Алгоритм интерполяции температурного поля по дискретным данным теплового режима конструкции антенны с крупногабаритным рефлектором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.783

АЛГОРИТМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПО ДИСКРЕТНЫМ ДАННЫМ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА КОНСТРУКЦИИ АНТЕННЫ С КРУПНОГАБАРИТНЫМ РЕФЛЕКТОРОМ

Н. Н. Голдобин

АО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева» Российская Федерация, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

E-mail: goldobin@iss-reshetnev.ru

Рассмотрены различные методы многомерной интерполяции в трехмерном пространстве. В качестве основного выбран частный случай метода Шепарда - метод обратных взвешенных расстояний. Интерполяция применяется в рамках решения задачи восстановления температурного поля по результатам проведения теплового анализа модели антенны с крупногабаритным рефлектором.

Ключевые слова: антенна космического аппарата, рефлектор, температурные деформации, метод обратных взвешенных расстояний.

AN ALGORITHM FOR TEMPERATURE FIELD INTERPOLATING FROM DISCRETE THERMAL DATA OF AN ANTENNA WITH A LARGE REFLECTOR

N. N. Goldobin

JSC Academician M. F. Reshetnev Information Satellite Systems 52, Lenin Str., Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, 662972, Russian Federation E-mail: goldobin@iss-reshetnev.ru

In this paper, we consider various methods of multidimensional interpolation in three-dimensional space. The special case of Shepard's method is chosen as the main method of inverse weighted distances. Interpolation is applied within the framework of solving the problem of restoring the temperature field based on the results of the thermal analysis of the antenna model with a large reflector.

Keywords: an antenna of a spacecraft, a reflector, temperature deformations, inverse weighted distance method.

Многомерная интерполяция в трехмерном пространстве применительно к задаче анализа температурных деформаций конструкции позволяет восстановить картину теплового режима, заданного дискретным набором данных. Для расчета температурных деформаций антенны космического аппарата, а также ее составных частей, в качестве исходных данных используются температуры в некоторых точках, измеренные в ходе тепловых испытаний или в результате численного эксперимента по определению изменения температурного поля на рабочей орбите в процессе орбитальной эксплуатации. В общем виде интерполирующая функция F имеет вид

F (х,., yt, z,) = T , (1)

где T - температура в t-й точке с координатами х, y, z.

Необходимость проведения интерполяции по результатам численного эксперимента (математического моделирования) связана наличием разницы в подходах создания тепловой и механической моделей объекта.

Примером может служить случай, когда для проведения теплового анализа создается и рассчитывается тепловая модель в ПО Thermica, а для расчета температурных деформаций параллельно создается механическая модель в ПО ANS YS. Подобная практика решения связанных задач используется на АО «ИСС»

при расчете антенн с крупногабаритными рефлекторами [1].

В вычислительной математике различают несколько классов интерполяции, среди которых выделяются детерминистские и статистические. Самым распространенным статистическим методом является метод кригинга. Данный метод основан на вероятностной модели, рассматривающей пространственную переменную как реализацию случайной функции. Применение данного метода в рамках решения поставленной задачи противоречит самой природе изучаемой модели, поскольку распределение температур в ее узлах не носит случайного характера. К тому же, реализация алгоритма кригинга является более трудо-затратной в сравнении с приведенными ниже детерминистскими методами.

К детерминистским относят следующие основные методы интерполяции: метод поверхности тренда; метод радиальных базисных функций; метод обратных взвешенных расстояний.

Метод поверхности тренда используется в том случае, когда исследователя интересуют общие тенденции поверхности. Для поверхности тренда используется набор точек в пределах заданной окрестности. В пределах каждой окрестности строится поверхность наилучшего приближения на основе математических уравнений, таких как полиномы или сплайны, исполь-

Крупногабаритные трансформируемые конструкции космических аппаратов

зуя правило наименьших квадратов. Недостатком этого метода является то, что полученная поверхность не проходит через опорные точки. В данной задаче жесткость интерполятора является обоснованием адекватности применяемого алгоритма интерполяции.

В методе радиальных базисных функций для оценки значений используются математические функции, которые минимизируют искривление поверхности. Построенные с использованием этих функций поверхности, будут проходить через все опорные точки. Таким образом, данный метод описания поверхности является жестким интерполятором. Каждая радиальная функция имеет различную форму и результаты для различных поверхностей интерполяции. Наиболее часто используемый вид радиальных базисных функций - сплайн. Этот метод наиболее удобен для построения медленно меняющихся поверхностей (например, таких, как рельеф) при наличии большого количества опорных точек [2; 3]. Данный метод не годится для поверхности с резкими изменениями значения функции состояния, а также с неравномерным распределением опорных точек, присущим рассматриваемой тепловой модели антенны.

В основе метода обратных взвешенных расстояний лежит предположение о том, что чем меньше рас-

стояние между объектами, тем большее между ними существует сходство, а по мере удаления объектов друг от друга их связь ослабевает. Метод является универсальным жестким интерполятором и прост в реализации. Для данного метода характерно присутствие «глаза буйвола» вокруг опорных точек в случаях применения глобального интерполятора.

На основе анализа методов интерполяции для решения поставленной задачи выбор был сделан в пользу метода обратных взвешенных расстояний. Используя метод обратных взвешенных расстояний, для более точной интерполяции опорные точки выбираются в некоторой окрестности определяемой точки, так как они оказывают наибольшее влияние на ее состояние. Блок-схема алгоритма выбора ближайших опорных точек показана на рисунке.

Алгоритм метода обратных взвешенных расстояний является частным случаем метода Шепарда и представляет собой формулу при р = 2:

юпеI)

X ((гопе')¿Гр ■(гопе)j,2)

Т. = ——--(2)

I юпеI) ^ '

X ((^опе1) ji р)

j=l

Алгоритм выбора ближайших опорных точек: count - счетчик точек внутри окрестности определяемой точки; numData - количество определяемых точек; numTemp - количество опорных точек; ащд - расстояние между i-й определяемой и j-й опорной точками; ап\2 - значение температуры Tj ; x, y, z - координаты определяемых точек; x_t, y_t, z_t - координат опорных точек; tol - радиус окрестности с центром в определяемой точке; table - двумерный массив со значениями arri,i и arri2 в окрестности определяемой точки; zone - вложенный массив со значениями table для каждой определяемой точки; N - минимальное количество опорных точек в окрестности определяемой точки;

step - шаг увеличения окрестности

Разработанный алгоритм на основе метода обратных взвешенных расстояний применяется в рамках поставленной задачи - определения температурного поля антенны с крупногабаритным рефлектором на основании значений температур в некоторых точках ее конструкции, полученных в ходе численного эксперимента. В следующих работах автор проведет сравнительный анализ результатов интерполяции температурных полей с использованием разработанного алгоритма и готовых решений, предлагаемых ПО ANSYS.

Библиографические ссылки

1. Голдобин Н. Н., Нехаев Д. П., Шендалев Д. О. Новые возможности расчета температурных деформаций космических антенн с крупногабаритными рефлекторами в ПО ANSYS Workbench // Решетнев-ские чтения : материалы Междунар. науч. конф. / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2016. С. 105-107.

2. Цифровая модель рельефа: создание и анализ. [Электронный ресурс]. URL: http://ppt-online.org/83298 (дата обращения: 10.09.2017).

3. Кошель С. М. Теоретическое обоснование структуры и функций блока моделирования рельефа в ГИС : дис. ... канд. геогр. наук. М., 2004. 120 с.

References

1. Goldobin N. N., Nekhayev D. P., Shendalev D. O. Novyye vozmozhnosti rascheta temperaturnykh deformat-siy kosmicheskikh antenn s krupnogabaritnymi reflektorami v PO ANSYS Workbench // Reshetnevskiye chteniya : Materialy Mezhdunarodnoy nauchnoy konf. / Sib. gos. aerokosmich. un-t. Krasnoyarsk, 2016. P. 105-107.

2. Tsifrovaya model' rel'yefa: sozdaniye i analiz. [Elektronnyy resurs]. Available at: http://ppt-online.org/ 83298 (accessed: 10.09.2017).

3. Koshel' S. M. Teoreticheskoye obosnovaniye struk-tury i funktsiy bloka modelirovaniya rel'yefa v GIS : 25.00.35. geoinformatika, kand. geograf. nauk. M., 2004, 120 p.

© Голдобин Н. Н., 2017