CC BY
17
Intellectual Technologies on Transport. 2022. ^ 1
Б01: 10.24412/2413-2527-2022-129-29-33
Алгоритм двухранцевой упаковки с ограниченным межранцевым обменом
д.т.н. А. Г. Басыров, А. В. Калюжный Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского Санкт-Петербург, Россия alexanderbas@mail.ru, aleksei.kalyuzhnyi@yandex.ru
Аннотация. Рассматривается ОТ-полная задача упаковки двух ранцев с возможностью ограниченного обмена между ними упаковываемыми объектами. Приведена вербальная и математическая постановка задачи двухранцевой упаковки объектов с ограниченным межранцевым обменом.
Разработан «жадный» алгоритм, решающий поставленную задачу. Введен показатель качества упаковки объектов по ранцам, характеризующий произведение значения прочности ранцев на долю их объема, заполненного объектами. Приведен пример работы алгоритма и результаты экспериментов, подтверждающие его качество. Схематично представлена упаковка ранцев при нулевом объеме буферов, при объеме буферов, равном 1 и 3. Получена зависимость среднего и нижнего значений показателя качества упаковки, его среднего квадратичного отклонения от размера буфера.
Ключевые слова: алгоритм упаковки ранцев, показатель качества, межранцевый обмен, ограниченный буфер, доверительный интервал.
Введение
Проблемы планирования информационных процессов возникают во многих прикладных задачах. В системах реального времени требование получения оптимального плана, как правило, отсутствует ввиду высокой временной и ресурсной сложности его синтеза. В статье рассмотрено применение известного приближенного алгоритма, решающего задачу «об упаковке ранца» [1-4], для решения задачи планирования загрузки двух удаленных друг от друга бортовых систем блоками целевой информации с возможностью ограниченного информационного обмена между ними.
Классическая задача об упаковке ранца (рюкзака) заключается в необходимости упаковать некоторый набор объектов разного приоритета и размера в ранец ограниченной вместимости [5, 6]. В статье предложено решение задачи, заключающейся в упаковке двух ранцев двумя соответствующими наборами объектов с возможностью ограниченного обмена объектами между исходными наборами.
Алгоритм решения этой задачи может быть использован в таких прикладных областях, как логистика, планирование, параллельные вычисления, системы связи и др. Задача относится к классу МР-полных [7, 8] и для ее решения в условиях временных ограничений целесообразно использовать приближенные методы или эвристические алгоритмы, которые позволят получить результат, близкий к оптимальному, за приемлемое время. Данной проблеме уделено много внимания [9-14], что подтверждает ее актуальность.
д.т.н. А. Д. Хомоненко Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия
khomon@mail.ru
Постановка задачи планирования упаковки
двух ранцев с ограничением на межранцевый обмен
Дано:
Два удаленных друг от друга ранца вместимостью ¥1 и ¥2, прочностью р1 и р2 соответственно.
Множество предназначенных для упаковки в ранцы объектов А = {а.1, а2,..., а^, аМ1+1, аМ1+2,..., причем объекты с номерами 1, ..., М расположены вблизи первого ранца, а с номерами N1 + 1, ..., N1 + N2 — вблизи второго.
Каждый /-й объект имеет размер V/ и приоритет п, / = 1, ..., n[+n2.
Имеется возможность переместить часть объектов, расположенных вблизи первого ранца (с номерами 1, ..., М) общим объемом не более ^12, во второй ранец, а также наоборот — переместить часть объектов, расположенных вблизи второго ранца (с номерами n1 + 1, ..., n1 + n2), общим объемом не более ^21, в первый ранец.
Найти:
Значения булевых переменных х^ Е {0,1} и У1 Е {0,1}, / = 1, ..., м+%, где х / = 1 при размещении / -го объекта в первом ранце, у/ = 1 — во втором ранце, х/ = 0 и у/ = 0, если -й объект не размещается, таких, что
^ П х (р1 х х1 + р2 х у1) ^ тах (1)
1=1
при ограничениях
х1 + у1< 1 ;
N1+N2
^ Х1 х у1<У1 ;
1=1
N1+N2
^ У1 х У1<у2 ;
1=1
N1
х < ;
1=1
N1
^ х1 х УЬ< и^21 .
¿=№1 +1
Первое ограничение означает, что один и тот же объект не может быть помещен одновременно в два ранца.
Второе ограничение означает, что суммарный размер всех объектов, размещаемых в первом ранце, не может превышать его объем.
Третье ограничение означает, что суммарный размер всех объектов, размещаемых во втором ранце, не может превышать его объем.
Четвертое ограничение означает, что суммарный размер всех объектов множестваA, перемещаемых для размещения во втором ранце, не может превышать установленный объем W12.
Пятое ограничение означает, что суммарный размер всех объектов множества A, перемещаемых для размещения в первом ранце, не может превышать установленный объем w21.
Ниже представлен относящийся к классу «жадных» разработанный алгоритм решения поставленной задачи, который на каждом шаге пытается упаковать в ранец наиболее приоритетный объект.
Алгоритм двухранцевой упаковки объектов
с ограниченным межранцевым обменом
В настоящее время существует ряд приближенных алгоритмов, решающих задачу упаковки. К наиболее известным можно отнести:
- первый подходящий — FF (First Fit);
- наилучший подходящий — BF (Best Fit);
- первый подходящий с убыванием — FFD (First Fit Decreasing);
- наилучший подходящий с убыванием — BFD (Best Fit Decreasing).
В статьях [15, 16] представлены доказательства того, что асимптотический коэффициент приближения алгоритмов упаковки FF и BF к оптимальному равен 1,7, а в статье [17] доказывается что данный коэффициент для алгоритмов FFD и BFD не превышает значения 1,22.
Разработанный алгоритм можно отнести к алгоритму FFD, но с добавлением возможности обмена объектами между ранцами через ограниченный по размеру буфер. Описание работы алгоритма приведено в таблице 1.
Таблица 1
Описание работы алгоритма
Шаги Действия
1. Начало.
2. Создать множество и = (м;}, , = 1, ..., М+№, где и, = 1, если , < N1, и, = 2 - в противном случае.
3. Перенумеровать элементы множества А и соответствующие им элементы множества и в порядке невозрастания значений 111/VI, , = 1, ., N+N2
4. Присвоить номер 1 ранцу с наибольшим значением х У!
5. х, ■= 0,у 1 ■= 0 для всех , = 1, М+№. Установить в ноль счетчики: , — количества объектов; С1 — занятого объема первого ранца; сг — занятого объема второго ранца; С12 — объема переданных объектов от первого ранца ко второму; с21 — объема переданных объектов от второго ранца к первому.
6. , ■= , + 1
7. Если , > М+№, то переход на шаг 12.
8. Если и1 = 1 и С1 + V, < У то х, ■= 1, С1 = С1+ V,. Переход на шаг 6.
9. Если и1 = 1, и С1 + V, > У1, и С12 + V, < ^12, и Уг > С2 + V, , то у! ■= 1, С2 = С2+ V,, С12 = С12 Vи Переход на шаг 6.
10. Если и, = 2 и С2 + V, < У, то у 1 ■= 1, С2 = С2+ V,. Переход на шаг 6.
11. Если и1 = 2, и С2 + V, > У2, и С21 + V, < м>21, и У > С1 + V,, то, у, ■= 1, С1 = С1+ VI , С21 = С21+ V,. Переход на шаг 6.
12. Конец.
Если рассмотреть вышеописанную постановку задачи с учетом отсутствия приоритетности объектов, то целевая функция (1) примет вид
n±+N2
I
i=1
Щ (Pi + Р2У1) ^ max ,
(2)
а упорядочивать объекты множества А и соответствующие им элементы множества и на шаге 2 алгоритма необходимо в порядке неубывания значений v,, , = 1, ...,
Показателем качества 4 распределения объектов без учета их приоритетов по ранцам будем считать нормированную в диапазоне [0,1] величину
N■¡^+N2
Р2
* =1 (!Ь+
V2
) ,
(3)
характеризующую произведение значения прочности ранцев на долю их объема, заполненного объектами.
Рассмотрим работу алгоритма на примере.
Пусть дано два ранца с объемами У = 10 и У2 = 10 и прочностями р1 = 0,8 и р1 = 0,2. Вблизи первого ранца находятся объекты с размерами 3, 4 и 5, вблизи второго ранца — объекты с размерами 1, 2, 4, 5. Положим, что приоритеты объектов одинаковые (рис. 1).
Рис. 1. Исходные данные для примера
При отсутствии буфера между ранцами, рассмотренным алгоритмом объекты упакуются так, как указано на рисунке 2.
Рис. 2. Упаковка ранцев при нулевом объеме буферов
Сначала в ранцы складываются объекты с наибольшим значением удельного приоритета п^/у^, а так как приоритеты одинаковые, то удельный приоритет будет зависеть только от объема объектов — чем меньше объем объекта, тем больше его удельный приоритет. Рассчитаем показатель качества распределения объектов без учета их приоритетов согласно (3).
При отсутствии обмена между ранцами, то есть если ^12 и ^21 равны 0, то ^0 = 0,7.
Теперь увеличим объем буферов с 0 до 1. Объект размером 1, находящийся вблизи второго ранца, будет передан в первый ранец, так как первый ранец имеет большую прочность (рис. 3). Показатель качества при этом составит ^ = 0,76.
Таблица 2
Изменение среднего и нижнего значения показателя качества, СКО при изменении размеров буферов между ранцами
Рис. 3. Упаковка ранцев при объеме буферов, равном 1
Увеличим объем буферов до 3. Теперь объекты с размерами 1 и 2, находящиеся вблизи второго ранца, будут переданы в первый ранец (рис. 4). Показатель качества увеличится до = 0,98.
Р1 = 0,8 Рг — 0,2
Рис. 4. Упаковка ранцев при объеме буферов, равном 3
Проведя анализ полученных данных, можно сделать вывод, что даже при небольшом увеличении объема буфера между ранцами более «прочный» ранец заполняется быстрее вследствие чего показатель качества существенно растет.
Для проверки качества разработанного алгоритма проведен ряд экспериментов, исходными данными для которых являлись следующие.
Размеры ранцев ¥1 = 100 и ¥2 = 100, прочности р1 = 0,8 и р2 = 0,2, количество объектов рядом с каждым из ранцев составляет 15, объемы объектов равномерно распределены в интервале от 20 до 50 и выбираются случайным образом, приоритет объектов равен 1.
Для каждых 106 экспериментов менялся размер буферов между ранцами от 0 до 100 с шагом 10. Зависимость среднего и нижнего значений показателя качества упаковки (3), его среднего квадратичного отклонения (СКО) от размера буфера приведена в таблице 2.
Размеры буферов Среднее значение показателя качества Нижнее значение показателя качества СКО
0 0,818 0,530 0,096
10 0,819 0,533 0,095
20 0,816 0,534 0,093
30 0,812 0,536 0,091
40 0,808 0,538 0,090
50 0,813 0,534 0,089
60 0,819 0,546 0,085
70 0,824 0,558 0,083
80 0,827 0,565 0,083
90 0,825 0,584 0,082
100 0,828 0,622 0,081
Средние и нижние значения показателя качества (3) для различных значений размера буферов обмена приведены в таблице 2. Доверительный интервал для среднего значения показателя качества (3) с уровнем доверия 95 % по каждой строке таблицы не превышает 0,2 % его среднего значения, что свидетельствует о высокой надежности полученной оценки. Нижнее значение показателя качества (3), увеличивается на 15 %, а СКО уменьшается на 16 % с увеличением буферов обмена, что в свою очередь говорит о влиянии размеров буферов на показатель качества расперделения объектов по ранцам.
Заключение
Разработан алгоритм, решающий задачу двухранцевой упаковки с возможностью ограниченного межранцевого обмена. Приведен пример работы алгоритма, а также проведены эксперименты, показывающие, что доверительный интервал не превышает 0,2 % среднего значения показателя качества. Нижнее значение показателя качества увеличивается на 15 %, а СКО уменьшается на 16 % при увеличении буфера обмена. Представленный алгоритм может быть использован для решения широкого круга задач от обмена данными в телекоммуникационных системах до организации доставки товаров транспортными компаниями.
Разработанный алгоритм, в отличие от известных, учитывает «надежность» ранцев и возможность обмена между ними упаковываемыми объектами с учетом размеров буферов обмена.
Литература
1. Гудман, С. Введение в разработку и анализ алгоритмов = Introduction to the design and analysis of algorithms / С. Гудман, С. Хидетниеми; пер. с англ. под ред. В. В. Мар-тынюка. — Москва: Мир, 1981. — 368 с.
2. Fisher, M. L. Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms // Managment Science. 1980. Vol. 26, No. 1. Pp. 1-17. DOI: 10.1287/mnsc.26.1.1.
3. Coffman, Jr., E. G. Approximation Algorithms for Bin-Packing — An Updated Survey / E. G. Coffman, Jr., M. R. Ga-rey, D. S. Johnson // Algorithm Design for Computer System
Design I G. Ausiello, [et al.] (eds). — Wien: Springer-Verlag, i984. — Pp. 49-106. — (International Centre for Mechanical Sciences: Courses and Lectures, Vol. 284). DOI: i0.i007/978-3-709i-4338-4_3.
4. Johnson, D. S. Fast Algorithms for Bin Packing II Journal of Computer and System Sciences. 1974. Vol. 8, Is. 3. Pp. 272-3i4. DOI: i0. i0i6/S0022-0000(74)80026-7.
5. Dyckhoff, H. Cutting and Packing in Production and Distribution: A Typology and Bibliography / H. Dyckhoff, U. Fin-ke; with support U. Viethe. — Heidelberg: Physica-Verlag, i992. — 257 p. — (Contributions to Management Science). DOI: i0.i007/978-3-642-58i65-6.
6. Левин, М. Ш. Упаковка в контейнеры (перспективные модели, примеры) // Информационные процессы. 20i7. Т. 17, № 1. C. 43-60.
7. Karp, R. M. Reducibility Among Combinatorial Problems // Proceedings of a Symposium on the Complexity of Computer Computations (New York, USA, 20-22 March 1972) I R. E. Miller, [et al.] (eds). — New York: Plenum Press, 1972. — Pp. 85-i03. — (The IBM Research Symposia Series).
DOI: i0.i007/978-i-4684-200i-2_9.
8. Garey, M. R. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness I M. R. Garey, D. S. Johnson. — New York: W. H. Freeman and Co., i979. — 351 p.
9. Coffman, Jr., E. G. Bin Packing: Maximizing the Number of Pieces Packed I E. G. Coffman, Jr., J. Y.-T. Leung, D. W. Ting // Acta Infomatica. i978. Vol. 9, Is. 3. Pp. 263-27i.
DOI: i0.i007/BF00288885.
10. Coffman, Jr., E. G. Combinatorial Analysis of an Efficient Algorithm for Processor and Storage Allocation / E. G. Coffman, Jr., J. Y.-T. Leung // SIAM Journal on Computing. 1979. Vol. 8, Is. 2. Pp. 202-2i7. DOI: i0.ii37/02080i6.
11. Фуремс, Е. М. Обратная задача об упаковке в контейнеры при наличии качественных критериев — постановка и обзор применимых методов // Искусственный интеллект и принятие решений. 2016. № 3. С. 31-43.
12. Фуремс, Е. М. Приближенное решение обратной задачи об упаковке в контейнеры с учетом предпочтений лица, принимающего решения // Искусственный интеллект и принятие решений. 2018. № 3. С. 112-121.
DOI: 10.14357/20718594180321.
13. Wäscher, G. An Improved Typology of Cutting and Packing Problems / G. Wäscher, H. Haußner, H. Schumann // European Journal of Operational Research. 2007. Vol. 183, Is. 3. Pp. 1109-1130. DOI: 10.1016/j.ejor.2005.12.047.
14. Chung, F. R. K. On Packing Two-Dimensional Bins / F. R. K. Chung, M. R. Garey, D. S. Johnson // SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. 1982. Vol. 3, Is. 1. Pp. 66-76. DOI: 10.1137/0603007.
15. Ullman, J. D. The Performance of a Memory Allocation Algorithm // Technical Report by Computer Sciences Laboratory of Princeton University, Vol. 100. — Princeton (NJ): Princeton University, 1971. — 17 p.
16. Garey, M. R. Worstcase analysis of memory allocation algorithms / M. R. Garey, R. L. Graham, J. D. Ullman // Proceedings of the Fourth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '72) (Denver, CO, USA, 01-03 May 1972). — New York (NY): Association for Computing Machinery, 1972. — Pp. 143-150. DOI: 10.1145/800152.804907.
17. Coffman, Jr., E. G. An Application of Bin-Packing to Multiprocessor Scheduling / E. G. Coffman, Jr., M. R. Garey, D. S. Johnson // SIAM Journal on Computing. 1978. Vol. 7, Is. 1. Pp. 1-17. DOI: 10.1137/0207001.
DOI: 10.24412/2413-2527-2022-129-29-33
The Double-Packing Algorithm with Limited Inter-Package Exchange
Grand PhD A. G. Basyrov, A. V. Kalyuzhnyi Mozhaisky Military Space Academy Saint Petersburg, Russia alexanderbas@mail.ru, aleksei.kalyuzhnyi@yandex.ru
Abstract. The NP-complete problem of packing two satchels with the possibility of limited exchange of packaged objects between them is considered. The verbal and mathematical formulation of the problem of two-ring packing of objects with limited inter-ring exchange is given.
A greedy algorithm has been developed to solve the problem. An indicator of the quality of packing objects by satchels has been introduced. An example of the algorithm's operation and experimental results confirming its quality are given. Packing of knapsacks is schematically presented with zero volume of buffers, with the volume of buffers equal to 1 and 3. The dependence of the average and lower values of the packing quality indicator, its standard deviation from the size of the buffer is obtained.
Keywords: knapsacks packing algorithm, quality indicator, exchange between two knapsacks, limited clipboard, confidence interval.
References
1. Goodman S. E., Hedetniemi S. T. Introduction to the design and analysis of algorithms [Vvedenie v razrabotku i analiz algoritmov]. Moscow, Mir Publishers, 1981, 368 p.
2. Fisher M. L. Worst-Case Analysis of Heuristic Algorithms, Managment Science, 1980, Vol. 26, No. 1, Pp. 1-17. DOI: 10.1287/mnsc.26.1.1.
3. Coffman, Jr. E. G., Garey M. R., Johnson D. S. Approximation Algorithms for Bin-Packing — An Updated Survey. In: Ausiello G., et al. (eds) Algorithm Design for Computer System Design. Wien, Springer-Verlag, 1984, Pp. 49-106.
DOI: 10.1007/978-3-7091-4338-4_3.
4. Johnson D. S. Fast Algorithms for Bin Packing, Journal of Computer and System Sciences, 1974, Vol. 8, Is. 3, Pp. 272-314. DOI: 10.1016/S0022-0000(74)80026-7.
5. Dyckhoff H., Finke U., Viethe U. Cutting and Packing in Production and Distribution: A Typology and Bibliography. Heidelberg, Physica-Verlag, 1992, 257 p.
DOI: 10.1007/978-3-642-58165-6.
6. Levin M. Sh. Bin Packing Problem (prospective models, examples) [Upakovka v konteynery (perspektivnye modeli, pri-mery)], Information Processes [Informatsionnye protsessy], 2017, Vol. 17, No. 1, Pp. 43-60.
7. Karp R. M. Reducibility Among Combinatorial Problems. In: Miller R. E., et al. (eds) Proceedings of a Symposium on the Complexity of Computer Computations, New York, USA, March 20-22, 1972. New York, Plenum Press, 1972, Pp. 85-103. DOI: 10.1007/978-1-4684-2001-2_9.
8. Garey M. R., Johnson D. S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. New York, W. H. Freeman and Co., 1979, 351 p.
Grand PhD A. D. Khomonenko Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University Saint Petersburg, Russia khomon@mail.ru
9. Coffman, Jr. E. G., Leung J. Y.-T., Ting D. W. Bin Packing: Maximizing the Number of Pieces Packed, Acta Info-matica, 1978, Vol. 9, Is. 3, Pp. 263-271.
DOI: 10.1007/BF00288885.
10. Coffman, Jr. E. G., Leung J. Y.-T. Combinatorial Analysis of an Efficient Algorithm for Processor and Storage Allocation, SIAM Journal on Computing, 1979, Vol. 8, Is. 2, Pp. 202-217. DOI: 10.1137/0208016.
11. Furems E. M. Inverse Bin Packing Problem with Multiple Qualitative Criteria — Formulation and Survey of Applicable Approaches [Obratnaya zadacha ob upakovke v konteynery pri nalichii kachestvennykh kriteriev — postanovka i obzor primenimykh metodov], Artificial Intelligence and Decision-Making [Iskusstvennyy intellekt i prinyatie resheniy], 2016, No. 3, Pp. 31-43.
12. Furems E. M. Approximate Solution Scheme for Inverse Bin-Packing Problem Subject to Decision Making Preferences [Priblizhennoe reshenie obratnoy zadachi ob upakovke v kon-teynery s uchetom predpochteniy litsa, prinimayushchego resh-eniya], Artificial Intelligence and Decision-Making [Iskusstvennyy intellekt i prinyatie resheniy], 2018, No. 3, Pp. 112-121. DOI: 10.14357/20718594180321.
13. Wäscher G., Haußner H., Schumann H. An Improved Typology of Cutting and Packing Problems, European Journal of Operational Research, 2007, Vol. 183, Is. 3, Pp. 1109-1130. DOI: 10.1016/j.ejor.2005.12.047.
14. Chung F. R. K., Garey M. R., Johnson D. S. On Packing Two-Dimensional Bins, SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods, 1982, Vol. 3, Is. 1, Pp. 66-76.
DOI: 10.1137/0603007.
15. Ullman J. D. The Performance of a Memory Allocation Algorithm, Technical Report by Computer Sciences Laboratory of Princeton University, Vol. 100. Princeton (NJ), Princeton University, 1971, 17 p.
16. Garey M. R., Graham R. L., Ullman J. D. Worstcase analysis of memory allocation algorithms, Proceedings of the Fourth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '72), Denver, CO, USA, May 01-03, 1972. New York (NY), Association for Computing Machinery, 1972, Pp. 143-150.
DOI: 10.1145/800152.804907.
17. Coffman, Jr. E. G., Garey M. R., Johnson D. S. An Application of Bin-Packing to Multiprocessor Scheduling, SIAM Journal on Computing, 1978, Vol. 7, Is. 1, Pp. 1-17.
DOI: 10.1137/0207001.
