Алгоритм анализа и сжатия данных по топологической структуре исследуемого объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»



Телекоммуникационные системы и компьютерные сети

УДК 004.942

В.М. Дмитриев, В.В. Ганджа

АЛГОРИТМ АНАЛИЗА И СЖАТИЯ ДАННЫХ ПО ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА

Назначение и структура Активного редактора

В системах компьютерного моделирования технических и технико-экономических систем [1] редакторы входных данных, заносимых в основном в виде схем, сетей или цепей, обладают только функциями восприятия и трансляции этой информации к вычислительной части системы моделирования. В то же время во многих практических ситуациях входная информация в силу топологических особенностей объекта исследования и его формализованного представления требует предварительной обработки с целью ее сжатия, редуцирования или определенной интерпретации.

Для решения этой задачи предлагается ввести понятие «Активный редактор».

Активный редактор (АР) - многорежимный редактор, способный не только воспринимать и передавать информацию, заносимую в него пользователем, но и преобразовывать полученную информацию к заданному виду.

Такой редактор имеет два слоя:

структурный - редактор схем в основном режиме работы и генератор моделей компонентов (ГМК);

операционный, включающий в себя функциональные модули, задающие различные режимы работы АР.

Режимами работы активного редактора являются следующие:

• выделение подцепей в структуре сложной цепи - Reductor subcircuits;

• преобразование (редукция) схем полученных подцепей - Reductor arcuits;

• работа с векторными связями у компонентов схемы - Vector-branchs;

• автоматическая генерация регулярных (циклических) структур - Cycle circuits;

• установление эквивалентности схем для поиска прототипов в БД - Ecvivalence subcircuits;

• генератор моделей компонентов - Generator of models.

В настоящей статье рассмотрены алгоритмы, реализующие первые два из перечисленных выше режимов.

Рис. 1. Структура Активного редактора

Специальные режимы редактирования

Все топологические процедуры, связанные с вводом, редактированием, обработкой и исследованием топологической информации, базируются на понятии компонентной цепи (КЦ) [1], представляемой тройкой объектов C = (K, B, N). В этой же работе определены понятия компонента (K), связей компонента, ветвей цепи (В) и узлов цепи (N). Дана классификация компонентов и связей, определены типы связей, включая векторные. Классификация строится на основе использования топологических, физических и математических предикатов (признаков). Основными для данной работы являются топологические предикаты моделей компонентов и цепей, однако участвуют и остальные предикаты.

Автоматическое разбиение исходной цепи большой размерности на подцепи. Для систем большой размерности актуальным становится поблочный ввод информации. Для этого желательно иметь возможность автоматического разбиения исходной цепи на подцепи [2]. Подцепью (ПЦ) будем называть произвольную совокупность компонентов цепи. Полагаем, что ПЦ описывается набором внешних и внутренних переменных, относящихся соответственно к внешним и внутренним ветвям и узлам. Внешним является узел подцепи, в который ведет хотя бы одна связь компонента, не принадлежащего данной ПЦ, и всякая ветвь, ведущая во внешний узел. Внешние ветви ПЦ выполняют роль, аналогичную связям компонентов.

Путь цепь С содержит Q компонентов. Необходимо представить С в виде совокупности ПЦ, т. е. С = Uni для которых ^ St минимальна

ieI

(S. - число внешних ветвей подцепи). Каждая ПЦ содержит не более q < Q компонентов. Для решения поставленной задачи предлагается алгоритм выращивания ПЦ вокруг заданных компонентов. Вводим расстояние paß между компонентами Ka и Kp как минимальное число ветвей цепи, которое нужно пройти при построении пути от одного компонента к другому. Если пути между Ka и Kp не существует, полагаем рар = х>. Полагаем так-

что Paß = Pßa и Paa = 0 , а Paß = ^ ес™ Ka и Kß имеют общий узел.

Пусть имеется группа компонентов K, i е I, заданная индексным множеством I и компонент Ka. Расстояние от Ka до группы K

Pal =ZPa i. ieI

Алгоритм поиска минимального пути в графе путем выращивания подцепей реализуется следующими шагами.

Шаг 1. Фиксируем компоненты К, ] е О в качестве исходных подцепей. Индексное множество 3 задает пользователь.

Шаг 2. Для каждой подцепи ищем ближайший компонент на основании введенного понятия расстояния ра 1, которое определяем следующим образом.

Помечаем единицами все компоненты, смежные с Ка. Далее помечаем двойкой все непомеченные компоненты, смежные с помеченными ранее, и т. д. Как только все компоненты К, г е 1 окажутся помеченными, определяем расстояние ра 1 как сумму пометок, соответствующих компонентам К, г е I.

V

Шаг 3. Присоединяем выбранные компоненты к ПЦ. Требуем, чтобы подцепи не пересекались и их размерность не превышала заданную.

Шаг 4. Уточняем структуру ПЦ обменом компонентов между подцепями. Обмен считается целесообразным, если он ведет к уменьшению числа внешних ветвей подцепей.

Шаг 5. Графическое описание ПЦ преобразуется в списковый файл и далее эта информация больше не хранится.

Шаг 6. Переход к описанию КЦ из ПЦ. Завершение алгоритма.

Алгоритм редукции подцепей. После того как большая цепь свернута до уровня подцепей, в дальнейшем может быть произведена следующая упаковка топологической информации, которая осуществляется методом редукции [3, 4].

Для реализации этого метода не нужно строить никаких матриц. Основой метода редукции является замена двух параллельно или последовательно соединенных элементов одним эквивалентным. Это наиболее простой вариант соединения. Наиболее сложным является замена звездообразного соединения многоугольником.

Основные этапы алгоритма редукции представлены последовательностью шагов.

Шаг 1. Выбрать два элемента.

Шаг 2. Проверить, возможно ли выполнение свертки параллельного соединения. Если да, то перейти на шаг 3, иначе - на шаг 5.

Шаг 3. Выполнить свертку двух параллельно соединенных элементов.

Шаг 4. Перейти на шаг 13.

Шаг 5. Проверить, возможно ли выполнение

4

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети

свертки последовательного соединения. Если да -перейти к шагу 6, иначе - к шагу 8.

Шаг 6. Выполнить свертку двух последовательно соединенных элементов.

Шаг 7. Перейти к шагу 13.

Шаг 8. Проверить, имеют ли эти элементы общий узел. Если да, то перейти на шаг 9, в противном случае - на шаг 13.

Шаг 9. Определить число подключенных к общему узлу элементов. Если число элементов равно трем, перейти на шаг 10, если больше трех -перейти на шаг 12.

Шаг 10. Проверить, не имеет ли третий элемент второго общего узла с первым и вторым элементами. Если не имеет - перейти на шаг 11, иначе - на шаг 13.

Шаг 11. Выполнить преобразование звезда-треугольник.

Шаг 12. Перейти на шаг 16.

Шаг 13. Выбрать все элементы, подходящие к узлу.

Шаг 14. Проверить, не имеют ли вновь выбранные элементы второго общего узла с первым и вторым элементами. Если не имеют, то перейти на шаг 15, иначе - на шаг 16.

Шаг 15. Выполнить преобразование и-луче-вая звезда - многоугольник.

Шаг 16. Проверить, возможно ли дальнейшее упрощение, если да - перейти на шаг 1, если нет - перейти на шаг 14.

Шаг 17. Выход.

а)

Я,

я2 Ич

[ г

Т 3

я,

б)

О—II—[=}

На рис. 2 приведен пример работы алгоритма редукции на основе цепи.

Пример тестовой схемы алгоритма редукции. Для схемы, представленной на рис. 2 а, опишем работу алгоритма последовательностью выполнения этапов - преобразований.

На первом этапе работы алгоритма выполняется преобразование звезда-треугольник, в котором участвуют резисторы R1, Ю и R5. В результате выполнения преобразования получаются новые элементы R6, R7 и R8 (рис. 2 б).

На втором и третьем этапе работы алгоритма выполняется свертка двух параллельно стоящих резисторов К2, R6 и R4 и R7 соответственно. В результате выполнения сверток получаем резисторы R9 и R10 (рис. 2 в).

На четвертом этапе работы алгоритма выполняется свертка двух параллельно стоящих резисторов R11 и R8. Результат свертки - резистор R12 (рис. 2 д).

Поскольку дальнейшая свертка схемы невозможна, работа алгоритма завершается.

Таким образом, в данной статье введено понятие Активного редактора как дополнение обычного редактора операционным слоем, в котором реализуются все необходимые функциональные характеристики. Приведены алгоритмы, реализующие функции автоматического разбиения большой цепи на подцепи и алгоритм редукции подцепей.

Я*

-

г)

я«

о

о—*

я..

д)

¿5-

Рис. 2. Последовательность эквивалентных преобразований тестовой схемы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дмитриев, В.М. МАРС - среда моделирования технических устройств и систем [Текст] / В.М. Дмитриев, А.В. Шутенков [и др.]. -Томск: Изд-во «В-Спектр», 2011. -278с.

2. Арайс, Е.А. Алгоритмы и программы анализа сложных цепей и систем [Текст] / Е.А. Арайс, В.М. Дмитриев. -Изд-во ТГУ, 1976. -167 с.

3. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов [Текст] / А. Ахо, Дж. Хопкрофт. -М.: Мир, 1979. -527 с.

4. Сешу, С. Линейные графы и электрические цепи [Текст] / С. Сешу, М.Б. Рид. -М.: Высш. школа, 1971. -447 с.

УДК 681.5.013

А.В. Борисевич

СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ СХЕМЫ ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ

Аффинные нелинейные системы - это особый класс моделей в теории автоматического управления, описывающих многие технические процессы [1-3]: динамику мобильных роботов, процессы в электродвигателях, пневмоприводе, гидроприводе и т. д.

Рассмотрим реализацию многомерной системы с m входами и m выходами в пространстве состояний размерности n:

m

x=f (x)+Yß-(x)u'

,=i (1)

y = h( x),

где x e X с Mn, y e Y с Mm, u e U с Km, отображения f: M" ^ M", g : Ки ^ Ки, h : К" ^ Г -гладкие векторные поля f, g, h e C„ . Функции f (x) и g (x) считаем ограниченными на X.

В статье рассматривается частная задача установки константного значения на выходе системы.

Определение 1. Задача установки постоянного значения на выходе (setpoing tracking) -синтез такого закона управления u(t) = u(x), который асимптотически переводит выход y объекта управления в состояние y = const: lim, ^„y (t) = y. В частном случае, при y = 0 управление называется обнулением выхода (output-zeroing problem).

Без потери общности будем рассматривать задачу обнуления выхода lim t^„y(0 = 0. Эта задача может быть решена методом линеаризации по обратной связи [4, 5]. Главная идея подхода со-

стоит в трансформации с помощью нелинейной обратной связи системы N: u(t) ^ у^) вида (1) в систему с линейной динамикой L : у^) ^ у(Х) и такими же выходами у, но новыми входами у. После трансформации полученная система L может управляться любыми известными методами линейной теории автоматического управления (модальное управление, линейный квадратичный регулятор и т. д.).

Технически предлагаемый подход основан на методе численного продолжения по параметру для решения систем нелинейных уравнений [6], состоящем в параметризованном комбинировании исходной задачи и некоторой очень простой с известным решением. В предлагаемом методе осуществляется непрерывная параметрическая деформация тривиального объекта управления (цепочки интеграторов) с известным управлением в исходную аффинную нелинейную систему. Следует заметить, что применение методов вариации параметра (продолжения по параметру) активно используется как для синтеза регуляторов [7], так и для поиска оптимальных траекторий [8].

Настоящий подход отличается тем, что алгоритм продолжения по параметру непосредственно встраивается в регулятор нелинейной системы, синтезированный на основе метода линеаризации по обратной связи. Таким образом, одновременно реализуется возможность компенсации неопределенностей модели внешним линейным контуром управления (как это обычно осуществляется на практике при использовании методов линеари-