CC BY
15Научная статья УДК 004.89:53.088
ао1:10.24151/1561-5405-2022-27-4-539-549
Алгоритм компенсации остаточной погрешности определения псевдодальности при решении навигационной задачи в абсолютном режиме
В. О. Жилинский
Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва, Россия
ФГУП «ВНИИФТРИ», г. Москва, Россия vladzhilinsky@mail.ru
Аннотация. Активное развитие систем спутниковой навигации способствует росту точности навигационно-временных определений. Однако текущие характеристики глобальных навигационных спутниковых систем неспособны удовлетворить всем требованиям как существующих, так и перспективных потребителей. Погрешность определения координат местоположения в абсолютном режиме по кодовым измерениям в большей степени зависит от погрешности измерения псевдодальности, которая определяется текущим рабочим созвездием навигационных космических аппаратов и алгоритмом решения навигационной задачи. Для повышения точности решения навигационной задачи необходимо учитывать те составляющие погрешности определения псевдодальности, которыми раньше пренебрегали. В работе предложен алгоритм определения координат местоположения потребителя глобальной навигационной спутниковой системы, особенностью которого является возможность компенсации остаточной погрешности определения псевдодальности при решении навигационной задачи в абсолютном режиме. Компенсация погрешности реализована в виде модели регрессии, обученной методом градиентного бустинга. Представлены результаты построения модели и оценки ее ошибки при разном числе независимых переменных признакового описания, а также результаты сравнения эффективности применения модели для двух сценариев решения навигационной задачи. Эксперименты показали, что разработанный алгоритм компенсации остаточной погрешности определения псевдодальности с помощью построенной модели позволяет повысить точность определения координат местоположения до 25 % при работе по открытым сигналам системы ГЛОНАСС.
Ключевые слова: ГЛОНАСС, навигационный алгоритм, градиентный бустинг
Финансирование работы: работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 20-37-90016).
Для цитирования: Жилинский В. О. Алгоритм компенсации остаточной погрешности определения псевдодальности при решении навигационной задачи в абсолютном режиме // Изв. вузов. Электроника. 2022. Т. 27. № 4. С. 539-549. doi: https://doi.org/10.24151/1561-5405-2022-27-4-539-549
© В. О. Жилинский, 2022
Original article
Residual pseudorange error compensation algorithm for code-based positioning service in absolute mode
V. O. Zhilinskiy
National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russia Federal State Unitary Enterprise "Russian Metrological Institute of Technical Physics and Radio Engineering", Moscow, Russia
vladzhilinsky@mail.ru
Abstract. The active development of global navigation satellite systems contributes to positioning, navigation and timing accuracy increase. However, present characteristics of global positioning satellite systems are not able to meet the demands of the current and potential users. The code-based positioning error in absolute mode depends mainly on the pseudorange error, which is determined by the current operating satellite constellation and the navigation algorithm. To increase the accuracy of positioning, navigation and timing service, it is necessary to take into account those components of pseudorange error, which were not previously considered. In this work, the modified navigation algorithm that can compensate the residual pseudorange error during the solution of navigation equations in absolute mode is proposed. The error compensation is implemented in the form of regression model, trained using the gradient boosting machine. The results of model development and its error estimation with different number of independent variables of feature vector, as well as the comparison of model efficiency for two scenarios of the navigation solution are presented. The experiments have shown that the developed algorithm of the residual pseudorange error compensation allows the positioning accuracy increase up to 25 % when the standard-precision GLONASS signals are used.
Keywords: GLONASS, navigation equations, gradient boosting machine
Funding: the work has been supported by Russian Foundation for Basic Research (project No. 20-37-90016).
For citation: Zhilinskiy V. O. Residual pseudorange error compensation algorithm for code-based positioning service in absolute mode. Proc. Univ. Electronics, 2022, vol. 27, no. 4, pp. 539-549. doi: https://doi.org/10.24151/1561-5405-2022-27-4-539-549
Введение. Глобальные навигационные спутниковые системы (ГНСС) активно развиваются: происходит смена поколений орбитальных группировок, модифицируется наземный сегмент управления, пересматривается архитектура космического сегмента, проводятся работы по развертыванию ГНСС «Бейдоу» и «Галилео», а также модернизируется и совершенствуется навигационная аппаратура потребителей (НАП). Указанные изменения способствуют повышению эффективности работы ГНСС, включая такие характеристики, как точность, целостность, непрерывность и доступность. Однако текущие возможности ГНСС, несмотря на достижения последних лет и развитие систем навигации, неспособны удовлетворить всем требованиям потребителей [1, 2].
Повышение тактико-технических характеристик ГНСС возможно благодаря развитию наземного и космического сегментов, но это длительный и дорогостоящий процесс. Дальнейшее повышение точности навигационно-временных определений без мо-
дификации наземного и космического сегментов возможно также за счет совершенствования сегмента потребителей и обработки навигационной информации.
В настоящей работе анализируется остаточная погрешность определения псевдодальности и разрабатывается алгоритм ее компенсации при решении навигационной задачи по сигналам ГНСС ГЛОНАСС в абсолютном режиме.
Постановка задачи. Погрешность определения координат потребителя зависит от погрешности определения псевдодальности, которая определяется текущим рабочим созвездием навигационных космических аппаратов (НКА) и алгоритмом решения навигационной задачи (навигационным алгоритмом). Необходимо учитывать те составляющие погрешности, которыми раньше пренебрегали. При обработке навигационной информации возникает ряд случайных и систематических погрешностей [2-4]: погрешность эфемеридно-временного обеспечения; погрешность, вызванная влиянием ионосферы; тропосферная погрешность; погрешность, вызванная релятивистскими и гравитационными эффектами; погрешность из-за многолучевого распространения сигналов; погрешность из-за сдвига фазовых центров антенн НАП и НКА; межлитерная задержка сигнала; межканальная задержка сигнала; инструментальная погрешность в НАП и НКА. Эти погрешности влияют на измерения псевдодальности как по дальномерному коду, так и по фазе несущей частоты. При работе в абсолютном режиме, например по кодовым псевдальностям, частью указанных погрешностей обычно пренебрегают.
Влияние ряда факторов на качество измерений псевдодальностей уникально для каждого НКА, где большую роль играют используемая аппаратура, поколение навигационных спутников и их возраст. К таким факторам можно отнести задержки в тракте НКА, погрешность эфемеридно-временного обеспечения, ионосферные и тропосферные погрешности (ввиду различия длины пути распространения сигнала и угла возвышения НКА), ошибку многолучевого распространения сигнала, комбинации используемых типов и частот сигнала, типов измерений. Также используемая приемная аппаратура, например антенна, радиотракт приемника, формируют уникальные погрешности в НАП. Часть погрешностей успешно устраняется различными методами, однако применяемые модели не всегда точны. В некоторых случаях требуется наличие дополнительной внешней информации, а уникальную погрешность, обусловленную рядом факторов, невозможно учесть при стандартном подходе к решению задачи. Для дальнейшего повышения точности навигационно-временных определений необходимо наличие средства, устраняющего указанные недостатки.
Расчет погрешности определения псевдодальности. Среди методов решения навигационной задачи наибольшее распространение получил беззапросный метод, основанный на измерении псевдодальности между НКА и НАП. Полная модель псевдодальности с учетом составляющих погрешности измерений имеет следующий вид [2]:
Я = й + о{Ы - Ц) + О + Т +1 + Ъг + Мг +гг, (1)
где й = у)2^г)2 - геометрическая дальность между НКА и НАП;
X, у, г и х, у, г - координаты i-го НКА и НАП соответственно в прямоугольной геоцентрической системе координат; c - скорость света; 5?г - смещение шкалы времени НКА; Ы - смещение шкалы времени НАП; О - погрешность из-за релятивистских и гравитационных эффектов; Т - тропосферная погрешность; I - ионосферная погрешность; Ъ - инструментальная погрешность НАП; М - задержка многолучевого распространения; si - прочие составляющие погрешности.
Обозначим Тщ поправки к шкалам времени НКА и все составляющие погрешности измерений: Тщ = G + Т + + b + M. Тогда выражение (1) примет вид
R = р + c8t - c&t, + Тщ + г,. (2)
Если известны опорные координаты НАП и поправка к шкале времени потребителя, можно рассчитать опорное значение псевдодальности, подставив их в (1). Обозначим индексом r компоненты в выражении (2), вычисленные с использованием априорной информации о координатах НАП и поправки к шкале времени. Тогда опорное значение псевдодальности Щ можно записать как
Rr = рr + c8tr -c6t,. + Tmr + г . (3)
Остаточная погрешность псевдодальности, содержащая все неучтенные и немоде-лированные погрешности, определяется как разность выражений (2) и (3):
AR = Rr - R = Ар + Ac5t + АТщ = (рr - р) + c(btr - 8t) + (Tmr - Тщ), (4)
где Ар , АТщ и Ac5t - поправки соответственно к геометрической дальности, всем составляющим погрешностям измерений, которые зависят от истинного положения НАП, и смещению шкалы НАП.
Расчет остаточной погрешности определения псевдодальности не вызывает трудностей, однако остается вопрос определения опорных значений координат НАП и поправки к шкале времени потребителя. Опорные координаты НАП могут быть вычислены высокоточными методами, например PPP (Precise Point Positioning) или дифференциальным методом. При размещении приемной аппаратуры на геодезическом пункте в качестве опорных могут применяться его координаты, что значительно упрощает задачу. Опорные значения поправки к шкале времени потребителя получить сложнее. Шкала времени потребителя, которая зависит в том числе от шкалы времени НКА, отличается от системной шкалы времени. Для определения опорных значений шкалы времени потребителя можно также воспользоваться одним из методов ГНСС-определений при размещении на пункте с известными координатами. Шкала времени
навигационных аппаратов отличается от системной шкалы времени, но при условии применения высокостабильных эталонов частоты и времени в качестве источников сигналов 10 МГц и 1 Гц, подключенных на вход приемника, соответствующая поправка к псевдодальности для учета смещения шкалы времени потребителя может быть аппроксимирована полиномиальной моделью [5].
На рис. 1 приведен график поправки шкалы времени потребителя к системной шкале времени на суточном интервале для НАП, участвующей в эксперименте. Погрешность аппроксимации данной кривой полиномиальной моделью достаточно мала.
8,015
8,010 U-■--------
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Номер эпохи
Рис. 1. Поправка шкалы времени потребителя к системной шкале времени на суточном интервале Fig. 1. Receiver clock offset for a one-day interval
Построение модели регрессии. Рассчитанные в соответствии с (4) невязки псевдодальностей могут быть использованы для корректировки измерений псевдодальности. Рассматривая задачу оценки остаточной погрешности псевдодальности как задачу восстановления регрессии, можно для каждой эпохи (момента времени проведения измерений) определить эту погрешность по некоторому множеству признаков уже без опорных координат НАП и поправки к шкале времени.
Существующие методы машинного обучения показали свою эффективность при решении задач регрессии и классификации в разных предметных областях. К наиболее часто применяемым в задачах регрессии методам можно отнести метод опорных векторов, нейронные сети, «деревья» принятия решений и случайный «лес» (Random Forest) [6-9]. Также часто используются методы построения ансамблей моделей [10] - стекинг (stacking), бэггинг (bagging) и бустинг (boosting).
Наилучшие результаты достигаются при применении современных методов машинного обучения, например градиентного бустинга, который может сохранять баланс между малым смещением оценки и дисперсией, хотя в большей степени имеет склонность к переобучению по сравнению с другими методами. Обучение модели методом градиентного бустинга проводится итеративно, при этом каждая следующая итерация учитывает ошибки обучения предыдущей модели в соответствии с указанным функционалом качества. Согласно принципу минимизации эмпирического риска на тренировочном наборе данных минимизируется среднее функции потерь:
F = argminEx,y [L(y, F(x))]. (6)
Итоговая модель обычно представляется в виде композиции базовых алгоритмов hm из некоторого ограниченного множества:
M
F(x) = 2 hm (x) . (7)
m=1
Построение модели происходит итеративно в соответствии со следующим выражением:
Fm (Х) = Fm-1(Х) + hm (x) ,
где новый базовый алгоритм h определяется таким образом, чтобы доставить минимум функции потерь для F :
( " Л
hm (X) = arg mln I 2 L(У ' Fm-1 (Xi ) + h(X )) .
V i=i J
Обученная модель может быть далее внедрена в производство. При решении навигационной задачи в НАП модели на вход подается вектор признаков, на выходе имеется оценка остаточной погрешности псевдодальности, которая может быть учтена в уравнении псевдодальности. Таким образом, скорректированная оценка псевдодальности может быть записана с учетом оценочного значения остаточной погрешности псевдодальности в следующем виде:
Rc = R + c(8t - 8tt) + Tm + AR + e,..
Для построения модели регрессии используется тренировочный набор данных -выборка пар (X, y) независимых переменных X и зависимой переменной y, представляющей собой вычисленную в соответствии с (4) остаточную погрешность псевдодальности. Изначально для формирования признакового описания количество доступных
для обработки параметров, содержащихся в файлах формата RINEX [11], ограничено. Модель, обученная на тренировочном наборе данных с малым количеством признаков (4)-(7), показала неудовлетворительный результат. Поэтому были отобраны и сформированы на основе доступных параметров дополнительные признаки. Итоговое признаковое описание модели содержит следующие параметры: $птьх, эпг12 - коэффициенты сигнал/шум для двух диапазонов частот радиосигнала L1, L2; el - угол возвышения НКА; ^ - невязки псевдодальностей, рассчитанные без использования априорных данных; - норма вектора невязок; GDOP - геометрический фактор снижения точности;
5Шы-ы = тгь\ — 5Шьг - разность коэффициентов сигнал/шум для двух диапазонов частот; , - разность радиальных скоростей сближения потребителя и НКА, вычисленных через производную псевдодальности по времени и измерение доплеровского смещения несущей частоты радиосигнала, для двух диапазонов частот радиосигнала L1, L2; <Ь1Ь2 = <Ь1 -<Ь2 - разность предыдущего параметра, вычисленного для двух диапазонов частот.
Рис. 2. Схема алгоритма расчета остаточной погрешности определения псевдодальности
и построения модели регрессии Fig. 2. Diagram for residual pseudorange error calculation and model learning algorithm
Рис. 3. Схема алгоритма решения навигационной задачи с компенсацией остаточной погрешности
определения псевдодальности Fig. 3. Diagram for navigation algorithm with predicted residual pseudorange error compensation
Векторы независимых переменных и целевой переменной для обучающей, тестовой и валидационной выборок имеют следующий вид:
X = [snrL1> snrL2> < s,ll s II. GDOP, snrL1-L2. dL1> dL2. dL1-L2 ] >
y = AR.
Работа с моделью машинного обучения состоит из двух основных этапов: построение модели и применение модели. Построение модели включает в себя сбор, предварительную обработку данных, расчет целевой переменной, формирование вектора при-
знаков, обучение, тестирование и валидацию модели. Алгоритм расчета остаточной погрешности определения псевдодальности и построения модели регрессии представлен на рис. 2. Схема алгоритма решения навигационной задачи с компенсацией остаточной погрешности определения псевдодальности оценочным значением остаточной погрешности, рассчитываемой регрессионной моделью, представлена на рис. 3.
В процессе построения модели при ее тестировании и валидации в качестве метрики использовалась среднеквадратическая ошибка (RMSE). Поскольку характер остаточной погрешности уникален для каждого НКА, целесообразно строить модели регрессии для каждого НКА в отдельности. Рассчитанные метрики качества обучения модели на валидационной выборке при 5, 7 и 10 признаках приведены в таблице.
Качество обучения моделей при разном количестве признаков Model learning metrics for different number of features
НКА Номер литеры RMSE, м
X = 5 X = 7 X = 10
R01 1 1,20 1,19 1,07
R02 -4 1,00 0,99 0,93
R03 5 1,18 1,18 1,07
R04 6 1,23 1,22 1,09
R05 1 1,11 1,10 1,00
R07 5 1,16 1,17 1,08
R08 6 1,24 1,23 1,10
R09 -2 1,06 1,07 0,96
R11 0 1,13 1,11 1,04
R12 -1 1,11 1,10 1,00
R13 -2 1,52 1,50 1,35
R14 -7 1,14 1,14 1,05
R15 0 1,13 1,12 1,03
R16 -1 1,29 1,26 1,15
R17 4 1,07 1,06 0,96
R18 -3 1,08 1,07 0,99
R19 3 1,55 1,48 1,32
R20 2 1,45 1,43 1,27
R21 4 1,29 1,29 1,15
R22 -3 1,65 1,66 1,45
R24 2 1,17 1,17 1,04
Из таблицы видно, что наихудшие метрики достигаются для НКА Ю3, Ю9, Я20, Среднеквадратическое отклонение (СКО) рассчитанной остаточной погрешности определения псевдодальности для указанных навигационных аппаратов также гораздо больше по сравнению с СКО для остальных НКА. Также видно, что добавление дополнительных параметров в признаковое описание способствует снижению метрики качества модели в среднем на 10 %. Построенные модели регрессии использованы при решении навигационной задачи для оценки способности разработанного алгоритма компенсировать оценочное значение остаточной погрешности и влияния на точность навигационно-временных определений.
Результаты эксперимента. Сбор измерений текущих навигационных параметров, расчет остаточной погрешности определения псевдодальностей и оценок погрешностей координат местоположения потребителя проводились при следующих условиях:
- использовали высокоточную апостериорную эфемеридно-временную информацию, предоставленную информационно-аналитическим центром контроля ГЛОНАСС и
- измерения псевдодальностей проводили в диапазоне L1 и L2;
- дискретность измерений равна 30 с;
- интервал измерений - 3 недели;
- маска угла возвышения НКА более 5°;
- учитывали смещение шкалы времени НКА;
- учитывали смещение НКА за время распространения сигнала;
- учитывали релятивистские и гравитационные эффекты;
- рассчитывали ионосферную поправку (с использованием ионосферно-свободной комбинации);
- рассчитывали тропосферную поправку (модель MOPS);
- проводили измерения текущих навигационных параметров с НАП septentrio, размещенной на геодезическом пункте на территории ВНИИФТРИ (р. п. Менделеево, Московская обл.).
Для построения модели регрессии использовали данные за 21 день: из первых 14 суток сформирована тренировочная выборка, следующие 7 суток отведены для тестовой выборки, последние 7 суток - для валидационной. Результаты решения навигационной задачи получены при равных условиях для двух сценариев: стандартное решение навигационной задачи; решение навигационной задачи с компенсацией прогнозного значения погрешности псевдодальности при использовании 5, 7, 10 признаков.
На рис. 4 приведены графики погрешности определения координат в плане для двух указанных сценариев за первый день из валидационной выборки. На рис. 4, а представлено стандартное решение навигационной задачи, на рис. 4, б - решение с компенсацией остаточной погрешности определения псевдодальности при 10 признаках.
Применение алгоритма компенсации остаточной погрешности псевдодальности позволило снизить СКО погрешности определения координат в плане, рассчитанные значения которого в плане для всех сценариев решения навигационной задачи следующие:
Величина СКО оценки координат имеет небольшое различие при использовании 5 и 7 признаков, но значительно уменьшается при формировании вектора признаков из 10 параметров.
СКО погрешности определения координат в плане также рассчитано для оставшихся 6 дней валидационной выборки для стандартного и предложенного решений при X |= 10. В среднем на всем интервале наблюдений применение модели для компенсации остаточной погрешности позволяет снизить СКО определения координат в плане
GPS;
Тип сценария
Стандартное решение..............................................
С учетом остаточной погрешности при X = 5 ..
при IX = 7 .. при X = 10
СКО, м
2,42 2,01 1,98 1,75
на 23 %.
Рис. 4. Погрешность определения координат в плане при решении навигационной задачи стандартным алгоритмом (а) и предложенным алгоритмом (б) Fig. 4. Horizontal coordinates error obtained with the use of standard code-based positioning algorithm (a) and developed code-based positioning algorithm (b)
Заключение. Применение разработанного алгоритма компенсации остаточной погрешности определения псевдодальности и построения модели машинного обучения методом градиентного бустинга позволяет повысить точность определения координат потребителя в среднем на 25 % по сравнению со стандартным решением навигационной задачи в абсолютном режиме.
Литература
1. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / под ред. А. И. Перова, В. Н. Харисова. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Радиотехника, 2010. 800 с.
2. Joubert N., Reid T. G. R., Noble F. Developments in modern GNSS and its impact on autonomous vehicle architectures // 2020 IEEE Intelligent Vehicles Symposium (IV). Las Vegas, NV: IEEE, 2020. P. 2029-2036. doi: https://doi.org/10.1109/IV47402.2020.9304840
3. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии: в 2 т. Т. 1. М.: Картгеоцентр, 2005. 333 с.
4. Yamanda H., Takasu T., Kubo N., Yasuda A. Evaluation and calibration of receiver inter-channel biases for RTK-GPS/GLONASS // Proceedings of the 23rd International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GNSS 2010). Portland, OR: ION, 2010. P. 1580-1587.
5. Kaplan E. D., Hegarty C. J. Understanding GPS/GNSS: principles and applications. 3rd ed. Boston; London: Artech House, 2017. 1064 p.
6. Evgeniou T., Pontil M. Support vector machines: theory and applications // Machine Learning and Its Applications / eds G. Paliouras, V. Karkaletsis, C. D. Spyropoulos. Berlin; Heidelberg: Springer, 2001. P. 249-257. doi: https://doi.org/10.1007/3-540-44673-7_12
7. Decision tree // Encyclopedia of Database Systems / eds L. Liu, M. T. Ozsu. Boston, MA: Springer, 2009. P. 765. doi: https://doi.org/10.1007/978-0-387-39940-9_2445
8. Breiman L. Random forests // Machine Learning. 2001. Vol. 45. P. 5-32. doi: https://doi.org/10.1023/ A:1010933404324
9. Lathuiliere S., Mesejo P., Alameda-Pineda X., HoraudR. A comprehensive analysis of deep regression // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2020. Vol. 42. No. 9. P. 2065-2081. doi: https://doi.org/10.1109/TPAMI.2019.2910523
10. Dietterich T. G. Ensemble methods in machine learning // Multiple Classifier Systems, MCS 2000. Berlin; Heidelberg: Springer, 2000. P. 1-15. doi: https://doi.org/10.1007/3-540-45014-9_1
11. RINEX: The receiver independent exchange format // International GNSS Service [Электронный ресурс]. URL: https://files.igs.org/pub/data/format/rinex303.pdf (дата обращения: 15.08.2022).
Статья поступила в редакцию 21.04.2022 г.; одобрена после рецензирования 16.05.2022г.;
принята к публикации 07.07.2022 г.
Информация об авторе Жилинский Владислав Олегович - аспирант Института системной и программной инженерии и информационных технологий Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), научный сотрудник отдела метрологического обеспечения навигационных и радиотехнических измерительных средств ГЛОНАСС Всероссийского научно-исследовательского института физико-технических и радиотехнических измерений (Россия, 141570, Московская область, г. Солнечногорск, р. п. Менделеево, пром-зона ФГУП ВНИИФТРИ, корп. 11), vladzhilinsky@mail.ru
References
1. Perov A. I., Kharisov V. N. (eds.). GLONASS. Design concept and principles of operation. Moscow, Radiotekhnika Publ., 2010. 800 p. (In Russian).
2. Joubert N., Reid T. G. R., Noble F. Developments in modern GNSS and its impact on autonomous vehicle architectures. 2020 IEEE Intelligent Vehicles Symposium (IV). Las Vegas, NV, IEEE, 2020, pp. 2029-2036. doi: https://doi.org/10.1109/IV47402.2020.9304840
3. Antonovich K. M. The use of satellite radio navigation systems in geodesy, in 2 vol. Vol. 1. Moscow, Kartgeotsentr Publ., 2005. 333 p. (In Russian).
4. Yamanda H., Takasu T., Kubo N., Yasuda A. Evaluation and calibration of receiver inter-channel biases for RTK-GPS/GLONASS. Proceedings of the 23rd International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GNSS 2010). Portland, OR, ION, 2010, pp. 1580-1587.
5. Kaplan E. D., Hegarty C. J. Understanding GPS/GNSS: principles and applications. 3rd ed. Boston, London, Artech House, 2017. 1064 p.
6. Evgeniou T., Pontil M. Support vector machines: theory and applications. Machine Learning and Its Applications, eds G. Paliouras, V. Karkaletsis, C. D. Spyropoulos. Berlin, Heidelberg, Springer, 2001, pp. 249-257. doi: https://doi.org/10.1007/3-540-44673-7_12
7. Decision tree. Encyclopedia of Database Systems, eds.: L. Liu, M. T. Ozsu. Boston, MA, Springer, 2009, p. 765. doi: https://doi.org/10.1007/978-0-387-39940-9_2445
8. Breiman L. Random forests. Machine Learning, 2001, vol. 45, pp. 5-32. doi: https://doi.org/10.1023/ A:1010933404324
9. Lathuiliere S., Mesejo P., Alameda-Pineda X., Horaud R. A comprehensive analysis of deep regression. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2020, vol. 42, no. 9, pp. 2065-2081. doi: https://doi.org/10.1109/TPAMI.2019.2910523
10. Dietterich T. G. Ensemble methods in machine learning. Multiple Classifier Systems, MCS 2000. Berlin, Heidelberg, Springer, 2000, pp. 1-15. doi: https://doi.org/10.1007/3-540-45014-9_1
11. RINEX: The receiver independent exchange format. International GNSS Service. Available at: https://files.igs.org/pub/data/format/rinex303.pdf (accessed: 15.08.2022).
The article was submitted 21.04.2022; approved after reviewing 16.05.2022;
accepted for publication 07.07.2022.
Information about the author Vladislav O. Zhilinskiy - PhD student of the Institute of System and Software Engineering and Information Technology, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), Scientific Researcher of the Met-rological Support of Navigation and Radio Engineering Measuring Instruments GLONASS Department, Russian Metrological Institute of Technical Physics and Radio Engineering (Russia, 141570, Moscow region, Solnechnogorsk, Mendeleevo, Industrial zone of FSUE "VNIIFTRI", bld. 11), vladzhilinsky@mail.ru
