CC BY
67
Кочегаров И.И., Стюхин В. В.
Пензенский государственный университет
АЛГОРИТМ ПРЯМОГО ПЕРЕБОРА С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ ГРАФОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОТКАЗОВ СЛОЖНЫХ РЭС
Очень многие системы взаимодействия, на данный момент, имеют сложные структуры соединения, которые не могут быть сведены ни к параллельно-последовательной ни к последовательно-параллельной схемам, состоящие из большого количества составных частей (СЧ) . Для таких систем, актуально создание пакетов программ, которые позволяют делать оценку, с точки зрения надежности, более эффективной .
Рисунок 1 - Пример системы со сложной структурой
Автоматизация необходима для упрощения, быстроты и определённой точности расчётов при оценке надежности систем. Ведь современные средства вычислительной техники позволяют создавать системы автоматизированного проектирования (САПР) со сложными внутренними структурами. Целесообразно, для сложных систем, автоматизировать метод «прямого перебора».
Метод заключается в определении множества состояний произвольной системы, состоящей из n элементов и может находиться в 2n различных состояниях, комплексным показателем которой является коэффициент готовности - Кг. Для заданных в ТЗ требований коэффициент готовности рассчитывается по формуле:
Кг
Тр
Тр + Тв
По ГОСТ 27.002-89 [1] коэффициент готовности (Кг) - это вероятность того, что объект окажется
в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается.
То есть на момент времени, когда объект или систему начнут эксплуатировать, он или она будет готова к эксплуатации с определённой вероятностью.
Когда определен критерий отказа системы, то, применив его к каждому из состояний, всё множество состояний можно разделить на два подмножества: подмножество состояний работоспособности системы 2и подмножество состояний отказа системы q.
Рассмотрим эффективность метода «прямого перебора» на примере мостиковой схемы (рисунок 2).
Пример. Мостиковая схема (рисунок 2) состоит из идентичных элементов. Требуется найти коэффициент готовности для всей системы в целом, учитывая состояние каждой составной части (СЧ).
Решение. Составляем таблицу возможных состояний (таблица 1) и по рисунку 2 определяем, к како-
му подмножество относится то или иное состояние. Таблица 1
Индекс Состояние элементов Вид под- Вероятность
состояния множества состояния
а X1 Х2 X3 X4 X5 z q Pа
0 1 1 1 1 1 z Кг5
1 0 1 1 1 1 z (1-Кг) К Кг4
2 1 0 1 1 1 z (1-Кг) К Кг4
3 1 1 0 1 1 z (1-Кг) К Кг4
4 1 1 1 0 1 z (1-Кг) К Кг4
5 1 1 1 1 0 z (1-Кг) К Кг4
12 0 0 1 1 1 q (1-Кг)2 К Кг3
13 0 1 0 1 1 z (1-Кг)2 К Кг3
14 0 1 1 0 1 z (1-Кг)2 К Кг3
15 0 1 1 1 0 z (1-Кг)2 К Кг3
23 1 0 0 1 1 z (1-Кг)2 К Кг3
24 1 0 1 0 1 z (1-Кг)2 К Кг3
25 1 0 1 1 0 z (1-Кг)2 К Кг3
34 1 1 0 0 1 z (1-Кг)2 К Кг3
35 1 1 0 1 0 z (1-Кг)2 К Кг3
45 1 1 1 0 0 q (1-Кг)2 К Кг3
134 0 1 0 0 1 z (1-Кг)3 К Кг2
135 0 1 0 1 0 q (1-Кг)3 К Кг2
145 0 1 1 0 0 q (1-Кг)3 К Кг2
234 1 0 0 0 1 q (1-Кг)3 К Кг2
235 1 0 0 1 0 z (1-Кг)3 К Кг2
245 1 0 1 0 0 q (1-Кг)3 К Кг2
345 1 1 0 0 0 q (1-Кг)3 К Кг2
1345 0 1 0 0 0 л (1-Кг)4 К Кг
1
В таблице X± = 1 обозначает, что1-й элемент исправен, aX± = 0 - что он неисправен. Для примера в таблице показаны некоторые из подмножеств q- состояний отказа системы.
Исходя из таблицы, можно составить формулу P(t) - коэффициента готовности всей системы в це-
лом [2] :
P(t) =Кг5 + Бх(1-Кг) хКг4 + 8х(1-Кг)2хКг3 + 2х(1-Кг)3хКг2,
т. е. учитываются все работоспособные состояния системы и отслеживаются все варианты ведущие к катастрофическим последствиям.
Самая сложная задача для разработчика такого программного пакета - нахождение подмножества работоспособности системы z и подмножества состояний отказа системы q. Предлагается использовать теорию графов.
Граф — это совокупность множества Х, элементы которого называются вершинами, и множества А упорядоченных пар вершин, элементы которого называются дугами. Граф обозначается как (X, А).
Графовые модели охватывают довольно широкий класс задач, например встречающихся при проектировании систем[3]. А так же существует много алгоритмов, которые описывают графы. Исходя из этого, целесообразно использовать эту теорию на практике, для определения показателя надёжности системы с помощью вычислительной техники. В данном случае таким показателем является коэффициент готовности всей системы в целом P(t) и коэффициент готовности Кг каждой отдельной её СЧ.
Представим рассматриваемую схему в виде графа переходов (рисунок 3).
Рисунок 3 - Граф на основе мостиковой схемы
На рисунке 3 изображён граф на основе мостиковой схемы, где 1, 2, 3, 4, Б - вершины графа с
номерами соответствующие элементам схемы; 6, 7 - исток и сток соответственно.
Для нахождения всех z, qсостояний системы исключаем поочерёдно вершины графа, кроме 6 и 7, так как в этих вершинах определяются входные и выходные параметры. Вершины 6 и 7 показываются условно и к схеме не относятся.
В процессе исключения вершин из схемы соединения, с помощью алгоритма изображённого на рисунке 4 определяем состояния z и q.
Таким образом, выходными данными будут таблица состояний системы и значение коэффициента готовности P( t).
Создание пакетов программ на основе метода «прямого перебора» и использование теории графов, позволит рассчитывать готовность сложных систем к эксплуатации, например телекоммуникационных или даже систем общевойсковых взаимодействий. Человек не в состоянии проследить множество состояний системы, допустим состоящей из 100 элементов, вариантов может быть 2100 ** 1,26хЮ30.
Рисунок 4 - Алгоритм поиска подмножества z и q
ЛИТЕРАТУРА
1. ГОСТ 27.002. Надёжность в технике. Основные понятия, Термины и определения.
2. Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчёту надёжности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М., «Советское радио», 1975, 472 с.
3. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах: Пер. с англ. - М. Мир, 1981. - 323 с.,
ил.
2
