Алгоритм генерирования нормальных рекордных величин: асимптотические свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Главная Наука Общество Оборона Блог Научное издание ВАК Контакты Наши авторы Энциклопедия 2013-1(1) 2014-1(2) 2014-2(3) 2015-1(4) 2015-2(5) 2016-1(6) 2016-2(7) 2016-3(8) 2016-4(9) 2017-1(10) 2017-2(11) 2017-3(12) 2017-4(13) 2018-1(14) 2018-2(15) 2018-3(16) 2018-4(17) 2019-1(18) 2019-2(19) 2019-3(20)

кштс&а

ОБЩЕСТВО оборона П 0O-j0Lim.il

НАУКА. ОБЩЕСТВО. ОБОРОНА

ПОЖЕРТВОВАТЬ

f

Популярное

Российская

государственность:

становление

Россия

в революциях ХХ века

Россия на пути

укрепления

государственности

Россия в развитии многополярного мира

Госуправление в России:

заблуждения

реформаторов

Наука. Общество. Оборона (noo-journal.ru). - 2019. - № 2 (19)

Пахтеев Артем Игоревич,

Балтийский федеральный университет им. И.Канта. Институт физико-математических наук и информационных технологий, аспирант

Россия, г. Калининград Е-mail: [email protected]

Pakhteev Artem Igorevich,

Baltic Federal UniversityI. Kant. Institute of Physical and Mathematical Sciences and Information Technologies, Graduate Student Russia, Kaliningrad E-mail: [email protected]

Алгоритм генерирования нормальных рекордных величин: асимптотические свойства

Algorithm for generating normal record values: asymptotic properties

DOI: 10.24411/2311-1763-2019-10191

Аннотация

В данной статье мы разрабатываем алгоритм генерирования нормальных рекордных величин. Алгоритм основан на методе выборки с отклонением. В работе показывается, что алгоритм эффективен и быстро работает даже при длительном генерировании.

Ключевые слова:

рекорды, нормальное распределение, метод выборки с отклонением, метод обратного преобразования, метод генерации

Summary

In the present paper, we develop method of record generation. The corre-sponding algorithm is based on the rejection method. We show that algorithm is effective and speedy, even with prolonged generation.

Keywords:

records, normal distribution, rejection method, inverse-transform method, generation techniques

Япония: роль и место в развязывании Второй мировой войны и политика СССР

"Навигацкая школа" Набор - 2019 New

Без знания прошлого нет будущего

Военно-историческая наука действительно Вупадке

Патриотические сводки от Владимира Кикнадзе

Рубрики

Противодействие фальсификациям отечественной истории

Кадры и наука ОПК России

Миграционные и демографические риски

Олимпиада по военной истории

Наши партнеры

Введение.

ПусгьХ.-Г.;... - последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве. Определим рекордные моменты II и)и рекордные величины А'(л | следующим образом:

X = Хиг1 для

Математическая теория рекордов имеет богатую историю и берет свое начало со статьи Чендлера [5]. Развитие теории рекордов является актуальным б связи с различными приложениями, возникающими в метеорологии, гидрологии б страховом и финансовом бизнесе. Перепады температур и атмосферного давления, паводки рек. спортивные достижения, страховые и финансовые риски, различные модели, связанные с временами обслуживания, коррозией металлов, сопротивлением материалов, все это н многое другое, прекрасно описывается математическим аппаратом этой теории. Более подробную информацию по этой тематике можно найти б книгах [1] и [2].

Интересное продолжение теория рекордов получила благодаря недавним статьям, б которых предлагались методы генерирования рекордов, см. [3. 4, б, 7, 9, Щ

Самым простым методом получения рекордов является прямой метод,

Прямой метод. Генерируем значение первого рекордаД"!1)=Д'1. Далее для «> 2 используется рекурсивный подход, который предполагает, что значе-ние-5Г(л-1)уже получено н наблюдения!' генерируются до тех пор. пока одно из них. допустимX , не станет больше чемА"(гг-11. ТотдаХ(п) = Х, становится новой рекордной величиной.

Следует отметить, что данный метод ресурсозатратный и медленный, особенно когда необходимо генерировать большое количество рекордов.

ПуетьХД',,.. - независимые одинаково распределенные случайные величины с непрерывньш распределением К. Известно, что последовательность-^(11. Л" [2],.. образует цепь Маркова, причем

[xjj^x,).

(О

Если обратная функция F 1 к фта.жп! распределения F может быть найдена явно, то для генерашш рекордных величин применяют метод обратных преобразований. Подробно этот метод изложен в книге [8]. Соответствующие алгоритмы генерирования рекордов основаны на формуле (1). Пусть, например, F - стандартное экспоненциальное распределение. Тогда величина Л*(л) генерируется следующим образом:

-ЦЦ1Л...Ц,).

вдёЕГД/-1=..,,«) - генерации случайных чисел. Если же обратная функция может быть найдена аналитически, то для генерирования рекордов применяют метод выборки с отклонением. Этот метод можно использовать для генерирования нормальных рекордов и гамма рекордов. В недавней работе [4] предлагались методы генерирования: нормальных рекордов. Соответствующие алгоритмы были основаны на методе выборки с отклонением и методе Бокса-Мюллера. Кроме того, в публикации [10] были представлены алгоритмы генерирования рекордов, взятых ¡из распределения, гамма.

В настоящей работе предлагается новый метод генерирования нормальных рекордов.

Алгоритм генерирования нормальных рекордов

В данном исследовании алгоритм генерирования рекордных величин основан на методе выборки с отклонением, который приводится ниже,

Метод еыборт с отклонением. Цель метода — генерация случайной величины.*'. Предположим, однако, что величинуX, с плотностью распределения/, не удается генерировать с помощью метода обратного преобразования. В тоже время с помощью метода обратного преобразования удается генерировать величину?, которая имеет плотность распределения^. Пусть слл•чайные величины X и У имеют один носитель. Найдем константу с>1, такую что с = sup ^Ifl

i si*)

CYBERLENIHKA

и

145-»-92 3 87 t

I

А

ПМРИОГ .

России

Алгоритм 1.

Шаг X: Генерируем 1" -у (с функцией плотности р) и случайное число U-u. f(x\

Шаг 2: Если и<- то полагаем JT = v. В противном случае возвращаемся к

шагу 1.

Отметим, что подбор подходящей случайной величины Y происходи таким образом, чтобы константа с> 1 принимала наименьшее возможное значение. Также известно, что среднее число итераций дгся успешного генерирования очередного значения случайной величины X является геометрической случайной величиной с математическим ожиданием равны л с.

Пусть Ф - стандартное нормальное распределение, а Ф - соответствующая функция плотности распределения, т.е.

Г : - <™ >■

Пусть б дальнейшем X. (72 1) независимые величины со стандартным нормальным распределением Ф_ а Х{п) (»>1) соответствующие рекорды. Из формулы (1) следует, что условная платность величины Л' (л+11 при фиксированном яичеви»Х(») имеет в}[Д:

(2)

Пусть Д* - ——Приведем алгоритм для генерирования нормаль-

ных рекордов

Алгоригп» 2,

ПоследовательностьX(л) (и >1) может быть по.т.'чена следующим образом.

Шаг 1: ГенернруемАЧ1!«Л'1,Л'12),...,Д"|0 до тех пор. пока значениеА~М)

не станет положительным.

Для н > I применим метод выборки с отклонением и следующий рекурсивный подход. Предположим, что величина= хг уже сгенерирована. Шаг 2: Генерируем случайные величины Ц = Щ =щ. Шаг3: Если -!о^м 1 0 -/3')' тоА'<>-1}-л

Иначе, возвращаемся к шагу 2.

Обоснование алгоритма 2.

Почему первые отрицательные рекорды необходимо генерировать прямым методом? Причина кроется в том, что идея алгоритма - применение метода выборки с отклонением н рекурсивного подхода. По этой причине мы сравниваем ПЛОТНОСТЬ /здр'-пичл! (Хп-1 Хп ) С плотностью £1 -VII х„, Д,) - 0„е 1 > , где гд > 0) (выберем позднее) такой, что ^ аппроксимирует / "наилучшим" образом. Стоит заметить, что для положительного виды кривых/ . *(„)(*„-,! *„) " подобны, И, напротив, для отрицательного г - совершенно различны. Таким образом, плотность /не может быть аппроксимирована с помощью £ при любом выборе/? , где л принимает отрицательные значения. Пусть --1,2....- случайные величины такие, что X. <0:...;Х_, <0 иЛ'. >0 . Отметим, что .-является геометрической случайное величиной с математическим ожиданием Ет = 2 . Последнее означает, что в моделирующем эксперименте количество первых отрицательных нормальных рекордов мало и их можно получить прямым методом.

Отметим, что если случайная величина > О пл.) имеет плотность у | Яд, Д, то У можно получить следующим образом

У=у=х„-

1ог»

где 1/>» к случайное число.

Теперьнайдем г.Имеем

Iх.)

с- зир ---=

д-Д^+ЙЧ

зир е 1 ■ -'' " .

' -Дта-ФСя))/?. "

(4)

Поскольку "лучший" выбор /1 б £ зависит от текущего значения л , мы имеем два возможных варианта.

(1) Пусть 0 < х, <р. Заметим, что супремум в (4) достигается при л,. = Д.

Пусть /?' такое, что с' =с (Д") = ¡а? В таком случае

А

'(У) е"

1 ^21(1-Ф(л))Д- а-Ф(л„» Д

(5)

Кроме того, будет выполняться утверждение. что с," =с,(Д") = М (¡(Д,). В

частности

да

Рассмотрим другой случая.

(2) Пусть б < /? < у . Заметим, что супремум в (4) достигается при - у

Пусть Д" такое, что г' =с.(Д')= са (/? ). Можно показать, что в таком случае Д* - .г„ и

С11

■Дп 1 -ФСОХ.

Из формулы ((3} следует. что с' <<-'. Последнее неравенство говорит о том, что алгоритм следует строить, основываясь на варианте (1). При этом неравенство в Шаге 3 следует из утверждения (3) и неравенства

Ул I.1. , II '

II, <-........

Теперь рассмотрим поведение алгоритма при длительной работе. Замечание. Справедливо следующее асимптотическое соотношение.

Доказательство, Поскольку

К-Хп-

Ф(хУ ■ а-Фс-v Ж

(г. ->■ X).

Пусть Ш{ ") (и 11) - последовательность нормальных рекордов. Из теорш!

М.Я

рекордов известно, что Л*( н)-*®. Из данного замечания следует, что алгоритм (основанный на методе выборки с отклонением) со временем работает также, как алгоритм, основанный на методе обратных преобразований При длительной рабоге алгоритма 2 почти каждая генерация ¥ принимается и становится новой рекордной величиной. Таким образом, алгоритм является быстрым и эффективным.

Апробация результатов. Пользуясь вышеизложенным методом, автор статьи успешно генерировал нормальные рекорды. Были получены 10 миллионов генераций вектора!Л'(1|,,..,.1'(10)). Результаты генерашй были сравнены с оценками, основанными на векторе выборочных средних значений и ковариационной матрице. Данные оценки, в свою очередь, были полученными в результате численного интегрирования. Совпадение результатов оказалось очень хорошим. Кроме того, данный алгоритм, при сравнении с другими известными алгоритмами, описанными в работе [4], оказался несколько эффективнее, позволив генерировать последовательности больших размеров.

Список литературы и источников

1. Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория. М. ФАЗИС, 2000.

2. Arnold B. C, Balakrishnan N, Nagaraja H. N. Records. John Wiley & Sons, New York, 1998.

3. Bairamov I., Stepanov A. Numbers of near bivariate record-concomitant observations. -Journal of Multivariate Analysis. 2011. Vol. 102. P. 908-917.

4. Balakrishnan N, So H.Y., Zhu X.J. On Box-Muller Transformation and Simulation of Normal Record Data. - Communication in Statistics - Simulation and Computations. 2016. to appear.

5. Chandler K.N. (1952). The distribution and frequency of record values, J. Royal Statist. Soc. -Ser. B, Vol. 14. P. 220-228.

6. Luckett D.J. Statistical Inference Based on Upper Record Values, PhD thesis, The College of William and Mary. 2013.

7. Nevzorov V.B., Stepanov A. Records with confirmation. - Statistics & Probability Letters. 2014. Vol. 95. P. 39-47.

8. Ross S.M. Simulation, Elsevier, 4-th Edition. 2006.

9. Stepanov A., Berred A., Nevzorov V.B. Concomitants of records: Limit results, generation techniques, correlation. - Statistics & Probability Letters. 2016. Vol. 109. P. 184-188.

10. Pakhteev A., Stepanov, A., 2016. Simulation of Gamma Records. Statist. Probab. Lett. 119, 204-212.

References

1. Nevzorov V.B., 2000, Rekordy. Matematicheskaya teoriya. M. FAZIS, 2000.

2. Arnold B. C., Balakrishnan N., Nagaraja H. N., 1998, Records. John Wiley & Sons, New York, 1998.

3. Bairamov I., Stepanov A., 2011, Numbers of near bivariate record-concomitant observations. - Journal of Multivariate Analysis. 2011. Vol. 102. P. 908-917.

4. Balakrishnan N., So H.Y., Zhu X.J., 2016, On Box-Muller Transformation and Simulation of Normal Record Data. - Communication in Statistics - Simulation and Computations. 2016. to appear.

5. Chandler K.N. (1952). The distribution and frequency of record values, J. Royal Statist. Soc. -Ser. B, Vol. 14. P. 220-228.

6. Luckett D.J., 2013, Statistical Inference Based on Upper Record Values, PhD thesis, The College of William and Mary. 2013.

7. Nevzorov V.B., Stepanov A., 2014, Records with confirmation. - Statistics & Probability Letters. 2014. Vol. 95. P. 39-47.

8. Ross S.M., 2006, Simulation, Elsevier, 4-th Edition. 2006.

9. Stepanov A., Berred A., Nevzorov V.B., 2016, Concomitants of records: Limit results, generation techniques, correlation. - Statistics & Probability Letters. 2016. Vol. 109. P. 184188.

10. Pakhteev A., Stepanov, A., 2016. Simulation of Gamma Records. Statist. Probab. Lett. 119, 204-212.