Научная статья на тему 'АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО ПОВЫШЕННУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ, НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИЙ'

АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО ПОВЫШЕННУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ, НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

CC BY-NC
204
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
STRUCTURAL MECHANICS OF A SHIP / OPTIMAL DESIGN / FINITE ELEMENT METHOD / METAL STRUCTURES / TOPOLOGICAL OPTIMIZATION / PARAMETRIC OPTIMIZATION / СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА КОРАБЛЯ / ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ / МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ / МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ / ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ / ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Насс Светлана Евгеньевна

Разработан алгоритм топологической и параметрической оптимизаций, пригодный для прикладных инженерных расчетов. Приведены особенности реализации поиска лучшего конструкторского решения в прикладном программном обеспечении на примере Ansys Workbench.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Насс Светлана Евгеньевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ALGORITHM FOR SEARCHING AN OPTIMAL SOLUTION PROVIDING INCREASED EFFICIENCY OF MARIN STRUCTURES BASED ON PARAMETRIC AND TOPOLOGICAL OPTIMIZATIONS

An algorithm for topological and parametric optimization was developed, suitable for applied engineering calculations. The features of the implementation of the search for the best design solution in the application software were given on the example of Ansys Workbench.

Текст научной работы на тему «АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО ПОВЫШЕННУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ, НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИЙ»

СЕКЦИЯ F

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-S-I-212-219 УДК: 629.5.02:681.5.015.23

С.Е. Насс

ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет», Россия

АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО ПОВЫШЕННУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ, НА ОСНОВЕ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ И ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИЙ

Разработан алгоритм топологической и параметрической оптимизаций, пригодный для прикладных инженерных расчетов. Приведены особенности реализации поиска лучшего конструкторского решения в прикладном программном обеспечении на примере Ansys Workbench.

Ключевые слова: строительная механика корабля, оптимальное проектирование, метод конечных элементов, металлические конструкции, топологическая оптимизация, параметрическая оптимизация. Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

SECTION F

DOI: 10.24937/2542-2324-2020-2-S-I-212-219 UDC: 629.5.02:681.5.015.23

S. Nass

Saint Petersburg State Marine Technical University, Saint Petersburg, Russia

ALGORITHM FOR SEARCHING AN OPTIMAL SOLUTION PROVIDING INCREASED EFFICIENCY OF MARIN STRUCTURES BASED ON PARAMETRIC AND TOPOLOGICAL OPTIMIZATIONS

An algorithm for topological and parametric optimization was developed, suitable for applied engineering calculations. The features of the implementation of the search for the best design solution in the application software were given on the example of Ansys Workbench.

Keywords: structural mechanics of a ship, optimal design, finite element method, metal structures, topological optimization, parametric optimization.

Author declares lack of the possible conflicts of interests.

Введение

Обратная задача, или задача проектировочного расчета, состоящая в отыскании размеров конструкции при заданных внешних воздействиях и регламентируемых запасах прочности, изучалась в теории

строительной механики корабля гораздо реже, чем прямая задача, или задача проверочного расчета [2]. Именно для удовлетворения таких целей и служат процессы оптимизации, рассмотренные в данной статье.

Для цитирования: Насс С.Е. Алгоритм поиска оптимального решения, обеспечивающего повышенную эффективность судовых конструкций, на основе параметрической и топологической оптимизаций. Труды Крыловского государственного научного центра. 2020; Специальный выпуск 2: 212-219.

For citations: Nass S. Algorithm for searching an optimal solution providing increased efficiency of marin structures based on parametric and topological optimizations. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; Special Edition 2: 212-219 (in Russian).

Целевая функция представляет собой функцию переменных fx), которая используется при сравнении одних вариантов конструкции с другими. Необходимо найти экстремальное значение этой функции [1]. Будем полагать, что целевая функция минимизируется, но также будем находить и максимум функции, изменив знак на противоположный:

max f (x) = -min [ -f (x)]. (1)

Задачи минимизации, возникающие при нахождении оптимальной конструкции, - в основном задачи с условиями, ограничивающими пространство проектирования. Можно выделить два вида ограничений: на переменные проектирования и переменные состояния. С помощью данных ограничений реализуются требования функциональности, технологичности, габаритных размеров, массы, стоимости и т.д.

Переменные проектирования - m--мерный вектор х = {хь х2,..., xm}T, который образуется из выбранного набора независимых переменных, описывающих конструкцию.

Переменные состояния: y = {y1, y2,..., yn}T. Вводятся для описания поведения конструкции при заданных внешних воздействиях и выбранных переменных проектирования. С математической точки зрения ограничения переменных проектирования и переменных состояния можно выразить следующим образом:

f (x)< 0; i = 1,..., l, (2)

где l - количество ограничений неравенств; х -вектор переменных проектирования, который может включать и переменные состояния.

Ограничения переменных состояния в общем случае являются нелинейными функциями переменных проектирования и определяют допустимую область проектирования. В рассмотренной ниже задаче свободного опирания балки в качестве ограничения выбрано напряжение. Предполагается, что общие напряжения в конструкции не должны превышать 200 МПа.

Необходимые условия оптимальности в этом случае примут вид [1]

lj (x) + Vdldj (x) = 0, j = 1,..., m, fd(x) = 0, (3)

где lj (x) = df (x)/ dxj, ldj (x) = dfd(x)/ dxj - коэффициенты чувствительности целевой функции fx) и доминирующего перемещения f(x) к j-й

переменной проектирования; /лл -множитель Ла-гранжа.

Пример задачи оптимизации

В качестве примера приведем задачу оптимального проектирования статически определимой свободно опертой балки с равномерно распределенным давлением (рис. 1), которая была решена с помощью параметрической и топологической оптимизации. Минимизируется объем.

Для удобства моделирования и последующей работы с оптимизированной геометрией зададим через интенсивность нагрузки:

£ = д. I = 196133 Н/м2 • 0,1 м = 19613,3 Н/м - приведенная нагрузка, где I = 0,1 м - ширина балки.

Балка имеет квадратное сечение со сторонами 100 мм. Геометрические характеристики сечения приведены в табл. 1.

Ниже приведено решение следующей задачи оптимизации: найти такую оптимальную форму балки методами топологической и параметрической оптимизации, чтобы она удовлетворяла условиям:

■ максимальные напряжения не превышают 200 МПа;

■ выполнена минимизация объема.

Я

//2 //2

@)кН-м

л / д?

м8 Мтах

Рис. 1. Расчетная схема с эпюрами изгибающих моментов и срезающих усилий

Таблица 1. Геометрические характеристики квадратного сечения

Форма сечения Площадь сечения Момент инерции Момент сопротивления

квадрат У к F = а F = 0,01м' 1=1=1-12 /=/= —= 8,310 м 12 3 W = W =— z У 6 0 I3 WZ = WV=—— = 1,7-Ю-4 м3 z У 6

- 1 1 1 z а

1 * а

Нахождение лучшего варианта конструкции средствами топологической оптимизации

Задача топологической оптимизации

Топологическая оптимизация (ТО) - это математический метод, который оптимизирует расположение материала в заданном пространстве в условиях проектирования при заданных нагрузках, граничных условиях и ограничениях с целью повышения производительности системы. Традиционная формулировка ТО использует метод конечных элементов для оценки проектных характеристик.

Дана некая область О в евклидовом двумерном или трехмерном пространстве и определенное количество «строительного» материала (его объем V0 или масса т0). Пусть также заданы внешние силы, действующие на указанную область О. Задача ТО состоит в том, чтобы из имеющегося «строительного» материала «слепить» конструкцию внутри области О так, чтобы при действии заданных внешних сил она имела наилучшие характеристики. В классической задаче ТО под «наилучшими характеристиками» понимают минимизацию потенциальной энергии деформации U (работы внутренних сил) [3].

Для удобства введем конфигурационное пространство системы материальных частиц. Пусть Q -множество всех допустимых конфигураций элементов материала внутри области О, а q с О - некоторая допустимая конфигурация. Тогда задачу ТО можно сформулировать так.

Найти

^ {я) (4)

при ограничении на массу материала

тшп ^ Чя)Р^ ^ ттах (5)

где р - плотность материала (внутри области О она может быть непостоянной); V - объем, занимаемый

конфигурацией q; mmax, mmin -наибольшая и наименьшая допускаемые массы материала соответственно (при mmax = mmin = m0 ограничение (5) становится ограничением-равенством). Также при р =1 ограничение (5) превращается в ограничение на объем материала.

С точки зрения прочности весьма актуальным является вопрос ограничения наибольших напряжений и перемещений. Поэтому к задаче (4)-(5) часто добавляют следующие ограничения:

maxreqo(r) < (6)

maxrequ(r) < «max* (7)

где r - материальная точка (частица материала), принадлежащая конфигурации q; с - напряжение в материальной точке r (в данной работе применяются эквивалентные напряжения по Мизесу); u -перемещение материальной точки r (это может быть как полное перемещение, так и перемещение по одному конкретному направлению).

Чтобы провести задачу ТО, используя ограничения по напряжениям, необходимо прибегнуть к одному из двух доступных в Ansys Workbench методов - методу Последовательного Выпуклого Программирования (Sequential Convex Programming).

Пример топологической оптимизации

При оптимизации балки учитываются ограничения напряжений по Мизесу. Они не должны превышать 200 МПа. В качестве целевой функции выбран объем, который должен быть минимизирован. Область проектирования - весь материал балки, кроме исключенной, недеформируемой части для задания граничных условий (материал для закрепления на опорах и в верхнем сечении балки для приложенной нагрузки).

Общий вид и эквивалентные напряжения в балке до оптимизации и после представлены на рис. 2

Рис. 2. Конструкция балки до оптимизации: а) общий вид; б) эквивалентные напряжения по фон Мизесу

Рис. 3. Конструкция балки после топологической оптимизации: а) общий вид; б) эквивалентные напряжения по фон Мизесу

и 3 соответственно. Балка приобрела полнонагру-женное состояние.

Как видно из рис. 3, оптимизированная структура учитывает преобладание касательных или нормальных напряжений в г-м сечении. Верхняя часть и торцы остались недеформированными в силу начального запрета на их оптимизацию. Конструкция приобрела вид, близкий к ферме. Для удобства дальнейшего анализа начальную и оптимизированную структуры будем делить на 12 равных частей с постоянной длиной (100 мм).

Чтобы получить наиболее адекватное решение ТО при симметричном нагружении, разделим оптимизированную балку пополам и отразим по горизонтали. Таким образом, в таблице результатов (табл. 2) приведем только первые шесть значений, т.к. можно утверждать, что напряжения и объем в симметричных частях одинаковы.

Таблица 2. Результаты топологической оптимизации для каждой части балки

№ V, м3 oeav, МПа

1 4,8226-10-4 97,726

2 3,061 10-4 112,66

3 3,9848-10-4 65,034

4 3,5372-10-4 150,36

5 3,7618-10-4 60,504

6 3,3697-10-4 72,261

Нахождение лучшего варианта конструкции средствами параметрической оптимизации

Алгоритм работы с параметрической оптимизацией

Ниже представлен весь алгоритм работы с параметрической оптимизацией в Ansys Workbench. К этому классу относятся задачи, в которых структура объекта считается заданной и речь идет лишь об определении числовых значений параметров, свойственных данной структуре.

Для старта оптимизации необходимо определить список переменных и целей проектирования. Для нас переменные проектирования - высота каждой из 12 частей - Hn. Так как конструкция имеет симметрично нагруженное состояние, возьмем только половину - шесть параметров. Это будут наши входящие параметры. Необходимо также подготовить выходные параметры. Здесь таких величин две - объем и напряжения по Мизесу.

Чтобы построить поле нахождения оптимальной конструкции в Ansys Workbench необходимо воспользоваться инструментом Response Surface («поверхность отклика»). Поверхность отклика исследует взаимосвязи между несколькими независимыми переменными и одной или несколькими переменными отклика (функцией цели или перемен-

ными состояния). В нашей работе поверхность отклика построена методом Genetic Algorithm. Это позволит целенаправленной оптимизации, применяемой на следующем шаге, опираться на нее при создании оптимальной модели.

Анализ чувствительности

На рис. 4 показана диаграмма локальной чувствительности. Она состоит из двух частей: влияние переменных проектирования на целевую функцию (объем) - слева, и влияние этих же переменных на эквивалентные напряжения по Мизесу - справа. Напоминаем, что на начальном этапе каждая часть балки имеет одинаковую площадь сечения:

F = a• Hn, (11)

где a - это ширина, балки, const; Hn - параметр проектирования, варьируемая высота, имеющая начальное значение 100 мм. Длина каждой 1/12 части балки также имеет постоянную величину. Таким образом, влияние каждой переменной на объем одинаково, а влияние высоты каждой части на напряжение варьируется. Так, даже не имея достаточно времени для проведения полного процесса оптимизации конструкции, инженер может сделать только построение поверхности отклика и, исходя из диаграммы чувствительности, выстроить свою дальнейшую работу по варьированию параметров проектирования конструкции.

Целенаправленная оптимизация

После того, как была построена поверхность отклика (или же без предыдущего шага, в случае комбинированной оптимизации), переходим непосредственно к процессу оптимизации.

Целенаправленная оптимизация (Goal-Driven Optimizations, GDO) - это набор ограниченных, многоцелевых методов оптимизации, при которых наилучшие возможные конструкции получаются из

набора образцов с учетом цели, которые устанавливаются для параметров.

В данной работе расчет параметрической оптимизации выполнен методом Screening. Screening - это неитеративный метод прямой сортировки, для которого используется генератор квазислучайных чисел, основанный на алгоритме Хаммерсли. Генератор имеет очень низкое расхождение и применяется для моделирования методом квазиМонте-Карло [2]. Обычно к Screening обращаются при предварительном проектировании, что может привести к применению других методов для получения более точных результатов оптимизации, таких как MISQP, для быстрого локального поиска. Метод используется на следующем за первой выборкой этапе проектирования, для более точного решения задачи.

В свою очередь, MISQP - это градиентный од-ноцелевой оптимизатор. Он решает смешанные целочисленные нелинейные задачи программирования с помощью модифицированного последовательного метода квадратичного программирования [2].

Пример параметрической оптимизации

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Переходим непосредственно к процессу оптимизации. Была построена поверхность отклика, сформировали множество решений и получили первый набор конструкций - три наилучших варианта. Обычно они выбираются по наибольшему соответствию экстремуму функции. Три варианта выдаются по умолчанию. Число полученных вариантов можно расширить вручную.

Отметим, что в табл. 3, 4 приведены только половинные значения Hn. Это связано с особенностью построения модели и не имеет влияния на результаты оптимизации. Однако в табл. 5 уже занесены полные значения параметров, для более корректного сопоставления итогового решения оптимизации балки разными методами.

Рис. 4. Диаграмма локальной чувствительность (Local Sensitivity)

Таблица 3. Результаты параметрической оптимизации методом Screening

Screening

Общий вид конструкции

Эквивалентные напряжения, МПа

3

5

6

Hn, мм

16,2

35,4

28,733

23,4

21,114

19,036

к общ? J

3

0,00576 = 0,48 Vo

öeqv, МПа

149,14

н

s

s &

и <u s В

tr

^

4

Hn, мм

44,2

21,025

17,3753

26,92

25,196

27,301

^0бщ!> м

0,00648 = 0,54 V0

Oeqv, МПа

126,1

IL

Hn, мм

17

25,4

42,067

31,4

26,829

22,673

Vc^ м

0,0066 = 0,55 V0

Oeqv, МПа

103,4

1

2

4

Как можно увидеть из табл. 3, конструкции уже имеют поле напряжений, близкое к так называемому полнонапряженному варианту, когда напряжения по всей конструкции приблизительно равны. Однако предельное значение напряжений еще не достигнуто. Для дальнейшего поиска минимума воспользуемся методом МКРР.

Для второй оптимизации выберем наиболее близкий к постановке нашей задачи - минимизации объема - вариант полученной конструкции, приведенный в табл. 3. Это вариант № 1. Полученные величины параметров Нп будут стартовыми параметрами проектирования.

В качестве лучшего варианта последней оптимизации выберем вариант № 2, т.к. уровень макси-

мальных эквивалентных напряжений в этой конфигурации наиболее близок к напряжениям в балке, полученной с помощью ТО. Сведем данные из табл. 2 и 4 в табл. 5, где даны сравнительные характеристики оптимизированных конструкций, полученных разными методами.

У„ = Нп ■ а2, (12)

где Нп - варьируемая высота элемента - переменная проектирования, полученная в таблице 4; а = 0,1 м -постоянная, задающая ширину и длину элемента.

Таким образом, в ходе сравнения можно заключить, что уровень напряжений в каждой части балки в первом и втором случаях имеет один и тот же порядок, а слабое сечение располагается в центре,

Таблица 4. Результаты параметрической оптимизации методом MISQP

мкдр

Общий вид конструкции

Эквивалентные напряжения, МПа

Нп, мм

14,62

31,86

25,86

21,06

19

17,13

^общ;» м

0,00518 = 0,43 У0

, МПа

181,

т н а и

ра в е и

В г

у

ваг* »006

Нп, мм

15,76

33,31

27,36

22,49

20,37

18,43

^^ м

0,0055 = 0,46 V)

, МПа

158,9

Ш1

Нп, мм

15,12

31,86

25,86

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

21,15

19,28

17,55

^^ м

0,00523 = 0,44 Г0

ъес1У, МПа

175,12

Таблица 5. Сравнительные характеристики оптимизированных конструкций, полученных разными методами

Параметрическая оптимизация

Топологическая оптимизация

Эквивалентные напряжения

V, м3 Оеду, МПа У„ м3 ОеЧу, МПа

1 3,15210-4 74,837 4,8226-10-4 97,726

2 6,662-10-4 40,114 3,061 10-4 112,66

3 5,472-10-4 71,171 3,9848-10-4 65,034

4 4,498-10-4 117,24 3,5372-10-4 150,36

5 4,074-10-4 158,88 3,7618-10-4 60,504

6 3,686-10-4 155,81 3,3697-10-4 72,261

Гобщ. = 0,0055 м3 оеф,Е = 158,9 МПа Гобщ. = 0,0045 м3 оеф,Е = 150,36 МПа

1

2

3

4

5

6

о

о

в месте действия наибольших нормальных напряжений. Процент расхождения между эквивалентными напряжениями составляет всего 5 %. В первом случае объем оптимизированной структуры соответствует 45 % от объема начальной балки, а во втором - 38 %, что показывает возможность экономии материала в системах, проектируемых с помощью приведенного алгоритма оптимизации.

Заключение

В ходе выполнения работы были получены более глубокие знания о работе со средствами и методами параметрической и топологической оптимизации. Разработан простейший алгоритм расчета для получения оптимальной конструкции, который можно задействовать в прикладных инженерных расчетах. Дан математический и физический смысл методов топологической и параметрической оптимизаций. Также были приведены особенности реализации поиска лучшего конструкторского решения в прикладном программном обеспечении на примере Ansys Workbench.

Список использованной литературы

1. Родионов А.А. Математические методы проектирования оптимальных конструкций судового корпуса. Л.: Судостроение, 1990. 248 с.

2. ANSYS release 19.1 documentation ANSYS Inc., 2019.

3. Крыжевич Г.Б., Филатов А.Р. Комплексный подход к топологической и параметрической оптимизации судовых конструкций // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. № 1 (391). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/kompleksnyy-podhod-k-topologicheskoy-i-parametricheskoy-optimizatsii-sudovyh-konstruktsiy (дата обращения: 22.09.2020).

4. Bendsoe M.P., Martin P. Topology optimization: theory, methods and applications / M.P. Bendsee; Sigmund O. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Paris; Tokyo: Springer, 2003.

5. Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Современная методология оптимизации силовых схем конструкций // Труды Крыловского государственного научного центра. 2020. Специальный выпуск 1. С. 1-9.

6. Holmberg E., Torstenfelt B., Klarbring A. Stress constrained topology optimization // Structural and Multi-disciplinary Optimization. 2013. 48(1). P. 33-47.

7. Родионов А.А. Направления развития строительной механики корабля, обеспечивающие повышение эффективности судов и объектов морской техники // Труды Крыловского государственного научного центра. 2018. Специальный выпуск 2. С. 15-24.

Сведения об авторе

Насс Светлана Евгеньевна, аспирант СПбГМТУ. Адрес: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3. Телефон: +7 (981) 816-16-48. E-mail: svetlana.nass@yandex.ru.

Поступила / Received: 26.11.20 Принята в печать / Accepted: 21.12.20 © Насс С.Е., 2020

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.