Алгоритм діагностування стану територій на квазісталих режимах по одномірних несправностях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518:338.24

В.І. ЗАЦЕРКОВНИЙ*

АЛГОРИТМ ДІАГНОСТУВАННЯ СТАНУ ТЕРИТОРІЙ НА КВАЗІСТАЛИХ РЕЖИМАХ ПО ОДНОМІРНИХ НЕСПРАВНОСТЯХ

Національний авіаційний університет, Київ, Україна__________________________________

Анотація. Розроблено алгоритм діагностування стану територій на квазісталих режимах по одномірних несправностях. Оцінено залежність границь розпізнавання від кількості замірюваних параметрів.

Ключові слова: алгоритм, діагностування, моніторинг, математична модель.

Аннотация. Разработан алгоритм диагностики состояния территорий на квазиустановившихся режимах по одномерным неисправностям. Оценена зависимость границ распознавания от количества замеряемых параметров.

Ключевые слова: алгоритм, диагностирование, мониторинг, математическая модель.

Abstract. Diagnosis algorithm of the territories state on the quasi-steady states of one-dimensional faults was developed. The dependence of identification limits according to the measured parameters quantity was estimated.

Keywords: algorithm, diagnosis, monitoring, mathematical model.

1. Вступ. Постановка проблеми

Діагностування стану території або просторових об’єктів, розташованих на ній, складний динамічний процес. На будь-якому об’єкті діагностування певної території (регіону) з плином часу змінюються параметри і характеристики, які описують стан цієї системи.

Під об'єктом діагностування мають на увазі систему, яка задовольняє двом умовам. По-перше, система може знаходитись у двох взаємовиключних та розрізнювальних станах (працездатному та непрацездатному). По-друге, можна виділити елементи (блоки, підсистеми), кожен з яких також характеризується розрізнювальними станами, що визначаються в результаті перевірок.

Алгоритм діагностування - послідовність виконування перевірок, що входять в діагностичний тест, та правила обробки результатів перевірок з метою отримання діагнозу. Діагноз - інформація про об'єкт діагностування, що дозволяє локалізувати несправність системи (оцінити її технічний стан) або виявити причину її недієздатності на підставі аналізу діагностичних параметрів чи симптомів. Симптом - форма прояву відхилення діагностичного параметра від його допустимих значень.

Для діагностування процесів, що відбуваються в регіоні (на певній території), необхідно враховувати ці зміни, а також навчитися прогнозувати їх та приймати ефективні управлінські рішення за ними. Крім того, зміна параметрів територіальної системи одного рівня ієрархії може проявитися (позначитися) через зміну зовсім інших характеристик територіальної системи другого рівня ієрархії.

Зміни, які відбуваються в економіці України, потребують змін і в діяльності служб, задіяних в державній системі управління територіями і моніторингу довкілля. В порядку пошуку нових методів збору в останній час надзвичайно актуальними є методи одержання необхідної інформації про певну територію чи об’єкт земної поверхні на квазісталих режимах, коли тільки починається розвиток певної характеристики (несправності), яка погіршує стан певної території або об’єкта, що знаходиться на цій території.

Метою роботи є розробка теоретичних основ виявлення характеристик погіршення стану (несправностей) територіальних утворень або просторових об’єктів, розташованих на ній, при відхиленні їх параметрів від «справних» на сталих або квазісталих режимах

142

© Зацерковний В.І., 2015

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

прогнозування розвитку стану, прогнозування їх розвитку та наступної оцінки рівня ризику виникнення НС для вжиття заходів зі зниження наслідків техногенного впливу і вирішення завдань кризового моніторингу.

2. Виклад основного матеріалу

Забезпечення безпеки громадян і захист суспільства є однією з найважливіших функцій держави. Нині Україна, на жаль, є найбільш критичним регіоном Європи з техногенного навантаження, яке в 5-6 разів перевищує середньоєвропейський рівень. У країні працюють понад 2 тисячі великих стаціонарних потенційно небезпечних об’єктів (рис. 1). Це АЕС, тепло- і гідроелектростанції, хімічні виробництва та сховища з сумарним запасом отруйних речовин 260 тис. т, аміакопровід довжиною 780 км з питомим навантаженням 50 т/км, газо- та нафтопроводи. На 23 тис. км залізниць і 260 тис. автомобільних доріг припадають тисячі одиниць рухомого транспорту, які перевозять небезпечні вантажі. Усе це збільшує вірогідність виникнення надзвичайних ситуацій (НС), які несуть у собі загрозу для людини, економіки країни та природного середовища.

Рис. 1. Карта екологічних негараздів України

На території України можливе виникнення практично усього спектра небезпечних природних явищ і процесів гідрогеологічного та метеорологічного походження. До них відносяться великі повені, катастрофічні затоплення, землетруси і зсувні процеси, лісові та польові пожежі, великі снігопади й ожеледиці, урагани, смерчі, шквальні вітри тощо.

У загальному випадку лінійну математичну модель об’єкта дослідження при наявності похибок вимірів можна представити матричними рівняннями двох типів [1]:

Т3=ах+аТ3 (і)

або

W, = АХ + AJV?, W, = Y3 — ТSQ, W3 = AY?-TAS

l3

_ (2) де Y3 - вектор відносних відхилень параметрів режиму функціонування об’єкта дослідження розмірності (m х 1);

143

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

X - вектор відносних відхилень шуканих параметрів стану об’єкта дослідження, керуючих і впливів збурень розмірності ^ n хі);

А - матриця коефіцієнтів впливу розмірності ^ m X n );

S - вектор відносних вимірюваних збурюючих і керуючих впливів, якщо вони не переведені у вектор Y шляхом перетворень для заданої структури системи рівнянь. Розмірність вектора (уз хі);

Т- матриця коефіцієнтів впливу розмірності ( mxv3 ).

Діагностичну модель досліджуваного об’єкта виду (1) правомірно використовувати у випадку виконання таких умов:

- у діагностичній моделі врахована програма управління досліджуваного об’єкта на режимі діагностування. При цьому, якщо керуючі впливи вимірюються, то вони введені у вектор Y3, якщо не вимірюються, то вони відсутні; відхилення параметрів управління дорівнюють нулю;

- відхилення впливів збурень на режимі діагностування відсутні;

- відсутні похибки вимірів впливів збурень;

- характеристики еталонних модулів відповідають номінальним характеристикам або здійснена ідентифікація математичної моделі до індивідуальних характеристик досліджуваного об’єкта (явища), тобто відсутній вплив на вектор Y3 природного розсіювання характеристик модулів об’єкта (явища);

- відсутнє приведення вимірюваних параметрів до стандартних атмосферних умов. У протилежному випадку при приведенні до стандартних атмосферних умов компоненти вектора Y3 стануть корельованими.

У всіх інших випадках необхідно використовувати діагностичну модель (2).

У реальних умовах моделювання властивості об’єкта змінюються в широкому діапазоні, тому для забезпечення необхідної ефективності системи діагностування необхідно мати в наявності еталон контрольованих параметрів і матриці коефіцієнтів впливу на кожному режимі діагностування для кожного тематичного шару системи у відповідних умовах дослідження (діагностування). Для цієї цілі найкраще використовувати комплексну ГІС. Однак сьогодні всережимну багатофункціональну математичну модель ГІС з усіма тематичними шарами закласти до пам'яті комп’ютера не представляється можливим через певні обмеження цих пристроїв.

Для діагностування квазісталих процесів (явищ), що відбуваються на певних територіях, правомірно використовувати математичну модель (1). Для врахування точності за-

міру параметрів вихідну систему (1) нормують шляхом поділу кожного відповідне середньоквадратичне відхиленім сгz або, що еквівалентно і-го рівняння на множенню зліва

матричного рівняння (1), на діагональну матрицю

У-1 = і аУі (3)

і °Ут

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

144

Після нормування і врахування похибок замірів одержимо:

Z 3= АХ + AZ3 , Z =Z + AZ3,

де

Z3=YylY3, Z =S“17

AZ^S^AF,, A = Z~lA.

(4)

(5)

Компоненти вектора AZ3 є незалежними випадковими величинами, розподіленими

за нормальним законом з нульовими математичними очікуваннями і дисперсіями, які дорівнюють одиниці, тобто

Z(aZ. ) = #(0,1), cov(Z\,ZI. ) = 0. (6)

При розв’язанні задачі діагностування стану території принципово можливі 2 різні ситуації:

- кількість параметрів стану, що відіб’ється в заміряному векторі Z3, менше рангу

матриці А(г<пУ У цьому випадку кожному сполученню ц = 1,(г — і) параметрів

можна поставити у відповідність образ і розв’язати задачу на підставі теорії розпізнавання образів [2];

- кількість параметрів технічного стану, що відіб’ється в векторі Z3, дорівнює або

більше рангу матриці А . У цьому випадку будь-якому сполученню С^ V — п,т параметрів стану буде відповідати весь простір контрольованих параметрів, що робить задачу нерозв’язною.

При цьому на першому етапі здійснюється перевірка гіпотез приналежності вектора заміряних параметрів образу розглядуваної несправності за допомогою критерію ймовірнісної оцінки, а на другому етапі здійснюється розв’язок тільки тих підсистем, які із заданою ймовірністю (0,95) пояснюють відхилення вектора заміряних параметрів.

Для систем діагностування стану територій імовірність одночасного виникнення меншої кількості несправностей вище ймовірності одночасного виникнення більшої кількості несправностей, тому задачу діагностування природної чи антропогенної системи доцільно розв’язувати послідовною перевіркою гіпотез зі зростаючою кількістю несправностей.

При дослідженні одномірних безперервних несправностей системи рівнянь (1) перетворюються в систему з однією змінною, тобто вектор X перетворюється у скаляр Xj :

Zj - AjXj , Z -Zj +aZ3, Z3 - AjXj + AZ3, (7)

де A -j-й стовпець матриці A.

При зміні параметра технічного стану від -со до +°° вектор Z ;, змінюючись за величиною і напрямком, буде лежати на прямій, положення якої у просторі контрольованих параметрів можна задати вектором Aj (поклавши х. =1), тобто образами

одномірних безперервних несправностей у просторі армованих контрольованих параметрів є прямі лінії, що проходять через початок координат. Через зашумленість вектора замінюваних параметрів система рівнянь (7) є несумісною. Про ступінь несумісності можна судити по квадрату J j перпендикуляра Lj , який опустили з кінця вектора Z з на

вектор Aj (рис. 2).

145

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

Якщо вектор замінюваних параметрів Z3 є відображенням (причиною) j -ої несправності і на це відображення наклались похибки вимірів замірів контрольованих параметрів, то система рівнянь (7) є сумісною і квадрат J. перпендикуляра Lj буде залежати тільки від похибок вимірів:

J j - I'jl'j ~ 7-j BKZ3.

(8)

Враховуючи похибки вимірів, що відобразились у вектор Zj, одержимо кількість розрізнюваної інформації у вигляді

несумісності системи рівнянь (7) через зашумленість вектора замінюваних параметрів

J j = AZ^BjAZ.,

(9)

Як показано у праці [3], властивості матриці B/

і компонент вектора aZ3 такі, що квадратична форма (9) розподілена за законом хі-квадрат з т -1 ступенями свободи.

Z(Jj ) = Х2 (m-1).

(10)

Для заданої ймовірності похибки розпізнавання а і розмірності вектора Z3 можна визначити квантиль розподілення J\-a [4]:

' (її)

р{ Jj < Ji-}=1

= 1-а •

Отже, умова приналежності вектора Z образу j -ої несправності (умова сумісності) з імовірністю (m — а) можна записати у вигляді

Таким чином, не розв’язуючи систему рівнянь, можна одержати відповідь на питання, чи є заміряний вектор Z3 породженням j -ої несправності.

Далі розв’язуються всі сумісні підсистеми. Розв’язок для j -ої несправності, для кожної з яких виконується умова (12), здійснюється за формулою

xj =

ZT А ■ AJAJ

Ж А ■

AJAJ

(13)

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

146

Щоб визначити умову, при якій вектор Zз є відображенням j -ої несправності і буде несумісним з образом k -ої несправності, необхідно опустити перпендикуляр Ljk з кінця вектора Zз на образ к -ої несправності. У цьому випадку квадратична форма

сті вимірів контрольованих параметрів, можна для заданого ступеня розвитку несправності х, знайти квантиль розподілу ( J к ) :

j

Р \ Jjk <( Jjk

= а •

(15)

Вектор Z3 з імовірністю 1 - ос не буде співпадати з образом к -ої несправності, якщо квантиль (15) буде більше квантиля Jx_a розподілення (15):

(16)

Jjk )а> Jl-a •

Найменша величина несправності Xj, для якої справедливе співвідношення (16),

буде шуканою границею розрізненості j-ої несправності в заданих умовах діагностування.

Для геометричної інтерпретації одержаних результатів опишемо навколо образу несправності A j циліндр, поверхня якого розміщена на відстані . )1а . Навколо образу

несправності Ak розташовується такий же циліндр, границі якого віддалені на відстані

>/( Jjk )а =4

' к І — М( J к I . Наявність випадкових похибок вимірів призводить до того, що

вектор похибок AZ3 може бути повернений у будь-який бік відносно кінця вектора Z ■ і

не залежить від величини і напрямку вектора Zj. Спроектувавши циліндри на площину, утворену образами j -ої і k -ої несправностей, отримаємо смуги вздовж образів цих несправностей.

Багатовимірний простір, у якому знаходиться вектор Zз , на площині зобразимо в

вигляді окружності з центром на кінці вектора Zj і радіусом ^j( J.) .

На цій площині розглянемо вектор ZZp =Z3, що характеризує один з найгірших варіантів заміру і який є відображенням цієї несправності. Кінець вектора Z знаходиться на границі j -ої несправності і кола. При цьому можливі різні варіанти розташування вектора Z

Z гр •

Розглянемо 3 характерних випадки. На рис. 3 вектор Z , який є відображенням j -ої несправності, не буде розрізнюватись з образом k -ої несправності, тобто вектор Zp, перебуваючи в середині перетинання циліндрів, може бути віднесений як до j -ої, так і k -ої несправності.

a

147

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

На рис. 4 представлений випадок, коли вектор параметрів, що замірюються 2гр, відноситься тільки до j -ої несправності.

Рис. 4. Графічна інтерпретація розрізнюваності двох одномірних несправностей На рис. 5 представлений граничний випадок.

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3

148

Величину несправності Xj, що визначає межу розрізнення j -ої несправності при

порівнянні її з к -ою несправністю, для заданих умов діагностування можна обчислити за формулою [4]

X,.

/V / Л л \

AJ sin(4Л )

4. Висновки

Проведені дослідження свідчать, що границі розпізнавання несправностей багато в чому визначаються кількістю замінюваних параметрів. Проте збільшення кількості замінюваних параметрів більше 10-12, з точки зору несправностей, недоцільне, оскільки може призвести до істотного зниження границь розпізнавання. Замір 8-10 найбільш інформативних параметрів призводить до того, що границі розпізнавання для більшості одномірних несправностей не будуть перевищувати 1% ступеня їх розвитку, що характеризує чутливість даного методу діагностування.

Наведений алгоритм не може забезпечити ефективне діагностування території для всіх ситуацій, оскільки багато несправностей є дво- і більш вимірними. Крім того, потребує досліджень діагностування динамічних процесів і явищ, що відбуваються на певних територіях.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бортаковский А.С. Линейная алгебра в примерах и задачах / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев.

- М.: Высшая школа, 2005. - 591 с.

2. Ту Дж. Принципы распознавания образов / Дж. Ту, Р. Гонсалес. - М.: Мир, 1978. - 414 с.

3. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина, П.А. Спирин.

- М.: Академия, 2011. - 352 с.

4. Водопьянов В.Е. Оценка распознаваемости одномерных дефектов ГТД при диагностики по газодинамическим параметрам / В.Е. Водопьянов, В.И. Зацерковный, В.И. Никитин // Науч.-техн. конф. «Теория авиационных двигателей», (Харьков, 28-29 марта 1989 г.). - Харьков, 1989. - Вып. 8. -

С. 83 - 87.

Стаття надійшла до редакції 21.04.2015

149

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 3