CC BY
23
УДК 62-501.42;62-504.12
АЛГОРИТМ АНАЛИЗА РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
М.В. Морозов
Для непрерывных линейных нестационарных систем управления с периодическими ограничениями на их параметры предложен алгоритм численного построения периодических по времени функций Ляпунова из заданных параметрических классов. Алгоритм основан на решении соответствующих минимаксных задач математического программирования. Установлена его сходимость и приведен пример его реализации на компьютере.
Ключевые слова: непрерывная линейная нестационарная система управления, периодическое ограничение, функции Ляпунова, алгоритм численного построения, параметрический класс, минимаксная задача, математическое программирование.
ВВЕДЕНИЕ
Одно из основных требований к системе управления состоит в обеспечении ее устойчивости. В реальных условиях из-за наличия различных возмущений параметры системы управления и характеристики ее отдельных элементов часто известны неточно и определены неоднозначно. Это приводит к необходимости анализа устойчивости семейства систем, параметры и характеристики элементов которых принадлежат некоторым заданным множествам. В современной литературе по теории управления соответствующая проблема получила название задачи робастной устойчивости [1, 2].
Анализу робастной устойчивости линейных систем управления, как с параметрической, так и непараметрической неопределенностью, посвящено большое число работ (см., например, обзор [3]). Большинство результатов получено для линейных стационарных систем. Значительно меньшее число работ связано с рассмотрением линейных нестационарных и нелинейных систем (см., например, работы [4—7]). В известных автору работах, посвященных анализу как стационарных, так и нестационарных систем, рассматривались лишь стационарные множества, задающие ограничения на параметры системы и характеристики нелинейных элементов. Как правило, для матрицы линейной части системы в качестве такого множества рассматривается некоторый заданный выпуклый мно-
гогранник в пространстве матриц заданной размерности. В частном случае так называемых интервальных матриц [8—14] таким многогранником служит многомерный параллелепипед, грани которого параллельны соответствующим координатным плоскостям в матричном пространстве. Относительно характеристик нелинейных элементов обычно предполагается [5, 6], что они принадлежат заданным секторам (с фиксированными границами), как в случае классической задачи об абсолютной устойчивости [15].
Однако ряд практических задач, в частности задача об абсолютной устойчивости систем управления с периодически меняющимися параметрами [16, 17], приводит к необходимости рассмотрения таких множеств изменения параметров системы и характеристик нелинейных элементов, границы которых изменяются по заданным периодическим законам.
Из работ [16, 17] вытекает, что необходимые и достаточные условия робастной устойчивости таких систем могут быть установлены с помощью периодических по времени функций Ляпунова из класса квазиформ четной степени (в случае непрерывных систем) и из класса форм четной степени (в случае дискретных систем). Получению условий робастной устойчивости систем с периодическими ограничениями на параметры посвящены работы [18, 19], в которых был применен метод сравнения с вектор-функцией Ляпунова специального вида. Поскольку в общем случае аналитическая
26
СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 2 • 2014
проверка условии соответствующих теорем затруднительна, возникает необходимость разработки эффективных методов численного построения функции Ляпунова из классов, выделенных в работах [16, 17].
В настоящей работе для анализа линейных непрерывных нестационарных систем управления с периодическими ограничениями развиваются методы численного построения функций Ляпунова из заданных параметрических классов, разработанные для нелинейных систем управления со стационарными ограничениями на их параметры [20—23]. Показано, что в стационарном случае задача построения таких функций Ляпунова сводится к минимаксным задачам математического программирования (в частности, к задаче поиска сед-ловых точек [22, 23]), для решения которых можно воспользоваться известными методами нелинейного программирования [20—23].
Основу разработанного в настоящей работе алгоритма составляет изложенный в работе [24] численный метод анализа устойчивости линейных непрерывных систем управления с фиксированной матрицей коэффициентов. Для анализа устойчивости таких систем использовались функции Ляпунова из класса квадратичных форм с периодической матрицей, представимой конечной матричной суммой ряда Фурье. В данной работе для линейных непрерывных нестационарных систем управления с периодическими ограничениями разработан сходящийся алгоритм численного построения функций Ляпунова из класса однородных форм четной степени с периодическими коэффициентами, представимыми в виде конечной суммы ряда Фурье. Так же, как и в работе [24], показано, что задача построения таких функций Ляпунова сводится к соответствующей минимаксной задаче и приведены теоремы, обосновывающие его применение.
Построенный алгоритм может служить критерием робастной устойчивости рассматриваемых систем управления и, одновременно, критерием абсолютной устойчивости систем, рассмотренных в работах [16, 17], в форме численной процедуры.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваются линейные нестационарные непрерывные системы управления, описываемые дифференциальными уравнениями вида
i = £ k = 1
(1)
где i — n-мерныи вектор состояния системы, 4(í) = (aj( í))¿,j = i — фиксированные непрерыв-
ные периодические матрицы периода Т > 0, Ак(? + 7) = Ак(?), к = 17т , а 1к(?), к = 17т, — произвольные ограниченные и измеримые функции, удовлетворяющие при ? 1 0 условиям
4(0 i о,
£ 4« = 1 k = 1
(2)
Будем называть систему (1) робастно устойчивой относительно нестационарной параметрической неопределенности 1(?) = {4(?), к = 1, т}, если ее нулевое решение х(?) = 0 асимптотически устойчиво по Ляпунову при любом выборе неопределенности А,(0, удовлетворяющей условиям (2).
Из работы [16] следует, что система (1) эквивалентна дифференциальному включению
i е F(í, i), F(í, i) =
m m ^
y = £ Vk^ 4 1 0 £ 4 = U, (3) k = 1 k = 1 J
с периодической по ? многозначной правой частью Д?, х), Д? + 7, х) = Д?, х). Эквивалентность понимается в смысле совпадения множеств решений системы (1) и включения (3) при одинаковых начальных условиях. Множество Д?, х) в каждой
точке х е Яп представляет собой выпуклый многогранник, границы которого периодически изменяются с периодом 7. По этой причине функция Д?, х) задает периодические ограничения на параметры исходной нестационарной системы (1).
Из работы [16] также вытекает, что для робас-тной устойчивости системы (1) (или, что то же самое, для асимптотической устойчивости нулевого решения х(?) = 0 включения (3)) необходимо и достаточно существование единой, периодической по времени, с периодом 7, функции Ляпунова вида квазиформы по х степени 2р, р 1 1:
N„
V2p(í, i) = £ y¿(í, i)y¿(i), i = 1
Y¿(í, |ii) = y/í, i), i * 0, | * 0,
(4)
Y/(í + T i) = Yi(t, i), i = 1, N
где y ¿(i), i = 1, Np — всевозможные элементарные
(
mm
мономы степени 2p т. е. y/i) = i1 ... in , где
v
_ r<2 p
^ т} = 2р I, = Сп+2р_ 1 — общее число таких
} = 1
мономов. К функциям вида (4) относятся функции
m
m
n
из класса форм степени 2p, p l 1, по x с периодическими по t коэффициентами
np
V2p(^ x) = £ Yг'(t)vг'(x),
(5)
где (у^ + Т) = у.(^), I = 1, Ыр — коэффициенты формы (5). Предполагается, что периодические коэффициенты
M
Y;-(t) = bo + £ (jsinrajt + bj cosra/t), j = 1
ra = 2nT 1, i = 1, Np.
Функции Ляпунова (5), (6) являются подклассом класса функций (4) и устанавливают, в отличие от функций Ляпунова (4), лишь достаточные условия робастной устойчивости системы (1) (или асимптотической устойчивости решения включения (3)). Однако, рассмотрение в функции (5) па-
раметрических коэффициентов уг(?), I = 1, Ыр вида
(6), зависящих лишь от t, позволяет перейти к параметрическому классу функций Ляпунова (5), (6), что существенно облегчает задачу построения таких функций.
Задача состоит в разработке эффективного алгоритма численного построения для включения (3), а, следовательно, и для системы (1), функций Ляпунова У^, х) вида (5), (6). В соответствии с работой [24] такой алгоритм будет служить численным критерием асимптотической устойчивости нулевого решения включения (3) и, одновременно, критерием робастной устойчивости системы (1).
2. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Метод построения функций Ляпунова, изложенный в работе [24], обобщим на случай дифференциальных включений (3).
Для анализа асимптотической устойчивости нулевого решения х(^ = 0 включения (3) будем пользоваться функциями Ляпунова (5), (6). В соответствии с определением, приведенным в работе [25], производная функций Ляпунова У^, х) в силу включения (3) определяется как
v2p (t, x) = ^ +
dt
max
У e F( t, x)
, y =
dx
dt
+ max
1 < k < m v
^■МГ)*). (7)
Отсюда следует, что условие отрицательной определенности производной (7) эквивалентно выполнению совокупности неравенств
NP
fk(a, t, x) = £ Y / (t)v i(x) +
i= 1
+ £ Yi (t) t)x)<0,
i = 1
x * 0, t e [0, T],
(8)
где k = 1, m, а через a обозначен N -мерный век-
(6) тор (a,), j = 1, Na, Na = (2M + 1)Np, составленный
из коэффициентов b0, /j , bj, i = 1, Np, j = 1, M, в представлении (6) коэффициентов Y;(t) функции Ляпунова (5).
При дополнительном условии (это условие используется в приведенной далее лемме при оценке констант Липшица и может быть заменено любым другим, менее жестким условием, позволяющим выполнить такую оценку) о непрерывной дифференцируемости всех элементов матриц Ak(t),
k = 1, m, (см. включение (3)) рассмотрим задачу математического программирования
ß = min max max max fk(a, t, x), (9)
ae Gt e[0, T] ||XI ю = 11 < k < m
( Na ^
где G = <j a: £ a2 < 1 I, ||x||m = max |xj.
I it! J 1 <г<n
Теорема 1. Для того чтобы для включения (3) существовала функция Ляпунова V2p(a, t, x) вида (5), (6) с отрицательно определенной в силу включения (3) производной V2p (a, t, x), необходимо и достаточно, чтобы решение задачи (8) удовлетворяло неравенству
ß < 0. ♦ (10)
Доказательство теоремы 1 проводится с надлежащими изменениями по схеме доказательства теоремы 1 в работе [24].
Для решения минимаксной задачи (9), так же, как и в работе [1], предлагается воспользоваться, с необходимыми изменениями, схемой алгоритма,
описанного в статье [24]. В ней функция V (t, x) представляла собой форму второй степени по х, у которой локальный максимум по х совпадает с глобальным, и при максимизации V (t, x) по х в соответствующей минимаксной задаче была использована одна из модификаций метода наискорейшего
спуска. В случае задачи (9) глобальная максимизация по х функции максимума тах /к(а, ?, х) гра-
1 < к < т
диентными методами затруднена тем обстоятельством, что у рассматриваемой функции локальный максимум может не совпадать с глобальным максимумом. В связи с этим, в отличие от алгоритма, приведенного в статье [24], в задаче (9) максимизацию по х, так же, как и по ?, предполагается проводить на дискретной сетке. Поэтому, для удобства, максимизация по х проводится не на сфере
<|х: ^Г х2 = 11, а на поверхности единичного куба
{х: ||х||„ = 1}.
На множестве Б = [0, 7] х {||х= 1} введем последовательность вложенных друг в друга сеток {£(Н*1, )}, I = 1, 2, ... Множества узлов ?, V =
= 1, [ T/h] + 1 и xs, s = 1, 2n([2/hX] + 1), сетки
{S(h, hx)} определяются ее шагами h| и hx (по t и по х соответственно). Будем предполагать, что
сетки вложены друг в друга, т. е. {S( hi, h*)} е е {S(hj +1, hx+!)} и h| + i = hj/2, hx+ 1 = hx/2. На сетке {S( hi, hx)} определим функцию
X(a) = max max f(a, t, x) (11)
(t, x)e S(1 S k S m
и число
ßi = min X;(a).
(12)
В силу вложенности сеток {£( ^, )} справедливо соотношение в1 < в2 < ... < р.
Повторением рассуждений, приведенных в доказательстве теоремы 2 в работе [24], устанавливается
Теорема 2. Пусть числа рг определены в соответствии с выражением (12). Тогда выполнено предельное соотношение Итрг = в при / ^ да. ♦
Для получения необходимых и достаточных условий выполнения неравенства (10), сформулированных далее в теоремах 3 и 4, требуется
Лемма. Если все элементы периодических матриц Ак(?), к = 1, т, во включении (3) непрерывно дифференцируемы при всех ? < 0, то каждая из функций /(а, ?, х), к = 1, т, удовлетворяет в области Б = {(?, х): ? е [0, 7], {||х||^ = 1} условию Липшица
по ? и х с константами > 0, Хх > 0, не зависящими
от а е Б, к = 1, т .
Доказательство. Для любых е [0, Т] и
любых х1, х2 е {||х||ш = 1} справедливо неравенство |/(а, г2, х2> - /¿(«, < Ь,|г2 - + ЬхЦх2 - х^^, где
L, = max max max
' t «S [0, T м„ = 11 < k < m
L = max max max
x t «[0, T Ml„ = 11 < k < m
dfk( a, t, x)
dt
dfk(a, t, x)
dx
(13)
Пусть Q = (qij)"ij — произвольная (n s п)-матрица. Под
нормой ||Q||M будем понимать число |
Введем обозначения
'I = max X 1<г < nj=1 j
Am = max max \\Ak(i)\\m,
m t «[0, T 1 < k < m
Am = ma^ max \\Ak(OL- (14)
t «[0, T] 1 < k < m
С учетом выражений (8), (13) и (14) получим L = (Np(2M + 1))1/2(ш 2М2 + 2p(rnMAm + Alm)),
Lx = 2p(Np(2M + 1))1/2(шМ + n(1 + 2np)Am).
Лемма доказана. ♦
Обобщением теорем 3 и 4 в работе [24] на случай дифференциального включения (3) служат следующие две теоремы.
Теорема 3. Для выполнения условия (10) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число i l 1, что ß; < 0 и hi Lt + hx Lx < —2ß;.
Теорема 4. Для выполнения условия (10) необходимо и достаточно, чтобы существовали такое число i l 1 и вектор аг е G, что
Хг(аг) < 0 и htLt + hXLx < -2Хг(аг). ♦ (15)
Доказательство теорем 3 и 4 аналогично доказательству теорем 3 и 4 в работе [24].
Предлагаемый алгоритм проверки выполнения условия (10) опирается на утверждение теоремы 4. На q-м шаге, q = 1, 2, ..., алгоритма вычисляется
значение функции %г(аг) на векторе aq 1 е G, найденном на (q — 1)-шаге алгоритма (вектор а0 выбирается произвольно из множества G), и проверяется выполнение условий (15). Если они выполняются, то алгоритм останавливается, поскольку в этом случае вектор параметров а® 1 е G определяет функцию Ляпунова ^2р(а, t, x) вида (5), (6) с отрицательно определенной производной.
Заметим, что выполнение условий (15) можно обеспечить лишь уменьшением значения функ-
n
ции хг(а). В соответствии с этим, если условия (15) не выполнены, на ^-м шаге алгоритма с помощью метода эллипсоидов [26, 27], который может быть использован для решения задачи (12) минимизации выпуклой функции, определяется вектор аА По формулам метода эллипсоидов [27] вычисляются вспомогательный вектор й(ау *) и шаг Ну - г Значение определяется соотношением
q _ q — 1 а — а
+ Hq- id(aq 1).
(16)
Если условия (15) не выполняются за заданное число шагов алгоритма (16), то необходимо пов-
t X
торить алгоритм на новой сетке S( hi + 1, hi+ 1). Размер шагов сетки в случае необходимости уменьшается до тех пор, пока не нарушится условие min{ hi, hX} > 8, где 8 — заданное положительное число, определяемое особенностями реализации на компьютере предлагаемого алгоритма.
Если с помощью предлагаемого алгоритма не удается построить функцию Ляпунова (5), (6) для включения (3) с заданными значениями параметров М и p, то необходимо увеличить значения М или p и повторить алгоритм с этими новыми значениями.
Если удалось построить функцию Ляпунова (5), (6) с отрицательно определенной производной
V2p (a, t, x) < 0, тогда на сетке S(hi, hx) простым вычислением значений проверяется положительная определенность построенной функции Ляпунова V2p(a, t, x) с учетом условий на hi и hx, аналогичных условиям, фигурирующим в теоремах 3, 4 (эти условия будут гарантировать положительную определенность V2p(a, t, x) в точках (t, x) е D, не
принадлежащих S( hi, hx)). Дробление шагов сетки, в случае необходимости, осуществляется до тех
пор, пока не нарушится условие min{ hi, hX} > 8. Если в некоторой точке сетки построенная функция Ляпунова (5), (6) с отрицательно определенной
производной V2p (a, t, x) < 0 принимает неположительное значение, то выполнены условия первой теоремы Ляпунова о неустойчивости, и нулевое решение включения (3) будет неустойчиво.
3. ПРИМЕР
Рассматривается линейная непрерывная система управления второго порядка с периодически изменяющимися параметрами
X1 = x2, Х2 = — x1 — x2 + u(t)x1cos(9t), (17)
где и(0 — произвольная измеримая функция, удовлетворяющая условию |и(г)| < к, к > 0, 9 > 0. Совокупность всех таких функций и(г) обозначим через и.
Система (17) в классе и эквивалентна дифференциальному включению вида (3) с т = 2, Т = 2п/9, в котором матрицы Ак(г), к = 1, 2, имеют вид:
Ai(t) =
A(t) =
-1
0 1
■к cos (91) -1
0 1
-1 + к cos (91) -1
Для системы (17) с помощью предложенного алгоритма были построены функции Ляпунова (5), (6) при различных значениях параметров к, 9 и значениях р = 1, М = 4. Как отмечено в работе [28], критерий Бонджи-орно [29] для системы (17) при и(?) = к дает условие асимптотической устойчивости
к < (тах |Ж(гш)|)-1 = 0,866, W(iш) = 1/(1 - ш2 + гш)
гае К
и выделяемая им область робастной устойчивости системы (17) совпадает с областью, которую дает круговой критерий [30].
В таблице приведены максимальные значения параметра к, для которых робастная устойчивость системы (17) в классе и при 9 = 0,5 устанавливается с помощью функций Ляпунова (5), (6) с соответствующим значением параметров М и р.
Значения параметра к
М
0 1 2 3 4
0,866 2,625 3,067 3,189 3,284
0,993 2,417 2,842 3,012 3,153
0,997 2,194 2,608 2,866 2,972
Заметим, что полученный в работе [28] критерий в случае 9 = 0,5 дает максимальное значение к = 0,867.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одна из важнейших задач теории устойчивости систем управления заключается в поиске проверяемых критериев устойчивости. Часто, в силу сложности системы, проверка полученного критерия затруднительна, и он носит, по существу, чисто теоретический характер. Предложенный алгоритм численного построения функций Ляпунова позволяет проверить робастную устойчивость рассматриваемых систем и основан на решении задачи математического программирования с многократным вложением максимизации.
Р
В силу сложности решаемой задачи математического программирования алгоритм требует серьезных вычислительных ресурсов, что особенно заметно при увеличении параметров М и р в функциях Ляпунова (5), (6). Однако приведенный пример подтверждает конструктивность продемонстрированного в настоящей работе подхода и его эффективность по сравнению с применением критериев, полученных в работах [28, 29]. Дальнейшее совершенствование алгоритма может быть связано с поиском более эффективных методов оптимизации, необходимых для решения минимаксных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dorato P., Yedavalli R.K. Recent Advances in Robust Control. — N.-Y.: IEEE Press. — 1990.
2. Morari M., Zafiriou E. Robust Process Control. — New Jersey: Prentice Hall, 1989.
3. Джури Э.И. Робастность дискретных систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 5. — С. 3—28.
4. Kolla S.R., Vedavalli R.K., Farison J.B. Robust Stability Bounds of Time-Varying Perturbations for State Space Models of Discrete-Time Systems // Int. J. Control. — 1989. — Vol. 50, N 1. — P. 151—159.
5. Цыпкин Я.З. Робастно устойчивые нелинейные дискретные системы управления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1992. — № 6. — С. 18—29.
6. Mota F, Kaszkurewicz E. and Bhaya A. Robust Stabilization of Time-Varying Discrete Interval Systems // Proc. of 31st Conf. on Decision and Control. Tucson, AZ, Dec. 1992. — Vol. 1. — P. 341—346.
7. Bauer P.H., Premaratne K., Duran J. A Necessary and Sufficient Condition for Robust Asymptotic Stability of Time-Variant Discrete Systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1993. — Vol. 38, N 9. — P. 1427—1430.
8. Mansour M. Robust Stability of Interval Matrices // Proc 28-th Conference of Decision and Control., Tampa, FL, Dec. 1989. — P. 46—51.
9. Wang K., Michel A.N. On Sufficient Conditions for the Stability of Interval Matrices // Systems and Control Letters. — 1993. — Vol. 20, N 6. — P. 345—351.
10. Bialas S. A necessary and sufficient condition for stability of interval matrices // Int. J. Control. — 1983. — Vol. 37, N 4. — P. 717—722.
11. Xu Daoui. Simple Criteria for stability of interval matrices // Internat. Journ. Contr. — 1985. — Vol. 41, N 1. — P. 289—295.
12. Shih-Wei Kau, Yung-Sheng Liu. A new LMI condition for robust stability of discrete-time uncertain systems // Systems & Control Letters. — Dec. 2005. — Vol. 54, iss. 12. — P. 1195—1203.
13. Buslowicz M. Simple conditions for robust stability of positive discrete-time linear systems with delays // Control and Cybernetics. — 2010. — Vol. 39, N 4. — P. 1159—1171.
14. Buslowicz M, Kaczorek T. Robust stability of positive discrete-time interval systems with time-delays // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. — 2004. — Vol. 52, N 2. — P. 99—102.
15. Цыпкин Я.З. Абсолютная устойчивость положения равновесия и процессов в нелинейных импульсных автоматических системах // Автоматика и телемеханика. — 1963. — № 12. — С. 1601—1615.
16. Молчанов А.П., Морозов М.В. Абсолютная устойчивость нелинейных нестационарных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 2. — С. 49—59.
17. Молчанов А.П., Морозов М.В. Функции Ляпунова для нелинейных нестационарных дискретных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 10. — С. 37—45.
18. Морозов М.В. Условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с интервальными ограничениями // Проблемы управления. — 2009. — № 3. — С. 23—26.
19. Морозов М.В. Робастная устойчивость дискретных систем управления с периодическими интервальными ограничениями // Проблемы управления. — 2013. — № 4. — С. 11—15.
20. Pyatnitsky Ye, S., Skorodinskiy V.I. Numerical methods of Lya-punov function construction and their application to the absolute stability problem // Systems and Control Letters. — 1982. — Vol. 2, N 2. — P. 130—135.
21. Пятницкий Е. С., Скородинский В. И. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 11. — С. 52—63.
22. Каменецкий В. А., Пятницкий Е. С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1987. — № 1. — С. 3—12.
23. Методы анализа устойчивости нелинейных систем управления на ЭВМ. Препринт / А.В. Богатырев, В.А. Каменецкий, А.П. Молчанов и др. — М.: ИПУ РАН, 1989.
24. Морозов М. В. Алгоритм анализа устойчивости линейных периодических систем и его реализация на ЭВМ // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 4. — С. 27—35.
25. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
26. Немировский А. С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. — М.: Наука, 1979.
27. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1979.
28. Савкин А. В. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления с периодически нестационарной линейной частью // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 8.
29. Бонджиорно Мл. Критерии устойчивости линейных систем с переменными во времени параметрами, выраженные через характеристики в области действительных частот // ТИИЭР. — 1964. — № 7.
30. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978.
Статья представлена к публикации членом редколлегии академиком РАН С.Н. Васильевым.
Морозов Михаил Владимирович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, ® (495) 334-92-50, И miguel@ipu.ru.
