АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ ДЛЯ СОВЕРШЕНИЯ НЕКОМПЛАНАРНОГО ПЕРЕЛЕТА ЗЕМЛЯ - МАРС Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78

DOI: 10.18698/2308-6033-2020-8-2006

Алгоритм применения законов управления движением космического аппарата с солнечным парусом для совершения некомпланарного перелета Земля — Марс

© Р.М. Хабибуллин, О.Л. Старинова Самарский университет, Самара, 443086, Россия

Рассмотрен пространственный управляемый гелиоцентрический перелет Земля — Марс космического аппарата с неидеально отражающим солнечным парусом. Представлена новая математическая модель движения с учетом динамики движения относительно центра масс под действием сил и моментов от светового давления. С целью реализации перелета сформирован алгоритм управления космическим аппаратом на базе законов локально-оптимального управления для наискорейшего изменения оскулирующих элементов. Управление ориентацией солнечного паруса осуществляется с помощью тонкопленочных элементов управления, расположенных по периметру поверхности солнечного паруса. В результате моделирования движения определены длительность и траектория перелета, программа управления и необходимые проектные параметры космического аппарата с солнечным парусом.

Ключевые слова: космический аппарат, солнечный парус, математическая модель движения, программа управления, локально-оптимальный закон управления

Введение. Солнечный парус (СП) — это приспособление, в котором используется давление солнечного света на отражающую поверхность для приведения в движение космического аппарата (КА) [1]. За последнее десятилетие космическими агентствами США, Японии и Европы [1-5] было запущено несколько технологических КА для исследования возможности применения СП в качестве двигательной установки.

Цель настоящей статьи — формирование алгоритма управления КА для совершения пространственного перелета Земля — Марс. Алгоритм управления включает в себя набор законов локально-оптимального управления (ЗЛОУ), предназначенных для изменения одного из оскулирующих элементов:

• большой полуоси A; • радиуса перигелия гп;

• фокального параметра p; • аргумента перигелия w;

• эксцентриситета e; • наклонения i;

• радиуса афелия ra; • долготы восходящего узла Q.

В качестве двигательной установки используется неидеально отражающий СП, отличающийся от идеально отражающего способом расчета величины и направления ускорения, при котором учитывают падающие и зеркально отраженные фотоны и диффузные отражения,

поглощения и пропускания фотонов поверхностью СП. При моделировании межпланетных перелетов данное различие оказывает существенное влияние на конечный результат.

Для выполнения программных маневров с помощью ЗЛОУ необходимо обеспечить КА органом управления ориентацией. Подобным органом являются тонкопленочные элементы управления (ТЭУ), способные изменять свои отражательные характеристики. ТЭУ располагаются по периметру СП, как на К А IKAROS [3]. Если одной половине ТЭУ обеспечить зеркальное отражение фотонов, а другой — поглощение фотонов, возникнет разница сил, в результате которой появится управляющий момент для изменения ориентации КА.

Постановка задачи. Введем вектор фазовых координат X, описывающий движение центра масс и управляемое движение относительно центра масс:

T

X = (r, u, Vr, Vu, T, i, 9p A,fflp ) ,

где r — гелиоцентрическое расстояние КА с СП; u — аргумент широты КА; Vr — радиальная скорость КА; Vu — трансверсальная скорость КА; Q — долгота восходящего узла орбиты КА; i — наклонение орбиты КА; 9p, 9s — углы поворота СП относительно осей OP и OS соответственно; rop, ros — угловые скорости КА; Т — транспонирование матрицы или вектора. Оси OP и OS — оси связанной с СП системы координат OPNS (рис. 1). Точка O — центр системы координат, совпадающий с центром масс КА. Ось OP направлена по вектору p, лежащему в плоскости СП и совпадающему с проекцией на поверхность СП радиуса-вектора r. Ось ON направлена по вектору нормали СП n в сторону от источника света. Ось OS лежит в плоскости СП и дополняет систему координат.

N

Р

Рис. 1. Система координат ОРЫБ

Для описания управления ориентацией СП вводится вектор управления и:

и = {5р (I) ,5, (I)}Г,

где 5p(t), 5s(t) — функции номинального управления, определяющие вращение СП относительно осей OP и OS соответственно; функции 5p(t) и 5s(t) принимают значение +1 при увеличении угла установки СП X, -1 — при уменьшении угла установки СП X, 0 — при неизменности ориентации СП.

Фиксированный вектор проектных параметров prm КА с СП описывается следующим образом:

prm = {m, S, р, pr, Pd, а, т, hw f,

где m — масса КА с СП; S — площадь СП; р — коэффициент отражения поверхности СП; рг — коэффициент зеркального отражения поверхности СП; pd — коэффициент диффузного отражения поверхности СП; а — коэффициент поглощения фотонов поверхностью СП; т — коэффициент пропускания; ИТЭУ — ширина ТЭУ.

Параметры векторов фазовых координат X и управления U должны удовлетворять следующим ограничениям:

'|5 p (t )| + |S s (t )|< 1; (1)

I ®дост < |ю| < ®пред,

где юдост — достаточная угловая скорость КА, необходимая для выполнения программного разворота; ю — вектор угловой скорости КА; юпред — предельная угловая скорость КА, при которой КА будет испытывать критические нагрузки.

Граничные условия гелиоцентрического перелета можно записать так:

X(tо) = Xо, X(tk) = Xk . В качестве основного критерия оптимальности выбрано минимальное время перелета tk ^ min при условии

ГDist < ^Хилла; (2)

j||AX|| < £ ( )

где Dist — текущее расстояние между КА с СП и целью; ^Хилла — радиус сферы Хилла (область пространства, в которой могут двигаться тела, оставаясь спутником планеты; для Марса ^Хилла = 1 083 000 км);

— коэффициент, определяющий область допустимых значений евклидовой нормы фазовых координат КА на дату завершения миссии (в рамках работы = 0,02); ||AX|| — евклидова норма:

||AX|| = Xка (tk ) - XМарс (tk ) .

Таким образом, вектор функции управления и примет следующий вид:

Для решения поставленной задачи необходимо разработать математическую модель движения КА с неидеально отражающим СП, которая будет в дальнейшем использоваться для моделирования перелета Земля — Марс. Далее рассматриваются математические модели движения центра масс и вокруг центра масс КА с СП.

Математическая модель движения. В настоящей статье рассмотрена модель плоского неидеально отражающего СП с учетом следующих допущений:

• оптические характеристики СП постоянны на всей длительности перелета и не равны нулю, т. е. р = const Ф 0, а = const Ф 0, т = = const Ф 0;

• рассеивание диффузно отраженных фотонов происходит равномерно во всех направлениях в полуплоскости, следовательно, направление результирующего вектора силы тяги от рассеянных фотонов совпадает с направлением нормали к СП;

• излучение на поверхности СП от нагрева поглощенных фотонов происходит равномерно по всем направлениям в полуплоскости, т. е. результирующий вектор силы тяги от поглощенных фотонов совпадает с направлением падения фотонов.

Формирование модели движения центра масс КА с неидеально отражающим СП подробно изложено в [6]. Изменение фазовых координат КА можно представить в виде системы дифференциальных уравнений в комбинированной гелиоцентрической системе координат:

Uopt (t) = argmin tk (U|prm e P, X(q) = Xq, X(tk) = Xk).

U (t)

-+ fz-;

Vu tg i Vu tg i

sin u . sin u

r r

+ ar + fr;

V = —LJL + au + fu;

r

T = az

sin u . sin u

sin iVu z sin iVu '

cos u

— + fz —

V V

' u ' u

u . cosu

i = az

где аг, аи, а2 — безразмерные компоненты ускорения КА; /г, /и, — безразмерные компоненты возмущающего ускорения, вызванные Марсом.

Безразмерные компоненты ускорения КА аг, аи, а2 определяют по формулам:

р

б1п Хц cos2 X2 +

г ■ л л2 Б1П X 2

б1п X]

V 1

+ sin Х2 cos Х1

sin2 X2 -

2

sin X 2

sinX1

1

+

+ап соб X2 cos X1;

аи а р

б1П X1 sin X2. /sin2 X 2

г И2 Б1П X 2

б1п X!

V 1 У

lcos2 X 2 +

2

sin X2

sin X]

1

cosX1

+ап соб X2 sin X1;

аг = ар соб X2к/sin2 X2 -

Г • , Л2 Б1П X 2

б1П X]

V 1

- ап sinX2;

+

ар = РЗ

^л2

V г У

— сов X! COS X2 т

1 - р + а

вfBf - еьБь в f + въ

•у/б1П2 X1 cos2 X2 + sin2 X2;

ап = РЗ

У г У

— сов2 X1 COS2 X2 т

1 + р + а

вfBf - въВъ 8 f + 8 ъ

Здесь РЗ — давление отвесно падающего солнечного света на полностью поглощающую поверхность абсолютно черного тела на орбите Земли (РЗ = 4,5540-6 Н-м-2); Я0 — среднее расстояние между центрами масс Солнца и Земли (Я0 = 149,6^ 106 км (1 а.е.)); 8f — коэффициент излучения освещенной стороны СП; въ — коэффициент излучения теневой стороны СП; Bf — коэффициент эмиссионной диффузии освещенной стороны СП; Въ — коэффициент эмиссионной диффузии теневой стороны СП; X1 — угол между радиусом-вектором и проекцией нормали СП на плоскость орбиты; X2 — угол между нормалью СП и ее проекцией на плоскость орбиты; для оптических коэффициентов поверхности СП в соответствии с [7] можно принять следующие значения: р = 0,87; рг= 0,94; р* = 0,06; а = 0,12; т = 0,01, 8f = 0,05; въ = 0,55; Вг= = 0,79; Въ = 0,55.

Компоненты управляющего угла X1 и X2 определяются зависимостями:

cos X = cosX1 cosX 2;

sin X = ^sin2 cos2 X2 + sin2 X2 .

Формирование модели движения вокруг центра масс КА с неидеально отражающим СП рассмотрено в [8]. Уравнения движения вокруг центра масс можно записать следующим образом:

0p = с P;

0 =ю ;

n n'

03 p =

12 P

vr У

+ (1 - Pr) pBf

0s = °,;

ST3y cos Xj cos X2 (Vs + ^ТЭУ )

cosXj cosX2

PrP + a

sfBf - SbBb 8 f + sb

+

mcn S

■ + 00.

0)_ = 0;

со.

12P

r

+ (1 - P r ) PBf

Sray cosXj cosX2 (Js + Итэу )

cosXj cosX2

PrP + a

8fBf - 8bBb 8 f + 8b

+

mcn S

где mСП — масса СП.

В данных уравнениях движения центр масс КА рассматривается как точка сосредоточенной массы, разворот осуществляет только СП. Разработанная математическая модель движения КА с неидеально отражающим СП позволяет анализировать возможность управления крупногабаритной тонкопленочной конструкцией для реализации перелетов между некомпланарными гелиоцентрическими орбитами.

Формирование алгоритма управления. Процесс формирования алгоритма управления КА для совершения гелиоцентрического перелета можно разделить на четыре этапа.

1. Определение проектных параметров — цель перелета, вектор проектных параметров КА с СП ргт, точность моделирования и значение

2. Формирование базы данных перелетов с использованием ЗЛОУ для различного положения КА с СП на стартовой орбите. Проводится ряд сеансов моделирования движения с использованием

ЗЛОУ для различных значений аргумента широты КА u е [0°, 360°], в результате чего формируется база данных перелетов КА. Моделирование гелиоцентрических перелетов проводится в программе для ЭВМ [9]. С помощью метода прямой оптимизации определяются наиболее выгодные комбинации ЗЛОУ для совершения компланарного перелета и для изменения положения орбиты в пространстве. Выбираются комбинации ЗЛОУ с минимальной длительностью и минимальной евклидовой нормой моделируемых параметров.

3. Моделирование движения центра масс и вокруг центра масс КА. Вводятся дата старта D0, на дату старта ХКА(1о) векторы фазовых координат КА с СП и векторы фазовых координат цели перелета на дату старта Хцель(1:0) и завершения миссии Хцель(1к). Основными результатами данного этапа являются вектор фазовых координат КА с СП на дату завершения миссии ХКА(1к), вектор управления и и евклидова норма ||ДХ||. Если евклидова норма ||ДХ|| и расстояние между КА с СП и целью перелета Dist удовлетворяют условиям (1), начинается четвертый этап.

4. Анализ движения и получение программы управления. Определяется вектор угловой скорости КА с СП с помощью найденного вектора управления и. Выбирается максимальная угловая скорость на всем перелете, которая будет являться достаточной. Далее рассчитывается необходимая ширина ТЭУ ^ТЭУ, проводится анализ энергетических затрат и выносится вердикт о реализуемости перелета.

С помощью законов локально-оптимального управления определяются управляющие углы и Х2, необходимые для формирования программы управления КА. Управляющие углы и Х2, обеспечивающие наискорейшее изменение одного из оскулирующих элементов, могут быть вычислены из следующего отношения:

где K — общее обозначение оскулирующего элемента.

В рамках работы для формирования алгоритма управления движением КА с СП для совершения гелиоцентрического перелета Земля — Марс используются ЗЛОУ:

• для наискорейшего увеличения наклонения i

—arcsin Sign [cos u sin ]; • наискорейшего уменьшения долготы восходящего узла Q =-—arcsin ^^ Sign [sin u sinX2 ];

наискореишего увеличения аргумента перигелия w

sin tf ( 2 + e cos tf)

XW = — arcsin -1 2

-costf- 9[costf]2 +:

sin tf( 2 + e cos tf) 1 + ecostf

3 (1 + e cos tf)

[cos tf]2 +

sin tf (2 + e cos tf) 1 + ecostf

2

наискореишего увеличения эксцентриситета e

f

(ecos2 tf + 2costf + e)

,, 1 ■

xf = — arcsin

1 2

sin tf- 9 [sin tf]2 +8

ecos2 tf + 2cos tf + e 1+ ecostf

3 (1 + e cos tf)

[sin tf]2 +

ecos2 tf + 2costf + e

2

1 + ecos tf

• наискорейшего увеличения большой полуоси A

(-1 + ecos tf) ecos [e cos tf] +8 [-1+e cos tf]2

XA = — arcsin--

2 3 ([e cos tf]2 +[-1 + e cos tf]2

Здесь 0 — угол истинной аномалии.

Данные зависимости получены с помощью дифференцирования уравнения Лагранжа второго рода. Далее полученный алгоритм применения ЗЛОУ реализуется в процессе моделирования движения КА с СП.

Результаты моделирования. Для определения параметров орбиты и положения Марса используется база данных Лаборатории реактивного движения НАСА (Jet Propulsion Laboratory NASA) [10]. Дата старта миссии — 21.01.2031 г., дата завершения — 25.07.2034 г.

Начальное положение КА с СП на дату старта и конечное положение Венеры опишем размерными фазовыми координатами в виде X = (r; u; Vr; Vu; T; i)T:

ХКА (t0) = (1,472 • 108 км; 120,231 град; 0,147 км/с;

30,265 км/с; 174,798 град; 0,004 град)т;

ХМарс (tk ) = (2,468 • 108 км;130,824 град;0,970 км/с;

22,192 км/с; 49,456 град;1,847 град)т.

Данные о перелете представлены в табл. 1, алгоритм и длительность использования ЗЛОУ — в табл. 2. Одна итерация моделирования соответствует 1 ч движения КА.

Таблица 1

Данные о перелете космического аппарата к Марсу

Наименование Размерность Значение

Радиус сферы Хилла Марса, ^Хилла км 1 083 000

Дата старта, D0 дд.мм.гггг 21.01.2031

Дата завершения перелета, Dk дд.мм.гггг 25.07.2034

Масса КА с СП, m кг 39,8

Площадь СП, м2 500

Площадь ТЭУ, кТЭУ м2 213,2

Длительность перелета сут 1281

Расстояние до цели, Dist км 1 047 203

Таблица 2

Алгоритм использования ЗЛОУ

Закон управления Дата этапа Значение Длительность перелета, сут

Начало Завершение Начальное Конечное

Т i 21.01.2031 05.05.2031 0,004 град 1,838 град 105

4 о 05.05.2031 11.03.2032 166,368 град 49,511 град 311

Т м> 11.03.2032 03.11.2032 202,192 град 336,029 град 236

Т е 03.11.2032 26.11.2032 0,078 а.е. 0,093 а.е. 24

Т А 26.11.2032 25.07.2034 1,174 а.е. 1,524 а.е. 605

Траектория гелиоцентрического движения КА с СП в плоскости XOY и изменение координат от длительности перелета представлены на рис. 2 и 3.

У, млн км

200 100 0

-100 -200 -300

-300 -100 100 X, млн км

Рис. 2. Гелиоцентрическая траектория перелета космического аппарата к Марсу:

А — космический аппарат; • — Марс; * — Солнце;

— — орбита Земли;---орбита Марса;

--траектория космического аппарата

Длительность перелета, сут а

Длительность перелета, сут б

Z, млн км

Длительность перелета, сут в

Рис. 3. Зависимость координат положения космического аппарата от длительности перелета:

а — координата X; б — координата Y; — — Земля; — — Марс; — — космический аппарат

На рис. 4 представлены графики изменения фазовых координат от длительности перелета.

2 260

1 240

с 220

& 200

и 180

и 1 160 140

Он 120 100

\ / \ // \ / \ // Vs- / \ /

J_I_I_I_I_L_

200 400 600 800 100012001400 Длительность перелета, суг а

С

200 400 600 800 100012001400 Длительность перелета, сут б

200 400 600 800 100012001400 Длительность перелета, сут в

J_I_I_I_I_L_

200 400 600 800 100012001400 Длительность перелета, сут г

14 9 12 5 10

Я

S о Я

S 6

о

| 4

И 2

200 400 600 800 100012001400 Длительность перелета, сут д

200 400 600 800 1000 1200 1400 Длительность перелета, сут е

Рис. 4. Изменение фазовых координат космического аппарата от длительности перелета:

а — радиус-вектор г, б — аргумент широты и;---Марс;

--космический аппарат

Программа управления включает в себя изменение управляющих углов и функции управления. Использование ЗЛОУ подразумевает изменение положения КА и ориентации СП в пространстве. На рис. 5 приведен график зависимости управляющих углов Х и от длительности перелета. Графики функций управления 5Р и представлены на рис. 6.

<< I

I

200 400 600 800 1000 1200 1400 Длительность перелета, сут а

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Длительность перелета, сут б

Рис. 5. Зависимости управляющих углов по времени: а — угол Хь б — угол Х2

& 0 £

I -1

О

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Длительность перелета, сут а

Рис. 6 (начало). Зависимости функции управления от длительности перелета:

а — функция управления Sp

200 400 600 800 1000 1200 1400 Длительность перелета, сут б

Рис. 6 (окончание). Зависимости функции управления от длительности перелета:

б — функция управления Ss

По условию (2) ключевыми параметрами, подтверждающими успешность перелета, являются расстояние между КА с СП и Марсом и евклидова норма. На дату завершения гелиоцентрического перелета были получены следующие размерные фазовые координаты КА с СП в виде X = (г; и; Уг; Уи; Т; 0Т:

ХКА{гк) = (2,473 • 108 км;131,068 град;0,939 км/с;

22,050 км/с; 49,511 град;1,683 град)Т.

Переведем векторы фазовых координат КА и Марса на дату завершения миссии в безразмерные величины и вычислим евклидову норму:

ХКА (Ь) = (1,653; 2,288; 0,032; 0,740; 0,864; 0,029)Т; ХМарс (гк) = (1,650; 2,286; 0,032; 0,745; 0,863; 0,032)Т;

||ДХ|| = 0,007 <

Выполнение (2) подтверждает успешное выполнение граничных условий перелета и применимость найденной программы управления для КА с неидеально отражающим СП с заданными проектными параметрами. По окончании гелиоцентрического участка КА остается в окрестности Марса.

Заключение. В результате исследования был сформирован алгоритм управления пространственным движением КА с неидеально отражающим СП, который включал в себя следующие ЗЛОУ:

• наискорейшее увеличение наклонения ц

• наискорейшее уменьшение долготы восходящего узла О;

• наискорейшее увеличение аргумента перигелия w;

• наискорейшее увеличение эксцентриситета е;

• наискорейшее увеличение большой полуоси А.

Для реализации гелиоцентрического перелета Земля — Марс КА массой 39,8 кг с неидеально отражающим СП площадью 500 м2 потребовалось 1281 сут. Найденные евклидова норма и расстояние между КА и Марсом удовлетворяют условию, заданному в постановке задачи (достигнуто расстояние между КА и Марсом 1 047 203 км). Результаты моделирования подтверждают адекватность применения методики формирования алгоритмов управления КА с неидеально отражающим СП с использованием тонкопленочных элементов для совершения гелиоцентрических перелетов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом. Москва, ЛИБРОКОМ, 2011, 320 с.

[2] Johnson L., Whorton M., Heaton A., Pinson R., Laue G., Adams C. NanoSail-D: A solar sail demonstration mission. Acta Astronautica, 2011, vol. 68, pp. 571-575. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.02.008

[3] Mori O., Sawada H., Funase R., Morimoto M., Endo T., Yamamoto T., Tsyda Y., Kawakatsu Y., Kawaguchi J. First Solar Power Sail Demonstration by IKAROS. Transactions of the Japan Society for Aeronautical and Space Sciences, Aerospace Technology, 2010, vol. 8, no. 27, рр. 25-31. DOI: 10.2322/tastj.8.to_4_25

[4] Biddy C., Svitek T. LightSail-1 Solar Sail Design and Qualification. Proceedings of the 41st Aerospace Mechanisms Symposium, Jet Propulsion Laboratory, May 16-18, 2012, pp. 451-463.

[5] Khabibullin R.M., Starinova O.L. Nonlinear Modeling and Study for Control of the Research Spacecraft with Solar Sail. AIP Conference Proceedings, 2017, vol. 1798. DOI: 10.1063/1.4972666

[6] Хабибуллин Р.М., Старинова О.Л. Анализ управляемого движения исследовательского космического аппарата с солнечным парусом. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2019, вып. 2 (717), с. 94-103.

[7] McInnes C.R. Solar sailing: technology, dynamics and mission applications. Heidelberg, Springer Science & Business Media, 2013, 296 p.

[8] Хабибуллин Р.М. Программа управления для некомпланарного гелиоцентрического перелета к Венере космического аппарата с неидеально отражающим солнечным парусом. Вестник Самарского университета, 2019, т. 19, № 4, с. 117-128.

[9] Хабибуллин Р.М., Старинова О.Л. Нелинейное моделирование перелета маневрирующего космического аппарата к потенциально-опасному астероиду. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016663956, заявка № 2016661879, дата поступл. 31.10.2016, дата государственной регистрации в Едином реестре российских программ для электронных вычислительных машин и баз данных в информационно-телекоммуникационной сети Интернет 20.12.2016, опубл. 10.01.2017, 1 с.

[10] Официальный сайт Лаборатории реактивного движения НАСА (Jet Propulsion Laboratory NASA). База данных JPL НАСА по малым телам Солнечной системы. URL: https://ssd.jpl.nasa.gov (дата обращения: 13.01.2020).

Статья поступила в редакцию 01.06.2020

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Хабибуллин Р.М., Старинова О.Л. Алгоритм применения законов управления движением космического аппарата с солнечным парусом для совершения некомпланарного перелета Земля — Марс. Инженерный журнал: наука и инновации, 2020, вып. 8. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2020-8-2006

Хабибуллин Роман Маратович — инженер кафедры космического машиностроения Самарского университета. e-mail: khabibullin.roman@gmail.com

Старинова Ольга Леонардовна — д-р техн. наук, профессор кафедры космического машиностроения Самарского университета. e-mail: solleo@mail.ru

An algorithm for controlling the spatial motion of a spacecraft with an imperfectly reflecting solar sail based on the laws of locally optimal control for Earth — Mars heliocentric flight

© R.M. Khabibullin, O.L. Starinova Samara National Research University, Samara, 443086, Russia

The article considers a spatial controlled heliocentric Earth-Mars flight of a spacecraft with an imperfectly reflecting solar sail. A new mathematical model of motion is described taking into account the dynamics of motion relative to the center of mass under the forces and moments from light pressure. A spacecraft control algorithm for implementing the flight is formed on the basis of the laws of locally optimal control for the fastest change of osculating elements. The orientation of the solar sail is controlled using thin-film control elements located around the perimeter of the solar sail surface. As a result of motion simulation, the duration and trajectory of the flight, the control program and the necessary design parameters of a spacecraft with a solar sail are determined.

Keywords: spacecraft, solar sail, motion mathematical model, control software, local-optimal control laws

REFERENCES

[1] Polyakhova E.N. Kosmicheskiy polet s solnechnym parusom [Space flight with solar sail], Moscow, LIBROKOM Publ., 2011, 320 p.

[2] Johnson L., Whorton M., Heaton A., Pinson R., Laue G., Adams C. Acta Astronautica, 2011, vol. 68, pp. 571-575. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.02.008

[3] Mori O., Sawada H., Funase R., Morimoto M., Endo T., Yamamoto T., Tsyda Y., Kawakatsu Y., Kawaguchi J. Transactions of the Japan Society for Aeronautical and Space Sciences, Aerospace Technology, 2010, vol. 8, no. 27, 6 p.

[4] Biddy C., Svitek T. LightSail-1 Solar Sail Design and Qualification. Proceedings of the 41st Aerospace Mechanisms Symposium, Jet Propulsion Laboratory, May 16-18, 2012, pp. 451-463.

[5] Khabibullin R.M., Starinova O.L. Nonlinear Modeling and Study for Control of the Research Spacecraft with Solar Sail. AIP Conference Proceedings, 2017, vol. 1798, 9 p. DOI: 10.1063/1.4972666

[6] Khabibullin R.M., Starinova O.L. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie — Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2019, no. 12 (717), pp. 94-103.

[7] Mclnnes C. R. Solar sailing: technology, dynamics and mission applications. Springer Science & Business Media Publ., 2013, 296 p.

[8] Khabibullin R.M. Vestnik Samarskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, tekhnologii i mashinostroenie — VESTNIK of Samara University. Aerospace and Mechanical Engineering, 2019, vol. 19, no. 4, 10 p.

[9] Khabibullin R.M., Starinova O.L. Nelineynoe modelirovanie pereleta manevriruyushchego kosmicheskogo apparata k potentsialno-opasnomu asteroidu [Nonlinear simulation of the maneuvering spacecraft flight to a potentially dangerous asteroid]. "https://context.reverso.net/nepeBog/aHraHHCKHH-pyccKHH/ Certificate+of+state+registration" Certificate of state registration of computer

program no. 2016663956, application no. 2016661879, date of receipt October 10, 2016, date of state registration in the Unified register computer program of Russian Federation in the information and telecommunication network Internet, publ. 10.01.2017, 1 p.

[10] Official website of Jet Propulsion Laboratory NASA. JPL Small-Body Database Browser. Available at: https://ssd.jpl.nasa.gov (accessed September 27, 2018).

Khabibullin R.M., Engineer, Department of Space Engineering, Samara National Research University (Samara University). Research interests: solar sail spacecraft, interplanetary flights, motion simulation. e-mail: khabibullin.roman@gmail.com

Starinova O.L., Dr. Sc. (Eng.), Professor, Department of Space Engineering, Samara National Research University (Samara University). Research interests: spacecraft design, flight dynamics, low thrust engine, optimization methods. e-mail: solleo@mail.ru