Алгоритм функционирования имитационной модели процедуры калибровки инерциальной навигационной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7

АЛГОРИТМ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕДУРЫ КАЛИБРОВКИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

М.А. Щипицына

В работе [1] выполнено математическое описание для процедуры калибровки инерциальной навигационной системы (ИНС) на движущемся объекте относительно вращающейся Земли. Следуя методу этой работы и использованным в ней обозначениям, но принимая основное допущение о том, что ИНС-А и ИНС-В функционально можно разделить на три подсистемы, каждая из которых представляет собой одноосную стабилизированную в инерциальном пространстве площадку и установленные на этой площадке два взаимно ортогональных акселерометра, расположенных в плоскости, перпендикулярной оси площадки, найдем решение задачи для одной такой подсистемы, т.е. частной задачи. Изменяя ориентацию оси площадки путем циклической перестановки, получим решение общей задачи для платформенных ИНС-А, ИНС-В.

1. Постановка задач

Платформенные эталонная ИНС-А и калибруемая ИНС-В установлены на объекте так, что начала связанных с ними системы координат (СК) совпадают с заданными точками Ол, Ов объекта (рис. 1).

Рис. 1. Расположение на объекте ИНС-А и ИНС-В

Модели погрешностей площадки и акселерометров ИНС-В имеют вид:

A Q^fg+lfcf+lfaZ; (1)

AAi=Pi£+P*a?+Pii4, (2)

где af - проекции вектора кажущегося ускорения в СК ZB связанной с площадкой ИНС-В; Pf, Ру, i = 1, 2; у = 0, 2 - подлежащие определению калибровочные коэффициенты (КК), являющиеся постоянными.

Движение объекта в плоскости OzZxZ2, связанной с Землей СК, задано функциями:

q(t) = aP sin со/, t е [/0, Г]; (3)

Щ(0 = ant2 + ant, i = 1, 2; fe[/0,T], (4)

где q - угол поворота вокруг оси Z3, перпендикулярной плоскости движения, Wt - проекции вектора ускорения точки О y - объекта на оси СК Z.

Задача заключается в разработке:

• имитационной модели (ИМ) для процедуры определения КК площадки и акселерометров ИНС-В и составлении алгоритма функционирования этой ИМ;

• алгоритма определения КК для ИНС-В на основе заданной априорной информации о величине гравитационного ускорения, измерений: сигналов датчиков углов ИНС-А QÁ = q, ИНС-В QB, сигналов акселерометров ИНС-А Af =a¡, сигналов акселерометров ИНС-В Af.

Поставленные задачи будем решать при допущениях:

• не учитываем вращение Земли;

• гравитационное поле в объеме объекта является одинаковым во всех его точках.

2. Математическое описание для решения поставленных задач

Модель погрешности площадки (1) представляет собой дрейф (уход) площадки от идеальной стабилизации в горизонтальной плоскости, определяемой площадкой ИНС-А, а поэтому на основе AQ необходимо определить AQ. А так как количество неизвестных КК площадки ИНС-В равно трем, то нужно иметь величины AQ, определенные для трех разных моментов времени, и для определения КК площадки следует использовать систему уравнений

- PqQ + + Р?4г = Aá; (5)

P0Q+P?a?3+P?a*3=AQ3.

В рассматриваемой задаче принято

AQ = (sin QB - sin q)/cos q, где q = QÁ.

Найдем решение системы (19) в виде:

Pcf=D(j¡DQ, у = 0Д (6)

где Ив - определитель системы; £>? - определитель, получаемый из О® заменой элементов 7-го столбца свободными членами системы.

Для решения задачи по определению КК акселерометров ИНС-В в качестве исходной информации используем известные векторные равенства, выражающие зависимости векторов ускорений точек Ол, Ов твердого тела от ускорения точки Оу этого тела (в нашем случае - объекта):

1УЛ = Ж + ехЬа+&х{пхЬА), (7)

Рр = Ж + ехЬв+Пх{п.хЬв), (8)

где (V — вектор ускорения точки Оу объекта; О, в

- векторы угловой скорости и углового ускорения

объекта соответственно; I? =ОуОА, Ьв = ОуОв

- радиус-векторы положения точек 0А, Ов относительно ТОЧКИ Оу (рис. 1).

(9) (10)

Жл = Ал + &

Жв=Ав+§,

где, согласно допущению, g - вектор гравитационного ускорения любой точки объекта; Ал, Ав

- векторы кажущихся ускорений точек Оа, Ов объекта.

Обозначим символами 1¥л, Жв вектор IV, входящий соответственно в первое и второе полученные равенства, фиксируя этими обозначениями факт «определения» этого вектора на основе информации соответственно с ИНС-А, ИНС-В. Критерием неидеальности является вектор

АЙ' = (Гв-ГГа. (11)

С учетом (9), (10) перепишем (7), (8):

г А _ лА , ~1 Г7! гА

}ул =Ал+ё-гх1л-0.х

{пхЬл), о.х{ахі?).

(12)

=А° +8-ехГ-Пх{Пх1?). (13)

После записи векторных равенств (12), (13) в скалярной форме, получим (г'= 1,2):

Щ = £<*Ав -Я/-1Г,1 = 1ГВ -ЩА, (14)

где

7=1 ,АВ ґ и А г

^ = 1^(Н*2е-Н*1П1)-1?(Н*2Пг + Н*е), (15) IА, Ьв, g¡ - заданные величины, П, е - вычисляемые величины на основе измерений угла Ол = <7 датчиком угла ИНС-А путем дифференцирования по времени:

& = (16) £■=<?• (17)

На основе сравнения этих величин можно определить выражения для ААв, после чего можно определить КК акселерометров ИНС-В.

Сигналы А} акселерометров ИНС-В имеют

погрешности АА. , что можно записать в виде:

Ав =ав+ААв.

7 } } •

(18)

где ав — точные значения проекции вектора кажущегося ускорения точки Ов объекта в СК 2е, входящие в выражения моделей (1), (2).

Тогда из (14) получим:

±Щ

7=1

= а; + Шг +Ж>1’ *' =!» 2- (19>

7=1

Уравнения (19) запишем в виде:

¡НавААв +Н^ААВ

\н^ААв + Н^ААВ =^2, где ^ = Аб, соз^.

Решив эту систему, найдем:

\аав=наврх-\аав = Н^Р2 ■

ТгАВ 77’ . " “12

(20)

где

=а,- +АШ, + Ш1ь-(НАВав + НАВав), ¿ = 1,2. (21) Имеет место векторное равенство:

= аА-ех£ав -Йх^хР3”), (22)

которое в скалярной форме есть:

аВ ='£НАВ^+1¥,Ь, 1=1,2. (23)

7=1

Таким образом, правые части уравнений (2) известны.

Найдем КК акселерометров ИНС-В, используя переобозначение:

АА, = ААВ, 1 = 1, 2. (24)

Используем уравнения (2), где величины АА1

определены для трех разных моментов времени

%, к = 1,3.

Р?, + РАА+Ра4, =ААП; РА+РАав2+РАав2=АА12, (25)

РА + РАав + РАав3 = АЛ*, »= 1, 2.

Найдем решение систем (25) в виде:

РА = ИА /оА , / = 1, 2, у = ОД (26)

где ВА - определитель системы; ИА - определитель, получаемый из Ол заменой элементов у-го столбца свободными членами системы.

3. К решению задачи разработки имитационной модели процедуры определения КК ИНС-В

Для решения задачи разработки ИМ определения КК необходимо задать:

• модели (имитаторы) измеренных величин: сигналов датчиков углов и сигналов акселерометров ИНС-А, ИНС-В;

• модели (имитаторы) определяемых ЮС площадки и акселерометров ИНС-В;

• критерии точности определения КК. Модели сигналов датчика угла площадки и

акселерометров ИНС-А зададим в виде:

Qa = q = a9 sin сùt; (27)

ai = а,2{2 + - 8n / = 1> 2- (28>

Для задания сигналов датчика угла площадки и акселерометров ИНС-В необходимо вначале задать соответствующие модели погрешностей дрейфа площадки

A QB = Р0в + PfaB + Р?4, (29)

где Pf, у = 0, 2 - модели (имитаторы) КК площадки ИНС-В, и акселерометров:

АД- = + Pfai + PtÎ «2. ' = 1. 2, (30)

где Ру , i = 1, 2, 7 = 0, 2 - модели (имитаторы)

КК акселерометров ИНС-В.

Модель погрешности для угла площадки ИНС-В имеет вид:

t

AQB =AQB(.t0)+ ¡AQB(t)dt, (31)

*о

а значит, модель сигнала датчика угла площадки ИНС-В:

QB =q + AQB. (32)

Имея (30), можно определить модели сигналов акселерометров ИНС-В

Ав =aB+AÂ,, / = Г2. (33)

В качестве критериев точности определения КК введем величины относительных погрешностей КК:

Sf = |Pf- Pf |/Pp, j = ÔT2; (34)

S* = \ptf - Ц |//>/, 1 = 1, 2, j = 5Д (35) где в качестве эталонных значений выступают заданные модели (имитаторы) КК: Ру , Ptf .

Введем величины вида:

s°=\±sf-. (36)

5 j=0

s"=ïiisl- <37>

° (=1 J=о

представляющие собой средние арифметические величины относительных погрешностей всех КК площадки (S6) и относительных погрешностей всех КК акселерометров (S4) и принимаемые в качестве обобщенных критериев точности алгоритма функционирования имитационной модели (ИМ) процедуры калибровки.

4. Решение задачи разработки алгоритма функционирования ИМ процедуры определения КК

Предполагаем, что:

• процедура калибровки ИНС-В начинается сразу после окончания процедуры выставки ИНС-В на основе информации с ИНС-А;

• в первую очередь осуществляется калибровка акселерометров ИНС-В, а затем - калибровка площадки ИНС-В;

• калибровка акселерометров осуществляется за малое время. В этом случае можно допустить, что в течение всего интервала времени калибровки акселерометров ориентация площадки ИНС-В совпадает с ориентацией площадки ИНС-А, а значит, в этом случае АQ = 0.

Определим значения исходных параметров. Значения моделей КК площадки ИНС-В зададим такими, чтобы выполнялись условия:

\Р$ + Р^ + Р^\<Аа, (38)

где А О, - заданная модельная величина дрейфа (ухода) площадки ИНС В. Из (38):

Щ = 1/ЗД&, (С"1);

- ^ = 1/3 - Лё., (С/м); (39)

Р? =1/3-А&/ё, (с/м).

Значения моделей КК акселерометров ИНС-В зададим из условий

\Р?0+Р?}ё + Р?2ё\<АА, (40)

где АА« - заданная модельная величина абсолютной погрешности измерения ускорения. Из (40)

Р* г 1/3 ДА, (м/с2);

• Р^ = 1/3 • АЛ, /ё, (безразмерная); (41)

Ра = 1/3 ■ АЛ /#, (безразмерная).

В качестве исходных параметров о проекциях вектора кажущегося ускорения целесообразно иметь средние значения соответствующих проекций на интервалах времени [0; /2], [0; %], т.е. величины вида

а% =- ¡а,(0Л, /=1,2, к = 2,3. (42)

Ч о

Подставив (28) в (42), получим:

1 ^

а* =Г /(а'2*2+ал'“&)<**

гк о

или

а/к ~ УЧ (1/3а/2^ + 1/2а;]?£ —g¡tь),

или

<4 = 1/3а,-24 + V2а,А -я,, г = 1,2, к = 2,3. (43)

Полагая к = 2,3, запишем (43):

(l/31\ ) а,2 + (1/212 ) а„ = aci2 + g, ; (l/31\ ) а,2 + (1/2 Ц ) а„ = а% + g,. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника», выпуск 7

Решая систему (44) относительно а/ь а/2, получаем

a V=D?/D&, (45)

где обозначено:

Що = —1/6 (t3-t2)t2t3; (46)

=l/2í|(<3 +ft)-l/2í32(«& +ft)í (47)

D% =l/2t3(á¡2 +g,)-l/2/2(4 +g,). (48)

Если ввести коэффициенты кратности g, то

áí=K%g, 1 = 1,2, ¿ = 2,3. (49)

Задавая АТ,™, вычисляем по формулам (49),

затем вычисляем D$¡, Dya по формулам (46)-(48) и

находим коэффициенты щ, необходимые для получения модели сигналов акселерометров ИНС-А.

Алгоритм функционирования ИМ процедуры определения КК представляет собой последовательность действий:

1. Задать: g - модуль g (м/с2); t0 = 0 - начальный момент времени (с); tx, t2, h - первый, второй, третий моменты времени (с); Т - конечный момент времени; NB ,Nl- количество точек решения, вывода; оР - амплитуда угловых колебаний (рад); со -частота угловых колебаний (с-1); КХ2, Кхз, К22 ,

к% (-); ZÍ4, 4, I?, 4 (м); Щ, (с"1); Р?, Щ (м/с); PXQ, Р20 5 (м/с ); Рхх, Р2[, РХ2, Р22 (~)•

2. At = (T-t0)/NB; al по (49); £$, Dfc D% по (46H48); ay- по (45); if = I?-L?, i = 1, 2; t = t0.

3. AQB =0, Ag = 0.

4. tp=t + At, tpp=t + 2At.

5. íy=a-sinra?, qp=tPwuatp, q№=aPsmwtpp no (27); a¡ no (28).

6- Q = (^~?)/Aí; 8 = (^í¡p-2í/,+í)/(Aí)2 (численное дифференцирование (ЧД)), Hxx =cosq, HX2 = — sin <7, H2X = sin q, HA22 = eos q,

Hxf = cos(A0, tf,f = -sin(A0, Hg = sin(Ag), H?2B =cos(A 0.

7. ^ = t , i, j = 1, 2; ^ no (15).

m=\

8. af no (23).

9. A¿B, ДД no (29), (30).

10. AQB =AQB+A¿BAt (ЧД).

11. QB =q + AQB; A? =a? +AA¡, / = 1, 2 no (32), (33).

12. Д£? = (бш - бш ^)/соб я; ^ ,

АЖ, по (14).

13. ДЖ( =Ж;В-ЖД / = 1,2; ^ по (21).

14. АЛ; по (20).

15. г = /+Аг, гр =г+Ал, ¿рр = /+2Дг.

16. <7 = а^зто#, ^р=аезт(йГр, ^/р=аезтсоГ/?, по (27).

17. Q = (qp-q)/At; е = {qpp-2qp +q)/(At)2; Я^=со8^, НХ2 =-smq, H2X=sm.q, H22=cosq; НХАХВ = СО8(А0, Я^=-зт(Д0, Я2^=5т(А0,

=соз(А0.

18. Я; = ^ЯХ, '=7 = 1. 2; а, по

т=1

(15), (28).

19. а* по (23).

20. Д^ по (29).

21. Аёв=Дёв+Д2вА^ поп. 10.

22. О? =q + AQв поп. 11.

23. AQp =(smQв -smq)/cosq.

24. А& = №р-АО)Ш (ЧД).

25. Если (^>^-0,5Д/) и (/ < -ь0,5А?), то ДЙ =ДЙ ААп=АА,; ав=ав, # = 1, 2.

26. Если (? > ?2-0,5Д*) » (?<?2 +0,5Д?), то

Ай2 =аё; м2 =М; 4 =*/*, * = 1. 2.

27. Если (^>^3-0,5А() и (/ </3 +0,5Д/), то

Дёз =ДЙ Мз =Д4; ав=ав, / = 1, 2.

28. / = ^ + Д?.

29. Если ? < Т, то п. 4.

30. ^, Р* по (6), (26).

31. 5®, ^ по (34), (35).

32. 5е, ^ по (36), (37).

33. Вывести: Р®, !3%, Бв, Р$, 5*, Бл.

34. Закончить.

Заключение

На основе этого алгоритма разработана программа, реализующая имитационную модель процедуры определения КК для трехосной стабилизированной платформы (ТСП) и трех акселерометров ИНС-В (рис. 2), на вход которой подается информация о номерах акселерометров (/), а значит, и об ориентации оси площадки, о проекциях вектора гравитационного ускорения ((},) и проекциях радиус-векторов начал связанных с ИНС-А, ИНС-В систем координат (X,), моделях сигналов датчиков углов

ИНС-А, ИНС-В (<?,, ¡2;) и моделях сигналов акселерометров ИНС-А, ИНС-В (а„ А¡), а выход которой - г - 2,3

величины КК платформы и акселерометров (рис. 3).

3 Аа=^+^«2+^з; А^2 = ^20 + ^22 а2 + ^23а3> А^з = РАа + Р32а2 + Р3Аа3. 1 лі с,,ь,

I |/43

ж> 1 И1 % <*І. Яг А,

3 ~ + Р%а\ + ^23а3’

1 .V К Мх=РА+РАах+РАа3- » 1,3

А^з = -^зо + ¡я а\ + ^зз «з ■

Лбз = ^30 + Р?Х а\ + Руї а2 І 2 А2 о,,і,

і 0-,

г М.х=РА+РАхах+РАа2, {АА2=РА+Р2лхах+РАа2. Ш ?2, а,, 02, Л,-

Рис. 2. Варианты установки датчиков и математические описания для подсистем 1, 2 и 3

Литература

1. Щипицын, А. Г. Математическое описание для процедуры калибровки инерциалъной навигационной системы / А. Г. Щипицын // Вестник ЮУр-ГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». — 2007. — Вып. 5, № 7(79).

- С. 52-61.

2. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. -М.: ГИФМЛ, 1961. - 824 с.

1.2

АЪ

из

?з.а,, 0у Аі

Рд 40 А?

р@ М2 А?

РЄ ■чз я8 43

ВБ1 * *20

РА 22 РА 23 Р® 20 об *21 23

рА '30

^32 РА 133 «С *30 А?

»с? Г20 рО “УХ

рО 2\

4 рл 40 п-4 41

ЙК9 4

чі

р'1 43 /И 42

рА г30 АІ РА 43

4 ^20

'21

Ре гзо

л0

Г31 22

Р2 Г32 РА 23

рА МО рл ■41

рЛ *30

рА *31 РА Г32

гИ Г10 рА Г21

п'1 7 22 Р'1 гзз

Рис. 3. Блок-схема определения КК ТСП