CC BY
173
ным накопленным опытом, который будет перетягивать прогноз в неверную сторону, а ждать, пока опыт в новых условиях количественно превысит все то, что было раньше, несерьезно. Кроме того, чтобы получить прогноз с приемлемой точностью для статистических методов, необходимо долго накапливать этот самый опыт в виде записей в базе данных. Ней-росеть же выдаст правдоподобный прогноз, имея на входе даже небольшую совокупность примеров. Хотя, конечно, на качестве прогноза это отразится.
Комбинированный анализ. Общеизвестно, что при увеличении зашумленности входных данных нейронная сеть показывает гораздо лучшие результаты прогнозирования, нежели дают статистические методы, однако в случаях, неявных (опосредованных) зависимостей, а также при анализе ряда сложных зависимостей (3-го и более порядка) нейронная сеть становится малоэффективной. Рассмотрим классический пример "неразрешимой" для нейронной сети задачи по перестановке цифр в двузначных целых числах:
ВХОД 33 58 67 21 91 32 43 69 83 45
ВЫХОД 33 85 76 12 19 23 34 96 38 54
Эвристика: анализ вышеуказанных рядов данных покажет, что в данном случае для получения результата выхода необходима простая перестановка цифр числа, получаемого на входе.
Нейронная сеть: решение этого типа задачи при применении четырехслойной сети 100x100x4 невозможно, поскольку наступает переобучение, а решение ее двухслойным блоком 100x100 сложно, ресурсоемко и бессмысленно, поскольку для полноты картины сети нужно будет предоставить полный числовой ряд от 10 до 99 и произвести огромное количество циклов обучения - даже после 10 000 эпох сеть выдает результаты погрешностью в 20 %.
Статистика: используя классический метод итерационного подбора функции с анализом результатов по уменьшению среднеквадратичного отклонения, получаем безошибочный результат функции:
Хи!+
+10-Х+
Е1=1х/101; Р2=х-10; е3=!х/101, а также значения коэффициентов: К1= -100; К2=10; К3=1, которые приводят к простейшей формуле вида: у=-100-
Таким образом, задача, неразрешимая для нейронной сети, решается легкодоступным традиционным статистическим методом. Отсюда вывод: для полноценного прогнозирования и анализа необходимо использовать комбинированную систему нейронная сеть + статистические методы.
Генетический алгоритм. Среди тысяч методов в задачах на поиск глобального экстремума функций генетические (или эволюционные) алгоритмы занимают особое место.
Эволюционная теория утверждает, что каждый биологический вид целенаправленно развивается и изменяется, чтобы наилучшим образом приспособиться к окружающей среде. Можно сказать, что эволюция - это процесс оптимизации всех живых организмов.
В данном случае в базе собранных данных существует ряд искусственно введенных признаков (индивидуальные и групповые номера) для тех или иных групп данных и функций, а также указывается их текущее жизненное состояние (вероятность выдачи достоверного прогноза) и наиболее вероятные брачные партнеры (показатели, на которые они предположительно влияют или которые влияют на них). Генетический алгоритм в системе нацелен прежде всего на уборку мусора в данных и на выявление наиболее жизнеспособных особей среди данных, функций и методов анализа. В зависимости от жизнеспособности (вероятности достоверного прогноза) особи на ее обработку будет выделяться большее количество ресурсов (процессорного времени), что позволит оптимизировать и ускорить вычисления в системе и, соответственно, получить наиболее достоверный прогноз или более точные результаты анализа.
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СОПРЯЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
УЧАСТКОВ АВТОДОРОГИ
Е.А. Аникеев, к.т.н. (Воронежская государственная лесотехническая академия)
Основные кривые на дорожных закруглениях описаны дугами окружности, то есть кривыми постоянной кривизны. Чтобы перевести автомобиль с прямой (радиус - бесконечность) на кривую постоянной кривизны (заданный радиус И0), водитель поворачивает штурвал рулевого колеса, постепенно доводя угол поворота колес до величины, соответствующей круговой кривой. Траектория автомобиля, описываемая таким образом на подходах к круговой кривой, представляет собой кривую, радиус которой постепенно уменьшается от бесконечности (на пря-
мой) до радиуса круговой кривой. Поэтому в случае высоких расчетных скоростей движения и на кривых малых радиусов с обеих сторон круговой кривой устраивают переходные кривые для размещения переходных траекторий. Существующие способы кло-тоидной трассировки не предполагают анализа гладкости сопряжения клотоиды и круговой кривой. Определив положение мгновенного радиуса конечной точки переходной кривой относительно радиуса круговой вставки (или относительно биссектрисы угла поворота при биклотоидном трассировании), можно
сделать вывод о гладкости сопряжения клотоиднои переходной кривой с круговой или, при биклотоид-ном трассировании, с биссектрисой угла поворота.
Если эти радиусы совпадают, то кривые считаются сопряженными, и в точке перехода от одного радиуса к другому отсутствует скачкообразное изменение центробежной силы. Это означает, что мгновенная касательная в последней точке клотоиды совпадает с касательной к круговой вставке (или с мгновенной касательной в последней точке сопряженной клотоиды при биклотоидном трассировании).
Следовательно, общепринятая методика в ряде случаев может не обеспечивать гладкого сопряжения переходной кривой с дугой закругления в силу того, что точки мгновенного радиуса последней точки клотоиды (на радиусе, равном радиусу закругления) могут не совпадать с биссектрисой угла поворота.
Предлагается алгоритм определения гладкости сопряжения переходной кривой с дугой закругления на повороте и приведения случаев несопряженного трассирования к сопряженному.
Предложим несколько способов построения гладкого сопряжения переходной кривой с кривой закругления. Для этого потребуется построить мгновенный радиус последней точки клотоиды.
Алгоритм построения мгновенного радиуса последней точки клотоиды
Входными параметрами алгоритма являются координаты последней точки Л(хА,уА) клотоидной переходной кривой (см. рис.). Далее эту точку будем называть опорной.
1. Определим точку А1(хЛ,уЛ) на некотором расстоянии Ь (вдоль клотоиды к ее началу). Расстояние Ь выбирается таким, чтобы дуга АА1 мало отличалась от хорды АА1, то есть приблизительно 0.01 м.
2. Вычисляются координаты хЛ2 ,уЛ2 точки А2 по формулам:
ХА2 = 2-ХЛ -ХА1 , Уа2 = 2-УА -УА1 . (1)
3. Воспользовавшись итерационным способом при построении треугольника путем перестановки сторон, можно определить координаты мгновенного
.А (-XV Уа1 )
А- , уА)
А2 (хА2 ' УА2 )
° К, У0„)
Определение координат мгновенного центра
последней точки клотоидной переходной кривой
центра Ок (х0к ,у0к) последней точки клотоиды.
Двумя сторонами треугольника будут стороны Л10к и Л20к , третьей стороной - Л1Л2 . Так как известен последний мгновенный радиус клотоиды К , то:
' »2
АА = Л20к =4 К2+АЛ2 =
= УК +(ХЛ2 -ХА)2+(Уа2 -УЛГ
АА1 ^(ХЛ2 - ХЛ, )2 +(УЛ2 - УЛ, )2 .
(2)
(3)
Таким образом, возможны четыре случая несопряженного трассирования:
1) биклотоидное трассирование со смещением последнего мгновенного радиуса клотоиды от биссектрисы к началу;
2) биклотоидное трассирование со смещением последнего мгновенного радиуса клотоиды от биссектрисы в сторону от начала клотоиды;
3) трассирование с использованием круговой вставки со смещением последнего мгновенного радиуса клотоиды от радиуса границы дуги к началу клотоиды;
4) трассирование с использованием круговой вставки со смещением последнего мгновенного радиуса клотоиды от радиуса границы дуги от начала клотоиды.
Выходными параметрами алгоритма будут координаты 0к (х0к ,у0к ) мгновенного радиуса последней точки клотоиды.
Каждый из этих случаев можно приводить к двум вариантам сопряженного трассирования:
а) биклотоидное трассирование;
б) трассирование с круговой вставкой.
Алгоритм построения гладкого клотоидного сопряжения
1. Определяем тип сопряжения (случай 1-4).
Если это тип 1, то в зависимости от условий местности возможны два варианта - 1 а и 1 б. В варианте 1а конечный радиус клотоиды (при неизменном параметре С=К-Ь ) уменьшается с определенным малым шагом до тех пор, пока последний мгновенный радиус клотоиды не будет параллелен биссектрисе угла поворота. После этого параллельным переносом мгновенного центра последней точки клотоиды и всех точек переходной кривой вдоль оси дороги совмещаем мгновенный центр последней точки клотоиды с биссектрисой угла. Вторую переходную кривую трассируем аналогично. Получаем сопряжение случая А. Если биклотоидное трассирование по каким-либо причинам невозможно, то применяется вариант 1б. При постоянном параметре С=К-Ь радиус продолжает уменьшается с определенным малым шагом до тех пор, пока угол между последним мгновенным радиусом клотоиды и биссектрисой угла поворота не позволит применить для трассирования случай Б . Вторую переходную кривую трассируем аналогично.
2. Если это тип 2, то в зависимости от условий местности возможны два варианта: 2а и 2б. В варианте 2а применяется параллельный перенос переходной кривой вдоль оси дороги до тех пор, пока мгновенный центр, соответствующий последней точке клотоиды, не окажется на биссектрисе угла поворота, после чего можно применить трассирование типа Б. Вторую переходную кривую трассируем аналогично.
При возможности клотоидного трассирования (вариант 2б) конечный радиус клотоиды увеличиваем с определенным малым шагом до тех пор, пока последний мгновенный радиус клотоиды не будет параллелен биссектрисе угла поворота. После этого параллельным переносом мгновенного центра последней точки клотоиды и всех точек переходной кривой вдоль оси дороги совмещаем мгновенный центр последней точки клотоиды с биссектрисой угла. Вторую переходную кривую трассируем аналогично. Получаем сопряжение случая А .
. Если это тип 3, то он сводится к варианту 2а; вместо гладкого сопряжения конечного мгновенного
радиуса клотоиды с биссектрисой угла поворота рассматриваем его сопряжение с соответствующим радиусом дуги, применяемой в качестве круговой вставки.
4. Если это тип 4, то он сводится к варианту 1 б; вместо гладкого сопряжения конечного мгновенного радиуса клотоиды с биссектрисой угла поворота рассматриваем его сопряжение с соответствующим радиусом дуги, применяемой в качестве круговой вставки.
В приведенном алгоритме в качестве переходной кривой использовалась клотоида. Методики, применяемые в настоящее время при трассировании криволинейных участков переходными кривыми других типов (сплайновыми) также не предусматривают проверки гладкости сопряжения переходной кривой с кривой постоянного радиуса. Предложенный алгоритм построения гладкого клотоидного сопряжения позволяет получить до 6 % снижения количества изменений скоростного режима при прохождении криволинейного участка транспортным средством.
АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 07-08-00052а)
А.В. Чернов, к.т.н. (Ростовский государственный строительный университет) Д.А. Рассказов (НПП «Югпромавтоматизация», г. Ростов-на-Дону)
Логическое дифференциальное и интегральное исчисления являются направлениями современной дискретной математики и находят свое применение в задачах динамического анализа и синтеза дискретных цифровых структур. Основным понятием логического дифференциального исчисления является производная булевой функции, представление о которой в виде булевой разности было получено еще в работах [1,2]. Булева производная по некоторым своим свойствам является аналогом производной в классическом дифференциальном исчислении. Заметим, что идеи об определении булевой производной вряд ли могли бы появиться без известной алгебраической нормальной формы и представления логической функции в виде полинома Жегалкина [3]. Развитие дифференциального исчисления в области дискретной математической логики происходило в нескольких направлениях [4], и к настоящему времени в этой области достигнуто немало результатов. Тем не менее, на наш взгляд, недостаточно исследованными остаются две важных нерешенных задачи: задача о символьных (нечисленных) аналитических преобразованиях логических функций в стиле компьютерных алгебр в об-
ласти логического дифференциального исчисления и задача доопределения понятия о булевых интегралах и выполнения аналитических логических интегральных преобразований, пригодных для реализации в алгоритмах компьютерных алгебр.
В данной работе обозначено решение поставленных задач, для чего авторами разработано алгоритмическое обеспечение и выполнена программная реализация алгоритмов.
Программные системы символьных вычислений открыли новые широкие возможности для поддержки теоретических и прикладных научных исследований. На протяжении почти четырех последних десятилетий компьютерные алгебры, начиная с системы MASCYMA, совершенствуются, приобретают улучшенные функциональные возможности. В их числе такие известные реализации, как MAXIMA, AXIOM, GAP, DERIVE, SINGULAR, NUMPI, OCTAVE, PARI/GP, YASIMCA, YACAS, и алгебраические возможности пакетов MAPLE, MATHCAD, MATLAB, R и прочих менее распространенных программных продуктов. Несмотря на такое разнообразие систем и предлагаемых ими символьных преобразо-
