CC BY
13
CONSTRUCTION OF CUBIC SPLINES PRESERVING CONVEXITY OF THE DATA
M.M. Romadanova
The algorithms for constructing cubic splines that preserve the convexity of the data are considered in this article. We construct a weighted cubic spline and an adaptive algorithm for selecting weight parameters. Then, an improved algorithm is proposed. This algorithm for constructing a cubic spline is based on minimization of sum of squared second order derivatives. The efficiency of proposed algorithm in comparison with simple and weighted cubic splines is demonstrated on several examples.
Key words: shape-preserving interpolation, convex interpolation, weighted cubic spline, geophysical experimental data.
Romadanova Mariya Mikhailovna, candidate of physico-mathematical sciences, do-cent, Romadanova@yandex.ru, Russia, Saint Petersburg, Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering
УДК 519.8
АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ ТРАЕКТОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ УТОЧНЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ПО ОДНОВРЕМЕННЫМ ДВУКРАТНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ ДВУМЯ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ
РОТОРНОГО ТИПА
Е.П. Минаков, Р.П. Власов
Представлены постановка задачи, циклограмма и модель космического аппарата роторного типа, предназначенного для измерения параметров движения объектов космического мусора техногенного и естественного происхождения. Приведены математические модели, алгоритм уточнения параметров движения этих объектов по разнесенным по времени измерениям двумя космическими аппаратами роторного типа, а также результаты обработки траекторной информации и оценивания координат и проекций векторов скоростейобъектов космического мусора.
Ключевые слова: объект космического мусора, космический аппарат роторного типа, уточнение параметров движения.
Необходимость комплексного решения задачи контроля космического пространства, получения и уточнения данных о параметрах движения объектов космического мусора (ОКМ) техногенного и естественного происхождения, для предотвращения воздействия на функционирующие космические аппараты (КА), делают актуальным решение задачи разработки алгоритма уточнения параметров движения ОКМ по одновременным двукратным измерениям двумя КА роторного типа (РТ). Это подтверждается тем, что анализ существующих подходов к решению задач, возникающих при решении указанной проблемы, продемонстрировал их вербальный характер, отсутствие системности, глубокой научной и тем более инженерной проработки [1, 6, 7].
Постановка задачи и циклограмма применения КА РТ
Пусть кластер КА РТ представляет собой совокупность двух КА РТ, оснащенных аппаратурой измерения параметров ОКМ.
Пусть на какие-либо моменты времени 12 и 11 по данным ГЛОНАСС по каждому 1-му КА РТ получены вектора состояний в АГЭСК: х^Ь), у1(12), 21(12), ух1(12), уу1(12), уиф), Х1(11), у 1 (11), 21(11), ух1(11), уу:(11), ушол), 1=1,2, А1 = 11 - 12, 11 >12. Считается, что на эти же моменты времени 12 и 11 известны углы поворота продольной оси каждого 1-го КА РТ относительно плоскости орбиты - Р1(12) и Р1(11), а также известны угловые координаты ОКМ в картинной плоскости оптико-электронной аппаратуры (ОЭА) КА РТ: угловые дальности от центра картинной плоскости - 711(12), 711(11) и углы направлений на ОКМ относительно продольной оси КА РТ - 721(12), 721(11).
Требуется определить параметры траектории движения ОКМ на момент времени 11.
Схема применения двух КА РТ для уточнения параметров движения ОКМ по разнесенным по времени измерениям представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема применения КА РТ
В соответствии со схемой применения КА РТ была разработанная циклограмма характеризующая порядок его функционирования (рис.2).
Рис. 2. Циклограмма применения КА РТ
Для решения поставленной задачи должен быть разработан алгоритм уточнения параметров движения ОКМ по одновременным двукратным измерениям двумя космическими аппаратами роторного типа.
В рамках поставленной задачи была построена модель КА РТ представленная на рис. 3.
а =
h ■ sin а sin(a + ф)'
b = yd2 + а2 — 2 ■ d ■ а ■ cos(7t — 2 d ■ sin 2 ■ ф
ф);
sin 8
b
n
I"5'
Рис. 3. Модель КА PT Требуется уточнить на момент времени t к параметры траектории движения
окм.
Допущения:
1) К А РТ - однотипные с одинаковым угламиполураствора конуса вращения продольной оси - а, длинами образующей конуса (расстояниями между ц.м. КА ИО РТ и фокусом аппаратуры ДЗ) - h и углами полураствора аппаратуры видеонаблюдения -
ф;
2) ось конуса вращения продольной оси направлена по касательной к траектории КА РТ в момент времени t (коллениарна с вектором скорости КА РТ, принадлежит оскулирующей плоскости движения КА РТ);
3) ОКМ находится в моменты времени Ы t + At в зоне обзора сразу двух К А РТ;
4) измерение углов уп и угюсуществляется каждым КА РТ мгновенно в один и тот же момент времени;
5) требование взаимной видимости К А РТ не является необходимым (виртуальная динамически метающаяся база).
Алгоритмы математические модели решения задачи
Решение задачи распадается на совокупность взаимосвязанных подзадач, пред-ставимых в виде блоков:
1) уточнение текущих параметров динамически меняющейся базы между К А РТ: расстояния между КА РТ - L(t2), углов между базой и радиусами-векторами положений КА РТ в АГЭСК в момент времени t2 - Si(t2) в соответствии с математической моделью определения текущих параметров динамически меняющейся базы между КА РТ (рис.4):
L(t) = V(Xl(t) - x2(t))2 + (yi(t) - y2(t))2 + (Zl(t) - z2(tjy-,
ii(t) = Vxi(t)2+yi(t)2+zi(t)2;
Ar(t)2 = ri(t)2 + r2(t)2 - 2 ■ ri(t) ■ r2(t) ■ cos AS(t);
A „ ri(t)2+r2(t)2-L(t)2 cos Au(t) =
sin Si (t) =
sin s2(t)
2 ■ ii(t) ■ r2(t)
r2(t)
L(t) ■ sin Au (t)'
ri(t) L(t) ■ sin Au (t)' 186
Рис. 4. Модель определения текущих параметров динамически меняющейся базы
между КА РТ
2) уточнение угла ориентации продольных осей КА РТ относительно динамически меняющейся базы в момент времени t2 - X¡(t2):
R = h ■ sin a; H = h ■ cos a;
5i(t)=¿-6i(t);
b¡ = H ■ tan 8i(t) ;
c¡ = JR2 +bf - 2 ■ R-bi ■ cosPj(t);
ai= Jbf+H2;
af + h2 - cf
COS Y. (t) = ---.
2 ■ c¡ ■ h
Рис. 5. Модель определения угла ориентации продольной оси 1-го КА РТ относительно динамически меняющейся базы
3) определения угла ориентации направления на ОКМ относительно динамически меняющейся базы в момент времени 12 - ^¡(Ъ):
СОБ^СО = соБу^ ■ собх^ОО + яту^ ■ яп^СО ■ С0Бу2Г
4) определения расстояний до ОКМ от К А РТ - гыО^), ГсвгОз):
Ь(1:)-Бту (1:) Ь(1:) ■ Бту (Г)
гСв1(Л)=—т--—т; гсв2(1)-
Sin(Vl(t) +\|/2(t))'
sin(Vl(t)+V2(t))'
5) определение координат - х(Ъ), у(Ъ), г(Ъ) и радиуса ОКМ в АГЭСК- г(Ъ):
Хсв1Й = Гсв100 • С05У21 >
\ Усв\(Х) = ГСВ|^) • вт у2. ■ сое У1};
= Гсыф -8ту2. -8ту1Г
XcKi(t) XcBi(t)
yCKi(t) = A(t) ■ YcBiCt)
ZcdOO ZcBiOO
x(t) xt(t)
y(0 = y m + Bt{t)-
z(t) ZCKi(t)
Bi(t)
Vxi(t) Clt(t) Vyi(t)-C3i(t)-Vzi(t)-C2i(t)
v№ C((0 vm ■ Ci(t)
Vyi(t) c2m Vziit) Cuit) -Vxi(t) Cuit)
y m cm Vi(t) ■ Ci(t)
VziÇt) c3i(0 VXi(t) C2i(t) -Vyi(t) Cuit)
Vt(t) Ct(t)
" с4(0
6) определение координат - х(1л), у(1л), z(tl) и радиуса ОКМ в АГЭСК- г(1л) на момент времени 11 по п.п. 1-5 алгоритма;
7) определение угла между двумя последовательными измерениями положениями ОКМ на моменты времени 12 и 11- Дф(Д1;);
8) решение задачи Эйлера-Ламберта и определение оскулирующих элементов орбиты аокмОл), еокмОл), ЬкмОл), йокмОл), ЮокмОл), ТпокмОл) на момент времени 1:1;
9) получение вектора скорости ОКМ в АГЭСК- У(1л);
10) определение параметров траектории движения ОКМ на момент времени 11 -<х(11), у(10, 2(11),Ух(11), Уу(11), У2(11), и>.
Пункты 1-5 представляют собой этапы модифицированного метода космической триангуляции. Вместо них можно использовать метода космической триангуляции. Однако, проведение вычислительных экспериментов указывает на повышение точности при принятых исходных данных.
Новизна метода определения параметров движения ОКМ по одновременным двукратным мгновенным измерениям КА РТ состоит:
1) в использовании новых моделей 1-5;
2) в применении решения задачи Эйлера-Ламберта для определения оскулирующих элементов орбит ОКМ на интервале [12, 1л], позволяющего в свою очередь определить Ух^О, У^О, У/С^).
Исходные данные и результатывычислительных экспериментов
Для проведения вычислительных экспериментов с разработанным алгоритмом были приняты исходные данные представленные в табл. 1-4:
Таблица 1
Технические характеристики КА РТ
m, кг Ф, град a, град CD, 1/C h, км d, км
100 2 10 0,5 0,001 400
Таблица 2
Уточняемые параметры движения ОКМ на момент времени *о
10, с х, км у, км 7, КМ Ух, км\с Уу, км\с У7, км\с
0 -6080.82 -2401.50 -3011.46 2.389728 2.275000 -6.669512
Таблица 3
Параметры движения КА РТ и положения их осей визирования на момент времени
10, с х, км у, км 7, км Ух, км\с Уу, км\с У7, км\с град
КА РТ-1
0 -1154.21 3740.05 5278.72 -0.201962 -6.440203 4.694412 1
КА РТ-2
0 -1151.90 3810.11 5226.99 -0.219628 -6.382417 4.775040 5
Таблица 4
Параметры «истинной» траектории ОКМ на моменты времени *
1, с х, км у, км 7, Км Ух, км\с Уу, км\с У7, км\с
0 -6080.82 -2401.50 -3011.46 2.389728 2.275000 -6.669512
1 -6078.42 -2399.22 -3018.13 2.396227 2.277566 -6.666281
В соответствии с представленным алгоритмом были получены следующие результаты вычислительных экспериментов (табл. 5-9):
Таблица 5
Прогнозируемые параметры уточняемой траектории ОКМ на моменты времени *
1, с х, км у, км 7, км Ух, км\с Уу, км\с У7, км\с
0 -6080.82 -2401.50 -3011.46 2.389728 2.275000 -6.669512
1 -6111.09 -2430.59 -2925.49 2.305877 2.241756 -6.710324
Таблица 6
Прогнозируемые параметры движения КА РТхф), уф), иф), Ухф), Уу$2), Уц$2), и положения их осей визирования на моменты времени *
1, с х, км у, км 7, км Ух, км\с Уу, км\с У7, км\с Ш, град
КА РТ-1
0 -1154.21 3740.05 5278.72 -0.201962 -6.440203 4.694412 1,00
КА РТ-2
0 -1151.90 3810.11 5226.99 -0.219628 -6.382417 4.775040 5,00
Таблица 7
Матрица измеряемых параметров
с ун©, град уп(0, град У21©, град уд®, град
0 0,0 0,0 0,4 6,0
1 0,0 0,0 0,5 7,0
2 0,0 0,0 0,6 8,0
Таблица 8
Матрица дискретизации
t, с Y1i(t), град Y1i(t), град Y2i(t), град Y2i(t), град Используемый алгоритм
7 0,8 28,0 0,9 13,0 уточнения параметров движения ОКМ по одновременным двукратным измерениям КА РТ
Таблица 9
Уточненные параметры движения ОКМ
Используемый алгоритм t, с x, км у, км z, км г, км
уточнения параметров движения ОКМ по одновременным двукратным измерениям КА РТ 7 -6063,93 -2385,51 -3058,07 7198,1 7
Используемый алгоритм t, с Vx, км\с Vy, км\с Vz, км\с V, км/с
уточнения параметров движения ОКМ по одновременным двукратным измерениям КА РТ 7 2,4351 2,2929 -6,6467 7,4408
Заключение
Полученные результаты демонстрируют адекватность разработанных моделей и корректность соответствующего алгоритма. Анализ «истинных» и уточненных координат и проекций скоростей указывает на достижение точностей до 0,0045 км и 0,00003 км/с соответственно. В этой связи можно утверждать, что метод уточнения параметров движения объектов по одновременным двукратным измерениям двумя КА РТ, основанный на решении задачи Эйлера-Ламберта для определения оскулирующих элементов орбит ОКМ на заданных мерных интервалах, может быть использован как составная часть математического обеспечения применения указанных КА. В то же время, следует указать, что приведенный математический аппарат требует дополнительных исследований характеристик точности, сходимости, быстродействия и потребных вычислительных ресурсов.
Список литературы
1. Шустова Б. М., Рыхловой Л. В.Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра / Под ред. Шустова Б. М., Рыхловой Л. В. М.: Физматлит, 2010. 384 с.
2. Иванов В. Л., Меньшиков В. А., Пчелинцев Л. А., Лебедев В.В. Космический мусор. Т.1. Проблемы и пути решения. М.: Патриот, 1996. 360 с.
3. Пенцак И.Н. Теория полета и конструкция баллистических ракет. М.: Машиностроение, 1974. 344 с.
4. Инженерный справочник по космической технике. М.: МО СССР, 1969.
696 с.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. 383 с.
6. Нариманова Г.С., Тихонравова М.К. Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 608 с.
7. Авдуевский В.С., Успенский Г.Р. Космическая индустрия. М.: Машиностроение, 1989.568 с.
8. Эскобал П.Р. Методы определения орбит. М.: Мир, 1970. 457 с.
Минаков Евгений Петрович, профессор, livnymen@,mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, ВКА им.А. Ф.Можайского,
Власов Роман Петрович, адъюнкт, livnymenamail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военный институт (научно-исследовательский) ВКА им.А. Ф.Можайского
ALGORITHM FOR TREATING INFORMATION PROCESSING OF SPECIFICATION OF PARAMETERS OF MOVEMENT OF OBJECTS BY SIMULTANEOUS TWO-TIME MEASUREMENTS OF TWO SPACE ROTOR TYPE APPARATUS
E.P. Minikov, R.P. Vlasov
The statement of the problem, a cyclogram and a model of a rotor type spacecraft, designed to measure the motion parameters of objects of man-made and natural space debris, are presented. Mathematical models, an algorithm for refining the motion parameters of these objects from spaced apart measurements by two rotor-type spacecraft, as well as the results of processing trajectory information and estimating the coordinates and projections of the velocity vectors of space debris are presented.
Key words: space debris object, rotor type spacecraft, motion parameters refinement.
Minakov Evgeny Petrovich, professor, livnymenamail.ru, Russia, St. Petersburg, VKA named after A.F.Mozhaysky,
Vlasov Roman Petrovich, adjunct, livnymena mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Institute (Research) VKA named after A.FMozhaysky
УДК 004.7
ТЕХНОЛОГИЯ КЛАСТЕРИЗАЦИИ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОТКАЗОУСТОЙЧИВОСТИ
ИВ. Савин
Рассматривается технология кластеризации. Описываются режимы её функционирования и реализации. Приводятся схемы работы кластеров различных видов, рассматриваются достоинства и недостатки аппаратных и программных кластеров. Даются рекомендации по организации кластера для обеспечения наибольшей отказоустойчивости.
Ключевые слова: кластер, кластеризация, отказоустойчивость.
В настоящее время информация представляет собой один из самых ценных ресурсов. Её объёмы постоянно растут, а утрата может привести к значительным издержкам. Растут и требования для обеспечения стабильной с ней работы и её надёжного хранения. На сегодняшний день может быть недостаточным иметь только резервные копии данных - отсутствие доступа к информации даже в минутном выражении может подразумевать не только значительные финансовые и репутационные риски.
Помимо выполнения регулярного резервного копирования, наличия разграничения доступа и организации ЯАГО-массива, необходимо применять технологию кластеризации.
