АЛГОРИТМ ПЛАНИРОВАНИЯ ПУТИ В ТРЕХМЕРНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СРЕДЕ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА РОЯ ЧАСТИЦ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Информатика, вычислительная техника и управление

DOI 10.36622^Ти.2022.18.6.001 УДК 004.896

АЛГОРИТМ ПЛАНИРОВАНИЯ ПУТИ В ТРЕХМЕРНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СРЕДЕ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА РОЯ ЧАСТИЦ

Н.Н. Чернышев, Т.В. Ниженец

Институт искусственного интеллекта, МИРЭА - Российский технологический университет,

г. Москва, Россия

Аннотация: основным фактором повышения эффективности процесса функционирования беспилотных мобильных средств является организация их оптимального движения от начальной до целевой точки без столкновения с препятствиями. Планирование пути допускает, как правило, бесконечное множество решений, поэтому задача построения пути формулируется как оптимизационная задача с целевой функцией, соответствующей минимальной длине маршрута при выполнении ряда ограничений. Решение задачи планирования пути в трехмерном пространстве значительно усложняется по сравнению с движением на плоскости, поскольку вычислительное время, необходимое для решения такой задачи, увеличивается экспоненциально с увеличением размерности пространства. Предлагается алгоритм планирования пути, основанный на оптимизации роя частиц, позволяющий сократить время поиска кратчайшего пути без столкновений в трехмерной детерминированной среде, заполненной статическими выпуклыми препятствиями. Функциональность предложенного алгоритма иллюстрируется моделированием при различном расположении и количестве препятствий. Результаты численных исследований позволяют говорить о том, что разработанный алгоритм на основе метода роя частиц эффективно выполняет планирование пути в трехмерной детерминированной среде со сложным пространственным расположением препятствий

Ключевые слова: планирование пути, трехмерное пространство, детерминированная среда, препятствия, метод роя частиц

Введение

Планирование пути в трехмерном пространстве для решения задач, связанных с перемещением в пространстве беспилотных мобильных средств, широко применяется в таких областях, как океанография, аэрокосмическая промышленность, сельское хозяйство и пр. С распространением беспилотных летательных и подводных аппаратов, движение которых осуществляется в трех измерениях, применение планирования маршрута стало еще более важным. В целом, учитывая начальное и конечное местоположение, в которое должен переместиться мобильный объект, цель планирования пути определяется как определение маршрута к целевой точке без столкновения с трехмерными препятствиями или движения в трехмерной разрешённой области при соблюдении ряда критериев, например, таких как минимальное расстояние, плавность или безопасность пути [1,2,3,4].

Планирование пути в трехмерной среде, в отличии от двухмерной, является более реалистичным, при этом экспоненциально возраста-

© Чернышев Н.Н., Ниженец Т.В., 2022

ет сложность решения этой задачи с учетом кинематических ограничений автономного мобильного робота [5,6]. С точки зрения оптимизации, решение задачи планирования оптимального трехмерного пути является NP-трудным, поэтому не существует общих решений этой задачи. На текущий момент планирование пути, как правило, выполняется следующими группами алгоритмов:

1. Алгоритмы на основе графов (деревьев), например, быстрого исследования случайного дерева (Rapidly exploring random tree, RRT), вероятностной дорожной карты (Probabilistic Road Maps, PRM), метод на основе диаграммы Вороного, искусственного потенциального поля (Artificial Potential Field, APF) и др. Эта группа алгоритмов обычно разбивает среду на набор ячеек, характеризующих состояние робота (местоположение, угол ориентации в пространстве, скорость или ускорение), и случайным образом происходит поиск возможного пути, т.е. последовательного перехода из одного состояния в другое, характеризующегося функцией затрат [7,8,9].

Для реализации планировщика пути при помощи алгоритмов на основе графов требуется заранее известная информация обо всем

пространстве, в котором возможно перемещение мобильного средства, и расположении в нем статических препятствий. При этом кратчайший путь на построенном графе находится с помощью других алгоритмов оптимизации.

2. Оптимальные алгоритмы поиска по графу, например, Дейкстры (Dijkstra's algorithm), А* (A star), Theta* (Theta star), D* (D star) и др. Основная идея этих алгоритмов заключается в том, чтобы дискретизировать все пространство, в котором осуществляется построение маршрута, на ячейки одинакового размера, при этом каждая ячейка может быть свободна или занята препятствием. Затем выполняется поиск путей на графе для нахождения оптимального маршрута, не пересекающего препятствия [7,8,9].

Решение задачи планирования пути в трехмерном пространстве, по сравнению с двумерным, с использованием оптимальных алгоритмов поиска по графу приводит к дополнительной сложности. Эта сложность связана с увеличением пространства поиска, поскольку если путь представлен набором точек и прямых, проложенных между этими точками, то количество точек, которые необходимо учитывать при планировании пути, значительно увеличивается в трехмерном пространстве. Например, если есть карта из n ячеек для каждой оси и точкой на единицу длины сетки, то общее количество точек сетки увеличивается до П с n2 в двух измерениях.

3. Алгоритмы, основанные на решении задач оптимального управления с применением линейного или нелинейного программирования. Эти методы моделируют внешнюю среду (кинематические ограничения), а также движение объекта в виде динамической системы, а затем вычисляют функционал с учетом кинематических и динамических ограничений [7,8,9]. Методы планирования пути, основанные на оптимальном управлении, показали свою эффективность для линейных систем, а для нелинейных систем сложность их реализации значительно возрастает.

4. Роевые алгоритмы (алгоритмы поведения, встречающиеся в живой природе), например, генетический, муравьиный, пчелиный алгоритм, метод роя частиц, светлячков и др. Эти алгоритмы основаны на имитации естественного поведения, встречающегося в живой природе, и могут решать многокритериальные и NP-сложные задачи для создания субоптимального пути [7,8,9,10,11,12]. Процесс поиска выполняется на основе правил и моделей пу-

тем итеративной оптимизации, поэтому окончательные результаты решения задачи построения пути во многом зависят от предложенных моделей и количества препятствий в среде. В работе [8] приведено сравнение метаэвристи-ческих алгоритмов для решения задачи планирования пути и показано, что алгоритм роя частиц обладает большей скоростью, чем генетический алгоритм, но более чувствителен к параметрической настройке.

Для методов планирования пути первых трех категорий характерно большое время выполнения и локальный захват минимумов, особенно для случаев, когда движение мобильного робота осуществляется с учетом многих ограничений при планировании пути. Следовательно, роевые алгоритмы, особенно метаэвристические, могут быть наиболее подходящими методами планирования пути в трехмерной детерминированной среде.

Постановка задачи

Мобильный робот движется в трехмерном евклидовом пространстве с препятствиями от начальной SP (х5р; у$р; zSp) к целевой позиции GP (хар; уСр; zGp) через п путевых точек

WP (хШ1;

yWPi; zWPi К i~1,..,n, при этом координаты путевых точек заранее не определены (рис. 1).

Рис. 1. Пример рабочей области перемещения мобильного средства

Препятствия представлены в форме шара с произвольными координатами центра

с (*ов]; Уов); zoвj) и радиус°м Яов], пРи

условии, что количество препятствий может

быть равно j=1,.,m. С учетом того, что расстояние между двумя точками Л(хл; Ул; ) и

в( хв;Ув;2В) равно:

d = >/(хв - хЛ )2 +(Ув - Ул )2 + (2В - 2Л )2 , (1) введем обозначения

2 2

А =(х^Р1 - ^р) +(Ушр\ - Уsp) +

+(г^р\ - г8р)2 , (2)

п—1 п—1

^2 = X (+1 - хШР1 ) +Х (У^Р+ - у^р ) +

1=1 1=1 п-1

+Х (- zWPi ) , (3)

г=1

22 ^ = (хО.Р - ^Рп ) + (^Р - МРп ) +

+(ZGP - ZwPn )2. (4)

Тогда длина пути из начальной в целевую позицию через путевые точки равна:

d(ХР^Р, GP) = ^1 1л + Ь2 + Ь3 . (5) Сформулируем задачу планирования пути в трехмерной детерминированной среде. При заданных радиусах Roвj и координатах центров С (хав; уав]; zOBj) препятствий в форме шара найти координаты путевых точек

WP (;

; ), через которые ПроходИт

маршрут от начальной SP (х5р; у$р; zSp) до целевой позиции GP (хар; уСр; zGp), и при которых минимизируется целевая функция вида

J = d (SP,WP, GP), (6)

при условии, что полученная траектория не будет иметь общих точек с препятствиями

2 2

( хрр - хав]) + (уРР - yавj) +

+(zpp - zавj) > Еав]. (7)

Описание метода роя частиц для решения оптимизационной задачи планирования пути в трехмерной детерминированной среде с препятствиями

При использовании алгоритма роя частиц рой инициализируется путем задания начальной позиции в пространстве поиска расположения путевых точек и скорости движения каждой частицы в рое. Обычно задают случайное расположение частиц роя в пространстве, но поскольку заданы координаты начальной и целевой позиции, то исходя из поставленной задачи оптимальным будет путь, представля-

ющий собой прямую, проходящую через равноудаленные друг от друга путевые точки при выполнении условия непересечения этой прямой препятствий (7), поэтому в работе предлагается процедура инициализации роя, основанная на этом факте, подробно описанная далее.

Количество частиц на каждой итерации определяется количеством путевых точек. Обозначим положение группы частиц (координаты путевых точек) х^ р (к) ( г = 1,2...п, где

п - количество путевых точек) в р-мерном пространстве поиска (р=1,2,3) на к-й итерации алгоритма (к = 1,2..М , где М - размер популяции роя). Будущее положение частицы определяется через перенос х,р (к) на вектор

скорости V, р (к +1) [13]:

х, р (к +1) = х,р (к) + Ч,р (к +1), (8)

где V р (к +1) - скорость перемещения частицы из позиции х^ р (к) в позицию

хг, р (к +1).

Коррекция скорости каждой частицы определяется выражением [13]:

Ч,р(к +1) = ™(к)Ч,р(к) + Г1С1 (р,р(к) - х,р(к)) + +г2 с2 ((к) - х,р (к)), (9) где ^(к) - коэффициент инерции; сь с2 - коэффициенты ускорения частицы; гь г2 - коэффициенты, которые могут принимать случайные значения из диапазона [0;1]; gp (к),

рI р (к) - координаты лучшего положения роя и группы частиц, достигнутые к к-й итерации. Скорость V р (к) служит «памятью» о

предыдущем направлении движения частицы. «Память» частицы можно рассматривать как динамику, которая не позволяет ей резко изменить направление своего движения.

Коэффициент инерции w контролирует скорость движения частиц путем определения степени влияния скорости на прошлой итерации на новое значение скорости частиц. Так, например, при w>1 скорости частиц со временем увеличиваются до максимального значения (при условии, что используется ограничение), и рой расходится. При w<1 частицы тормозятся до тех пор, пока их скорости не достигнут нуля (в зависимости от значений коэффициентов ускорения).

Чтобы уменьшить время решения оптимизационной задачи, можно использовать ди-

намическое уменьшение коэффициента инерции по формуле:

w(k +1) = aw(k), (10)

где а - коэффициент меньше 1.

С учетом решения задачи минимизации целевой функции J (6), лучшая личная позиция группы частиц определяется условием:

f p,р (к) J(x,p (к +1)) > J(рг,p (k))

Pi p (k +1) = < (11)

'P fPi,p (k +1) J(x,p (k +1)) < J(Pi,p (k)),

Глобальная наилучшая позиция роя является наилучшей позицией, обнаруженной любой группой из n частиц до момента k, и определяется как:

gp (k) = min J(A,p (k)),..., J(pM p (k))} . (12)

В процессе выполнения алгоритма каждая группа частиц осуществляет свое перемещение в направлении личной pt p (k) или глобальной

gp (k) лучшей позиции роя в зависимости от

значения коэффициентов ускорения частиц с и с2. Например, если коэффициенты c и c2 задать равными друг другу, то частицы будут тяготеть к среднему значению между pt p (k)

и gp (k). Если задать c и c2 меньше единицы,

это позволит выполнить поиск оптимума в большем пространстве. Существует несколько разновидностей «социальной» структуры взаимодействия частиц в рое, которые определяются образованием перекрывающихся областей, в которых располагающиеся в них частицы могут влиять на направление движения друг друга [13,14]:

- звездная социальная структура, в которой каждая частица может общаться с любой другой частицей роя;

- кольцевая социальная структура, в которой каждая частица общается со своими соседними частицами роя;

- социальная структура колеса, при которой одна частица служит центральной и вся информация от других частиц передается через нее;

- социальная структура пирамиды, образующая трехмерный каркас из частиц роя;

- социальная структура четырех кластеров, в которой четыре кластера формируют связи только с двумя соседними кластерами, при этом частицы внутри кластера связаны минимум с пятью соседними частицами роя;

- социальная структура фон Неймана, где частицы образуют структуру в форме кубической кристаллической решетки.

Предлагается использовать структуру социального взаимодействия частиц роя в форме звездообразной сети, что позволит повысить скорость сходимости к оптимуму.

Движение частиц продолжается, пока не будет достигнуто определенное значение останавливающегося критерия, например, определенного количества повторения вычислений.

Алгоритм планирования пути в трехмерной детерминированной среде с препятствиями на основе метода роя частиц

Численное решение задачи планирования пути в трехмерной детерминированной среде с использованием метода роя частиц проходит в несколько этапов и схематически описывается следующей блок-схемой (рис. 2).

Рис. 2. Блок-схема алгоритма планирования пути в

трехмерной детерминированной среде с препятствиями на основе метода роя частиц

Шаг 1. Задание параметров трехмерной детерминированной среды с препятствиями в форме шара (координаты начальной и целевой позиции, количество путевых точек и препятствий, диапазон поиска по переменным пространства).

Шаг 2. Создается модель трехмерной детерминированной среды с препятствиями.

Шаг 3. Задание параметров алгоритма роя частиц: количество частиц в рое на каждой итерации, равное количеству путевых точек п, размер популяции роя М и повторений алгоритма, значения коэффициентов инерции w, ускорения частицы с и с2.

Шаг 4. Инициализация роя заключается в следующем:

- на первой итерации (к=1) вычисляется

расположение частиц роя х0 р (0) (координаты

путевых точек), находящихся на прямой, соединяющей начальную и целевую позицию;

- на следующих итерациях (1 < к < К , где К задается экспериментальным путем) частицы располагаются случайным образом в окрестности координат путевых точек, найденных на первой итерации;

- на следующих итерациях (К < к < М , где М - размер популяции роя) частицы располагаются случайным образом во всем пространстве поиска решения.

При этом на каждой итерации рассчитывается длина пути и проверяется выполнение условия (7). В результате инициализации роя получают начальные координаты путевых точек пути WPQ (х^гр^, у°Р1, zWpi) в трехмерной детерминированной среде.

Шаг 5 и 6. Выполняется итерационный процесс вычислений заданное число раз и формирования роя размером М.

Шаг 7. Вычисление коррекции скорости группы частиц V;,р (к +1) по формуле (9), положения группы частиц х; р (к +1) в трехмерной среде по формуле (8) и значения целевой функции при полученных координатах х; р (к)

Шаг 8 и 9. Происходит определение личной лучшей позиции р; р (к) группы частиц

по формуле (11).

Шаг 10 и 11. Происходит определение глобальной лучшей позиции группы частиц в рое gp (к) по формуле (12).

Шаг 12. Выполняется динамическое уменьшение коэффициента инерции по формуле (10) для повышения быстродействия алгоритма.

Шаг 13. После достижения алгоритмом останавливающего критерия (заданное число повторений) выводится найденное значение

целевой функции J = d(£Р, WPb, GP) в гло-

бальной

лучшей

позиции

роя

^ (^Рг; ^Рг; ^Рг).

Шаг 14. Отображение найденного пути в трехмерной детерминированной среде.

Моделирование процесса планирования пути в трехмерной детерминированной среде с препятствиями на основе метода роя частиц

Рассмотрим трехмерную детерминированную среду с препятствиями в форме шара с параметрами:

- координаты начальной SP(1; 1; 1) и целевой позиции GP(10;10;10);

- количество путевых точек п=3;

- количество препятствий т=5, координаты центра и радиус препятствия задаются случайным образом;

- диапазон поиска по переменным х е [0; 11], у е [0; 11], z е [0; 11].

В результате инициализации роя получена начальная траектория движения, по которой должен двигаться робот в трехмерной детерминированной среде с препятствиями (рис. 3).

У^р >21л/р >

Рис. 3. Начальная траектория движения в трехмерной детерминированной среде с пятью препятствиями

Найденная траектория представляет собой отрезок длиной

тт

ш J (ЖРЬ )

16,61 ед,

ограниченный начальной и целевой позицией и не пересекающийся с препятствиями.

Для планирования пути с использованием метода роя частиц зададим размер популяции роя М=200 и повторим вычисления 50 раз, ко-

эффициенты инерции ^=0,8, а=0,98, ускорения частиц с1=с2=0,5. На рис. 4 приведена спланированная траектория в трехмерной детерминированной среде с пятью препятствиями при использовании метода роя частиц.

GP )!Gp:yGp:zGp)

Минимальное значение целевой функции равно

n n n

) 10

л

Рис. 4. Путь в трехмерной детерминированной среде с препятствиями, полученный на основе метода роя частиц

Минимальное значение целевая функция принимает при координатах путевых точек:

" (1,69; 1,47; 1,97)

Жр (xwpi; ywPi; zWPi) =

(4,02; 3,51; 8,44) (1,97; 4,92;8,79)

min J

(wPb )«15,74 ед.

Проведем планирование пути с использованием метода роя частиц в трехмерной детерминированной среде со сложным пространственным расположением десяти препятствий (рис. 5).

Рис. 5. Путь в трехмерной детерминированной среде с десятью препятствиями, полученный на основе метода роя частиц

min J

(WPb )

: 16,50 ед.,

wpb (xWpi; yWpi; zWpi) -

при координатах путевых точек:

" (1,63; 1,97; 0,54)" (3,19; 3,59; 1,38) (6,32;5,92;3,89)

Нужно отметить, что в процессе планирования пути разработанным алгоритмом на основе метода роя частиц возникает дополнительная задача исследования быстродействия алгоритма при различных параметрах, например, значениях коэффициентов инерции и ускорения частиц.

Заключение

Разработанный алгоритм планирования пути в трехмерной детерминированной среде с препятствиями на основе метода роя частиц эффективно выполняет планирование пути со сложным пространственным расположением препятствий, а также позволяет исследователю варьировать параметры роя для достижения требуемой точности и затрачиваемого времени при нахождении оптимальной траектории движения мобильного объекта.

Литература

1. Сарапулов А.В. Методы решения задачи построения траектории для беспилотного летательного аппарата в динамической среде // Ракетно-космическая техника. 2017. Т.1. № 2(10). С. 92-102.

2. Морозов Р.О., Горелый Р.О., Рыжов В.А. Интеллектуальные системы навигации и планирования МРТК // Морские информационно-управляющие системы. 2021. № 1(19). С. 34-42.

3. Яковлев К.С., Макаров Д.А, Баскин Е.С. Метод автоматического планирования траектории беспилотного летательного аппарата в условиях ограничений на динамику полета // Искусственный интеллект и принятие решений. 2014. Т.4. С. 3-17.

4. Исследование методов планирования движения в двумерных картографированных средах/ В.Х. Пшихо-пов, М.Ю. Медведев, Д.О. Бросалин, М.А. Васильева, Б.В. Гуренко, Н. Хамдан // Известия ЮФУ. Технические науки. 2022. № 3. C. 170-192. DOI: 10.18522/2311-31032022-3-170-192

5. Aghababa M.P. 3D path planning for underwater vehicles using five evolutionary optimization algorithms avoiding static and energetic obstacles // Applied Ocean Research. 2012. Vol. 38. P. 48-62. DOI: 10.1016/j.apor.2012.06.002

6. Han J. An efficient approach to 3D path planning // Information Sciences. 2019. Vol. 478. P. 318-330. DOI: 10.1016/j.ins.2018.11.045

7. Казаков К.А., Семенов В.А. Обзор современных методов планирования движения // Труды Института системного программирования РАН. 2016. № 28(4). С. 241-294. DOI: 10.15514/ISPRAS-2016-28(4)-14

8. Survey of robot 3D path planning algorithms/ L. Yang, J. Qi, D. Song, J. Xiao, J. Han, Y. Xia // Journal of Control Science and Engineering. 2016. P. 1-22. DOI: 10.1155/ 2016/7426913

9. Лю В. Методы планирования пути в среде с препятствиями (обзор) // Математика и математическое моделирование. 2018. №1. С. 15-58. DOI: 10.24108/ mathm.0118.0000098

10. 3D path planning method for Multi-uavs inspired by Grey Wolf algorithms/ F.K. Farzad Kiani, Amir Seyyed-abbasi, Royal Aliyev, Mohammed Ahmed Shah// Journal of Internet Technology. 2021. Vol. 22(4). P. 743-755. DOI: 10.53106/160792642021072204003

Поступила 26.09.2022; принята к публикации 15.12.2022 Информация об авторах

Чернышев Николай Николаевич - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры автоматических систем, Институт искусственного интеллекта, МИРЭА - Российский технологический университет (119454, г. Москва, пр. Вернадского, 78), e-mail: chernyshev@mirea.ru, тел.+7-989-525-95-69, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3057-9140

Ниженец Татьяна Владимировна - старший преподаватель кафедры автоматических систем, Институт искусственного интеллекта, МИРЭА - Российский технологический университет (119454, г. Москва, пр. Вернадского, 78), e-mail: nizhenec@mirea.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6230-469X

PATH PLANNING ALGORITHM IN A THREE-DIMENSIONAL DETERMINISTIC ENVIRONMENT WITH OBSTACLES USING PARTICLE SWARM ALGORITHM

N.N. Chernyshev, T.V. Nizhenets MIREA - Russian Technological University, Moscow, Russia

Abstract: the main factor in increasing the efficiency of the process of functioning of unmanned mobile vehicles is the organization of their optimal movement from the starting point to the target point without colliding with obstacles. Path planning allows an infinite number of solutions, so we formulated the path construction problem as an optimization problem with an objective function corresponding to the shortest collision-free path. The solution of the path planning problem in three-dimensional space becomes more complicated compared to the movement on a plane, since the computational time increases exponentially with the increase in the dimension of space. The article proposes a path planning algorithm based on particle swarm optimization to reduce the time of searching for the shortest collision-free path in a three-dimensional deterministic environment filled with static convex obstacles. The functionality of the proposed algorithm is illustrated by simulations with different locations and numbers of obstacles. The results of numerical studies suggest that the developed algorithm based on the particle swarm method effectively performs path planning in a three-dimensional deterministic environment with a complex space distribution of obstacles.

Key words: path planning, three-dimensional space, deterministic environment, obstacles, particle swarm optimization

References

1. Sarapulov A.V. "Methods for solving the problem of constructing a trajectory for an unmanned aerial vehicle in a dynamic environment", Rocket and Space Technology (Raketno-kosmicheskaya tekhnika), 2017, vol. 1, no. 2(10), pp. 92-102.

2. Morozov R.O., Gorelyy R.O., Ryzhov V.A. "Intelligent navigation and planning systems MRTK", Marine Information and Control Systems (Morskie informatsionno-upravlyayushchie sistemy), 2021, no. 1(19), pp. 34-42.

3. Yakovlev K.S., Makarov D.A, Baskin E.S. "Method for automatic planning of the trajectory of an unmanned aerial vehicle under conditions of restrictions on flight dynamics", Artificial Intelligence and Decision Making (Iskusstvennyy intellekt i prinyatie resheniy), 2014, vol. 4, pp. 3-17.

4. Pshikhopov V.H., Medvedev M.Y., Brosalin D.O., Vasil'eva M.A., Gurenko B.V., Hamdan N. "Study of motion planning methods in two-dimensional mapped environments", News of SFedU. Engineering Sciences (Izvestiya YUFU. Tekhnicheskie nauki), 2022, no. 3, pp. 170-192. DOI: 10.18522/2311-3103-2022-3-170-192

5. Aghababa M.P. "3D path planning for underwater vehicles using five evolutionary optimization algorithms avoiding static and energetic obstacles", Applied Ocean Research, 2012, vol. 38, pp. 48-62. DOI: 10.1016/j.apor.2012.06.002

11. Path planning in uncertain environment by using Firefly algorithm / B.K. Patle, А. Pandey, А. Jagadeesh, D.R. Parhi // Defence Technology. 2018. Vol. 14(6). P. 691-701. DOI: 10.1016/j.dt.2018.06.004

12. Чернышев Н.Н., Ниженец Т.В. Параметрическая оптимизация модального регулятора с ограничениями на основе метода роя частиц // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2022. Т. 22. № 2. С. 76-86. DOI: 10.14529/ctcr220207

13. Engelbrecht A.P. Computational intelligence: An introduction. Second edition. Chichester: Wiley, 2020. 640 p.

14. Kennedy J., Eberhart R.C., Shi Y. Swarm Intelligence. Morgan Kaufmann Publishers, 2001. 512 p.

6. Han J. "An efficient approach to 3D path planning", Information Sciences, 2019, vol. 478, pp. 318-330. DOI: 10.1016/j.ins.2018.11.045

7. Kazakov K.A., Semenov V.A. "An overview of modern methods for motion planning", Proc. of the Institute for System Programming of the RAS (Trudy Instituta sistemnogo programmirovaniya RAN), 2016, no. 28(4), pp. 241-294. DOI: 10.15514/ISPRAS-2016-28(4)-14

8. Yang L., Qi J., Song D., Xiao J., Han J., Xia Y. "Survey of robot 3D path planning algorithms", Journal of Control Science and Engineering, 2016, pp. 1-22. DOI: 10.1155/ 2016/7426913

9. Liu W. "Path Planning Methods in an Environment with Obstacles (A Review)", Mathematics and Mathematical Modeling (Matematika i matematicheskoe modelirovanie), 2018, no. 1, pp. 15-58. DOI: 10.24108/ mathm.0118.0000098

10. Farzad Kiani F.K., Amir Seyyedabbasi, Royal Aliyev, Mohammed Ahmed Shah "3D path planning method for Multi-UAVs inspired by Grey Wolf algorithms", Journal of Internet Technology, 2021, vol. 22(4), pp. 743-755. DOI: 10.53106/160792642021072204003

11. Patle B.K., Pandey A., Jagadeesh A., Parhi D.R. "Path planning in uncertain environment by using Firefly algorithm", Defence Technology, 2018, vol. 14(6), pp. 691-701. DOI: 10.1016/j.dt.2018.06.004

12. Chernyshev N.N., Nizhenets, T.V. "Particle swarm parametric optimization of a constrained state feedback controller", Bulletin of South Ural State University (Vestnik YUUrGU), 2022, vol. 22, no. 2, pp. 76-86. DOI: 10.14529/ctcr220207

13. Engelbrecht A.P. "Computational intelligence: An introduction", second edition. Chichester: Wiley, 2020, 640 p.

14. Kennedy J., Eberhart R.C., Shi Y. "Swarm Intelligence", Morgan Kaufmann Publishers, 2001, 512 p.

Submitted 26.09.2022; revised 15.12.2022 Information about the authors

Nikolay N. Chernyshev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Institute of Artificial Intelligence, MIREA - Russian Technological University (78 av. Vernadskogo str., Moscow 119454, Russia), e-mail: chernyshev@mirea.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3057-9140

Tat'yana V. Nizhenets, Assistant Professor, Institute of Artificial Intelligence, MIREA - Russian Technological University (78 av. Vernadskogo str., Moscow 119454, Russia), e-mail: nizhenec@mirea.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6230-469X