CC BY
22
С. Н. Ефимов,
кандидат технических наук, доцент
В. А. Терсков,
доктор технических наук, профессор
О. Ю. Серикова
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ С ЗАДАННОЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ АППАРАТНО-ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА СИСТЕМ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ
ALGORITHM FOR FINDING THE PROBABILITY OF FUNCTIONING WITH A TARGETED PERFORMANCE OF INFORMATION PROCESSING COMPUTER APPLIANCES FOR REAL TIME SYSTEMS
Статья посвящена разработке алгоритма нахождения вероятности функционирования аппаратно-программного комплекса произвольной конфигурации с заданной производительностью для систем управления реального времени. На первом шаге алгоритма с помощью построенной математической модели производительности определяем минимальную конфигурацию многопроцессорной вычислительной системы, обеспечивающую требуемый уровень производительности. Далее, учитывая возможные отказы элементов вычислительной системы, наращиваем архитектуру вычислительной системы (количество процессоров, количество шин интерфейса) до получения требуемой вероятности функционирования с заданной производительностью.
The article is devoted to the development of an algorithm for finding the probability of functioning of a information processing computer appliances of arbitrary configuration with a given performance for real-time control systems. At the first step of the algorithm, using the constructed mathematical model of performance, we determine the minimum configuration of a multiprocessor computing system that provides the required performance level. Further, taking into account the possible failures of the elements of the computing system, we increase the architecture of the computing system (the number of processors, the number of interface buses) until the required probability of functioning with a given performance is obtained.
Введение. Система реального времени (СРВ) — это аппаратно-программный комплекс (АПК), который решает задачи управления различными процессами в условиях временных ограничений. К процессу функционирования АПК СРВ предъявляются высокие требования по производительности, т.к., как правило, СРВ управляет критически важными процессами: управление воздушным движением, военные операции, управление опасными производствами и т. п. И эти требования постоянно возрастают из-за усложнения объектов управления [1].
Традиционно оценка производительности вычислительных систем осуществляется путём создания опытных образцов и их эксплуатации при решении типовых тестовых задач. Применение данного подхода на ранних стадиях проектирования аппаратно-программного комплекса трудно осуществимо и приводит к значительным затратам времени и ресурсов. Более целесообразным является создание математических моделей, что позволяет рассматривать множество существенно отличающихся друг от друга вариантов аппаратно-программного комплекса без больших затрат и за короткое время, что, в свою очередь, делает возможным оптимизацию архитектуры аппаратно-программного комплекса [2].
Основная часть. Рассмотрим способ определения вероятности функционирования АПК с заданной производительностью на примере многопроцессорной вычислительной системы (МВС) с произвольным количеством разнородных процессоров и од-ношинным интерфейсом.
В известной математической модели оценки производительности [3] для суммарного потока запросов на обслуживание, поступающего в случайные моменты времени от процессоров /-го типа в оперативную память, предполагается, что интервал времени между двумя любыми смежными заявками подчиняется пуассоновскому закону распределения с параметром V. Кроме того, полагаем, что интервал времени между двумя смежными обслуживаниями подчиняется экспоненциальному закону распреде-
V
ления с параметром V. Интенсивность нагрузки шины р = — .
V
Вычислительная система рассматривается как система массового обслуживания (СМО). Состояния, в которых может находиться рассматриваемая система, обозначены
как а . JN . При этом в системе находится запросов от процессоров /-го типа, где
__Г N \
7г < mi, г = 1, N, шина занята обслуживанием, I ^ ], -1 запросов находятся в очередях
V г =1 У
на обслуживание.
Составляя систему уравнений Колмогорова — Чепмена, получаем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, в которых может находиться рассматриваемая СМО. Для стационарного режима приравниваем к нулю производные вероятностей. В полученной системе заменим любое уравнение условием нормировки (сумма всех вероятностей состояний СМО равна единице). Теперь можно получить выражение для предельных вероятностей состояний:
N
ПРг
р _ 1 =1
"Л.] 2.-. ^ __ N
Е П ^
■ 7л- 1=1
]1 =0.т,
]2 = 0,т2 = 0.^
Производительность МВС зависит от общего количества запросов, находящихся в очереди на обслуживание, которое характеризуется величиной средней длины очереди Тср, и от коэффициентов относительных потерь производительности для процессоров каждого типа $ [4].
Общее количество запросов, находящихся в очереди, можно определить, используя понятие совокупности стационарных вероятностей РТ:
т1 т2 mN N
рь = Е Е • • • Е р],]2...]», где Е ] = к
] =0 ] 2 = 0 ] N =0 1=1
к? = Е р •к, где М = Е т,;
ь=1 ,=1
Т т
в, = 1, Т01 + т I
где Т01 — среднее время выполнения одной команды процессором 1-го типа и ъ — время обслуживания памятью запроса процессора 1-го типа.
Тогда производительность МВС можно определить, используя выражение
N т
т-т ■г—' т.
П=Е/• (1)
,=1в,
Данная модель может быть использована для определения минимальной конфигурации многопроцессорной системы, то есть такой ее конфигурации, производительность которой достаточна для выработки программным обеспечением управляющего воздействия за требуемое время.
Модель производительности многопроцессорной вычислительной системы, описанная выше, не учитывает возможного снижения производительности (деградации системы управления) за счет возможных отказов различных элементов аппаратного обеспечения. На практике при проектировании аппаратно-программных комплексов систем управления реального времени этот аспект нельзя игнорировать, так как уменьшение производительности из-за выхода из строя даже одного из процессоров может привести к невозможности выработки управляющего воздействия за требуемое время, что для систем реального времени является неприемлемым.
На втором шаге алгоритма для решения поставленной задачи обеспечения требуемой вероятности работы АПК с нужной производительностью рассмотрим более общую модель, учитывающую дополнительные состояния при функционировании системы управления, в которых не все процессоры и шины интерфейса являются исправными, а также переходы между состояниями, соответствующие выходам процессоров и шин из строя и восстановлению их работоспособности.
N
Процесс функционирования МВС рассматривается как последовательная смена состояний в некотором интервале времени At. Этот процесс может быть описан с помощью аппарата теории массового обслуживания.
Исследуемая МВС состоит из N типов процессоров, содержащих по т (г = 1^)
процессоров каждого типа. Процессоры объединяются с оперативной памятью посредством п шин, причем в предельном случае количество шин может быть равно количеству процессоров (полносвязный интерфейс). Количество блоков общей оперативной памяти (ОП) определяется её необходимым объемом.
Используя те же обозначения, что и ранее, введём некоторые новые. Пусть суммарный поток отказов процессоров всех типов и шин интерфейса подчиняется пуассо-новскому закону распределения с параметром А,, а время восстановления шин и процессоров /-го типа — экспоненциальному закону с параметром £ . Интенсивность
А
нагрузки каналов восстановления рг = — .
Процесс функционирования такой МВС представляется замкнутой СМО с ожиданием, которая может находиться в следующих состояниях:
аоо оо — все процессоры и шины интерфейса исправны. Вычислительная система работает с максимальной производительностью.
а — один процессор первого типа неисправен и восстанавливается. Все остальные процессоры и шины интерфейса исправны.
а0 0 0 1 — все процессоры исправны, одна шина интерфейса неисправна и восстанавливается.
аА1А2,...АыАы+1 — (т - А) процессоров первого типа исправны и участвуют в вычислительном процессе, а у 1 неисправны и восстанавливаются; (т2 - А) процессоров второго типа исправны и участвуют в вычислительном процессе, а у2 неисправны и восстанавливаются; ...; (mN — jN) процессоров ^го типа исправны и участвуют в вычислительном процессе, а jN неисправны и восстанавливаются; (п — jN+1) шин интерфейса исправны и участвуют в вычислительном процессе, а неисправны и восстанавливаются.
тнп — все процессоры и шины, входящие в состав вычислительной системы, неисправны и восстанавливаются. Вычислительный процесс остановлен.
Фрагмент графа состояний рассматриваемой СМО приведен на рис. 1.
Рис. 1. Фрагмент графа состояний системы массового обслуживания
Используя правила составления системы дифференциальных уравнений, запишем систему дифференциальных уравнений рассматриваемой СМО.
ИР (г) N +1
иГ0,0.....0,0 IV
Иг
= -X АР0,0,...,0,0 (г) + £Р,0,...,0,0 (г) + £2 Ро ,1,...,0,0 (г) + ■■■ + ^Р0,0,...х0 (г) +
г =1
+£N+1Р0,0 ,...,0,1 (г),
ИР (г) N+1
Л ^ ^1 =-Х(А +£ ) ,2:
Jl >3г У 1 Jl 1^2 ,...^N^N+1
-(г)
+... + £ЫРи,и,..., 1\г +1, ^и + £N+1Ри,и,..., 1\г,1\Т1 ,+1(г),
0) + АР„ - 1,Ь,..., А (г) + А2 ,А2 -1,...,АА (г) +
+... + ,А2,..., -1А+1 О) + АМ+1РЛ ,А2,...,Ам,АМ+Л-1(г + £1РА1 +1,А2,...,Ам,Ам+1 ^ + £2 А +1,...,А К,А к+1 0) +
т ,т2 ,...,тм ,п
(г)
Иг
АNPml ,т2 ,...,тн-
X 1 £1Рт1 ,т2 ,...,тм,п (г + А1Рт1 -1^т2 ,...,тм,п + А2Рт1 ,т2 -1,-.,т^,п + ...
+
1,п(г) + ^+1Рт1,т2,...,тЛГ,п-1() ■
Для стационарного режима, приравнивая производные вероятностей нулю, получим систему линейных уравнений:
г =1
N+1
-Е Лр0,0,...,0,0 (*) + £р1,0,...,0,0 (*) + р0,1,...,0,0 (*) + ... + ^р0,0,...,1.0 (*) +
1=1
+1р0,а... 0.1 0) 0.
N+1
-Е(Л, + £ ) Р]1, ]2] ]N+1 V + - ]2...,]] V + ¿2 ] ]2 -...,] 0) + ... +
+ ^РН ,]2 ,....]N-1,]^+1 + ^+1Р]1 ,^2 ,....]N,]N+1 + £1Р]1 +1,]2 ,...']N,]N+1 + р ]+\,...,]к ,]„+1 1 +
+... + йNPjl ^2 ,....] N+1]+1 ^ + **N +1Р11 ,У2,...У«,У«+1 = 0
.................................................................................................................. (2)
N+1
Е, ,т2 ,....тм ,п + >^1Рт1 — 1,т2 ,..,туу,п + ^2Ртх ,т2 -1,..,тд?,п + ''' +
1=1
+¿/NPml,m2,....mN-1,п(0 + +1Рщ ,т2 ,....тя ,п-1() = 0-
Система уравнений (2) имеет единственное решение с учетом условия нормировки.
Е р = 1.
( * ]1 .]2 .....]М .]м+1
] =0, М1
]2 =0, т2
]И=0,тм ]]+1 п
Решением системы уравнений (2) в общем виде является следующее выражение (доказательство здесь не приводится):
N+1 (т - ] ) |
П(т' ])!Р]
р = '== т1_. (3)
]1.]2.....]м.]м+1 N+1 (т _у Л |
Е п^-Р]
Л=0т 1=1 т11 ]2 = 0.т2
]М+1 = 0.п
С помощью полученного выражения (3) можно рассчитывать вероятности нахождения вычислительной системы в любых состояниях, связанных с отказами функционирования структурных элементов (процессоров и шин интерфейса).
При внесении аппаратной избыточности (по сравнению с минимальной конфигурацией МВС, обеспечивающей требуемый уровень производительности системы, полученной с использованием формулы (1)) в архитектуру АПК в СМО будут добавляться новые состояния, которые, во-первых, будут удовлетворять требованиям по производительности, а во-вторых, суммируясь с остальными удовлетворительными по производительности состояниями, будут увеличивать вероятность функционирования АПК с требуемым уровнем производительности до необходимого значения.
Пример реализации алгоритма. С помощью математической модели (1) рассчитаем производительность МВС, имеющей следующую конфигурацию: количество типов процессоров N = 3, количество процессоров первого типа т1 = 0^6, количество процессоров второго типа т2 = 1, количество процессоров третьего типа т3 = 2, количе-
1 =1
ство шин интерфейса п = 1. Остальные параметры вычислительной системы соответствуют [6]: Т01 = 0,66мкс, Т02 = 0,33мкс, Т03 = 57 мкс, т1 = г2 = 1,2 мкс, г3 = 256,512 мкс. Зададим требуемый уровень производительности П = 3,2.
На рис. 2 представлен график изменения производительности в зависимости от конфигурации МВС. При увеличении количества процессоров первого типа т1 производительность вычислительной системы вначале увеличивается, достигает некоторого предела, за которым дальнейшее увеличение количества процессоров приводит лишь к незначительному росту производительности либо даже к ее снижению. Это объясняется увеличением числа процессоров, ожидающих обслуживания, при возникновении конфликтов при обращении к памяти.
0 1 2 3 4 5 6
Количество процессоров т-1
Рис.2. Сравнение производительности МВС с различной конфигурацией:
т1 = 0^6, т2 = 1, т3 = 2, п = 1
По данному графику видно, что минимальная конфигурация, обеспечивающая пиковый уровень производительности не менее требуемого, содержит количество процессоров первого типа т1 = 3.
Дальнейшее увеличение количества процессоров (структурной избыточности) должно приводить к увеличению вероятности работы вычислительной системы с заданным уровнем производительности.
С помощью математической модели (3), с учетом возможных выходов из строя процессоров и шин интерфейса, рассчитаем вероятности работы рассматриваемых МВС с заданным уровнем производительности. Результаты вычислений сведены в таблицу.
Вероятность работы МВС с заданным уровнем производительности
Количество процессоров МВС (m1 , m2 , m3 ) (2, 1, 2) (3, 1, 2) (4, 1, 2) (5, 1, 2) (6, 1, 2)
Вероятность работы МВС с уровнем производительности П = 3,2 0 0,591 0,843 0,941 0,989
Заключение. Таким образом, в работе рассмотрен алгоритм нахождения вероятности функционирования с заданной производительностью аппаратно-программного комплекса систем реального времени.
На первом шаге алгоритма с помощью построенной математической модели производительности определяем минимальную конфигурацию многопроцессорной вычислительной системы, обеспечивающую требуемый уровень производительности. Далее, учитывая возможные отказы элементов вычислительной системы, наращиваем архитектуру вычислительной системы (количество процессоров, количество шин интерфейса) до получения требуемой вероятности функционирования с заданной производительностью.
В качестве дальнейших исследований рассматривается возможность решения задачи оптимизации выбора конфигурации АПК с помощью методов эволюционного программирования [7—10]. Методы эволюционного программирования необходимо применять в силу того, что вид получаемых функций достаточно сложен (целочисленные значения параметров, большая область допустимых значений, многоэкстремаль-ность, конкурирующие критерии оптимизации (производительность, стоимость)).
Полученные результаты могут быть использованы при разработке многопроцессорных вычислительных систем для аппаратно-программных комплексов систем реального времени, что позволит снизить затраты на создание и эксплуатацию спроектированной системы управления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Buttazzo G. Hard Real-Time Computing Systems: Predictable Scheduling Algorithms and Applications. — New York, NY : Springer, 2011.
2. Гинзбург В. И. Метод оценки характеристик производительности неоднородной и мультипроцессорной системы // Автоматика и вычислительная техника. — 1987. — № 3. — С. 60—65.
3. Ефимов С. Н., Терсков В. А. Реконфигурируемые вычислительные системы обработки информации и управления. — Красноярск : КрИЖТ ИрГУПС, 2013. — 249 с.
4. Methods of assessing the characteristics of the multiprocessor computer system adaptation unit / S. N. Efimov [et al.] // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2016. — Vol. 9. — № 3. — P. 288—295.
5. Kuhl J., Reddy S. Fault-Tolerance Considerations in Large, Multiple-Processor Systems // Computer. —1986. — March. — P. 56—67.
6. Терсков В. А., Ефимов С. Н. Аналитический метод оценки показателей производительности для параллельных вычислительных систем // Информационные технологии. — 2003. — № 7. — С.13—20.
7. Goldberg D. E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. — Reading, MA : Addison-Wesley, 1989.
8. Ефимов С. Н., Егоров А. С., Семенкин Е. С. Алгоритм генетического программирования с автоматически определяемыми функциями для выбора спецпроцессоров МВС интеллектуального анализа данных в режиме реального времени // Вестник Томского государственного университета. Серия : Математика. Кибернетика. Информатика.— 2006. — № 19. — С. 223—225.
9. Семенкин Е. С., Ефимов С. Н. Модели и алгоритмы автоматизации проектирования специализированных многопроцессорных вычислительных систем интеллектуального анализа данных в режиме реального времени // Вестник СибГАУ : сб. науч. тр. / под ред. проф. Г. П. Белякова. — Вып. 6 (13). — Красноярск, 2006. — С. 17—21.
10. Semenkin E., Semenkina M. Stochastic Models and Optimization Algorithms for Decision Support in Spacecraft Control Systems Preliminary Design // Informatics in Control, Automation and Robotics, Lecture Notes in Electrical Engineering. — 2014. — Vol. 283. — P. 51—65.
REFERENCES
1. Buttazzo G. Hard Real-Time Computing Systems: Predictable Scheduling Algorithms and Applications. — New York, NY : Springer, 2011.
2. Ginzburg V.I. Metod otsenki harakteristik proizvoditelnosti neodnorodnoy i multi-protsessornoy sistemyi // Avtomatika i vyichislitelnaya tehnika. — 1987. — # 3. — S.60—65.
3. Efimov S. N., Terskov V. A. Rekonfiguriruemyie vyichislitelnyie sistemyi obrabot-ki informatsii i upravleniya. — Krasnoyarsk : KrIZhT IrGUPS, 2013. — 249 s.
4. Methods of assessing the characteristics of the multiprocessor computer system adaptation unit / S. N. Efimov [et al.] // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2016. — Vol. 9. — # 3. — P. 288—295.
5. Kuhl J., Reddy S. Fault-Tolerance Considerations in Large, Multiple-Processor Systems // Computer. —1986. — March. — P. 56—67.
6. Terskov V. A., Efimov S. N. Analiticheskiy metod otsenki pokazateley proizvoditelnosti dlya parallelnyih vyichislitelnyih sistem // Informatsionnyie tehnologii. — 2003. — # 7. — S.13—20.
7. Goldberg D. E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. — Reading, MA : Addison-Wesley, 1989.
8. Efimov S. N., Egorov A. S., Semenkin E. S. Algoritm geneticheskogo programmi-rovaniya s avtomaticheski opredelyaemyimi funktsiyami dlya vyibora spetsprotsessorov MVS intellektualnogo analiza dannyih v rezhime realnogo vremeni // Vestnik Tomskogo gosudar-stvennogo universiteta. Seriya : Matematika. Kibernetika. Informatika. — # 19. — 2006. — S. 223—225.
9. Semenkin E. S., Efimov S. N. Modeli i algoritmyi avtomatizatsii proektirovaniya spet-sializirovannyih mnogoprotsessornyih vyichislitelnyih sistem intellektualnogo analiza dannyih v rezhime realnogo vremeni // Vestnik SibGAU : sb. nauch. tr. / pod red. prof. G. P. Belyakova. — Vyip. 6 (13). — Krasnoyarsk, 2006. — S. 17—21.
10. Semenkin E., Semenkina M. Stochastic Models and Optimization Algorithms for Decision Support in Spacecraft Control Systems Preliminary Design // Informatics in Control, Automation and Robotics, Lecture Notes in Electrical Engineering. — 2014. — Vol. 283. — P. 51—65.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Ефимов Сергей Николаевич. Доцент кафедры информационно-управляющих систем. Кандидат технических наук, доцент.
Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М. Ф. Решетнева. E-mail: efimov@bk.ru
Россия, 660037, г. Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий», 31. Тел. (983) 503-03-31.
Терсков Виталий Анатольевич. Профессор кафедры информационно-управляющих систем. Доктор технических наук, профессор.
Сибирский государственный университет науки и технологий им. акад. М. Ф. Решетнева. E-mail: terskovva@mail.ru
Россия, 660037, г. Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий», 31. Тел. (913) 520-67-31. Серикова Олеся Юрьевна. Аспирант.
Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал Иркутского государственного университета путей сообщения.
E-mail: olesyaserik@mail.ru
Россия, 660028, г. Красноярск, ул. Ладо Кецховели, 89. Тел. (923) 450-37-26.
Efimov Sergei Nikolaevich. Assistant Professor of the chair of Informational and Control Systems. Candidate of Technical Sciences,
Siberian State University of Science and Technology named after M. F. Reshetnev. E-mail: efimov@bk.ru
Work address: Russia, 660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31. Tel. (983) 503-03-31.
Terskov Vitalii Anatolyevich. Professor of the chair of Informational and Control Systems. Doctor of Technical Sciences , Professor.
Siberian State University of Science and Technology named after M. F. Reshetnev. E-mail: terskovva@mail.ru
Work address: Russia, 660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31. Tel. (913) 520-67-31. Serikova Olesya Yuryevna. Post-graduate student.
Krasnoyarsk Institute of Railway Transport, branch of the Irkutsk State University of Communications E-mail: olesyaserik@mail.ru
Work address: Russia, 660037, Krasnoyarsk, Krasnoyarsky Rabochy Av., 31. Tel. (923) 450-37-26.
Ключевые слова: аппаратно-программный комплекс; система реального времени; модель производительности; многопроцессорная вычислительная система.
Key words: hardware and software complex; real-time system; performance model; multiprocessor computing system.
УДК 004.3
