Алгоритм коллективного выбора на основе обобщенных ранжировок для поддержки принятия решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Малтугуева Г.С., Юрин А.Ю.

УДК 004.021

АЛГОРИТМ КОЛЛЕКТИВНОГО ВЫБОРА НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ РАНЖИРОВОК ДЛЯ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Введение. Многообразие сложных задач, связанных с необходимостью поддержки принятия решений, обуславливает необходимость разработки специализированного методологического и алгоритмического обеспечения, повышающего эффективность данного процесса. Сложность процесса поддержки возрастает, если он связан с коллективным (групповым) выбором.

Существует ряд подходов [1], позволяющих согласовать (обобщить) множество мнений, полученных в ходе коллегиального обсуждения, и выработать некое компромиссное решение, являющееся "групповым" или "коллективным" предпочтением - выражением мнения всех опрошенных (экспертов). Однако большинство данных методов для своего эффективного применения требуют определить наборы критериев оценивания, по которым каждым экспертом в отдельности проводится процедура многокритериального оценивания каждой альтернативы, что не всегда возможно по ряду причин, например, при наличии жестких временных ограничений, субъективизма и "особого" мнения экспертов при оценке альтернатив и выборе критериев оценивания.

В связи с этим большой интерес представляет разработка алгоритмов коллективного выбора (согласования), использующих субъективные предпочтения экспертов, выраженные в виде обобщенных ранжировок. Подобные алгоритмы («правило большинства», принцип Кондорсе, метод Борда) разработаны [2] и обеспечивают получение решений, однако при определенных наборах исходных данных приводят к возникновению парадоксов - ошибочных решений, когда результат согласования индивидуальных предпочтений не отражает мнение всего коллектива или же решение вообще не может быть найдено. В связи с этим является актуальной разработка алгоритмов, обеспечивающих получение корректных решений при коллективном выборе.

Целью данной работы является создание нового метода коллективного выбора, разрешающего большинство парадоксов, возникающих при использовании принципа Кондорсе и метода Борда [1, 2].

Применение данного метода предлагается рассмотреть на примере поддержки принятия решений комиссии по расследованию причин аварий, разработке мероприятий по восстановлению оборудования и исключению подобных аварий и инцидентов (т.е. по обеспечению надежной и безопасной эксплуатации). Деятельность подобных комиссий связана с коллегиальным обсуждением проблемы, выработкой набора решений, согласованием (обобщением) выработанных решений и принятием окончательного решения председателем комиссии.

1. Задача коллективного выбора. Задачу коллективного выбора можно сформулировать следующим образом [2]: пусть задано множество альтернатив X = |х1 ,х2,..., хп }, из элементов которого все члены коллектива, принимающего решение, должны составить свои предпочтения (упорядочить альтернативы по убыванию их предпочтительности), из которых формируется т -элементное множество ранжировок

S = {>1,S2,...,8т }. Пусть индивидуальные предпочтения заданы обобщенными ранжировками

s] = хч а(хУг у е ,

где у = 1,т; Va = 1,п -1 ; е е{Р],I1}, Р1 - отношение строгого предпочтения, I1 - отношение эквивалентности, таким образом, е1 принимает значение либо строгого отношения предпочтения, либо эквивалентности. Требуется построить отношение коллективного предпочтения, т.е. отношение должно выражать мнение всего коллектива - быть компромиссным.

2. Алгоритм коллективного выбора на основе обобщенных ранжировок. Предлагается алгоритм коллективного выбора с использованием обобщенных ранжировок, разработанный на основе алгоритма автоматического сужения множества Парето для решения задач многокритериальной оптимизации [3].

Новый алгоритм обеспечивает согласование индивидуальных предпочтений коллектива экспертов. Индивидуальные предпочтения представлены в виде ранжировок альтернатив по степени их важности. При ранжировании эксперты руководствуются только единственным критерием, неявно обобщающим и интегрирующим все множество возможных критериев своим субъективным предпочтением.

При этом процесс согласования предпочтений экспертов можно представить в виде игры, в которой каждая альтернатива приводит сначала наиболее убежденных сторонников, затем менее убежденных и т.д. Альтернатива, постоянно уступающая в таких сравнениях, выбывает из борьбы. Выбытие альтернатив изменяет исходные ранжировки для каждой итерации, в результате чего выбывшие альтернативы либо усиливают позиции победивших, либо ослабляют их.

Входная информация об индивидуальных предпочтениях заносится в матрицу ранжировок и матрицу эквивалентности В. Ниже приведен алгоритм коллективного выбора при описании индивидуальных предпочтений в виде ранжировок.

1. Заполнение в результате голосования матрицы ранжировок 5, где 5} - ранжировка }-го эксперта, матрицы эквивалентности

В = (й} ), 1 = 1, п , } = 1, к , где g - номер группы эквивалент ности = \ для } - го эксперта,

в которую входит х1; 0 - если х1 не входит ни в одну группу.

2. t = 1, 5, = 5, В( = В . Построим расширенную матрицу 5 следующим образом: к исходной матрице 5 применим преобразование которое заключается в подсчете количества одинаковых ранжировок и записи этого числа в дополнительную (п + 1) строку матрицы 5. Соответствующим

образом изменится и матрица В .

3. Формирование матрицы приведенных номеров Е(: е}} - порядковый номер альтернативы

х1 в ранжировке 5}.

4. Формирование матрицы 5' по матрице Е(: в 1 -й строке и } -м столбце располагаются числа, соответствующие количеству экспертов, поставивших 1 -ю альтернативу на } -е место.

5. Если в матрице 5' все элементы равны, то переход на 1 с рекомендацией изменения множества альтернатив (увеличение, сокращение) или ранжировок.

6. Формирование множества , содержащего доминируемые альтернативы.

7. Если Ь,

(п -1)-

элементное множество,

то переход на 12.

8. Если Ь, = -1, то переход на 11.

9. Из матрицы ранжировок 5, удаляются альтернативы, которые входят в Ь{. Соответствующим образом преобразуется и матрица эквивалентности В,.

10. ' =' +1, переход на 3, предварительно применив к матрице 5, преобразование

11. Применяем принцип Кондорсе на множестве оставшихся альтернатив с последующим переходом на 12.

12. Окончание работы.

Данный алгоритм представляет собой комбинацию нового принципа согласования и принципа Кондорсе и не позволяет решить задачи с равным количеством предпочтений, образующих цикл. Следует заметить, что с подобными задачами не справляется ни один из существующих методов. Однако в практических задачах подобное распределение голосов встречается редко. В качестве одного из вариантов разрешения данного парадокса предлагается пересмотреть и расширить множество альтернатив.

При решении задачи выбора из двух альтернатив данный способ согласования эквивалентен правилу большинства, но при выборе из трех и более альтернатив в значительной степени ориентирован на поиск компромисса [4].

Решение, найденное с помощью предлагаемого метода, удовлетворяет аксиомам Эрроу:

• транзитивности;

• единогласия (ненавязанности группового решения) - коллективный выбор в точности повторяет единогласное мнение экспертов;

• полноты - в процедуре сравнения принимают участие все альтернативы;

• парето-оптимальности - ни один из альтернативных вариантов не может быть улучшен без ухудшения других вариантов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

3. Применение нового алгоритма для поддержки принятия решений. Рассмотрим применение предлагаемого алгоритма для поддержки принятия решений при коллективном обсуждении и выборе альтернатив на примере работы комиссии по расследованию причин аварии, разработке мероприятий по восстановлению оборудования и обеспечению надежной и безопасной эксплуатации. Рассматриваемая авария была вызвана коррозионным растрескиванием гнутых труб реактора (калачей) [5]. Одна из задач комиссии состояла в разработке набора мероприятий по исключению или снижению скорости коррозионного растрескивания труб.

Комиссией из 20 человек был выработан набор из 6 ниже приведенных альтернатив (мероприятий), обеспечивающих снижение скорости коррозии при различных затратах.

1. Уменьшить уровень остаточных напряжений в гнутых трубах. Ориентировочная стоимость мероприятия 1 млн. руб. (цены условные). Снижение скорости коррозионного растрескивания, а значит, увеличение ресурса примерно в 8 раз.

2. Повысить качество подготовки теплоносителя (воды) за счет более тонкой химической очистки. Ориентировочная стоимость мероприятия - 400 тыс. руб. Снижение скорости коррозионного растрескивания, а значит, увеличение ресурса примерно в 7 раз.

3. Исключить подпитку теплоносителя оборотной водой. Ориентировочная стоимость мероприятия - 200 тыс. руб. Снижение скорости коррозионного растрескивания, а значит, увеличение ресурса примерно в 5 раз.

4. Пункты 1 и 2. Ориентировочная стоимость мероприятия - 1 млн. 400 тыс. руб. Значительное снижение скорости коррозионного рас-

трескивания, а значит, увеличение ресурса примерно в 9 раз.

5. Пункты 1 и 3. Ориентировочная стоимость мероприятия - 1 млн. 200 тыс. руб. Значительное снижение скорости коррозионного растрескивания, а значит, увеличение ресурса примерно в 8 раз.

6. Пункты 1, 2 и 3, вместе взятые. Ориентировочная стоимость мероприятия 1 млн. 600 тыс. руб. Исключение коррозионного растрескивания. Увеличение срока службы реактора до 40 лет.

Хотя каждая из альтернатив (каждое отдельное мероприятие) характеризуется двумя критериями - стоимостью и увеличением ресурса, однако при выборе наилучшего из них каждый из экспертов руководствуется еще и собственными неявными критериями, которые в ряде случаев он затрудняется сформулировать. Подобные, неявные, критерии составляют часть личного, плохо поддающегося формализации, опыта каждого эксперта в отдельности. Именно поэтому задачу коллективного выбора предлагается решать с использованием нового метода с представлением индивидуальных предпочтений в виде обобщенных ранжировок.

В ходе обсуждения членами комиссии были сформулированы ранжировки альтернатив (табл. 1), символом « ^ » отмечено превосходство одной альтернативы над другой.

Рассмотрим применение принципа Кондор-се, метода Борда и нового метода применительно к данным ранжировкам.

Принцип Кондорсе. Принцип Кондорсе [2] заключается в попарном сравнении всех альтернатив, признается наилучшей альтернатива, которая превосходит все остальные. Поясним процедуру сравнения на следующем примере: сравним аль-

Таблица 1

Ранжировки альтернатив

Предпочтения (ранжировка альтернатив) экспертов Количество ранжировок (количество экспертов, придерживающихся данного мнения)

т.: 1

2

КЗ: 4

2

1

К6: 10

тернативы 1 и 2.

Альтернатива 1 предпочтительнее, чем альтернатива 2, для 1+2+4+2+1=10 экспертов (Я1, К2, Я3, Я4, И5).

Альтернатива 2 предпочтительнее, чем альтернатива 1, для 10 экспертов (Я6).

Результат: альтернатива 1 эквивалентна альтернативе 2 (1~2).

Подобным образом происходит сравнение всех остальных альтернатив. Объединение всех 16 парных отношений предпочтения, полученных в результате попарного сравнения, приводит к получению нетранзитивного отношения предпочтения (парадокс Кондорсе): первая альтернатива эквивалентна второй и третьей (1~2,3), но это противоречит превосходству третьей альтернативы над второй (3 ^ 2).

Метод Борда. Согласно методу Борда [2] каждой альтернативе присваиваются баллы в зависимости от положения (места) в ранжировке: первая получает максимальное количество (в большинстве случаев оно равно количеству альтернатив), остальные по нисходящей. Далее происходит суммирование баллов каждой альтернативы по ранжировкам. Наилучшей альтернативе соответствует максимальная сумма баллов. Поясним процедуру вычисления суммы балов на примере альтернативы 1.

Итак, альтернативу 1 распределили (отнесли):

• на первое место - 1 эксперт (Я5) => 6*1=6 баллов;

• на второе место - (4+2)=6 экспертов (Я3, Я4) => 5*(4+2)=30 баллов;

• на третье место - (2+10)= 12 экспертов (Я2, Я6) => 4*(2+10)=48 баллов;

• на четвертое - 1 эксперт (Я1) => 3*1=3 балла;

• на пятое и шестое место - ни одного эксперта => 2*0+1*0=0 баллов.

Далее просуммируем полученные баллы: 6+30+48+3+0=87.

Подобным образом происходит вычисление баллов всех остальных альтернатив. В результате применения метода получено следующее отношение группового предпочтения: 3^ 1 ^2^4^5 ^6, что неточно отражает мнение экспертов, так как 11 экспертов поместило альтернативу 2 на 2 место в (Я5, Я6), тогда как только 6 экспертов поместили альтернативу 1 на 2 место (Я3, Я4) (см. табл. 1). Следовательно, тернатива 2 должна быть предпочтительнее тернативы 1, что не отражено в отношении груп-

пового предпочтения, полученного при помощи метода Борда.

Новый метод. Поиск отношения группового предпочтения новым методом осуществляется в 5 итераций (количество итераций = количество альтернатив - 1). Подробно рассмотрим итерации 1 и 5, для итераций 2-4 приведем только результаты.

Итерация 1. На основании исходных ранжировок были сформированы матрицы ранжировок (5) и эквивалентности (В). В ранжировках использовано отношение строгого предпочтения, поэтому матрица эквивалентности является нулевой и в дальнейшем она рассматриваться не будет.

Сформируем матрицу ранжировок 51 , применив к данной матрице преобразование получим

5! =

Г 6 5 4 5 1 3 1

5 4 1 1 2 2

4 1 2 3 3 1

1 2 3 2 4 4

2 3 5 4 5 5

3 6 6 6 6 6

V 1 2 4 2 1 10 ,

По матрице ранжировок 51 осуществляется построение матрицы приведенных номеров Е1 : е}} - порядковый номер альтернативы х{ в ранжировке 5 } ,

Е, =

Г 4 3 2 2 1 3 1

5 4 3 4 2 2

6 5 4 3 3 1

3 2 1 5 4 4

2 1 5 1 5 5

1 6 6 6 6 6

V 1 2 4 2 1 10,

Далее осуществляется построение матрицы 51 по матрице Е1 : в 1 -й строке и } -м столбце располагаются числа, соответствующие количеству экспертов, поставивших 1 -ю альтернативу на } -е место:

51 =

Г1 6 12 1 0 01

0 11 4 4 1 0

10 0 3 4 2 1

4 2 1 11 2 0

4 1 0 0 15 0

V 1 0 0 0 0 19,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Производится попарное сравнение строк матрицы , соответствующих альтернативам (рис. 1), символом «X» обозначено превосходство одной альтернативы над другой.

По результатам сравнения на первой итерации из дальнейшего рассмотрения выбывает альтернатива 6, так как 1 ^ 6, 3 ^ 6, 5 ^ 6. Выбывшая альтернатива формирует множество доминируемых альтернатив Ьг = {6}.

Подобным образом осуществляются итерации 2, 3 и 4, результатом которых является расширение множества доминируемых альтернатив: Ь2 = {5, 6}, ¿з = {4, 5, 6} и ¿4 = {1, 4, 5, 6}.

Итерация 5:

—5 5 = Г 2 3 > г 1 2 >

3 2 , Е5 = 2 1 , 5 5

V 8 12 V V 8 12 V

Г 8 12

12 ^ 8

Результат итерации 5: 3 ^ 2, следовательно, Ь5 ={2, 1, 4, 5, 6}.

В результате работы алгоритма получим 3 ^ 2 ^ 1 ^ 4 ^ 5 ^ 6. Данное отношение группового предпочтения более точно по сравнению с принципом Кондорсе (который привел к возникновению нетранзитивного отношения предпочтения) и методом Борда (3 ^ 1 ^2^4^5 ^6) отражает мнение всех членов экспертной комиссии и удовлетворяет требованиям полноты и единогласия.

Таким образом, наиболее целесообразным с точки зрения коллективного (группового) предпочтения экспертов комиссии является следующая альтернатива (мероприятие): "Исключить подпитку теплоносителя оборотной водой. Ориентировочная стоимость мероприятия 200 тыс. руб. Снижение скорости коррозионного растрескивания, а значит, увеличение ресурса примерно в 5 раз".

Заключение. Рассмотрен новый метод коллективного выбора на основе обобщенных ранжировок, разрешающий большинство парадоксов, возникающих при использовании принципа Кондорсе и метода Борда. Приведен пример применения данного метода при поддержке принятия решений комиссии по расследованию причин, ликвидации последствий и предотвращению аварий и инцидентов.

Предлагаемый метод при его реализации в виде программного обеспечения позволит повысить эффективность процедуры коллективного выбора в системах поддержки принятия решений [6], предназначенных для обеспечения надежности и безопасности промышленных объектов, представляющих опасность для обслуживающего персонала и окружающей среды.

Необходимо отметить, что существуют наборы исходных данных (равное количество ранжировок, образующих цикл), при которых данный способ согласования не является решающим. В связи с этим данный метод может использоваться только в качестве средства поддержки принятия решений.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Микони, С.В. Теории и практика рационального выбора / С.В. Микони. - М.: Маршрут, 2004.

2. Ларичев, О.И. Теория и методы принятия решений / О.И. Ларичев. - М.: Логос, 2000.

3. Васильев, С.Н. Методы и алгоритмы многокритериальной оптимизации на основе нестрогих ранжировок альтернатив по частным критериям и опыт компьютерной реализации / С.Н. Васильев, Ю.В. Котлов // Проблемы

управления и информатики. - 2006. - № 1-2. -С. 28-38.

4. Малтугуева, Г.С. Алгоритм группового выбора при описании индивидуальных предпочтений в виде ранжировок / Г.С. Малтугуева, Ю.В. Котлов // Вестник Томского гос. ун-та. -2004. - № 9 (II). - С. 44-48.

5. Берман, А.Ф. Деградация механических систем / А.Ф. Берман. - Новосибирск: Наука, 1998.

6. Берман, А.Ф. Интеллектуальная система поддержки принятия решений при определении причин отказов и аварий в нефтехимической промышленности / А.Ф. Берман,

О.А. Николайчук, А.И. Павлов, А.Ю. Юрин // Автоматизация в промышленности. - 2006. -№ 6. - С. 15-17.

Опарин Г.А., Богданова В.Г., Макеева Н.Г.

УДК 519.685

ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ СРЕДА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

_______«-» л

БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИИ

Введение. В настоящее время проявляется активный интерес к использованию высокопроизводительных кластеров для решения задачи выполнимости булевых ограничений, являющейся фундаментальной проблемой в математической логике и теории вычислений. Многие практические задачи могут быть сформулированы в терминах решения системы булевых уравнений. В последние годы наряду с существованием достаточно большого количества последовательных программ решения задачи булевой выполнимости, обладающей высокой вычислительной сложностью, наблюдается тенденция построения эффективных программ решения этой задачи с применением параллельных технологий, в частности, крупноблочного параллелизма. В качестве входного языка таких программ используется фрагмент международного формата Б1МАС8 [1] представления булевых ограничений в виде конъюнктивной нормальной формы пропозициональной логики. Следует отметить, что средства автоматизации построения булевых моделей по содержательной (ориентированной на конечного пользователя) постановке задачи в этих программах отсутствуют. В большинстве существующих программ-решателей, использующих метод расщепления для крупноблочного распараллеливания булевых моделей, выбор тактики расщепления зависит от за-

Работа выполнена при поддержке программы №1 фундаментальных исследований президиума РАН на 2009 год.

дачи и возлагается на пользователя. Таким образом, актуальной является проблема разработки принципиально новой интегрированной инструментальной среды, объединяющей решатели комбинаторных задач большой размерности в единую систему, позволяющую автоматизировать процесс построения булевой модели решаемой дискретной задачи, выбирать из базы знаний (исходя из свойств полученной модели и накопленной статистики решения задач) подходящий алгоритм решения, проводить вычислительный эксперимент как на автономной рабочей станции, так и на высокопроизводительном кластере, сохранять результаты расчетов в пользовательской базе данных, включать в базу знаний инструментальной среды новые модели и алгоритмы.

В статье рассматривается базовая технология моделирования [2] и проведения параллельных вычислений, используемая в инструментальном комплексе (ИК) РЕБУС, ориентированном на применении в фундаментальных и прикладных исследованиях при проведении вычислительных экспериментов в разнообразных предметных областях, где естественным образом возникают дискретные модели в виде систем булевых уравнений.

1. Постановка задачи. Формально задача решения булевых уравнений формулируется следующим образом: пусть X = (х1,...хп) -упорядоченное множество булевых переменных (х{ е В2 для всех 1 = 1, п; В2 ={0,1}). Задано

т булевых соотношений (система уравнений) вида