CC BY
13
УДК 624.04
ХОДЖИБОЕВ АБДУАЗИЗ АБДУСАТТОРОВИЧ, канд. техн. наук, hojiboev@mail. ru
Московский государственный строительный университет,
129337, г. Москва, Ярославское шоссе, 26
АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В работе приведены алгоритм, математическая модель и примеры решения тестовой задачи, разработанные на основе метода граничных уравнений, для исследования поведения сооружения прямоугольного поперечного сечения в условиях плоской деформации от действия горизонтальной вибрационной нагрузки, приложенной в левой вертикальной грани, в предположении, что нижняя часть прикреплена к абсолютно жесткому основанию. В результате исследования выявлены условия возникновения явления резонанса и биения для таких сооружений. Сравнение с известными решениями на основе метода конечных элементов показывает хорошее их совпадение.
Ключевые слова: массовые силы; граничные условия; продольные и поперечные волны; аппроксимация; фундаментальное решение; функции Бесселя; граничные уравнения; обобщённые объёмные силы; численный эксперимент; вынужденное колебание.
HOJIBOEV, ABDUAZIZABDUSATTOROVICH, Ph.D., hojiboev@mail. ru
Moscow State University of Civil Engineering,
26 Yaroslavskoe, shosse, Moscow, 129337, Russia
THE NUMERICAL DECISION ALGORITHM OF DYNAMIC FLAT PROBLEM OF THEORY OF ELASTICITY
The paper presents an algorithm, a mathematical model and examples of the test problem, based on the method of boundary equations for studying the behavior of structures with rectangular cross-section in a plane deformation of the horizontal vibration of the load applied to the left vertical edge on the assumption of that the lower part is attached to the absolutely rigid base. The study identified conditions under which the phenomenon of resonance and pulse for such facilities are revealed. Comparison with known solutions based on the finite element method presents their good coincidence.
Key words: mass effect; boundary conditions; longitudinal and transverse waves; approximation; fundamental solution; Bessel function; boundary equations; generalized volume force; numerical experiment; forced vibration.
Рассмотрим упругое тело, занимающее объем V*, ограниченный поверхностью Q. Пусть на это тело действует массовая сила F, а на поверхно-
© А.А. Ходжибоев, 2013
сти О, состоящей из О и ОР, заданы соответственно перемещения Ж 1 и нагрузка Р{. В этой задаче со смешанными граничными условиями требуется решить систему уравнений [1, 2]
цЖ1М + (X + ц)Ж м + Fi = рИ; (х, t), (1)
;,к = 1,2,3, х е V , ? > 0
с граничными условиями
Wi (х, ?) = Ж, х еОж , (2)
Р (х, t) = о. (х, t)и, (х), х е Ор и начальными условиями
Ж. (х,0) = Ж.0, Ж; (х,0) = Ж;,0, х е V , ? = 0. (3)
В (1) после запятой производится дифференцирование и суммирование по дважды повторяющемуся индексу к при однородных граничных условиях на бесконечности.
Разделив обе части (1) на р, уравнение движения в перемещениях можно записать в виде
С -4)Ик,к; + с2И,кк + Fl /р = И(х,t), (4)
где с =у/(X + 2ц)/р , с2 =у1 ц/р - скорость распространения продольных и поперечных волн. Преобразования уравнения (4) путем аппроксимации ускорения [3]
Ж (х, t) = (а1 / At2)[И (х, t) - И; (х, t - Дt)]- (а2 / Дt) Ж (х, t - Дt) -
-а3Ж. (х, ? -Д?) (5)
приводят к следующему уравнению:
(с2 - с2 )Икк (х, ?) + сИ;,кк (х, ?) - (а, / Д?2)И- (х, ?) + в; = 0 , (6)
где 52 = а1 / Д?2.
Ц. = 52Ж (х, ? - Д?) + (а2 / Д?)Ж. (х, ? - Д?) + а3Ж. (х, ? - Д?) + (1/р)К (х, ?). (7)
Фундаментальное решение уравнения динамики (6) представляется в виде [4]
1 дг дг
-Цт(у5, -X—— апрс2 , дхi дх,
для двумерных задач а = 2 и
Ж* х 5) =-^(у5, - X—■—), (8)
5Г С2
V = К0~ + ~
, X = К2 ( )-4 К2 ( ), (9)
где К.; - модифицированные функции Бесселя второго рода и порядка ; [5].
Фундаментальные решения (8) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
С2 С1
С1
с2 5Г
С2
С1
С1
(cl2 - c22 w;;.; ^ x s)+c2w;M ^ x s)- s 2w; ^x, s)=s(^ .ф,. (l0)
Производные от функции у и х (9) по х2 будут равны
Зу
dx.
s
c
дХ =^2 s д^ c.
2K°(Z[> + 4КШ+к,(п)
m2 + S— 2c
КЙ) + Kl(rl)
2 К°(Гг) + 4 + K1(r2)
m
m
в которых, заменив т2 = smP1 на щ = ^Р^ где Р1 - угол наклона радиус-вектора г относительно оси х1, получаем производные по х1. Деформации и напряжения в произвольной точке от действия единичной сосредоточенной нагрузки, приложенной в точке ^ и направленной вдоль оси х, записываются в виде
дu*
дu1*
дu!.
>Tl21
" , Y122
ш,,, + дм,,
5xj ’ Sx2 ’ &J Sx2 ’'1/1 Sx2 &J '11ZZ оХ2 cXj
o*j = [2Gv / (1 - 2v)](e*1 + e*21) + 2Ge1*1, o21 = [2Gv / (1 - 2v)](e*21 + e1*1) + 2Ge21, o*2 = [2Gv / (1 - 2v)](e*2 + e22) + 2Ge*2, o*22 = [2Gv / (1 - 2v)](e*22 + e*2) + 2Ge^2,
T121 = GTl21 , T122 = GTl22 , T211 = T121 , T212 = T122 ,
pn = Oji^i + T211^ 2 , P21 = ^21П2 + T121П 1 , pi2 = ^12П1 + T212П 2 , P22 = ^22П2 + T122П 1 ,
a0 =1/2npc^ = 1/2nG, r = [(x1 - ^1)2 + (x2 - 42)2 ] ,
где G - модуль сдвига; n1 = cos a1, n2 = cos a2 - направляющие косинусы углов нормали с осями x1, x2.
При решении первой краевой задачи, когда на контуре тела заданы напряжения, граничное интегральное уравнение представляется в виде [3]
cpWj (4, t) + J Pj (4, x)Wj (x, t)d Q( x) = Jwj (4, x) Pj (x, t )d Q( x) -
1 +
+Jw*fe x)6; (x, t)dv(x).
(11)
где неизвестными являются компоненты перемещения Wj (х, ?) на контуре
тела. Граничное уравнение (11), представленное в виде системы алгебраических уравнений, решается шаговым методом, где при известных значениях перемещений, скорости и ускорения на предыдущем шаге t — А? определяются их значения в момент времени ?, а затем вычисляются деформации и напряжения.
Поскольку обобщенные объемные силы (7) считаются известными, то при заданных граничных условиях уравнение (11) представляет собой граничное интегральное уравнение относительно значений функций на границе. Все сказанное относится к внутренней задаче, когда рассматривается конеч-
2
r
r
r
rlr2
2
2
2
m2 -
r
r
2
2
2
ное тело V с поверхностью Q. При этом тело может быть также многосвязным, т. е. иметь внутри себя полости.
Таким образом, численное моделирование динамической задачи теории упругости на основе метода граничных уравнений сводится к следующему. Исходя из начальных условий и в соответствии с граничными условиями формируется вектор свободных членов, соответствующий моменту времени t0. Из решения системы уравнений (11) численным интегрированием определяются напряжения и перемещения на контуре, соответствующие моменту времени t1. По формуле Сомильяна определяются перемещения внутри области, а затем по формулам аппроксимаций вычисляются скорости и ускорения, которые также соответствуют моменту времени t1. Для этого же момента времени вычисляются силы инерции в точках внутренней области. Полученные данные позволяют сформировать вектор правой части и из численного решения (11) определить контурные параметры, соответствующие моменту времени t2 . Далее процесс последовательно повторяется.
В качестве примера исследуется поведение сооружения прямоугольного поперечного сечения в условиях плоской деформации от действия горизонтальной вибрационной нагрузки, приложенной в левой вертикальной грани в предположении, что нижняя часть прикреплена к абсолютно жесткому основанию.
Проведены численные эксперименты от действия равномерно распределенной по левой вертикальной грани гармонической нагрузки
q(y, t) = qo sin [(2л/ Tp )t] при постепенном изменении периода вынужденных колебаний Tp . На рис. 1
показано горизонтальное перемещение точки верхнего левого угла при a = b = 10м. Результаты получены при аппроксимации контура В-сплайном нулевого порядка и разбивке области сеткой 10^10 и следующих данных:
Е = 2,57-104 МПа (2,57-106тс/м2), v = 0,2, р = 2,5т/м3, т = Ax / c1 =0,2987 -10-3с.
Рис. 1. График изменения горизонтального перемещения точки верхнего левого угла при различных значениях Тр
Кривые 1, 2, 3 получены при периодах вынужденных колебаний Тр,
равных 0,00375, 0,0045 и 0,00525 с соответственно. Видно, что при Тр = 0,0045 с происходит резкое возрастание перемещения, что свидетельствует о резонансе. Следовательно, основной период свободных колебаний системы Т1 = 0,0045 с. Следует отметить, что основной период свободных колебаний системы для аналогичного сооружения размером 10*10x1 м, рассчитанный по программе ЛИРА, составил Т1 = 0,0041 с.
Для сравнения на рис. 2 приведены аналогичные результаты для сооружения, находящегося в таких же условиях с размерами а = 5 м, Ь = 10 м. Здесь наблюдается явление биения, что свидетельствует об околорезонансном режиме колебательного процесса.
Рис. 2. Графики изменения горизонтального перемещения точки верхнего левого угла при а = 5 м, Ь = 10 м, и различных значениях Тр
Таким образом, разработан алгоритм численного решения плоской динамической задачи теории упругости методом граничных уравнений. Установлено, что для сооружения прямоугольного поперечного сечения размером 10*10 м в условиях плоской деформации от действия равномерно распределенной по вертикальной грани гармонической нагрузки с периодом вынужденных колебаний Т1= 0,0045 происходит резкое возрастание перемещения, что свидетельствует о явлении резонанса. Для аналогичного сооружения размером 10*5 м при действии равномерно распределённой гармонической нагрузки, действующей на левую грань с периодом вынужденных колебаний Т = 0,0060 с, наблюдается явление биения.
Библиографический список
1. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М. : Наука, 1979. - 560 с.
2. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М. : Мир, 1975. - 872 с.
3. Низомов, Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики / Д.Н. Низомов. - М. : Изд-во АСВ, 2000. - 282 с.
4. Бреббия, К Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. - М. : Мир, 1987. - 524 с.
5. Абрамовиц, М.И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / М. Абрамовиц, И. Стиган. - М. : Наука, 1979. - 830 с.
References
1. Timoshenko S.P, Gud’er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. - Moscow : Nauka, 1979. - 560 p.
2. Novackij V. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. - Moscow : Mir, 1975. - 872 p.
3. Nizomov D.N. Metod granichnyh uravnenij v reshenii staticheskih i dinamicheskih zadach stroitel'noj mehaniki [Method of boundary equations for solution of static and dynamic problems of structural mechanics]. - Moscow : Izd-vo ASV [ASV Publ.], 2000 - 282 p.
4. Brebbija K., Telles Zh., Vroubel L.. Metody granichnyh jelementov [Method of boundary elements]. - Moscow : Mir, 1987. - 524 p.
5. Abramovic M., Stigan I. Spravochnik po special'nym funkcijam s formulami, grafikami i tabli-cami [Handbook on special-function with formulas, graphics and tables]. - Moscow : Nauka, 1979. - 830 p.
