Алгоритм оптимизации ребристых тонких пластин методом Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

УДК 624.045

Р.П. МОИСЕЕНКО, О. О. КОНДРАТЕНКО,

Томский государственный архитектурно-строительный университет АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ

РЕБРИСТЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН МЕТОДОМ ЛАГРАНЖА

Представлены два итерационных алгоритма решения уравнений метода Лагранжа. На конкретном примере показано, что эти итерационные алгоритмы не сходятся. Для сравнения использованы оптимальные параметры ребристой пластины, полученные авторами другим способом. Этот способ основан на особом свойстве оптимальности ребристых пластин, сформулированном в результате анализа уравнений Лагранжа. В примере оптимальные параметры удовлетворили всем уравнениям Лагранжа. Выполнение уравнений свидетельствует о том, что оптимизация ребристых пластин возможна только с использованием особых свойств оптимальности.

Ключевые слова: пластина; ребро; частота собственных колебаний; свойство оптимальности; метод Лагранжа.

Для цитирования: Моисеенко Р.П., Кондратенко О.О. Алгоритм оптимизации ребристых тонких пластин методом Лагранжа // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2018. Т. 20. № 1. С. 140-147.

R.P. MOISEENKO, O.O. KONDRATENKO, Tomsk State University of Architecture and Building

LAGRANGIAN METHOD FOR ALGORITHM OPTIMIZATION OF RIBBED THIN PLATES

The paper presents two iteration algorithms for the equation solution using the method of Lagrange multipliers. It is shown that these iteration algorithms do not converge. For comparison, we use the optimum parameters of a ribbed plate obtained by other methods. The proposed method is based on the specific properties of optimality of ribbed plates formulated as a result of the Lagrange equation analysis. These optimum parameters satisfy each of Lagrange equations. The solution of these equations shows that optimization of ribbed plates is possible only with the use of specific optimality properties.

Keywords: plate; rib; natural oscillation frequency; optimality property; Lagrangi-an method.

© Моисеенко Р.П., Кондратенко О.О., 2018

For citation: Moiseenko R.P., Kondratenko O.O. Algoritm optimizatsii rebristykh tonkikh plastin metodom Lagranzha [Lagrangian method for algorithm optimization of ribbed thin plates]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta - Journal of Construction and Architecture. 2018. V. 20. No. 1. Pp. 140-147. (rus)

Введение

Метод Лагранжа занимает особое место среди методов оптимизации конструкций. Процедура метода Лагранжа позволяет сформулировать условия оптимальности в самом общем виде [1]. В литературе отмечается, что условия оптимальности и ограничения образуют систему уравнений, из которой теоретически определяются все параметры управления и множители Лагранжа. Однако на практике структура уравнений-ограничений не всегда позволяет решить систему [2, 3]. Поэтому в каждой конкретной задаче оптимизации требуется исследовать систему уравнений и в случае необходимости разработать дополнительные способы решения. В статье рассматривается эта общетеоретическая проблема применительно к расчёту ребристых тонких пластин.

Постановка задачи

Оптимизация ребристых тонких пластин методом Лагранжа сводится к следующим уравнениям [4]:

k

Функция цели F = ^BH¡ - min. (1)

Ограничение D =

u0 + BH3 f^dfU -xí T0 + BH f^cdT

i=i V i=i

= 0, (2)

где X = phixa / D; h - толщина пластины; lx - длина кромки пластины, параллельной оси х; U - матрица потенциальной энергии деформации /-го ребра; T - матрица кинетической энергии /-го ребра; U0 - матрица потенциальной энергии деформации пластины без рёбер; T0 - матрица кинетической энергии пластины без рёбер; D - цилиндрическая жёсткость пластины; H = cfl, h b

B = dfi; H = —, B = — - безразмерные параметры высоты и ширины попе-

h lx

речного сечения; h , bp - высота и ширина поперечного сечения ребра; k -число рёбер.

Функция цели (1) показывает, что в качестве параметров управления приняты: B/ - относительная ширина поперечного сечения /-го ребра; H/ - относительная высота поперечного сечения /-го ребра. Минимизируется вес рёбер при постоянной толщине пластины.

Функция Лагранжа в соответствии с ограничением (2) записывается в виде

L = ХBfli -XD* , (3)

i

где X - множитель Лагранжа.

1=1

В математической и технической литературе одной буквой X обозначаются две величины: множитель Лагранжа и собственное значение матрицы. Обе эти величины используются в данной статье, и смысл их обозначения устанавливается из контекста.

Минимум функции Ь (3) достигается при условиях

^ = Я -Х^ = 0; (4)

дБ 'дБ У '

г '

дЬ- = Б1 -Х^ = 0. (5)

дИ ' дИ1

Уравнения (4), (5) в математической литературе по теории оптимизации называются условиями оптимальности [1, 2]. Уравнения (2), (4), (5) образуют систему из (2к +1) уравнений относительно (2к + 1) неизвестных:

И,Б ^2к; Х^1.

Вместо уравнения (2) может использоваться уравнение [5]

I = а'(и -ХГ)а = 0. (6)

Тогда уравнения (4), (5) принимают вид

— = И-Х®- = 0; (7)

дБ ' дБ

г '

дЬ-=Б-Х— = 0. (8)

дЯ ' дЯ

Так как уравнения нелинейны, существует несколько вариантов численного решения системы.

Алгоритм № 1. Если определить множитель Лагранжа X из первого уравнения (4), получится формула

дЬ дО* И

-= Я -Х-= 0 ^ Х = —V . (9)

дБ 1 дБ дО

дБ

Тогда из остальных уравнений (4), (5) следуют выражения

Я до ' и до

И' =—±-; Б' = —V-. (10)

(,+1) дО дБ ' ' дО дЯ.

_ (*+1) _ 1

дБ дБ

При использовании уравнения (6) из уравнений (7), (8) следуют аналогичные выражения

дЬ = Я1 -Л^- = 0 = Яг; (11)

дБ1 1 дБ1

дБ1

= Як ; я = Як

Я('+1) = д^ дь(м)' Б = д!_ дЯ " (12)

дБ дБ

Последовательность решения уравнений, например, (6) - (8) состоит в следующем.

1. Назначаются величины: с = 1; ^ = 1; В = В0; X = X.

2. Из уравнения (2) определяется наибольший корень Н:

к .(к

В =

и0 + вИX-х\ Т + внXоАТ

= о ^ Н = я

1=1 V >=1

3. При известных значениях В, Н решается задача на собственные значения, т. е. определяются первое собственное значение Х1 и первый собственный вектор а [6]. Если пункт 2 выполнен правильно, то получится результат: Х1 = X - первое собственное значение матрицы полной энергии системы равно заданному значению.

4. При известных значениях X и компонентах вектора а вычисляются производные

В =

51

1И =

51

6. Вычисляются коэффициенты: с(1+1) =

5Б 1 5И

г г

5. По выражениям (11), (12) вычисляются величины X, И(1+1В.

И^; = В .

н 1 в

7. Переход к пунктам 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. до получения результатов с заданной точностью.

Для реализации составленного алгоритма рассмотрен пример, представленный на рисунке.

' ¡ 1 ч

© © © © ч

,0,2/* 4 *

0,4/* /

/ 0,6/* /

0,84

/ / / /

Расчётная схема пластины

Пластина имеет шарнирные опоры. Расположение рёбер и их координаты показаны на рисунке. Соотношение сторон пластины: / //х = 1/3 . Пластина рассчитана энергетическим методом по известной процедуре [7]. Заданное собственное значение принято в промежутке X° <Х1 = 1000 <Х°, что соответствует теореме о наложении связей (рёбер) на систему [8].

Результаты расчёта представлены в табл. 1. Приведены только две итерации, потому что сравнение соответствующих величин показывает, что процесс итераций расходится с самого начала. Наиболее наглядно об этом свидетельствует сравнение величин ^ - функция цели во второй итерации больше, чем в первой.

Таблица 1

Параметры ребристой пластины после двух итераций по первому алгоритму

Итерация Cl C2 C3 C4 F В0

1 1 0,381966 0,381966 1 0,377517 0,03

2 1 -220,38 -220,38 1 0,64337 0,03

Итерация d1 d2 d3 d4 Н ^

1 3,9968 1,526672 1,526672 3,9968 3,145975 1000

2 24,0121 -315,6 - 315,6 24,0121 2,341225 170,48

Расчёт ребристой пластины в данном примере показал, что непосредственное решение уравнений метода Лагранжа с помощью итераций к цели не приводит.

Алгоритм № 2. Возможен другой вариант решения уравнений метода Лагранжа. Из уравнений (7), (8) следует

f;=Jk-const' (13)

Щ дНг

Условие (13) используется в процедуре метода итераций.

Пункты 1, 2, 3, 4 повторяются из предыдущей последовательности.

5. По выражениям (13) определяются величины множителей Лагранжа:

XH' - & XB>Ч^ (14)

Щ дн,

6. Определяется среднее значение множителя Лагранжа:

1 k

=ñ £ (Ш' +Щ ) . (15)

2k 1=1

7. Коэффициенты c¿, d¿ определяются из условия выравнивания множителей Лагранжа [9]:

С = c +а CLH1 ~Кd. = d. +Р(Щ } . (16)

ti ' i i i v '

кш кш

8. Повторение пунктов 2, 3, 4, 5, 6, 7 до выполнения условия (13) с заданной точностью.

Результаты расчёта рассмотренного примера по первой и второй итерациям представлены в табл. 2. Итерации № 3, 4, 5 и т. д. показывают, что алгоритм № 2 не сходится, так же как алгоритм № 1.

Таблица 2

Параметры ребристой пластины после двух итераций по второму алгоритму

Итерация С1 С2 Сз С4 F В0

1 0,9884 1,1315 1,1315 0,9884 0,377517 0,03

2 0,8888 1,3451 1,3451 0,8888 0,3876 0,03

Итерация d1 d2 d3 d4 Н

1 0,9221 0,9579 0,9579 0,9221 3,145975 1000

2 0,8222 0,9438 0,9438 0,8222 3,237725 999,997

В статье [4] данный пример решён по сходящемуся алгоритму. Параметры оптимального проекта представлены в табл. 3.

Таблица 3

Параметры оптимальной ребристой пластины

С1 С2 С3 С4 F В0

1,002668 0,997332 0,997332 1,002668 0,3765 0,02992

dj d2 d3 d4 Н

1,000533 0,999466 0,999466 1,000533 3,145975 1000

Сходящийся алгоритм в статьях [4, 5] основан на свойстве оптимальной ребристой пластины

821 820*

= const или

■ = const.

(17)

8В 8Н 8В 8Н

г г г г

В примере при параметрах из табл. 3 это свойство подтверждается результатом

821 821 821 821

dB дН

дВ2 дН2

дВ3 дН3

дВАдН 4

= 5402,9 .

Параметры ребристой пластины из табл. 3 удовлетворяют также условию оптимальности (13).

Н

В

д1 д1

дВ дН

=7,383-10"

Вз = 7,383 -10"4;

H 2 В2

д1 д1

дВ2 дН2

H4 В4

д1 д1

дВ4 дН 4

=7,383-10"

=7,383-10"

Н± 81 81

8ВЪ 8НЪ

Следовательно, решение уравнений (6) - (8) существует, но определяется при использовании условия оптимальности (17), как показано в статьях [4, 5].

Выводы

Показано, что оптимизация прямоугольных тонких ребристых пластин методом Лагранжа не всегда позволяет получить решение уравнений итерацион-

4

4

ным методом. Требуется провести дополнительное исследование свойств уравнений метода Лагранжа. На основе этого исследования формулируется особое свойство оптимальности [10] ребристой пластины. Использование особого свойства оптимальности приводит к сходящемуся итерационному алгоритму.

Таким образом, в задаче оптимизации ребристых пластин реализация особых свойств оптимальности - это не один из вариантов решения, а единственный способ получить параметры оптимальной конструкции.

Библиографический список

1. Лазарев, И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы / И.Б. Лазарев. - Новосибирск : Изд-во СГАПС, 1995. - 295 с.

2. Моисеев, Н.Н. Методы оптимизации / Н.Н. Моисеев, Ю.П. Иванилов, Е.М. Столярова. -М. : Наука, 1978. - С. 352.

3. Фиакко, А. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. - М. : Мир, 1972. - С. 240.

4. Моисеенко, Р.П. Оптимизация прямоугольных ребристых пластин с ограничением первой частоты собственных колебаний при управлении высотой и шириной поперечного сечения рёбер / Р.П. Моисеенко, О.О. Кондратенко // Известия вузов. Технология текстильной промышленности. - 2016. - № 6. - С. 196-200.

5. Моисеенко, Р.П. Оптимизация прямоугольных ребристых пластин с ограничением первой частоты собственных колебаний при управлении высотой и шириной поперечного сечения / Р.П. Моисеенко, О.О. Кондратенко // Строительная механика и расчет сооружений. - 2017. - № 6. - С. 42-45.

6. Гулд, С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях / С. Гулд. - М. : Мир,1970. - С. 328.

7. Доннелл, Л.Г. Балки, пластины и оболочки / Л.Г. Доннелл. - М. : Наука, 1982. - С. 568.

8. Ляхович, Л.С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Томского университета, 1970. - С. 161.

9. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. - М. : Наука, 1973. -С. 640.

10. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчёта сооружений / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2009. - С. 372.

References

1. Lazarev I.B. Osnovy optimal'nogo proektirovaniya konstraktsii. Zadachi i metody [Bases of optimum design. Tasks and methods]. Novosibirsk: SGAPS Publ., 1995. 295 p. (rus)

2. Moiseev N.N., Ivanilov Yu.P., Stolyarova E.M. Metody optimizatsii [Optimization methods]. Moscow: Nauka Publ., 1978. Pp. 352. (rus)

3. Fiacco A.V., McCormick G.P. Nelineinoe programmirovanie. Metody posledovatel'noi be-zuslovnoi minimizatsii [Nonlinear programming: sequential unconstrained minimization techniques]. Moscow: Mir, 1972. P. 240. (transl. from Engl.)

4. Moiseenko R.P., Kondratenko O.O. Optimizatsiya pryamougol'nykh rebristykh plastin s ogra-nicheniem pervoi chastoty sobstvennykh kolebanii pri upravlenii vysotoi i shirinoi poperech-nogo secheniya reber [Optimization of rectangular ribbed plates with restriction of the first natural oscillation frequency at control for cross-section height and width]. Izvestiya vuzov. Tekhnologiya tekstil'noipromyshlennosti. 2016. No. 6. Pp. 196-200. (rus)

5. Moiseenko R.P., Kondratenko O.O. Optimizatsiya pryamougol'nykh rebristykh plastin s ogra-nicheniem pervoi chastoty sobstvennykh kolebanii pri upravlenii vysotoi i shirinoi poperech-nogo secheniya [Optimization of rectangular ribbed plates with restriction of the first eigenfre-quency under control for cross-section height and width]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzhenii. 2017. No. 6. Pp. 42-45. (rus)

6. Guld S. Variatsionnye metody v zadachakh o sobstvennykh znacheniyakh [Variational methods in eigenvalue problems]. Moscow: Mir Publ., 1970. P. 328. (rus)

7. Donnell L.G. Balki, plastiny i obolochki [Beams, plates and shells]. Moscow: Nauka Publ., 1982. P. 568 (transl. from Engl.)

8. Lyakhovich L.S. Metod otdeleniya kriticheskikh sil i sobstvennykh chastot uprugikh sistem [Separation of elastic systems critical forces and eigenfrequencies]. Tomsk: TSU Publ., 1970. P. 161. (rus)

9. Myshkis A.D. Lektsii po vysshei matematike [Lectures on higher mathematics]. Moscow: Nauka Publ., 1973. P. 640. (rus)

10. Lyakhovich L.S. Osobye svoistva optimal'nykh sistem i osnovnye napravleniya ikh realizatsii v metodakh rascheta sooruzhenii [Special properties of optimum systems and their implementation in structural analysis]. Tomsk: TSUAB Publ., 2009. P. 372. (rus)

Сведения об авторах

Моисеенко Ростислав Павлович, докт. техн. наук, профессор, Томский государственный архитектурно--строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2, galia2007@sibmail.com

Кондратенко Ольга Олеговна, аспирант, Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2, olg-kond@yandex.ru

Authors Details

Rostislav P. Moiseenko, DSc, Professor, Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia, galia2007@sibmail.com

Olga O. Kondratenko, Research Assistant, Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia, olg-kond@yandex.ru