод данных о геометрии сечений, характеристик материалов, генерация исходных массивов
Задание нулевых значений перемещений,деформаций, напряжений
Начало цикла по ступеням погружений
Формирование вектора узловых сил на ступени погружения
Задание нулевых значений приращений перемещений, деформаций, напряжений
Начало итерационного процесса
матриц механических характеристик элементов
Формирование матриц жесткости системы
Решение системы линейных алгебраических уравнений. Определение вектора (6А <//'
Вычисление приращений деформаций в элемепшх {дАе}1 Вычисление приращений напряжений в элеметах {ЗАа}1
Вычисление инкрементальных перемещений, деформаций и напряжений в элементах (6Ац]1+'=(А 1[}'+{6А<//', (А!:}'+'={Аг.}'+{6Аг.}', {А<т}1+1={А<т}1+{ЗА<т}1
не
1=1+1
Определение невязки узловых сил Проверка сходимости итерационного процесса
да
Конец итерационного процесса
Вычисление перемещений, деформаций и напряжений
{6ц}1+1={ц}1+{Ац}1, {е}ш={Е}1+{АЕ}1, {а}1+1={а}1+{Аа}1
Конец цикла по ступеням погружения. Вывод результатов
Рисунок 2. Блок схема шагового метода Ньютона-Рафсона с итерационным уточнением
При этом в универсальном программном комплексе Cosmos Works Simulation Premium, в рамках которого выполнено математическое моделирование, описание жесткости железобетона представлено следующим образом.
Жесткость i-го конечного элемента представляется в виде суммы жесткостей (бетона) с учетом трещинообразования и «заполнителей» (арматурных стержней):
[к] =[к ]. (1)
Металлическая оболочка аппроксимируется плоскими элементами пластин с матрицей жесткости, включающей матрицы жесткости элементов металлической оболочки.
Уравнения равновесия узлов системы в предположении физической линейности задачи, когда свойства материалов не зависят от достигнутого уровня напряжений и деформаций, то есть при постоянстве матриц [йь]и модуля арматуры Es.:
И, =К ]■{q}, (2)
где [К] - матрица жесткости системы, определяемая суммированием матриц жесткости отдельных элементов; {д} - узловые перемещения системы; {P}- вектор узловых сил системы.
При решении нелинейных задач нелинейная матрица [Db], равная упругопластической матрице, определяется по теории течения и является касательной матрицей, связывающей приращения деформаций и напряжений, т.е. {dab} = [Db]{cfeb}. Уравнение равновесия i-го конечного элемента будет выглядеть следующим образом: {AR}, = [К],{Дд},-, в целом для системы разрешающие уравнения МКЭ формулируются в приращениях {ДР}= [К]{Дд}.
Наиболее подходящим методом решения физически нелинейных задач является шаговый метод приращения нагрузки с итерационной процедурой Ньютона-Рафсона на каждом шаге решения. Метод Ньютона-Рафсона является методом касательных напряжений, что полностью отвечает физической природе матрицы жесткости, полученной на базе теории течения. Алгоритм решения нелинейных задач шаговым методом с процедурой Ньютона-Рафсона на каждом шаге представлен блок схемой на рис. 2.
Анализ результатов. Представим результаты решения задачи на примере расчетов сталежелезобетонных водоводов Ирганайской ГЭС (модель участка водовода представлена на рис. 3) и Саяно-Шушенской ГЭС (модель представлена на рис. 4).
Рисунок 3. Расчетная модель участка сталежелезобетонного водовода Ирганайской ГЭС с развилкой. В расчетную область включались: сталежелезобетонный турбинный водовод, открытый участок с дисковым затвором и компенсатором, скальный массив основания
Рисунок 4. Расчетная модель сталежелезобетонного водовода и здания Саяно-Шушенской ГЭС. В расчетную область включались: Здание ГЭС, анкерная опора, сталежелезобетонный турбинный
водовод, скальный массив основания
Расчеты выполнены по предельным состояниям первой группы для вариантов основных и особых сочетаний нагрузок.
Условие, обеспечивающее наступление предельных состояний:
Ус Р < Я —,
Уп
(3)
где у1с- коэффициент сочетаний нагрузок, принимаемый равным: при расчетах по предельным состояниям
первой группы - для основного сочетания нагрузок и воздействий в период нормальной эксплуатации - 1,00; то же, в период строительства и ремонта - 0,95; для особого сочетания нагрузок и воздействий - 0,90; Р - расчетное значение обобщенного силового воздействия; Я - расчетное значение обобщенной несущей способности; ус = 1 - коэффициент условий работы;
уп - коэффициент надежности по назначению.
Начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении Ей=35х103МПа. Коэффициент поперечной деформации бетона (коэффициент Пуассона) для массивных конструкций у=0,15.
Стержневая арматура: растянутая и сжатая - класса А II и АIII (010...40мм).
Расчетные сопротивления арматуры сжатию и растяжению для предельных состояний первой группы: Я5=365МПа; Я5>5ет=390МПа (арматура АШ). Я5=280МПа ; Я5>5ет=300МПа (арматура АН).
Начальный модуль упругости арматуры для класса АН, А-Ш - Е5=200000МПа.
Для стальной оболочки Я0 = 300МПа. Условие прочности при расчете по предельным состояниям первой группы:
Стах — 240МПа (сталь оболочки) - для основных сочетаний нагрузок; Стах — 267МПа (сталь оболочки) - для особых сочетаний нагрузок; Стах — 292МПа (арматура АШ) - для основных сочетаний нагрузок; °"тах — 320МПа (арматура АШ) - для особых сочетаний нагрузок; °"тах — 224МПа (арматура А II) - для особых сочетаний нагрузок. Козинец Г. Л. Алгоритм расчета сталежелезобетонных водоводов
Моделирование сталежелезобетонных водоводов выполнено с учетом работы комплексного материала. В расчете учтено наличие в турбинном водоводе двух слоев арматуры: внутреннего, прилегающего к металлической оболочке, и наружного, расположенного у внешней границы водовода. Условия трещинообразования железобетонной оболочки реализованы при понижении модуля упругости в ходе решения нелинейной задачи методом Ньютона-Рафсона.
Методика моделирования и дальнейшего расчета сталежелезобетонного турбинного водовода.
1. Для моделирования работающих совместно металлической оболочки и внутреннего кольца арматуры, в задачу вводились четырехслойные плоские элементы БИБИЗЬ. В элементы БИБИЗЬ включены слои, моделирующие металлическую оболочку, внутреннее кольцо арматуры и два слоя трещиноватого бетона (со стороны оболочки и со стороны массивного бетона), моделирующих зоны локального трещинообразования в области армокаркаса. Толщина каждого слоя принималась в соответствии с проектной толщиной слоя металлической оболочки, слоя трещиноватого бетона между оболочкой и арматурой, слоя приведенной арматуры.
2. Бетонная оболочка водовода моделировалась с использованием объемных конечных элементов ТБТРА4 с нормативными физическими характеристиками и нелинейными свойствами.
3. Наружная кольцевая арматура моделировалась с использованием трехслойных пластинчатых элементов БИБИЗЬ. В элементы БИБИЗЬ включены слои, внешнее кольцо арматуры и два слоя трещиноватого бетона, моделирующих зоны локального трещинообразования.
4. Проводился нелинейный статический расчет сооружения. В модели происходило перераспределение напряжений между слоями элементов и снижение модуля упругости в объемном бетоне в 7 раз, при включении в работу элементов металлической оболочки и арматуры.
5. Производилась оценка напряжений в элементах металлической оболочки.
6. По уровню напряжений в слое «армирование» определялась достаточность существующего армирования путем сравнения полученных напряжений в арматуре с критериальными значениями.
Результаты расчета прочности конструкции напорного водовода Ирганайской ГЭС получены с учетом температурных, сейсмических воздействий и гидравлического удара. Результаты расчета армирования водовода представлены в табл. 1.
1. Максимальные значения перемещений металлической оболочки на открытом участке трубопровода составляют 2,6 мм, они полностью воспринимаются работой компенсатора, который имеет диапазон регулирования до 10 мм. На рис. 5 представлены напряжения по Мизесу в металлической облицовке водовода Ирганайской ГЭС на участке с развилкой при основном сочетании нагрузок с учетом температурных воздействий зимнего периода эксплуатации, максимальные значения составляют 99 000 КПа.
2. Расчет арматуры турбинного водовода, проведенный для основных сочетаний нагрузок с учетом температурных воздействий, показал, что армирование в целом соответствует проектному. Величина запаса в кольцевом направлении - 8%. Величина запаса в продольном направлении от 1% до 31%. Исключение составляет участок от развилки за дисковым затвором, на котором при основном сочетании нагрузок зимнего периода эксплуатации расчетное армирование превысило проектное на 12%, таким образом, рекомендовано выполнить мероприятия по устранению контакта с открытым воздухом с помощью укрывного материала или засыпки грунтом.
3. Расчет участка развилки турбинного водовода на гидравлический удар показал, что площадь расчетного кольцевого армирования превышает проектную на 6%. Таким образом, дисковый затвор можно использовать только в качестве ремонтного.
4. Работоспособность сталежелезобетонного водовода Ирганайской ГЭС обеспечена с запасом прочности стальной оболочки и установкой расчетной арматуры.
Таблица 1. Арматура сталежелезобетонного водовода Ирганайской ГЭС
Ил ЭТКЕЭб 1_с=60
Уои М1
Рисунок 5. Напряжения по Мизесу в металлической облицовке водовода Ирганайской ГЭС на участке с развилкой (основное сочетание нагрузок с учетом температурных воздействий зимнего периода
эксплуатации), КПа
Результаты расчета турбинного водовода Саяно-Шушенской ГЭС представлены на особое сочетание нагрузок с учетом гидравлического удара. Результаты расчета напряжений в металлической оболочке и армокаркасе представлены в табл. 2. На рис. 6 показано распределение приведенных напряжений по Мизесу в металлической оболочке турбинного водовода.
Таблица 2. Результаты расчета напряжений в водоводе СШГЭС
Наименование несущего элемента Максимальные напряжения,МПа Критериальное значение, МПа Коэффициент запаса по несущей способности
Металлическая оболочка 157 267,0 1,7
Внутренняя кольцевая арматура 144 224,0 1,6
Внутренняя продольная арматура 52 4,3
Наружная кольцевая арматура 103 2,2
Наружная продольная арматура 53 4,3
Mlses 5710Е+005
4518Е+005
332GE+005
2134Е+005
0943Е+005 I
507.00000 5SS.0000ÜJ G70 . 0#tS00 75i.00000
Рисунок 6. Напряжения по Мизесу в металлической облицовке водовода Саяно-Шушенской ГЭС на нижнем участке перед анкерной опорой при гидроударе, КПа
Результаты расчетных обоснований показали следующее:
1) сталежелезобетонная конструкция водоводов СШГЭС обеспечивает совместную работу металлической оболочки и железобетонного каркаса;
2) наличие продольных трещин по всей длине водовода предполагает его работу как физически нелинейного, комплексного, неоднородного материала, обладающего способностью к трещинообразованию;
3) максимальные напряжения в арматуре соответствует напряжениям в зоне трещины;
4) надежность водоводов при изменении гидравлических режимов с учетом изменения времени закрытия НА и аварийно-ремонтного затвора обеспечена коэффициентами запаса прочности металлической оболочки и арматуры;
5) несущая способность сталежелезобетонных водоводов обеспечена.
Выводы.
1. В работе предложен алгоритм пространственного моделирования сталежелезобетонных водоводов, позволяющий учитывать трещинообразование в бетоне и моделирование совместной работы металлической оболочки и железобетонного каркаса.
2. На примерах сталежелезобетонных водоводов Саяно-Шушенской и Игранайской ГЭС определены напряжения в стальной оболочке и слоях арматуры.
3. Полученные значения напряжений согласуются с данными натурных измерений (Технический отчет «О состоянии анкерных опор водоводов Саяно-Шушенской ГЭС», 1998 г.; «Оценка прочности и эксплуатационной надежности сталежелезобетонных турбинных водоводов», №1885-36-6т, ОАО «Ленгидропроект», 2009 г.) и значениями напряжений, полученными в работе (Технический отчет «Уточнение напряженно-деформированного состояния плотины Саяно-Шушенской ГЭС с учетом разуплотнения в зонах повышенного водопроявления», №1047-36-250т, ОАО «Ленгидропроект», 1995 г.).
4. Результаты работы используются в ОАО «Ленгидропроект» при оценке прочности сталежелезобетонных гидротехнических сооружений.
Литература
1. Лолейт А. Ф. Новый проект норм // I Всесоюзная конференция по бетону и железобетону 20 - 25 апреля 1930 г. в Москве. Труды конференции. М. , 1931.
2. Мурашев В. И. Трещиностойкость, жесткость и прочность железобетона. М. : Машстройиздат, 1958. 268 с.
3. Гвоздев А. А., Карпенко Н. И. Работа железобетона с трещинами при плоском напряженном состоянии // Строительная механика и расчет сооружений. 1965. № 2. С. 20-23.
4. Карпенко Н. И. Общие модели механики железобетона. М. : Стройиздат, 1996. 416 с.
5. Карпенко Н. И., Карпенко С. Н. О построении более совершенной модели деформировании железобетона с трещинами при плоском напряженном состоянии // II Всероссийская (Международная) конференция по бетону и железобетону «Бетон и железобетон - пути развития». 5-9 сентября 2005. М., 2005. С. 431-444.
6. Балан Т. А., Клованич С. Ф. Определяющие соотношения для бетона при сложном, непропорциональном нагружении и нагреве // Строительная механика и расчет сооружений. 1987. № 2. С. 39-44.
7. Клованич С. Ф., Мироненко И. Н. Расчет железобетонных конструкций на основе теории пластичности бетона // Збiрник наукових статей «Дороги i мости». Кив : ДерждорНД1. 2006. вип. 6. С. 43-54.
8. Городецкий А. С., Здоренко В. С. Расчет железобетонных балок-стенок с учетом образования трещин методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев : Будивельник, 1975. Вып. 57. С. 59-66.
9. Бидный Г. Р., Клованич С. Ф., Осадченко К. А. Расчет железобетонных конструкций при сложном нагружении методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. № 5. С. 22-26.
10. Suidan M., Schnobrich W. C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete // J. Struct. Dlv. ASCE. 1973. v. 99. №ST10, Oct. Pp. 2109-2122.
11. Cervenka V. Inelastic Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Panels Under Inplane Loads: Ph.D_.dis / Dept. Civ. Eng. Univ. Colorado. Bouder,1970. 20 p.
12. Cervenka V. Constitutive Models for Cracked Reinforced Concrete // ACI Journal. 1985. v. 82. № 6. P. 877-882.
13. Darwin D., Pecknold D. A. Nonlinear Biaxial Stress-Strain Low for Concrete // J. Eng. Mech. Div. ASCE. 1977. v. 103. EM2. P. 229-241
14. Прокопович И. Е., Зедгенидзе В. А. Прикладная теория ползучести. М. : Стройиздат, 1980. 240 с.
15. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М. : Наука, 1966. 752 с.
16. Кишиневская Е. В., Ватин Н. И., Кузнецов В. Д. Перспективы применения нанобетона в монолитных большепролетных ребристых перекрытиях с постнапряжением // Инженерно-строительный журнал. 2009. № 2(4). С. 54-58.
17. Козинец Г. Л. Определение динамических характеристик сооружений, контактирующих с водой на примере арочной плотины Саяно-Шушенской ГЭС // Инженерно-строительный журнал. 2011. №8 (21). С. 21-27.
* Галина Леонидовна Козинец, Санкт-Петербург, Россия Тел. раб.: +7(812)395-23-79; эл. почта: galina4410@yandex.ru
Calculation algorithm of steel-reinforced concrete water passages
G.L. Kozinets,
JSC Lenhydroproject RusHydro, Saint-Petersburg, Russia +7(812)395-23-79; e-mail: galina4410@yandex.ru
Keywords
steel-reinforced concrete hydraulic structures; penstocks; metal sheathing; finite element method; stiffness matrix; Newton-Rafson method; cracking; strength criteria
Abstract
The article presents three-dimensional finite element modeling method for steel-reinforced concrete penstocks. In the models the allowance is made for the actual material properties manifested upon concrete cracking.
The topical problem of developing adequately fitting mathematical models and analysis of stress-strain distribution in structures with deformational anisotropy was solved. Modelled were metal sheathing, reinforcement and fractured concrete.
Analysis of computational results justified the design decisions. Recommendations pertaining to operating the penstock are given.
References
1. Loleyt A. F. I Vsesoyuznaya konferentsiya po betonu i zhelezobetonu 20 - 25 aprelya 1930 g. v Moskve. Trudy konferentsii. [Proceedings: I USSR conference on concrete and reinforced concrete] Moscow , 1931. Pp. 15-21.
2. Murashev V. I. Treshchinostoykost, zhestkost i prochnost zhelezobetona [Fracture strength, rigidity and strength of reinforced concrete]. Moscow : Mashstroyizdat, 1958. 268 p.
3. Gvozdev A. A., Karpenko N. I. Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzheniy. 1965. No. 2. Pp. 20-23.
4. Karpenko N. I. Obshchiye modeli mekhaniki zhelezobetona [General models of reinforced concrete mechanics]. Moscow : Stroyizdat, 1996. 416 p.
5. Karpenko N. I., Karpenko S. N. II Vserossiyskaya (Mezhdunarodnaya) konferentsiya po betonu i zhelezobetonu «Beton i zhelezobeton - puti razvitiya». [Proceedings: II All-Russian conference on concrete and reinforced concrete "Concrete and reinforced concrete: ways of development"] 5-9 sentyabrya 2005. Moscow, 2005. Pp. 431-444.
6. Balan T. A., Klovanich S. F. Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzheniy. 1987. No. 2. Pp. 39-44.
7. Klovanich S. F., Mironenko I. N. Zbirnik naukovikh statey «Dorogi i mosti» [Collected papers: Roads and bridges]. Ki'i'v : DerzhdorNDI. 2006. vip. 6. Pp. 43-54.
8. Gorodetskiy A. S., Zdorenko V. S. Soprotivleniye materialov i teoriya sooruzheniy. Kiyev : Budivelnik, 1975. Vyp. 57. Pp. 59-66.
9. Bidnyy G. R., Klovanich S. F., Osadchenko K. A. Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzheniy. 1986. No. 5. Pp. 22-26.
10. Suidan M., Schnobrich W. C. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete. J. Struct. Dlv. ASCE. 1973. v. 99. No. ST10, Oct. Pp. 2109-2122.
11. Cervenka V. Inelastic Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Panels Under Inplane Loads: Ph.D....dis / Dept. Civ. Eng. Univ. Colorado. Bouder,1970. 20 p.
12. Cervenka V. Constitutive Models for Cracked Reinforced Concrete. ACI Journal. 1985. v. 82. No. 6. Pp. 877-882.
13. Darwin D., Pecknold D. A. Nonlinear Biaxial Stress-Strain Low for Concrete. J. Eng. Mech. Div. ASCE. 1977. v. 103. EM2. P. 229-241
14. Prokopovich I. Ye., Zedgenidze V. A. Prikladnaya teoriya polzuchesti [Applied creep theory]. Moscow : Stroyizdat, 1980. 240 p.
15. Rabotnov Yu. N. Polzuchest elementov konstruktsiy [Creep of structure elements]. Moscow : Nauka, 1966. 752 s.
16. Kishinevskaya Ye. V., Vatin N. I., Kuznetsov V. D. Magazine of Civil Engineering. 2009. No. 2(4). Pp. 54-58.
17. Kozinets G. L. Magazine of Civil Engineering. 2011. No. 8 (21). S. 21-27.
Full text of this article in Russian: pp. 41-49
