АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ВЕКТОРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.27

АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ВЕКТОРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Г.Ф. Филаретов, П.С. Симоненков

Данная работа посвящена вопросам построения контролирующего алгоритма, предназначенного для оперативного обнаружения изменения вероятностных характеристик (разладки) векторного случайного процесса, когда разладка связана со скачкообразным изменением корреляционных связей между компонентами этого процесса. Предлагается для решения этой задачи использовать соответствующим образом, адаптированный алгоритм кумулятивных сумм (Си8иМ-алгоритм). Приведены основные соотношения, описывающие предложенный алгоритм обнаружения разладки. Обсуждается проблема получения справочных данных, необходимых для синтеза контролирующего алгоритма с заданными свойствами.

Ключевые слова: векторный случайный процесс, обнаружение изменения элементов корреляционной матрицы, алгоритм кумулятивных сумм.

Задача построения эффективных алгоритмов оперативного обнаружения изменения вероятностных характеристик (разладки) случайных процессов является в настоящее время одной из наиболее актуальных с точки зрения возросшего спроса на их практическое применение. Это во многом связано с повсеместным распространением различного рода автоматизированных мониторинговых систем, используемых в тех или иных прикладных областях. В качестве примеров можно сослаться на успешное применение таких алгоритмов для контроля поведения нестационарных объектов управления [1] и при построении систем автоматического управления такими объектами [2], в системах обнаружения и отражения хакер-ских атак на компьютерные сети [3], в энергетике [4], медицине [5], в составе программно-алгоритмического обеспечения средств неразрушающе-го контроля [6].

Разнообразие требований к таким алгоритмам, связанное с необходимостью учета специфических особенностей как объекта и задач мониторинга, так и сигналов, характеризующих его состояние, приводит к необ-

ходимости создания новых алгоритмов обнаружения, учитывающих эти особенности. Все это вызвало существенное увеличение количества научных работ по данной тематике. В библиографическом обзоре [7] отмечен экспоненциальный рост числа таких работ за последние 10 лет.

Анализируя статистические данные, приведенные в указанном обзоре, можно отметить некоторые тенденции в развитии исследований. Так, в частности, если раньше обычно рассматривались одномерные (скалярные) процессы и контролировалось значение только одного вероятностного параметра (как правило, это математическое ожидание или дисперсия), то в последнее время все большее внимание уделяется многомерным (векторным) процессам, когда изменяется сразу несколько контролируемых параметров (например, [8, 9]).

Данная работа посвящена созданию алгоритма обнаружения, предназначенного для оперативного, т.е. в ритме с поступлением измерительных данных, обнаружения разладки векторного случайного процесса, когда разладка связана со скачкообразным изменением корреляционных связей между компонентами этого процесса.

Постановка задачи исследования. Рассматривается у-мерный гауссовский дискретный случайный процесс (временной ряд)

X (г) = | ^(г), х2(г),..., Ху (г )||

г = 1,2,...

где Т - знак транспонирования, векторы х(г), х(у); г Ф у независимы.

Функция плотности вероятности такого ряда может быть записана в следующем виде:

1 X п -т )Т £ -1( X „ -т )

. (1)

Wx (X; т , £)

£

1/2

• е

(2р) ч/2

Здесь т - вектор математических ожиданий; £ - ковариационная матрица векторного процесса Х(г):

т

т2 x

; £ =

т*

О

^1X^2 X р12

SvX Р1\

S1XS2 X р12

О

2Х

О2 XSvX Р 2у

S1XSvX Рlv

О2 XSvX Р 2\

о

vX

(2)

Далее будем рассматривать случай, когда значения математических ожиданий та и дисперсий О (/ = 1, 2, ..., v) известны и остаются неизменными, а разладка связана с изменением значений коэффициентов корреляции ру- (¡, у = 1, 2, v; / Ф у) , т.е. корреляционных связей между компонентами векторного процесса Х(г).

В связи с постоянством значений та и О без нарушения общности можно принять = 0, а О =1. Тогда ковариационная матрица £ превратится в корреляционную матрицу Й.

201

Т

Иными словами, можно сказать, что задача обнаружения разладки состоит здесь в обнаружении скачкообразного изменения корреляционной матрицы от исходного значения Й 0 до значения йЕ, где

«с =

1

р!2'

р(0) р1у

рЕ?

р2?

ре?

р20)

1

Й =

1

р(2)

рС'

р(2)

р2!'

р(Е р21.

1

(3)

Для решения этой задачи предлагается использовать, соответствующим образом адаптированный алгоритм кумулятивных сумм или СШиМ-алгоритм. Как известно, такого рода алгоритмы основаны на видоизменённом последовательном анализе [10, 11] и обладают определенными оптимальными свойствами в смысле минимизации среднего времени

запаздывания тзап в обнаружении разладки заданной величины при фиксированном значении среднего интервала между ложными тревогами Тлт [12].

Решающая функция СЦБЦМ-алгоритма на некотором п-м такте работы контролирующей процедуры в рассматриваемом случае примет следующий вид:

gn = тах( 0; ^-1 + ', п = 1, 2,... , яс = 0, (4)

где приращение можно записать следующим образом:

2п = 2-1п [ Wx(X;Йх)/Wx(X;Й)],

(5)

Принимая во внимание соотношение (1), формулу (5) преобразуем

к виду

,т

г

п

п

(й -1 - ¡1-1 )х

1п

Й

Й

(6)

Матрица Й 0 обычно определяется в ходе предварительного эксперимента путем достаточно длительного наблюдения за процессом ) , когда он находится в состоянии «норма». Что касается элементов матрицы Й1 , то они выбираются, исходя из требования обязательного обнаружения определенного отклонения коэффициентов корреляции р(71) от их исходных значений р(0). Сигнал о наличии разладки (сигнал тревоги) вырабатывается

при достижении решающей функцией некоторой границы (порога) Н.

На практике всегда возникает задача синтеза подходящей контролирующей процедуры. Как правило, она формулируется следующим образом: для фиксированных значений параметров процесса до и при наличии разладки определить значение решающего порога Н, обеспечивающее заданную величину среднего интервала между ложными тревогами Тлт;

1

1

0

кроме того, пользователю должна быть предоставлена информация о быстродействии алгоритма обнаружения путем указания среднего времени

запаздывания тзапв обнаружении разладки.

Для решения задачи синтеза необходимо предварительное получение зависимостей порога Н и тзап от Тлт для различных комбинаций значений параметров процесса до и при наличии разладки. Однако получение такого рода справочной информации связано со значительными трудностями, обусловленными тем, что такие зависимости за редким исключением можно получить только с помощью имитационного моделирования. В данном случае речь идет о достаточно сложном варианте моделирования векторных процессов с заданными корреляционными матрицами. Поэтому желательно максимально упростить процесс моделирования, для чего предлагается использовать предварительное преобразование значений контролируемого процесса Х(1), обеспечивающее в свою очередь желательный

вид преобразованных матриц Я 0 и Я! [13].

Предварительное преобразование значений процесса х(7). Предлагаемое преобразование связано с использованием известного теоретического результата матричного исчисления [14]), в соответствии с которым существует некоторое невырожденное линейное преобразование

у п = f (х П), приводящее одновременно две квадратные матрицы к диагональному виду, причем одна из них приводится к единичной матрице. Практическая реализация такого преобразования связана с проведением ряда последовательных этапов.

А. Определение собственных чисел x*, а2,..., а,* матрицы Я 0 и собственных функций преобразования Ь, с помощью которого формируются

- о \ -Г^ о

значения переменной у 1( х ) = Ь 1 х

матрицей

с диагональной корреляционной

Я

У1

А * 0

0

А**

0 0

0

0

А*

(7)

Б. Приведение матрицы к к единичному виду I. Данная операция осуществляется с помощью матрицы преобразования Ь 2 вида

... 0

... 0

Ь 2 =

а *

(8)

0

0

Новая переменная у 2( х0) = Ь 2 у 1( х0) = Ь 2 Ь1 х0 будет, как несложно убедиться, иметь единичную корреляционную матрицу I.

В. Преобразование матрицы Я1 к диагональному виду. Такое преобразование сводится к преобразованию к диагональному виду корреляционной матрицы переменной у2(х0), равной Я 1 Уг = Ь 11Ь , где Ь* = Ь 2 Ь 1. Дальнейшие действия подобны действиям, описанным в п.1, но применительно к матрице К1у и включают в себя определение собственных чисел , X2,...,Xv этой матрицы и собственных функций преобразования Ь.

Корреляционная матрица для преобразованной переменной у (х0) = Ь(Ь2 (Ь 1 х0 )), как и требовалось, будет диагональной

x1 0 ... 0

я

0 x-

(9)

0 0 ... x,

Важно отметить, что такое преобразование не влияет на результаты, полученные в пп. а) и б), т.е. по-прежнему справедливо:

У 1Т Я 0 У 1 = У 0У 2 = 1 .

В конечном итоге для переменной у (х0) , полученной с помощью

линейного преобразования Ь общ = ЬЬ 2 Ь1, матрица Я 0 превратится в

единичную, а матрица Я 1 - в диагональную.

С учетом сказанного можно теперь записать формулу (6) для приращений решающей функции гп применительно к переменной у (х0) :

п

(I-1 - Ё-1 )уп - 1п (X1 • X2 •... • X,)

7 = у

п

или в развернутом виде

г,

V

= 2

,=1

1 -

1

X,

У,

V V

- 2 1п X, = 2

1

,=1

,=1

1-

X

У,п - 1п X

1

(10)

. (11)

Проиллюстрируем всю процедуру преобразования на примере двумерного случайного процесса. Имеем для этого случая

Я,

1

Р 0

Р 0 1

=

1

Р1

Р1 1

Находим собственные числа x*, x2 матрицы Я0 и собственные функции преобразования Ь:

0

1

1

2

^ =1 + Ро ; ^2 =1 - Ро ; Ь1 - у

" ' '2 /л/2

Корреляционная матрица у 1(х0) - Ь1 х0, очевидно, будет

Е у 1 -

1 - Р,

0

0 1 + Р о

Находим матрицу второго преобразования Ь 2 в соответствии с (8):

0

Ь 2 -

1

V1 - Р 0 0

1

л/1 + Р 0

и убеждаемся, что новая переменная у 2(х0) - Ь 2у 1(х0) имеет единичную корреляционную матрицу.

Рассмотрим теперь, какой будет преобразованная корреляционная матрица Й1. Для этого сначала найдем совместную матрицу преобразования Ь* - Ь 2 Ь1:

1

Ь - Ь 2 Ь 1 -

0 1

v1 - р 0 0

1 _

■>/2(1 - р 0) л/2(1 - р 0) 11

л/1 + р |

1 1

x л/2 л/2

1 1

Ж Ж

1

(12)

л/2(1 + р1) v2(1 + р1) Корреляционная матрица переменной у 2 (х0)

Я

1 у :

- Ь1 й,Ь1Т -

1 - р 1

1 - р 0 0

0

1 + р !

1 + р

(13)

Следовательно, в данном случае

1 - р1

\ -

^ 2 -

1 + р1

(14)

1 - р0 1 + р0

Таким образом, с помощью двух указанных преобразований корреляционная матрица Я0 приведена к единичному виду, а матрица Я1 - к

диагональному. Здесь третьего преобразования не потребовалось. Это связано с тем, что в двумерном случае эллипсы рассеяния, связанные с матрицами Я0 и Я1, изначально являются соосными.

205

0

При практической реализации контролирующего алгоритма на каждом п-ом такте поступления входных данных х1п, х2п должны вычисляться

Г*

значения у1п, у2п , определяемые с учетом элементов матицы Ь по формулам:

х 1 „ х '

у 1 =--, '" = +

' 1 П I л / - ч

л/2(1 - р о) л/2 (1 - р о)

(15)

у 2 п = / х 1 п + . х 2 п . (16)

У 2 п -у/2 (1 + р 1) л/2(1 + р 1) Получение справочных данных для синтеза контролирующей процедуры. Очевидно, что использование рассмотренного выше преобразования позволяет существенно упростить как разработку программных средств для реализации имитационного эксперимента, так и сам процесс имитационного экспериментирования. Действительно, в данном случае вместо генерации процессов с заданными ковариационными матрицами оказывается необходимым лишь генерация нескольких некоррелированных процессов с дисперсиями, равными , А 2,..., а^ , что намного проще.

В частности, в двумерном случае, используя полученные выше соотношения, теперь возможно подготовить справочный материал, необходимый для синтеза контролирующей процедуры непосредственно по значениям коэффициентов корреляции р0 и р1. С этой целью для различных значений среднего времени в обнаружении разладки Тлт необходимо с помощью метода имитационного моделирования найти зависимости

н = (р\р о, Р1 | Тлт ) и Тзап =У*(Р о, Р1 I тлт ).

Проведение имитационного эксперимента включает в себя: задание различных значений коэффициентов корреляции р0, р1 и решающего порога Н;

генерацию двух некоррелированных дискретных гауссовских процессов щ(1), и2(Г) с некоррелированными отсчетами и параметрами, задаваемыми пользователем. В числе таких параметров задавались нулевые

значения математических ожиданий т(и1) = 0 и т(и2) = 0, дисперсии а2(и1) = о2(и1) = 1 при моделировании ситуации в отсутствии разладки и

а2(и1) = а1, ст2(и2) = А2 при наличии разладки;

- имитацию работы алгоритма кумулятивных сумм в соответствии с соотношениями (4) и (11) при V =2 с фиксацией интервалов Т§ ^ = 1, 2,.)

между моментом начала очередной контролирующей процедуры и появлением сигнала о наличии разладки, когда решающая функция превысит пороговое значение Н;

А-кратное повторение работы алгоритма;

статистическую обработку результатов имитационного эксперимента с целью получения оценок среднего значения и дисперсии интервалов Т& ^ = 1, 2,., А), а также дисперсии Т :

N

' ' 2

т = хлът,. = 1Мът-т>2' 1=Ум

я=у я=1

Для получения достаточно точных результатов моделирования значение N выбрано весьма большим (М = 10000). При проведении имитационного эксперимента использовались следующие различные комбинации значений р0 и рУ:

- 0,9; - 0,6; - 0,3; 0 ; 0,3; 0,6; 0,9 .

В результате моделирования для ТЛТ = 500; 1000; 1500; 2000; 3000; 5000) получены таблицы, содержащие оценки значений решающего порога Н и интервала Тзап в зависимости от коэффициентов корреляции ро, рь В качестве примера ниже приведены две такого рода таблицы для случая, когда ТЛТ = 1000 (табл.1 и табл.2).

Таблица 1

Оценочные значения порога Н для различных комбинаций

ро, Р1 (Тлт = 1000)

)0 -0,9 -0,6 -0,3 0 0,3 0,6 0,9

-0,9 X 10,45 11,08 11,15 10,96 10,36 8,42

-0,6 8,64 X 8,16 9,45 9,79 9,52 8,26

-0,3 8,66 7,55 X 7,09 8,62 9,09 8,32

Р1 0 8,46 8,63 6,94 X 6,91 8,61 8,44

0,3 8,31 9,06 8,63 7,08 X 7,56 8,63

0,6 8,25 9,52 9,76 9,45 8,13 X 8,70

0,9 8,42 10,36 10,97 11,14 11,06 10,48 X

Таблица 2

Оценочные значения ~зап для различных комбинаций ро, р1 (ТЛТ = 1000)

Р0 -0,9 -0,6 -0,3 0 0,3 0,6 0,9

-0,9 X 16,00 9,98 7,40 5,61 3,87 1,93

-0,6 7,53 X 47,85 20,79 11,64 6,01 2,24

-0,3 4,02 33,39 X 64,3 22,4 8,77 2,59

Р1 0 3,01 14,35 58,42 X 57,87 14,26 3,07

0,3 2,58 8,68 21,89 65,29 X 33,91 4,08

0,6 2,24 6,03 11,58 21,20 46,50 X 7,45

0,9 1,96 3,80 5,58 7,41 9,87 16,05 X

Анализ приведенных в таблицах данных показал, что они обладают характерной симметрией (или точнее - антисимметрией). Так, например, если говорить о данных, приведенных в табл. 1, то значение Н при р1=-0,9 и р0= - 0,6 практически совпадает со значением Н при р1 =+0,9 и р0 = +0,6. Объяснение простое: если для первого случая значения Я, Я, .в соответствии с (14) равны 1,19 и 0,25, то для второго будем иметь 0,25 и 1,19, т.е. эти элементы просто поменялись местами.

207

В целом зависимости Н = (р\р0,рх) и тзап = у (р0,р^ имеют достаточно сложный вид, в связи с чем для них весьма затруднительно подобрать адекватную регрессионную модель. С другой стороны, использовать многочисленные таблицы, в особенности, когда значения р 0, рх отличаются от табличных, также не очень удобно. Поэтому предлагается использовать иной способ получения информации, необходимой для синтеза контролирующей процедуры, а именно на основе данных, приведенных в [13]. В этой работе найдены приближенные регрессионные формулы, позволяющие оценить Н и ?зап по значениям А1, Х2:

Нх^!, X 2) = 0^1, X 2| Тлт ) = а + Ь^ + X 2) + о^2 + X 2) + р(Х\ + А32) + Я^Х 2 (17)

Тзап = У(А1, А21 Тлт ) = а' + Ь^ + X2) + о,(Х12 + X2) + р'(Х? + А22) + я\Х2. (18)

Коэффициенты уравнений (17), (18) указаны в табл. 3 и табл. 4 соответственно.

Таблица 3

Т 1 ЛТ Коэффициенты уравнения (17)

а Ь 0 Р Я

500 12,83 -6,11 3,45 -0,59 0,19

1000 14,25 -6,20 3,49 -0,60 0,20

1500 15,11 -6,29 3,55 -0,61 0,19

2000 15,75 -6,40 3,62 -0,62 0,20

3000 16,53 -6,36 3,59 -0,62 0,19

5000 17,57 -6,40 3,63 -0,62 0,19

Таблица 4

Значения коэффициентов регрессионных моделей для определения тзап

Т 1 ЛТ Коэффициенты уравнения (18) для расчета т зап

а' \ Ь / 0 / Р / Я

500 -17,92 55,36 -36,87 6,42 0,74

1000 -23,88 69,25 -46,05 8,03 0,91

1500 -27,56 77,74 -51,66 9,01 1,01

2000 -30,16 83,65 -55,54 9,69 1,08

3000 -34,22 92,67 -61,38 10,70 1,14

5000 -38,28 102,44 -67,91 11,85 1,28

Хотя результаты, получаемые с помощью соотношений (17), (18), имеют значительную погрешность (в некоторых точках она может достигать 10 %), но на практике особой роли это не играет, учитывая, что и статистические характеристики самого контролируемого случайного процесса известны лишь приближенно.

Для практической реализации процедуры синтеза контролирующего алгоритма пользователь должен обладать исходной информацией о значениях коэффициентов корреляции р0 , р1 и выбрать подходящее значение среднего интервала между ложными тревогами ТЛТ . При его выборе должны быть приняты во внимание как возможные потери, связанные с появлением ложного сигнала о наличии разладки, так и степень опасности дли-

тельной задержки в ее выявлении. Далее должны быть осуществлены описанные выше операции по получению значений ^ , и найден с помощью соотношения (17) решающий порог Н. Формула (18) позволит оценить тзап , т.е.быстродействие алгоритма. Кроме того, необходимо найти формулы преобразования исходных наблюдаемых значений вида (15), (16). Они необходимы для расчета значений решающей функции с помощью соотношений (4), (11) при функционировании алгоритма в рабочем режиме.

Выводы. Рассмотрена задача построения алгоритма кумулятивных сумм, предназначенного для обнаружения спонтанного изменения (разладки) векторного случайного процесса в виде скачкообразного изменения элементов его корреляционной матрицы. Приведены основные соотношения, описывающие предложенный алгоритм обнаружения разладки. Обсуждена проблема получения исходной справочной информации, необходимой для синтеза контролирующего алгоритма с заданными свойствами. Предложено для решения этой проблемы использовать предварительное линейное преобразование значений наблюдаемого временного ряда, обеспечивающее одновременное преобразование корреляционной матрицы до разладки к единичному виду, а корреляционной матрицы при разладке - к диагональному. Для двумерного случая методом имитационного моделирования с использованием указанного линейного преобразования получены справочные данные, позволяющие синтезировать контролирующий алгоритм с заданными значениями среднего интервала между ложными тревогами и оценить среднее время запаздывания в обнаружении разладки заданной величины.

Список литературы

1. Димаки А.В., Светлаков А. А. Применение алгоритма кумулятивных сумм при рекуррентном оценивании параметров нестационарных объектов управления // Научно-технические ведомости СПбПУ. Естественные и инженерные науки, 2012. Выпуск 2 (145). С. 100 - 104.

2. Елисеев В. Л., Филаретов Г.Ф. Методика синтеза нейросетевой системы управления нестационарным объектом // Вестник МЭИ. 2010. №3. С.100-106.

3. Мазалов В.В., Никитина H.H. Метод кумулятивных сумм для обнаружения вторжений и борьбы с ними // Программирование, 2014. № 6. С. 54 -61.

4. Antony Hilliard, Greg A. Jamieson. Recursive Estimates as an Extension to CUSUM-based Energy Monitoring & Targeting // ACEEE Summer Study on Energy Efficiency in Industry, 2013. P. 4-1 - 4-13.

5. Olatunde A. Adeoti. Application of Cusum Control Chart for Monitoring HIV/AIDS Patients in Nigeria // International Journal of Statistics and Applications 2013, 3(3). P. 77-80.

6. Spandan Mishra, O. Arda Vanli, Chiwoo Park. A Multivariate Cumulative Sum Method for Continuous Damage Monitoring with Lamb-wave Sensors // International Journal of Prognostics and Health Managevent, 2015. 11 p.

7. Shafid Ahmad. Bibliometric Analysis of EWMA and CUSUM Control Chart Schemes // ITEE Journal. Volume 7. Issue 2. 2018. P. 1 - 11.

8. Liu L., Zhong J., Ma Y. A Multivariate Synthetic Control Chart for Monitoring Covariance Matrix Based on Conditional Entropy. In: Qi E., Shen J., Dou R. (eds) // The 19th International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management. Springer, Berlin, Heidelberg. 2013. P. 99 - 107.

9. Сивова Д.Г., Филаретов Г.Ф. Последовательный алгоритм обнаружения момента изменения характеристик векторных временных рядов // Вестник МЭИ, 2014. №2. С. 63 - 69.

10. Page E.S. Continuous inspection schemes // Biometrika, 1954. V. 41. №1. P. 100 - 115.

11. Никифоров И.В. Последовательное обнаружения изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983. 199 c.

12. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // Доклады АН CCCP. 1961. Т. 138. № 5. С. 1039 -1042.

13. Филаретов Г.Ф., Симоненков П.С. Алгоритм кумулятивных сумм для обнаружения изменений ковариационной матрицы многомерных временных рядов // Вестник МЭИ. 2020. № 3. С. 92-101.

14. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1975. 390 с.

Филаретов Геннадий Федорович, д-р техн. наук, профессор, gefefiayandex. ru, Россия, Москва, Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Симоненков Павел Сергеевич, аспирант, c-maoamail. ru, Россия, Москва, Национальный исследовательский университет ««МЭИ»

ALGORITHM FOR CHANGE DETECTING IN THE CORRELA TION CONNECTIONS BETWEEN THE COMPONENTS OF THE VECTOR RANDOM PROCESS

G.F. Filaretov, P.S. Simonenkov

This work is devoted to the construction of a controlling algorithm designed for operational, i.e. in rhythm with the arrival of measurement data, detecting changes in the probability characteristics («disorder» of a vector random process, when the disorder is associated with a stepwise change in the correlation between the components of this process. To solve this problem, it is proposed to use a suitably adapted cumulative sum algorithm (CUSUM algorithm). The basic relationships describing the proposed algorithm for disorder detecting are given. The problem of obtaining the reference data necessary for the synthesis of a controlling algorithm with given properties is discussed.

Key words: vector random process, detection of changes in the elements of the correlation matrix, CUSUM-algorithm, synthesis of control algorithm.

Filaretov Gennady Fedorovich, doctor of technical sciences, professor, gefefiayandex. ru, Russia, Moscow, National Research University «MPEI»,

Simonenkov Pavel Sergeevich, postgraduate, c-maoamail. ru, Russia, Moscow, National Research University «MPEI»

УДК 681.513.5

СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫМ ПРОЦЕССОМ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ И НА МИНИМУМ

РЕСУРСОВ

В.С. Хорошавин

Рассматривается качественная связь алгоритмов оптимальных управлений по критериям быстродействия и на минимум ресурсов в зависимости от математических описаний объекта, учитывающего динамику исполнительного механизма и нелинейность регулирующего органа, и критерия, учитывающего поступление энергии в систему. Для объекта, нелинейного по координатам с линейным управлением, используется принцип максимума Понтрягина, дополненный аппаратом условий общности положения для нелинейных объектов. Показано, что алгоритмы управлений совпадают, если критерий на минимум ресурсов физически адекватно отражает поступление энергии в систему.

Ключевые слова: быстродействие, энергоресурсы, принцип максимума Понтрягина, особое управление, условия общности положения для нелинейных объектов.

Минимизация временных, материальных и энергетических затрат -важнейшие народно-хозяйственные задачи, которые в приложениях теории оптимального управления формулируются как задачи быстродействия и на минимум ресурсов (ресурсо- и энергосбережения). Известны крайние точки зрения на связь решения этих задач - от противоречия быстродействия и энергосбережения [1] до их полного совпадения [2]. Известны также сравнительные анализы выполнения критериев быстродействия и энергозатрат при управлении реальными тепловыми процессами в металлургии [3] и теплоснабжении [4]. В данной работе показывается, при каких условиях в функциональном описании объекта и задании критерия на минимум ресурсов с позиций возникновения особых (вырожденных) [5,6] в смысле принципа максимума Понтрягина [7] ситуаций алгоритмы оптимального управления по быстродействию и на минимум ресурсов совпадают или различаются.

Материалы и методы. Как известно [5,6], источником особых ситуаций, когда принцип максимума Понтрягина [7] не позволяет однозначно определить оптимальное управление, являются задачи с линейным вхождением управления. Так, для нелинейного по состояниям объекта с линейным управлением вида