CC BY
0
АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ
ЗАДАЧИ В СЕТЕВОЙ ФОРМЕ
Г.Ф. Сафина, канд. физ.-мат. наук, доцент Г.З. Тухбатова, студент
Нефтекамский филиал Уфимского университета науки и технологий (Россия, г. Нефтекамск)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-4-5-114-118
Аннотация. Исследована задача поиска оптимального решения классической транспортной задачи, которая сведена к сетевой форме динамического программирования. Условия задачи из транспортной таблицы переведены на граф с вершинами и ребрами с числовыми значениями данных. На конкретном примере показан алгоритм перевода метода получения опорного плана, метода потенциалов задачи с транспортной таблицей к задаче с сетевым графом. Указаны отличительные особенности методов, приведены правила поиска опорного плана в сетевом формате. Найдено решение задачи, проведена проверка решения на оптимальность также с помощью использования сетевого графа.
Ключевые слова: транспортная задача, граф, метод потенциалов, сетевая форма, оптимальный план.
Рассмотрим классическую транспортную задачу с поиском оптимального распределения грузов от поставщиков потребителям на сетевой модели [1-4, 8]. Такая задача, заданная транспортной таблицей (с объемами грузов у поставщиков и требуемыми объемами грузов потребителей) имеет стандартные методы решения, например, метод формирования опорных планов, метод потенциалов для поиска оптимального плана решения, другие аналитические методы [5-7, 9].
В данном исследовании такая классическая задача переводится в сетевую форму и решается по технологиям использования методов на конечном графе [10]. Именно такую интерпретацию можно отнести к некоторому виду геометрического представления решения. Причем в сетевом виде отличительно формируются и проверяются условия (требования) известных аналитических методов, в том числе и метода потенциалов.
Итак, в сетевом представлении транспортной задачи в виде графа принимаем:
- вершины - поставщиками с объемами
производимых аг- ед. (/ = 1, m ) грузов (со знаком «+») или потребителями с требуе-
мыми объемами Ь . ед. (] = 1, п ) грузов (со
знаком «-»);
- ребра - путями перевозок с указанными над ними тарифами Су перевозок в
стоимостном плане от /-ого поставщика ]-ому потребителю.
При сетевом варианте решения транспортной задачи методом потенциалов должны выполняться следующие требования и ограничения:
- груз от поставщиков вывозится полностью, и все потребности удовлетворяются также полностью;
- количество ребер (стрелок) меньше количества вершин (поставщиков и потребителей) на единицу;
- нет замкнутых контуров цепи, и в каждой вершине графа есть входящие и выходящие ребра (стрелки);
- допускается добавление ребер графа для фиктивных поставщиков или потребителей (при необходимости) с нулевой стоимостью.
Определение оптимального плана перевозок транспортной задачи в сетевой форме рассмотрим на примере конкретного графа с числовыми значениями (условиями) на вершинах и ребрах графа, представленного на рисунке 1.
По графу видим, что в вершинах: А1 (I) В3 (V) - потребители с указанными в них и А2 (II) - поставщики, В1 (III), В2 (IV), же соответствУюЩими весами гРУзов.
Рис. 1. Сетевой вид транспортной задачи
Заметим, что транспортная задача закрытая: суммарный груз поставщиков (30 ед. + 70 ед.) равен по абсолютной величине суммарным потребностям (40 ед. + 40 ед. + 20 ед.).
ш
Первый опорный план в сетевом виде построен и представлен на рисунке 2, в котором перевозимые грузы с весами обозначены над выделенными стрелками.
и
1V \ _
-40^
Рис. 2. Первый опорный план
Для того чтобы проверить план на оптимальность, опишем и применим метод потенциалов для сетевой формы. Метод начинается с того, что одной из вершин (в нашем случае, вершине I (рис. 2)) задаем
определенное значение потенциала (пусть 0). И далее определяем потенциалы других вершин сети (с учетом стрелок), используя стандартное правило метода:
(1)
где , /3 - числа (потенциалы) каждой вершины графа.
Равенства (1) соответствуют поиску потенциалов для каждой базисной (заполненной) клетки задачи с условиями в виде транспортной таблицы. Число базисных клеток составляло бы т + п — 1, и (1) об-
разовали бы систему из т + п уравнений с бесконечным множеством решений. Тогда поиск единственных значений потенциалов (единственного решения системы (1)) и подразумевает задание одного из значений потенциала, и при этом остальные значения потенциалов будут определяться однозначно.
В нашем случае сетевого вида задачи поступаем следующим образом: если стрелка выходит из вершины графа, то к потенциалу этой вершины добавляем (прибавляем) значение С этой стрелки,
если же направление стрелки противоположно, то из потенциала вершины убираем (вычитаем) С .
Приведем наши расчеты потенциалов в соответствующих вершинах графа (они же
указаны в квадратных рамках около вершин на рисунке 2):
- III: 0 +2 = 2 (стрелка выходит из I);
- V: 0 + 6 = 6 (стрелка выходит из I);
- II: 6 - 5 = 1 (стрелка входит в V);
- IV: 1 + 3 = 4 (стрелка выходит из II).
Зная теперь потенциалы проверим полученный план на оптимальность, проверяя выполнение неравенств:
\ = cv -(аг +ß,) > 0
(2)
для ребер без стрелок (в сетевом варианте метода потенциалов), что соответствует незаполненным клеткам транспортной таблицы задачи.
Для сетевого графа проверка неравенств (2) означает следующее: из большего потенциала вершины убирается (вычитается) меньший потенциал (другой связывающей вершины), и полученная разность убирается (вычитается) из показателя С тарифа,
отвечающего ребру, связывающему вершины.
Приведем расчеты по неравенствам (2) для ребер графа без стрелок:
Лз4 = 4 - (4 - 2) = 2,
А 45=1 - (6 - 4) = - 1.
Видим, что Л45 отрицателен («отрицательная оценка»), значит, план пока не оптимален.
Нужно провести перераспределение грузов и получить новый опорный план. При этом в задаче, заданной транспортной таблицей, по методу потенциалов груз необходимо добавить в клетку с отрицательной оценкой.
В сетевом же виде такое добавление означает, что нужно «загрузить» ребро без стрелки с соответственной отрицательной оценкой и дорисовать к нему новую (пунктирную) стрелку, направленную от вершины с меньшим значением потенциала к вершине с большим значением. При
этом образуется замкнутый контур из стрелок.
В нашем примере такое перераспределение грузов с добавлением новой пунктирной стрелки от вершины IV к вершине V (отрицательная оценка у А45) показано
на рисунке 2.
При перераспределении грузов используем следующее правило:
- рассматриваются стрелки замкнутого контура с направлением, противоположным направлению новой стрелки;
- среди них находится стрелка с
наименьшим тарифом (х = min cij. );
- найденное значение х прибавляется к тарифам cij стрелок, имеющих то же направление, что и новая (пунктирная) стрелка, и вычитается из cij стрелок с
противоположным направлением;
- стрелка, по которой выбрано число х удаляется, общее количество стрелок остается прежним.
В нашем примере имеем: х = min ci} =
30, тогда тариф (стоимость) 30 добавляем от вершины II к вершине IV (30+40=70), прибавляется от вершины IV к вершине V (0+30=30), пунктирная стрелка становится сплошной. Тариф х, равный 30 убирается от II к V (30-30=0), поэтому соответствующая стрелка убирается.
Рис. 3. Второй опорный план
Итоговый новый опорный план показан на рисунке 3. Проверим его на оптимальность. Для этого вычислили потенциалы с учетом (1), они выделены в квадратах рядом с вершинами графа (рис. 3) и проверили неравенства (2): Л34 = 4 - (10 -
7) = 1, Л 25 = 5 - (11 - 7) = 1. Итак, новый
план - оптимален.
Определим транспортные расходы задачи с учетом полученного плана: 20 • 2 + 10 • 6 + 30 • 1 + 70 • 3 = 340 д.е. Значит, оптимальный план перевозок в сетевой форме представлен на графе ри-
сунка 3, по которому затраты на перевозки составят 340 д.е.
Проведенное исследование на конкретном примере показывает возможность поиска решения транспортной задачи в сетевой форме. Перевод аналитических методов (поиска опорного плана, метода потенциалов) в сетевой формат решения подразумевает также проверку условий оптимальности полученных планов также в графическом виде. Причем такой формат имеет особенности в применении стандартных аналитических методов, формируя свои динамические правила их исполь-
зования.
Библиографический список
1. Байдак В.Ю. Экономико-математические методы и модели. Учебно-методическое пособие. - Орел: ГОУ ВПО «ОГУ». - 2009. -125 с.
2. Бауэрсокс Д.Дж., Клосс, Д.Дж. Логистика: интегрированная цель поставок / Пер. с англ. - М.: Олимп-Бизнес, 2001. - 225 с.
3. Иванов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.; Наука, 2003. -453 с.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 2000. - 342 с.
5. Ларионов Ю.И., Хажмурадов М.А., Кутуев Р.А. Методы исследований операций: Часть 1, 2010. - 312 с.
6. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 244 с.
7. Моисеев Н.Н., Иванов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М.: Наука, 2002. - 340 с.
8. Пузанова И. А. Интегрированное планирование цепей поставок: учебник для бакалавриата и магистратуры. - М.: Юрайт, 2022. - 319 с.
9. Романова М.В. Логистика: практикум. - М.: ФЛИНТА, 2020. - 144 с.
10. Тухбатова Г.З., Сафина Г.Ф. Применение метода потенциалов для транспортной задачи в сетевой форме / В сборнике: Достижения и приложения современной информатики, математики и физики. Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции. - Уфа, 2021. - С. 33-38.
ALGORITHM FOR FINDING THE OPTIMAL PLAN FOR SOLVING A TRANSPORT
PROBLEM IN NETWORK FORM
G.F. Safina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor G.Z. Tukhbatova, Student
Neftekamsk branch of Ufa University of Science and Technology (Russia, Neftekamsk)
Abstract. The problem of finding an optimal solution to the classical transport problem, which is reduced to a network form of dynamic programming, has been investigated. The conditions of the problem from the transport table are translated into a graph with vertices and edges with numerical data values. A specific example shows an algorithm for translating a method for obtaining a reference plan, a method for potentials of a task with a transport table, to a problem with a network graph. The distinctive features of the methods are indicated, the rules for searching for a reference plan in a network format are given. A solution to the problem was found, the solution was checkedfor optimality also using a network graph.
Keywords: transport problem, graph, potential method, network form, optimal plan.
