Алгоритм построения множества Слейтера в многоцелевой задаче линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВА СЛЕЙТЕРА В МНОГОЦЕЛЕВОЙ ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Е.М. Аристова

Рассматривается многоцелевая задача линейного программирования. Для нее предлагается алгоритм построения множества Слейтера с использованием теоремы Михалевича—Волковича.

Ключевые слова: задача линейного программирования, многоцелевая задача, область компромиссов, Парето-оптимальная точка, оптимальность по Слейтеру, нормализация критериев.

Практически любой вид человеческой деятельности связан с ситуациями, когда имеются несколько возможностей и человек волен из этих возможностей выбрать любую, наиболее ему подходящую.

Задачи наилучшего выбора изучает теория принятия решений. С ее помощью можно научиться осуществлять выбор более обоснованно, эффективно используя имеющуюся в наличии информацию о предпочтениях. Эта теория помогает избежать принятия заведомо негодных решений и учесть возможные отрицательные последствия непродуманного выбора.

Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки зрения класс задач выбора составляют многокритериальные (многоцелевые) задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно [3].

Рассмотрим многоцелевую задачу линейного программирования

вида

№0) = 1к=1 скхк тах{1 = т

I хёКГ, К }

где ^ (х) - /-ая целевая функция, общее число которых равно п; с1к - коэффициент /-ой целевой функции, стоящий на вместе; X - множество допустимых значений переменной х[1].

По существу, многоцелевая задача отличается от обычной задачи оптимизации только наличием нескольких целевых функций вместо одной [1].В задачах многоцелевой оптимизации особое место отводится формированию области компромиссов, поскольку доказано [3], что оптимальное решение принадлежит этой области.

Областью компромиссов называется подмножество допустимого множества решений X, обладающего тем свойством, что все принадлежащие ему решения не могут быть улучшены одновременно по всем критериям [2].

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 3

«Улучшаемость» решения определяется принципом оптимальности, к основному из которых относится принцип оптимальности по Парето.

Пусть каждой альтернативе х G X ставится в соответствие векторная оценка f(x) = (f^x),. .,fn(x)) G Rn.

Определение 1. Альтернативах* £ X называется оптимальной по Парето (эффективной, Парето-оптимальной), если с любой другой альтернативой х £ X она находится в отношении Парето, т.е. fj(x) < fj(x*) (i = 1, п) и существует такой индекс i0 £ {1,.., п}, что соответствующее неравенство выполняется как строгое, т.е. fi0(x) < fio(x*).

Определение 2. Альтернативах* £ X называется оптимальной по Слейтеру (слабоэффективной), если не существует такой альтернативы х £ X, что fj(х) > fj(x*)(i = Т7п).

Определение 3. Множество

5(;0 = {х* £ Х\ Зх £ X (/¿(х) > /¿(х*)) dmi = Tji) называется множеством Слейтера.

Теорема Михалевича-Волковича. Для того чтобы альтернатива х° Е X при /¿(х) > 0 (i = 1,п)была Парето-оптимальной для заданного вектора [i = . . ,/in),/ij > 0,£f=1/ij = 1, достаточно, чтобы вектор х° являлся единственным решением системы неравенств /¿¿/¿(х°) < k0(i = 1, п) для минимального значения к0 при котором эта система совместна.

Для того чтобы построить множество Слейтера для многоцелевой задачи линейного программирования с использованием теоремы Михалевича-Волковича, необходимо следующее.

1. Найти оптимальные значения одноцелевых задач в случае максимизации и минимизации критериев.

2. Нормализовать частные критерии /¿(х), i = 1, п по формуле:

fCY\ _ fimax(х )-fiix)

JiKxJ — f, rx*)_f. . fx у \ZJ

J 1тах\л ) J iminvl*J

где fimax(x*)> fimin(x*) ~ максимальное и минимальное значения критерия /¿(х) на X в точках х*, х* соответственно (i = 1 ,п).

3. Составить задачу линейной оптимизации:

/¿(х) extr, хЕХ.

4. Задать вектор [i = (ßlt.., /¿n), > 0, £f=1 ßi — 15. Составить задачу линейной оптимизации, эквивалентную полученной

min kn

х

при ограничениях х £ X, [¿if^x) < к0 и решить ее. Таким образом, будет найдено значение x^(/i) = (x^/i),.. xln(ß)).

6. Задать другой вектор [i = (ßlt.., /¿n), > 0, £f=1 /¿j = 1.

7. Составить задачу линейной оптимизации

min k0

о

при ограничениях х Е X, /¿¿/¡(х) < к0и решить ее. Таким образом, будет найдено значение х^СаО = (х^СаО, ■ ■ Х1 п(аО)-

1. Действия 6-7 повторить праз.

2. В результате будет построено множество Слейтера

Критерий оптимальности - характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. Введение понятия слабо эффективного решения вызвано, в частности, тем, что в результате многоцелевой оптимизации часто получаются именно эти решения. Поэтому алгоритм построения множества Слейтера в многоцелевых задачах оптимизации, рассматриваемый в данной статье, является весьма актуальной задачей на сегодняшний день.

1. Аристова Е.М. Учет взаимодействия между целевыми функциями и их агрегирование в задачах оптимизации: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2012. 152 с.

2. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация. Киев: Выща школа, 1991. 191 с.

3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 250 с.

Аристова Екатерина Михайловна, канд. физ.-мат. наук, дои., ртт(а)уandex.ru, Россия, Воронеж, Воронежский государственный университет

In this article the multi-purpose linear programming problem is considered. For it's the algorithm of Sleyter set creation with use of the Mikhalevicha-Volkovich theorem is offered.

Key words: linear programming problem, multi-purpose problem, area of compromises, Pareto-optimalpoint, Sleyter optimality, criteria normalization.

Aristova Ekaterina Mikhailovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, pmim(a),yandex, ru, Russia, Voronezh, Voronezh State University

Список литературы

ALGORITHM OF SLEYTER SET CREA TION IN THE MULTI-PURPOSE LINEAR OPTIMIZATION PROBLEM

E.M. Aristova