Алгоритм нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.8

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВОЗМУЩЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ

С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин

Статья является продолжением работ, связанных с разработкой неитерационного численного метода, позволяющего находить значения первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации. Трудность использования метода РС без непосредственного решения систем нелинейных уравнений связана с выражением значений собственных функций возмущенных дискретных операторов из произведения собственной функции возмущенного оператора на ее сопряженную. В работе предложен вычислительно эффективный алгоритм, позволяющий обойти эту сложность. Разработанная методика была проверена на примере спектральной задачи нахождения значений собственных функций возмущенного оператора Лапласа. Из результатов вычисления видно, что найденные значения собственных функций хорошо согласуются с результатами, полученными известными методами А.Н. Крылова и А.М. Данилевского.

Ключевые слова: собственные числа, собственные функции, <взвешенные» поправки теории возмущений, самосопряженные операторы.

Введение

Многие задачи прикладной математики приводят к проблеме нахождения собственных функций возмущенных самосопряженных операторов [1 — 3].

Теоретические основы нахождения значений первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом РС изложены в работе [4]. Следуя ей, рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с областью определения О С Н. Пусть {Ап}«= і - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {^п(х)}^=1 - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам. Обозначим через ип кратность собственного значения Ап оператора Т, а количество всех неравных друг другу собственных значений

\ Гр Гр |АП0 + 1 + АП0 1

Ап оператора Т , которые лежат внутри окружности 1п0 радиуса рП0 = --------------- с цен-

тром в начале координат комплексной плоскости, через По. Пусть {^п}^=1 - собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для всех п > По выполняются неравенства

2ІІРII по

дп = —-------- —- < 1, тогда значения первых то = ^ ип собственных функций {ип(х)}т01

\А^n+vn — Ап\ п= 1

оператора Т + Р находятся из уравнений вида

1 ^

Пп(х)йп(у) = — [АпУп(х)ип(у) + ^2[а('к\п,х,у) - а(})(п - 1,х,у)}), х,у Є О (1). ^ (=1

Здесь а(\по,х, у) = / А[Кт(х, гк, А) о РХк}к о Кт(гк, у, А)с!А - к - ые поправки теории

Т„о

возмущений к «взвешенной> спектральной функции оператора Т + Р первого порядка;

(К о Р о 0)(х,у,Х) = / К(х,х,\)Рг<^(г,у, \)д,г; Кт(х,у,Х) - ядро резольвенты Е\(Т)

в

оператора Т.

В случае, когда в уравнениях (1) значения аргументов х и у совпадают, то из (1) можно найти только и2(х). Поэтому, надо построить алгоритм, позволяюший обойти эту сложность.

1. Алгоритм нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов

Обозначим правую часть (1) через фп(х,у):

ип(х)ип(у) = <рп(х, у). (2)

Для того, чтобы найти значения ип(х) используя (2), воспользуемся следующей схемой. Проиллюстрируем ее, для простоты, в случае, когда собственные функции {ип(х)}т=01 оператора Т + Р являются функциями двух переменных. Разобьем область определения

оператора Т + Р на т2 узлов с координатами (хі, уі), і, і = 1, т. Тогда

ип(хіі ,уіі )ип (хІ2 ,уІ2 ) = фп(хіі ,уіі , хІ2 ,у]2 ), і1,3і,і2,32 = 1,т- (3)

Из (3) в узловых точках (хі,уі) и (х+1,у і) имеем:

ип(хі,у і )ип(хі+1,у і ) = фп(хі,уі ,хі+1,у і )• (4)

Отсюда

— І \ _і_1фп(хі,у і ,хі+1,у і) . -т- .

и,п(хі+1,уз ) = ± , і = 1,т - 1, і = 1, т.

у фп(хі, уі, хі, уі)

Необходимо определить знак значений собственных функции. Для этого будем следить за произведениями вида ип(хі,уі)ип(хі+1,уі) и ип(хі,уі)ип(хі,уі+1). Первое является значением произведения п-й собственной функции в соседних узлах относительно оси Ох. Второе - относительно оси Oy. Очевидно, что если действительная часть произведения ип,(хі,уі)йп(хі+1,у ^) будет отрицательной, то в точках (хі,у і) и (хі+1,уі) значения функции ип будут принимать разные знаки. Таким образом, просматривая значения произведений в каждом узле можно отследить изменение знака значений собственных функций.

Вначале, для определенности, все значения ип(хі,у і), і, і = 1,т считаем положительными. Введем вспомогательный коэффициент £, равный 1 или -1, в зависимости от знака действительных частей произведений ип(хі1, у і1 )ип(хі2, у і2). Умножим ип(хі,у і) на £, проходя через каждый узел дискретизации. Вначале каждого просмотра узлов относительно оси Ох, т.е. при каждом і = 1, значение £ считаем равным -1. Просмотрим знак действительной части произведения ип(хі, уі)ип(хі+1, уі) двигаясь в направлении оси Ох. Если значение действительной части ип(хі, у і)ип(хі+1,у і) отрицательное, то знак коэффициента £ меняется на противоположный.

Затем, подобные операции со значениями ип(хі,у і) проводим, двигаясь вдоль оси Оу, рассматривая произведения вида ип(хі,уі')йп(хі,уі+і). Чтобы не менять уже измененные на предыдущем этапе значения ип(хі,у і), перед началом просмотра каждого узла вдоль оси Оу (при і = 1) считаем £ = 1.

2. Возмущенный оператор Лапласа

Пусть оператор Т = —А задан на прямоугольнике П = [0, а] х [0, Ь] с границей Г. Здесь д2 д2

А = - оператор Лапласа. В качестве возмущения Р возьмем оператор умножения

дх2 ду2

на функцию р(х,у), определенную на прямоугольнике П.

Рассмотрим спектральную задачу

(T + P)p = вр, p € Dt. (5)

Dt = {p | p € C2(П)р| C[П], Ap € L2[П] : p|r = o}.

Собственные числа Xnk и собственные функции vnk оператора T имеют вид:

2(n2 k2\ , . 2 nnx kny

Лпк = п + -TW , Vnk(x, y) = sin-sin - , n,k € N.

\a2 b2) y/ab a b

Система собственных функций [упк }П'к=1 образует базис пространства [П]. В случае, а2

если —- иррациональное число, то оператор Т имеет однократный спектр.

Ь2

Пронумеруем собственные числа (Лпк}П,к=1 оператора Т одним индексом в порядке возрастания их действительных частей.

Собственные числа оператора Т+Р будем искать по формулам, полученным в работе [5]; суммы функциональных рядов Рэлея-Шредингера - путем суммирования «:взвешенных> поправок теории возмущений по формулам из работы [4]. Значения собственных функций ип(х) вычисляются по алгоритму описанному, в главе 1.

В таблице приведены результаты вычисления значений некоторых собственных функций спектральной задачи (5) методом РС ип(х,у) и известными методами ип(х,у). Причем значения четвертой собственной функции щ(х,у) вычислены по методу А. Н. Крылова, а десятой Ию(х,у) - по методу А. М. Данилевского. Аргументы х и у изменяются с шагом

0,11.

Проведенные расчеты показывают, что результаты вычислений, полученные методом РС и известными методами, хорошо согласуются.

Таблица

Значения ип(х,у) и ип(х,у) для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при

а = П, Ь = 1 и р(х, у) = (1 + г)ху2

x y W4(x,y) U4(x,y) 4т > 1 U4—U4 U4 %

0, 22 0, 22 — І, 8Б4622ІБ + 0, ООБІ7426і — І,8ББ24І42 + 0,004БІБ47І 0, 0006І7ББ 0, 033298

0, 22 0, 33 — І, 6Б0702З6 + 0, 0084І8Б7І — І,6Б0820Б2 + 0,00829097І 0, 000ІІ7БІ 0, 007ІІ9

0, 22 0, 44 —0, 6864З24Б + 0, 0І0Б2082І —0,68Б87470 + 0,0ІІІ86І2І 0, 000Б47І6 0, 079764

0, 22 0, ББ 0, Б9Б48727 + 0, 0І0З9І97І 0, Б96220З8 + 0,0І097І7ЗІ 0, 00074338 0, І248І7

0, 22 0, 66 І, 60684349 + 0, 0082ЗБ9БІ І, 60699І08 + 0,008З66І0І 0, 000І482Б 0, 009226

0, 22 0, 77 І, 88364206 + 0, 00Б22878І І, 88299І42 + 0,004Б99І2І 0, 0006Б227 0, 034640

0, 33 0, 22 — І, 7ББ47279 + 0, 00Б8Б729І — І, 7БББ40І0 + 0,00Б774І9І 0, 00006704 0, 00З8І9

0, 33 0, 33 — І, Б6З62087 + 0, 0076З64БІ — І,Б6З7БЗ9З + 0,007БЗ074І 0, 000ІЗ2Б4 0, 008476

0, 33 0, 44 —0, 6Б26226З + 0, 007З909ІІ —0,6Б26082Б + 0,007467З0І 0, 0000ІЗБ2 0, 00207І

0, 33 0, ББ 0, ББ92Б29Б + 0, 00Б09Б04І 0, ББ94687Б + 0,00БЗ8079І 0, 0002І847 0, 039063

0, 33 0, 66 І, БІ600І09 + 0, 0020044БІ І, БІ6І47Б9 + 0,002206З7І 0, 000І4678 0, 009682

0, 33 0, 77 І, 77872642 — 0, 00024662І І, 778Б7З0І — 0,000З6З4БІ 0, 000ІБЗЗ8 0, 008624

0,44 0, 22 —0, 9І7428БІ + 0, 00Б6Б09БІ —0,9І68З89І + 0,0062Б627І 0, 000Б8Б6Б 0, 063876

0,44 0, 33 —0,8І9ІІ8І0 + 0, 004ЗІ6Б2І —0,8І92480З + 0,00424З29І 0, 000І29Б4 0, 0ІБ8І4

x у U4(x,y) U4(x,y) | U 4 — ^41 b4—U4 U4 %

0,44 0, 44 —0, З4Б4898б + 0,000ЗБ8Б1І —0,З4611Б42 — 0,0002БЗБ4І 0,00062Б46 0,181037

0,44 0, ББ 0, 28бЗ0З12 — 0,00416Б61І 0, 28Б87444 — 0,00440787І 0,00042Б01 0,1486Б1

0,44 0, бб 0, 78бББб70 — 0, 00692116І 0, 78667872 — 0,00б7Б1ббі 0,000120Б4 0,01БЗ24

0,44 0, 77 0, 92ББ446Б — 0,00678249І 0, 92Б9969Б — 0,006ЗЗ879І 0,00044914 0,048Б2Б

0, ББ 0, 22 0, 30817228 + 0,00БЗ04ЗЗІ 0, З089З77Б + 0,00612706І 0,000780Б7 0, 2БЗ2Б4

0, ББ 0, 33 0, 27090478 + 0,000бб82бі 0, 27077738 + 0,000Б7ббБІ 0,00012760 0,04712Б

0, ББ 0, 44 0,1071117Б — 0, 00646187і 0,10631389 — 0,00716129І 0,0007Б168 0, 70Б444

0, ББ 0, ББ —0,10688190 — 0,0116БЗ72І —0,10747606 — 0,0126БББЗІ 0,00070З2Б 0, 6Б4097

0, ББ 0, бб —0, 272Б2829 — 0,01220819І —0,27241161 — 0,012З2З08І 0,00011139 0,040849

0, ББ 0, 77 —0,З1479Б29 — 0,00888249І —0, 31417934 — 0,00842491І 0,00062831 0,199912

0, бб 0, 22 1,40671889 + 0,00Б11914І 1,40703142 + 0,00Ббб817і 0,00031463 0,022366

0, бб 0, 33 1, 24882924 — 0,001Б7З77І 1, 24869Б74 — 0,00170729І 0,00013332 0,010676

0, бб 0, 44 0, Б1БЗ9Б26 — 0,00989967І 0, Б14867ББ — 0,009216Б2І 0,000Б4029 0,104921

0, бб 0, ББ —0,4Б46Б229 — 0,01З72646І —0,4ББ48726 — 0,01640268І 0,00092З0Б 0, 202931

0, бб 0, бб — 1,21Б71626 — 0,01094009І — 1, 21Б70Б96 — 0,12127772І 0,00000097 0,000079

0, бб 0, 77 — 1,420Б8Б18 — 0,0049276БІ — 1,42042301 — 0,00БЗ9Б09І 0,00016047 0,011297

x У Uio(x, y) wio(x,y) о is 1 о bio— U10 U10 %

0, 22 0, 22 0,44112479 — 0,00104674І 0,4411ббб0 + 0,0000Б617І 0, 00470Б 0,00919Б

0, 22 0, 33 — 1,01168026 — 0,001ЗБ114І — 1,01170379 + 0,0000З890І 0, 0029Б1 0,002236

0, 22 0, 44 —0, 820178Б8 — 0,00149З0БІ —0,82027Б41 — 0,00000449І 0, 000Б61 0,011639

0, 22 0, ББ 0, 704З8Б00 — 0,001489З8І 0, 7042946Б — 0,000049З8І 0, 00З9Б8 0,01З0Б2

0, 22 0, бб 1,08414601 — 0,001ЗЗ969І 1,084168Б1 — 0,00006744І 0, 00Б72З 0,001999

0, 22 0, 77 —0, 29822374 — 0,0010З481І —0,29807Б08 — 0,0000Б498І 0, 00БЗБ6 0,0Б047Б

0, 33 0, 22 0, 60087708 + 0,00б4бББ9і 0, 60162097+ 0,0001З244І 0, 004116 0,118007

0, 33 0, 33 — 1, 37948490 + 0,0096Б086І — 1,З794770Б + 0,00010186І 0, 004028 0,003016

0, 33 0, 44 — 1,11768027 + 0,01166907І — 1,11849100 + 0,00000684І 0, 000749 0,067084

0, 33 0, ББ 0, 9612Б69З + 0,011бббЗ8і 0, 96031290 — 0,0001069ЗІ 0, 00101Б 0,10Б67Б

0, 33 0, бб 1,478БЗ26Б + 0,0096Б187І 1,4782Б918 — 0,00017002І 0, 000З0Б 0, 206301

0, 33 0, 77 —0,40706БЗ1 + 0, 64980922І —0,406Б297З — 0,0001Б91ЗІ 0, 000Б87 0,014449

0,44 0, 22 0, 69Б4407З + 0,006716Б9І 0, 69719428 + 0,0002З809І 0, 001721 0, 247479

0,44 0, 33 — 1,Б98З8607 + 0,01127991І — 1,Б98З4887 + 0,00019016І 0, 000077 0,004817

0,44 0, 44 — 1,29419004 + 0,0144ЗЗ7ЗІ — 1,29Б997Б0 + 0,0000264З1І 0, 001727 0,133432

0,44 0, ББ 1,11468ЗБ4 + 0,014З1017І 1,11267021 — 0,000180З1І 0, 00210Б 0,189201

0,44 0, бб 1, 71316278 + 0,01094821І 1, 71276816 — 0,000311ббі 0, 000429 0,02Б081

0,44 0, 77 —0,47262409 + 0,006З07З9І —0,47117343 — 0,000З1З46І 0, 001493 0, 316792

0, ББ 0, 22 0, 71480911 — 0,00112З27І 0, 717ББ22З + 0,000З4171І 0, 002742 0, 383644

0, ББ 0, 33 — 1, 64476930 + 0,0019929БІ — 1,64471619 + 0,00027907І 0, 0000Б4 0,003302

0, ББ 0, 44 — 1, 33087921 + 0,00476198І — 1,33364249 + 0,00004782І 0, 0027ББ 0, 206987

0, ББ 0, ББ 1,14787932 + 0,0044802ЗІ 1,14493842 — 0,00024629І 0, 002949 0, 2Б7622

0, ББ 0, бб 1, 7626907Б + 0,00120961І 1, 76241443 — 0,0004Б047І 0, 000277 0,01Б699

0, ББ 0, 77 —0,48763264 — 0,00218809І —0,48Б00177 — 0,00047419І 0, 0026ЗБ 0, Б4З409

0, бб 0, 22 0, 6Б708899 — 0,006174З9І 0, 66046792 + 0,000410Б9І 0, 00ЗЗБ0 0, Б09809

0, бб 0, 33 — 1,Б1З66802 — 0,00401102І — 1,Б1ЗБ9942 + 0,000ЗЗ196І 0, 000074 0,004882

0, бб 0, 44 — 1,22400428 — 0,001468З1І — 1, 22736822 + 0,00006069І 0, 003363 0, 2747Б9

0, бб 0, ББ 1,0Б717Б2З — 0,001761З8І 1,0БЗ6ББ11 — 0,000280Б6І 0, 00ЗБ22 0, 334222

0, бб 0, бб 1, 62206977 — 0,0048Б41ЗІ 1, 62187863 — 0,000БЗЗ02І 0, 000198 0,012228

0, бб 0, 77 —0,44986628 — 0,007З9З17І —0,44648064 — 0,000Б798БІ 0, 003446 0, 771816

Заключение

Разработан неитерационный метод нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узлах дискретизации. Метод используется без непосредственного решения систем нелинейных уравнений, что упрощает вычислительный процесс. Проведенные численные рассчеты показали их надежность и вычислительную эффективность по сравнению с известными методами Крылова А.Н. и Данилевского А.М.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, А.А. Баязитова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия «Физ.-мат. науки». - 2009. - №1(18). - С. 6-17.

2. Свиридюк, Г.А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. За-гребина, П. О. Пивоварова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия «Физ.-мат. науки». -Самара, 2010. - № 1(15). - С. 6-15.

3. Кожанов, А.И. Линейные обратные задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа / А.И. Кожанов // Вестн. ЮУрГУ, Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - №5 (264), вып. 11. — С. 33-45.

4. Кадченко, С.И. Нахождение значений первых собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Вестн. ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - №5 (264), вып. 11. - С. 25-33.

5. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полу-ограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Вестн. ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2011. - №17 (234), вып. 8.

- С. 46-51.

Кадченко Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника», Магнитогорский государственный университет (г. Магнитогорск, Российская Федерация), kadchenko@masu.ru.

Какушкин Сергей Николаевич, аспирант, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника», Магнитогорский государственный университет (г. Магнитогорск, Российская Федерация), kakushkin-sergei@mail.ru.

MSC 47A75

The Algorithm of Finding of Meanings of Eigenfunctions of Perturbed Self-Adjoin Operators Via Method of Regularized Traces

S.I. Kadchenko, Magnitogorsk State University (Magnitogorsk, Russian Federation), S.N. Kakushkin, Magnitogorsk State University (Magnitogorsk, Russian Federation)

The article is a continuation of the work, which accordance with development numerical noniterations method, allowing to find meanings of first eigenfunctions perturbed self-adjoin operators in the nodes of the sampling. Difficulty of the using method RT without direct decision of the systems of the nonlinear equations connected with expression of meanings of eigenfunctions of perturbed discrete operators from product the eigenfunction of the perturbed operator on its associate. In this work is offered computing efficient algorithm, allowing avoid this difficulty. The designed methods was checked on example of the spectral problem of the finding of meanings of eigenfunctions of perturbed Laplas’s operator. From result of the calculation is seen that found meanings of eigenfunctions well agree with result, got by well-known methods by A. N. Krylov and A. M. Danilevskiy.

Keywords: eigenvalues, eigenfunctions, <weighted» corrections of the perturbation theory, self-adjoin operators.

Литература

1. Sviridyuk G.A., Bayazitova A.A. About Direct and Inverse Problems for the Equations of Hoff on the Graph [O pryamoy i obratnoy zadachah dlya uravneniy Hoffa na grafe]. Vestn. Sam. gos. tehn. un-ta, Ser. fiz.-mat. nauki [The Bulletin of the Samara State Engineering University, Series of Physical and Mathematical Sciences], 2009, no. 1 (18), pp. 6-17.

2. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A., Pivovarova P.O. Stability of the Hoff’s Equations on the Column [Ustoychivost’ uravneniy Hoffa na grafe]. Vestn. SamGTU. Ser.: Fiz.-mat. nauki [The Bulletin of the Samara State Engineering University, Series of Physical and Mathematical Sciences], 2010, no. 1 (15), pp. 6-15.

3. Kozhanov A.I. Linear Inverse Problems for a Class of Degenerate Equations of Sobolev Type. Bulletin of South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software», 2012, no. 5 (264), issue 11, pp. 33-45. (in Russian)

4. Kadchenko S.I., Kakushkin S.N. Meanings of the First Eigenfunctions of Perturbed Discrete Operator with Simple Spectrum Finding. Bulletin of South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software», 2012, no. 5 (264), issue 11, pp. 25-33. (in Russian)

5. Kadchenko S.I., Ryazanova L.S. The Numerical Method of Finding Eigenvalues of the Discrete Semi Bounded From Below Operator. Bulletin of South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software», 2011, no. 17 (234), issue 8, pp. 46-51. (in Russian)

Поступила в редакцию 27 июня 2012 г.