CC BY
2УДК 551.583.16
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ОХОТСКОГО ТРОПОСФЕРНОГО ЦИКЛОНА И ЕГО РЕЖИМНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Г.Ш. Цициашвили1, Т.А. Шатилина2, М.А. Осипова3, А.В. Романченко3, В.А. Родохлеб3
1 Институт прикладной математики ДВО РАН 2 Тихоокеанский филиал ФГБНУ «ВНИРО» 3 Дальневосточный федеральный университет
В годы локализации минимума геопотенциала Н500 над Охотским морем происходит формирование экстремально низкой температуры воздуха в области минимума и связанной с ним барической ложбины, в центре которой образуется тропосферный циклон. В работе составлен алгоритм построения приближения линии уровня геопотенциала Ю00 в виде эллипса около его точки минимума и нахождения его характеристик. На основе построенного алгоритма создана программа, позволяющая обрабатывать большие массивы данных геопотенциала Ю00 и имеющая удобный пользовательский интерфейс. В работе приведены результаты вычислительного эксперимента для района северного полушария над Охотским морем за период 1980-2023 гг. с января по март. Ключевые слова: многочлен Тейлора, конечные разности, линии уровня, угол поворота, эксцентриситет, геопотециал Н500, тропосферный циклон.
Известно, что в зимнее время основным элементом структуры барического поля над Дальним Востоком является барическая ложбина, в ее центре часто формируется тропосферный циклон, его центр обнаруживается как минимум геопотециала Н500. В работе [1] был разработан метод построения эллипсов, аппроксимирующих линии уровня геопотенциала Н500 в окрестности его минимума, и рассчитаны их характеристики. Этот метод основан на элементах математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры и на численных методах. Разработанный метод был применен для определения режимных характеристик охотского тропосферного циклона и его роли в формировании аномалий температуры воздуха над восточным побережьем Азии в январе в период 19502019 г. Ранее внимание специалистов-метеорологов было сосредоточено на выявлении механизмов формирования экстремально низкой ледовитости Охотского моря на основе анализа барического поля [2].
Данная работа является продолжением исследований начатых коллективом авторов в работе [1]. С одной стороны, для повышения точности вычислений все коэффициенты уравнения эллипса вычислены с помощью центральных конечных разностей. С другой стороны, для определения ориентации эллипсов по сторонам света и сжатия относительно большей оси в работе использованы формулы вычисления угла поворота и эксцентриситета, что позволяет избежать вычислительных ошибок.
Коллективом авторов этой работы на основе разработанного математического аппарата была создана программа (на РкЬоп), которая строит приближение линии уровня геопотенциала Ж00 в виде эллипса около его точки минимума на географической карте с барической сеткой и находит расположение его относительно сторон света и эксцентриситет. Она позволяет обрабатывать большие массивы данных геопотенциала Ж00 и имеет понятный интерфейс, что дает возможность специалисту-метеорологу выбирать параметры для получения практических выводов. В работе приведены данные вычислительного эксперимента для района северного полушария над Охотским морем за период 1980-2023 гг. с января по март. Для получения результатов использовался архив [6] реанализа NCEP геопотенциала Н500.
1. Метод обработки данных
Пусть функция fix, у) характеризует геопотенциал Н500 и измерена в узлах
прямоугольной решетки с шагом h, т.е. в точках (ih, jh), (¿h, jh), (ih, j/1.)1, i = 0, ...,n,j = 0,... Известно, что в точке (feit, ¿ft},0 < k <n,0 < j <m, функция f(x,y) достигает локального минимума. Предположим, что функция f{xry) дифференцируема в некоторой окрестности U точки = (kh, lh)r принадлежащей прямоугольной области
D — {0 < х < nh, 0 < у < mh) и все ее частные производные дифференцируемы в точке ■ V' у ;. Тогда в этой окрестности [3, Теорема 19a] она раскладывается в ряд Тейлора:
так как (это равенство следует из необходимого условия экстремума [3, Теорема 20]) 8; л ) _ э/(х ... , _ ц хогда для у(ж,у) 6 и имеет место приближение:
дх
ду
В свою очередь, частные производные A, B, C можно вычислять с помощью конечных разностей [6]:
/(** + Ку*) - 2/(**,у0 + /(** - it,У0
А =
h2
+ 0(h2),
С =
f{x* + h,у* + fc)- f(x* + ft,y* - ft) - f{x* - hy + Ji) + f(x* - ft, у* + ft)
h2
+ 0(h2).
Очевидно, что А, В>0. Если АВ - С2 > 0, то из критерия Сильвестра [3] вытекает, что квадратичная форма
(¿(х-х*,у- у*) = А(х -х*~)2+ Б(у-у*У + 2С(х -х*)(у-у*)
положительно определена. Тогда, во-первых, из достаточного условия экстремума [3, Теорема 21] следует, что точка является точкой минимума, а, во-вторых, что
уравнение [4, § 23]
определяет эллипс. Таким образом, линии уровня приращения функции
Д/ = f{x!y) -/Сх*,у*) 1« ^(ж - х*,у - у*) =8 - это эллипсы.
Немаловажное значение для специалистов имел угол поворота а эллипса А/ = я
относительно оси Ох. Обозначим X — —— ,У — у У и перепишем уравнение эллипса (1) в
этих обозначениях:
Для нахождения угла я надо перейти от системы координат XOY в уравнении (2) к системе координат [5, Глава 3, § 1] X'OY1 по формулам
fX = Х: cos а — Y: sin а, W = JT'siii а + Y'cosa.
Так решается задача приведения уравнения эллипса к каноническому виду. Одним из этапов этого решения является выбор угла а так, чтобы коэффициент при слагаемом Х'У' был равен нулю, т.е. (опуская выкладки) (а — Ъ) зт2а — 2с соз2а = 0. Тогда угол поворота а можно найти из равенства
Очевидно, что оси симметрии уравнения эллипса (1) имеют вид
у = к(х х*), у = -^ (у - у*), к = tga.
Эксцентриситет эллипса е, 0 < £ < 1, характеризующий сжатие эллипса, вычисляется по формуле:
Здесь }\> Уг — собственные числа матрицы
Формула (3) - это определение эксцентриситета для канонического уравнения эллипса Г^Х'У + у2 (У'У = к которому приводиться [4, § 23] уравнение (2), так как у, > у2.
2. Результаты обработки данных
Вычислительный эксперимент проводился для района северного полушария (42,5о-62,5о с.ш., П7,5°-162,5° в.д.) над Охотским морем за период 1980-2023 гг. с января по март. Для получения результатов использовался архив реанализа NCEP геопотенциала Н500 в
узлах сетки 2,5°х2,5°
\
___- -РНЮЧ. ?
85 { " -- 83 С=>8 Г <
1 Л 84 о 81 5 С ¡86 с ? 80 У
*** / 1г 82 '"88 "
/ <г-' февр аль
120 1 40 160
\ г—
^шт- 92 ?ч96 98
ж /
( 91 99 У
**> 1с март
1. ■ *
Рис. 1. Линии уровня геопотенциала Н500 и его точки минимума за 1980-1989 гг. (слева) и за
1990-1999 гг. (справа)
Рис. 2. Линии уровня геопотенциала Н500 и его точки минимума за 2000-2009 гг. (слева) и за
2010-2019 гг. (справа)
Рис. 3. Линии уровня геопотенциала Н500 и его точки минимума за 2020-2023.
На рисунках 1-3 построены приближения линий уровня геопотенциала Ж00 в виде эллипсов около точек минимума на географической карте с изобарической сеткой в разные годы с января по март. Для удобной графической визуализации эллипсы строились с
фиксированной одинаковой длиной большей оси. Отсутствие эллипса в определенный год означает, что минимум геопотенциала Ж00 находится на границе выбранного изобарического диапазона. Если минимумы геопотенциалов Ж00 в разные годы совпадают, то они прорисованы разными цветами, рядом подписаны две последние цифры года.
На рисунках видна локализация тропосферных циклонов в рассмотренные десятилетия над Охотским морем, а также можно проследить их перемещение с января по март в определенный год. В основном они расположены в северо-западной части Охотского моря, а в период 2020-2023 гг. нет ни одного года, когда минимум геопотенциала Н500 располагался бы над ним.
Для каждого года рассчитывался угол поворота а эллипса относительно экватора
(угол, между экватором и ближайшей осью эллипса), характеризующий расположение его относительно сторон света, и эксцентриситет £, характеризующий сжатие эллипса (табл.).
_Таблица
год январь февраль март год январь февраль март
1980 а 7.46 -4.09 -21.65 2002 а -8.93 -4.19 -9.78
£ 0.98 0.89 0.92 £ 0.86 0.83 0.88
1981 а 22.22 -6.47 - 2003 а -17.19 - -25.48
£ 0.96 0.85 - £ 0.74 - 0.91
1982 а -40.73 -19.56 -10.78 2004 а -35.33 -14.67 -
£ 0.64 0.82 0.85 £ 0.93 0.93 -
1983 а -21.98 -3.78 - 2005 а 2.27 -7.41 -
£ 0.86 0.89 - £ 0.74 0.9 -
1984 а -2.66 -13.58 - 2006 а - 3.3 -7.73
£ 0.9 0.81 - £ - 0.94 0.89
1985 а 9.1 -18.06 -0.82 2007 а -44.12 - -12.21
£ 0.91 0.97 0.92 £ 0.66 - 0.93
1986 а -0.9 -6.49 -9.75 2008 а -12.5 - -
£ 0.8 0.91 0.93 £ 0.86 - -
1987 а -11.96 4.86 - 2009 а 21.54 -8.61 -15.45
£ 0.88 0.81 - £ 0.67 0.9 0.88
1988 а -2.36 1.12 -23.10 2010 а -8.58 12.71 4.9
£ 0.48 0.93 0.84 £ 0.79 0.69 0.92
1989 а -2.4 -4.15 - 2011 а 2.55 -12.2 -11.45
£ 0.9 0.9 - £ 0.98 0.99 0.9
1990 а -11.17 1.09 9.71 2012 а -7.98 -11.14 -9.05
£ 0.88 0.96 0.89 £ 0.88 0.83 0.86
1991 а 1.51 - -5.01 2013 а 11.49 - 4.7
£ 0.89 - 0.85 £ 0.93 - 0.88
1992 а -12.62 -26.96 -17.84 2014 а -16.87 10.99 8.19
£ 0.95 0.9 0.98 £ 0.90 0.87 0.94
1993 а - -19.48 - 2015 а
£ - 0.95 - £
1994 а -17.04 - - 2016 а -3.23 -2.6 -
Й 0.93 - - £ 0.78 0.93 -
1995 а -28.18 -6.49 - 2017 а -19.89 -7.19 -7.94
£ 0.946 0.92 - £ 0.8 0.932 0.88
1996 а - -29.56 -43.22 2018 а -19.31 -36.5 -21.33
£ - 0.96 0.973 £ 0.94 0.69 0.95
1997 а - - -15.99 2019 а - 14.12 -0.5
£ - - 0.91 £ - 0.82 0.98
1998 а 0.57 - -10.8 2020 а - -5.02 -
£ 0.85 - 0.83 £ - 0.85 -
1999 а -1.16 36.69 -1.46 2021 а -22.56 - 22.63
£ 0.86 0.4 0.93 £ 0.87 - 0.88
2000 а 34.49 - -4.13 2022 а 2.55 3.8 -2.02
£ 0.69 - 0.82 £ 0.96 0.96 0.95
2001 а 2.23 6.37 -26.85 2023 а -11.47 -34.85 -
£ 0.94 0.93 0.7 £ 0.95 0.92 -
Из таблицы видно, что значения угла а отрицательны, особенно в те годы, когда центры минимума геопотенциала Н500 располагаются в западной части выделенного района (42,5о-62,5о с.ш., 117,5о-162,5о в.д.). Когда центры минимума наблюдаются на востоке, например, январь 1991, 2011, 2013, 2022, февраль 1990, 2019, март 2014 г., то угол поворота эллипса имеет положительное значение. При отрицательных значениях угла наблюдаются ветры северных румбов, а при положительных значениях - восточных направлений.
Разработанный коллективом авторов алгоритм обработки базы данных геопотенциала Н500 позволит специалистам получить прогнозные выводы поведения тропосферного циклона, который оказывает влияние на температурный режим в изучаемом районе. Он может быть использован для построения линий уровня других объектов исследования, не только метеорологических данных.
Список литературы
1. Шатилина Т.А, Цициашвили Г.Ш., Радченкова Т.В. Охотский тропосферный циклон и его роль в формировании экстремальной температуры воздуха в январе в 1950-2019 гг. // Гидрометеорологические исследования и прогнозы. - 2021. - № 3 (381). - С. 64-79.
2. Муктепавел Л.С., Шатилина Т.А. Некоторые закономерности формирования экстремально малоледовитых зим в Охотском море // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из Космоса. - 2009. - Т. 6, № 1. - С. 429-441.
3. Бутузов В.Ф. Лекции по математическому анализу. Часть II. Учебное пособие. -М.: Физический факультет МГУ, 2014. - 200 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980. - 176 с.
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980. - 360 с.
6. Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных. -Режим доступа: https://mathhelpplanet.com/static.php?p=principy-postroeniya-raznostnyh-skhem-й1уа-игаупещ-у-ска$1пук-рго12Уойпук.
Сведения об авторах
Цициашвили Гурами Шалвович - доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института прикладной математики ДВО РАН, e-mail: [email protected].
Шатилина Татьяна Александровна - кандидат географических наук, ведущий научный сотрудник, Тихоокеанский филиал ФГБНУ «ВНИРО», e-mail: tatyana.shatilina@tinro. ru.
Осипова Марина Анатольевна - кандидат физико-математических наук, доцент Дальневосточного федерального университета, e-mail: [email protected].
Романченко Артем Валерьевич - студент 2-го курса направления подготовки «Программная инженерия» Дальневосточного федерального университета, e-mail: [email protected].
Родохлеб Владислав Андреевич - студент 2-го курса направления подготовки «Программная инженерия» Дальневосточного федерального университета, e-mail: [email protected].
LOCATION DETECTION ALGORITHM THE OKHOTSK TROPOSPHERIC CYCLONE
AND ITS OPERATING CHARACTERISTICS
G.Sh. Tsitsiashvili1, T.A. Shatilina2, M.A. Osipova3, A.V. Romanchenko3, V.A. Rodokhleb3
1 Institut prikladnoi matematiki DVO RAN
2 Tikhookeanskii filial FGBNU «VNIRO»
3 Dal'nevostochnyi federal'nyi universitet
During the years of localization of the minimum of the geopotential H500 over the Sea of Okhotsk, an extremely low air temperature is formed in the area of the minimum and the associated baric hollow, in the center of which a tropospheric cyclone is formed. In this paper, an algorithm is compiled for constructing an approximation of the H500 geopotential level line in the form of an ellipse near its minimum point and finding its characteristics. It uses elements of mathematical analysis, analytical geometry, linear algebra and numerical methods. Based on the constructed algorithm, a program has been created that allows processing large arrays of H500 geopotential data and has a user-friendly interface. The paper presents the results of a computational experiment for the area of the northern hemisphere over the Sea of Okhotsk for the period 1980-2023 from January to March. To obtain the results, the NCEP geopotential H500 reanalysis archive was used.
Ключевые слова: Taylor polynomial, finite differences, level lines, rotation angle, eccentricity, geopotential H500, tropospheric cyclone.
References
1. Shatilina T.A, Tsitsiashvili G.Sh., Radchenkova T.V. Okhotskii troposfernyi tsiklon i ego rol' v formirovanii ekstremal'noi temperatury vozdukha v yanvare v 1950-2019 gg. // Gidrometeorologicheskie issledovaniya i prognozy. - 2021. - № 3 (381). - S. 64-79.
2. Muktepavel L.S., Shatilina T.A. Nekotorye zakonomernosti formirovaniya ekstremal'no maloledovitykh zim v Okhotskom more // Sovremennye problemy distantsionnogo zondirovaniya Zemli iz Kosmosa. - 2009. - T. 6, № 1. - S. 429-441.
3. Butuzov V.F. Lektsii po matematicheskomu analizu. Chast' II. Uchebnoe posobie. - M.: Fizicheskii fakul'tet MGU, 2014. - 200 c.
4. Bugrov Ya.S., Nikol'skii S.M. Elementy lineinoi algebry i analiticheskoi geometrii. - M.: Nauka, 1980. - 176 s.
5. Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoi geometrii i lineinoi algebry. - M.: Nauka, 1980. -
360 s.
6. Principy postroeniya raznostnyh skhem dlya uravnenij v chastnyh proizvodnyh. - Rezhim dostupa: https://mathhelpplanet.com/static.php?p=principy-postroeniya-raznostnyh-skhem-dlya-uravnenij-v-chastnyh-proizvodnyh
About authors
Tsitsiashvili G.Sh. - S. D. in Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chief Researcher of the Institute of Applied Mathematics FEB RAS, e-mail: [email protected].
Shatilina T.A. - PhD in Geographical Sciences, Leading researcher of the 2nd Pacific Branch of VNIRO, e-mail: [email protected].
Osipova M.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Far Eastern Federal University, e-mail: [email protected].
Romanchenko A.V. - 2nd year student of the direction of Software Engineering of the Far Eastern Federal University, e-mail: [email protected].
Rodokhleb V.A. - 2nd year student of the direction of Software Engineering of the Far Eastern Federal University, e-mail: [email protected].
