CC BY
69
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
14
УДК 515.2/622.691.4
К. А. КУСПЕКОВ
Казахский национальный технический университет им. К. И. Сатпаева, г. Алматы, Республика Казахстан
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ГАЗОРАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЙ СЕТИ НА ПЛОСКОСТИ С ОРТОГОНАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ
В статье рассматривается задача построения оптимальной топологии минимального дерева для трех и пяти точек плоскости с ортогональной метрикой, моделирующих конфигурацию газораспределительных сетей.
Ключевые слова: кратчайшее дерево, вес точки, кратчайшие связывающие линии.
Одним из этапов оптимального проектирования газораспределительной сети является выбор ее наивыгоднейшей трассировки или конфигурации. В основу данной задачи должны быть положены следующие требования [1, 2]:
— сеть должна охватывать всех потребителей;
— иметь возможно меньшую строительную стоимость;
— бесперебойно функционировать при нормальной работе и при возможных авариях на отдельных участках.
В практике проектирования выбор трассировки производится на основе приведенных требований, опыта проектировщика с учетом реальных условий города. Надежное снабжение потребителей газом обеспечивается путем кольцевания газовой сети. При этом сравнивают несколько вариантов трассировки, из которых выбирается наиболее экономичный.
Вопросы трассировки магистральных газопроводов принципиально отличается от постановки аналогичной задачи для городской сети, магистральные газопроводы не представляют собой сложные замкнутые сети, а прокладываются в незаселенной местности и поэтому при их решении ищется минимум стоимостных затрат по доставке газа с определенного пункта добычи в определенный пункт потребления.
Г ородские же газопроводы представляют собой сложную многокольцевую сеть, прокладываемую в условиях городской застройки при многочисленных пунктах потребления. Поэтому методы трассировки, разработанные для магистральных газопроводов малоприменимы к городским газовым сетям.
Так как городские газопроводы прокладываются в зоне жилых и промышленных районов, поиск оптимальной трассы рекомендуется проводить путем сопоставления заданного набора допустимых вариантов конфигурации с учетом ограничений по условиям прокладки на данной местности. В результате получается так называемая избыточная схема газопроводов, включающая все реально возможные проектные варианты прокладки сети.
В этом случае длина каждого участка газопроводов является величиной постоянной, и минимизируемый функционал имеет вид [1]:
F(Q1,..Qn,h1,...hn) = + £ XiQi“>■>-аш , (1)
i = 1 i = 1
где х — экономическая характеристика 1-го участка сети газопроводов Q — расход газа;
аРш — показатели степени, отражающие режим течения газа;
И — перепад давления;
1 — длина участка;
а — стоимость строительства работ.
х1 = Ъеш111+“ш,
F — непрерывная функция по совокупности переменных, задана на замкнутом ограниченном множестве и следовательно можно найти ее минимум.
В заданной разветвленной сети потоки определены однозначно и переменными функционалами (1) являются перепады на участках И. В этом случае F всегда имеет минимум. Таким образом, задача нахождения минимума функционала сводится к выбору оптимальной разветвленной сети для заданных потребителей и источников газа.
Очевидно, конфигурация газораспределительных сетей представляет собой дерево.
Дерево — это граф, который не имеет петель и замкнутых контуров. Геометрическую задачу на построение линии, проходящей через заданное множество и дополнительно вводимых точек, называют проблемой Штейнера [3]. Аналогично этой проблеме на плоскости с ортогональной метрикой, в зависимости от взаимного расположения точек, различают различные виды соединения. Доказано, что задача Штейнера на плоскости с ортогональной метрикой является частным случаем задачи Штейнера на графе [4], и расстояние между точками М1 (х1, у1) и М2 (х2, у2) будет равно:
й(М1,М2) =|х1 - Х2 I + |У1 - У2 I. (2)
Рис. 1. Трехлучевое дерево для трех точек при 41=42=43
Рис. 4. Магистральное дерево для трех точек при Яз>Я1+Ч2
Рис. 2. Магистральное дерево для трех точек при Я1>Я2+Чз
Рис. 5. Минимальное дерево для пяти точек
Рис. 3. Магистральное дерево для трех точек при Я2>Я1+Чз
Рис. 6. Конечное построение дерева для пяти точек
Действительно, эта формула обладает всеми свойствами функции расстояния, а именно:
1) ^М^М2) > 0 — положительность;
2) ^М^М2) = ^М2,М^ — симметричность;
3) <3(МиМ2) = 0 — невырожденность;
4) <3(МиМ2) > ^М^М3) + <3(М3,М2)— функция удовлетворяет неравенство треугольника.
Рассмотрим топологию минимального дерева (МД) для трех точек плоскости М1, М2 и М3 с весовыми коэффициентами д1 = д2 = д3 (рис. 1) [5].
Проведем через заданные точки прямые, параллельные осям ОХ и ОУ, получим трехлучевое соединение и узловую точку N (точка Штейнера), оптимизирующие решение задачи. Суммарная длина с точкой М1 (рис. 2).
МС3 : Ь = Я1|М^| + Я2|М2И + Я3|М3И. Если 41 > > д2 + д3, то точка N совпадает. Если д2 > д1 + д3 и д3 > д1 + д2, то N = M2 (рис. 3) и N = M3 (рис. 4), то есть получаем разные топологии МБ3. Сравнивая суммарную длину Ь для полученных четырех топо-
логий, выявляем, что минимальное дерево получается при случае д1 = д2 = д3.
Рассмотрим построения кратчайшей связывающей линии для пяти точек плоскости. Пусть заданы точки М1, М2, М3, М4 и М5 с весовыми коэффициентами д1, д2 д3, д4 и д5 (рис. 5). Исходя из принципа наименьшего удлинения строим следующие топологии МБ3, пусть д1 = д2 = д3 = д4 = д5.
Шаг 1. Вычисляем расстояния между заданными точками по формуле (1).
Шаг 2. Выбираем пару точек, имеющих кратчайшее расстояние. Такой парой является точки М1 и М2, которые могут быть соединены между собой кратчайшей линией М1М1М2 или М^2М2 (рис. 6). Заштрихованная часть является зоной подвижности сети для двух точек. Получим фрагмент М1 = М2.
Шаг 3. Соединяем точки М3 и М4 ломаной линией М^4 или M3N4M4. Получим фрагмент М3 = М4.
Шаг 4. Сравниваем расстояния между фрагментами М1=М2, М3 = М4 и точкой М5. Ближайшими
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012
М3 N3
Рис. 7. Структурная схема для трех точек
соседями оказались фрагмент Мз = М4 и точка М5, которая находится в магистральной зоне. Поэтому она соединяется с М5 с ближайшей вершиной N3 через точку поворота N5 или N6. После этого точка N3 становится точкой Штейнера и изменяется зона подвижности, получим следующую структурную схему (рис.7).
Шаг 5. Объединяем два фрагмента, полученные на шаге 2 и 4. На рис. 6 показана конечная топология построения для МЭ5. В этом случае возможны и другие равнозначные варианты соединения заданных точек.
Таким образом, полученные топологии минимальных деревьев методом наименьшего удлинения позволяют получить несколько вариантов минимальных деревьев одной и той же длины, определяемых зоной подвижности. Это обстоятельство позволяет наряду с протяженностью связывающих линий при реальном проектировании газораспределительных сетей различного назначения так же учитывать и другие факторы, влияющие на общую стоимость сети.
1. Баясанов, Д. Б. Моделирование и проектирование распределительных систем газоснабжения / Д. Б. Баясанов, Ф. И. Стратан. — Кишинев : Штиинца, 1987. — 123 с.
2. Куспеков, К. А. Моделирование газораспределительных сетей кратчайшими связывающими линиями с ортогональной метрикой / К. А. Куспеков // Проблемы и перспективы развития нефтяной промышленности Казахстана : матер. Межд. науч.-пр. конф. 14—15 декабря 2005 г. — Алматы : КазНТУ, 2005.- С. 274-276.
3. Есмуханов, Ж. М. Оптимальное решение одной многоэкстремальной задачи / Ж .М. Есмуханов // Вестник АН Каз. ССР. - Алма-Ата, 1971. - № 1. - С. 66-68.
4. Hanan, M. On Steiner's problem with rectilinear distance / М. Hanan // SIAM. J. Appl.Math. - 1966. - Vol. 14. - № 2. -P. 203-216.
5. Куспеков, К. А. Моделирование инженерных сетей кратчайшими связывающими линиями / К. А. Куспеков // Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан. - 2010. -№ 3. - С. 98-100.
КУСПЕКОВ Кайырбек Амиргазыулы, кандидат технических наук, доцент (Казахстан), заведующий кафедрой «Начертательная геометрия и графика». Адрес для переписки: [email protected].
Статья поступила в редакцию 15.03.2011 г.
© К. А. Куспеков
Книжная полка
Королев, Ю. И. Инженерная графика : учебник для вузов / Ю. И. Королев, С. Ю. Устюжанина. -СПб. : Питер, 2011. - 464 с. - ISBN 978-5-459-00513-4.
Инженерная графика изучает установленные правила разработки и оформления конструкторской документации и является практическим приложением теории изображений. Данный учебник является составной частью учебно-методического комплекта по графическим дисциплинам и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по подготовке бакалавров, магистров и дипломированных специалистов по курсу инженерной графики в технических вузах. Кроме рассмотрения общих понятий и установленных правил оформления графической информации в учебнике приведены прикладные задачи геометрических построений, использованы понятия параметризации при выборе и нанесении размеров, сделан полезный обзор прикладного характера по соединениям составных частей изделий и на примерах рассмотрены задачи чтения и разработки чертежей изделий с использованием элементов конструирования. Учебник дополнен приложением, в котором предлагаются задания по разработке сборочных чертежей изделий с разъемными и неразъемными соединениями, а также необходимый справочный материал. Допущено Научнометодическим советом по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике при Министерстве образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений инженерно-технических специальностей.
Осипов, В. К. Справочник по черчению : учебное пособие для СПО / В. К. Осипов, А. А. Чекма-рев. - 6-е изд., стер. - М. : Academia, 2011. - 336 с. - Гриф МО РФ. - ISBN 978-5-7695-7742-0.
В справочнике приведены данные по типовым геометрическим построениям, нормативные материалы по оформлению чертежей машин и приборов, их конструктивных элементов, стандартных крепежных и соединительных деталей, конструкционным материалам. Для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования.
Бродский, А. М. Черчение (металлообработка) : учебник для НПО / А. М. Бродский, Э. М. Фаз-лулин, В. А. Халдинов. - 8-е изд., стер. - М. : Academia, 2011. - 400 с. - Гриф МО РФ. -ISBN 978-5-7695-8173-1.
Приведены приемы наиболее часто встречающихся геометрических построений, основные положения начертательной геометрии, общие правила выполнения чертежей, правила выполнения чертежей некоторых машиностроительных деталей и их соединений, различных схем, а также основы машинной графики. Для учащихся учреждений начального профессионального образования.
