CC BY
17УДК 519.622.2:533.6
АЛГОРИТМ АДАПТИВНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
А. Ю. Морозов, Д. Л. Ревизников
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) Российская Федерация, 125993, Москва, A-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4
E-mail: alex-icez@yandex.ru
Представлен алгоритм адаптивной интерполяции на основе kd-дерева для задач моделирования динамических систем с интервальными параметрами. С его помощью выполняется моделирование процесса горения смеси водорода и кислорода при наличии неопределенностей в константах скоростей реакций.
Ключевые слова: интервальные системы ОДУ, динамическая структурированная сетка, kd-дерево, химическая кинетика, константы скоростей реакций.
ALGORITHM OF ADAPTIVE INTERPOLATION FOR MODELING DYNAMIC SYSTEMS
WITH INTERVAL PARAMETERS
A. Yu. Morozov, D. L. Reviznikov
Moscow Aviation Institute (National Research University) 4, Volokolamskoe Shosse, A-80 CSP-3, Moscow, 125993, Russian Federation E-mail: alex-icez@yandex.ru
The paper presents an adaptive interpolation algorithm based on the kd-tree for modeling problems of dynamical systems with interval parameters. With its help, the combustion of a mixture of hydrogen and oxygen is simulated in the presence of uncertainties in the rate constants of reactions.
Keywords: interval systems of ODE, dynamic structured mesh, kd-tree, chemical kinetics, rate constants of reactions.
Для моделирования газофазных химических превращений необходимо знать кинетический механизм и скорости протекания входящих в него реакций. Как правило, зависимости, которые описывают скорости, получают экспериментальными способами, зачастую дающими лишь приближенные значения. Значения функций, аппроксимирующих скорость протекания одной и той же реакции, но полученных разными исследователями, могут отличаться в десятки и сотни раз. Естественно, для численного моделирования в этом случае необходимо применение интервальных методов, которые могут работать в условиях больших неопределенностей.
Из-за своей природы интервальные методы подвержены эффекту обертывания, проявляющемуся в безграничном росте ширины получаемых интервальных оценок решений. Существуют методы, которые не подвержены или слабо подвержены этому эффекту, в основном они построены на символьных вычислениях [1]. Отдельно стоят методы типа Монте-Карло, обладающие рядом положительных особенностей, но при этом требовательные к вычислительным ресурсам.
Представляется подход [2], основанный на построении динамической структурированной сетки на основе к^-дерева над пространством, образованным интервальными параметрами задачи.
В процессе выполнения алгоритма на каждом шаге интегрирования исходной системы ОДУ строится кусочно-полиномиальная функция, которая интерполирует зависимость решения задачи от конкретных значений интервальных параметров.
Рассматривается стехиометрическая смесь водорода и кислорода при начальной температуре T = 1200 К , постоянной плотности р = 0,122 кг/м3 и постоянной внутренней энергии U = 1,48 МДж/кг . Модель химической кинетики задается системой из шести компонентов (И20, ОН, Н2, 02, Н, О),
в которой протекает восемь реакций [3]. В реакциях Н20+Н — 0Н + Н2, Н2 +0 — ОН + Н и
Н20 + О -о 20Н предэкспоненциальный множитель в уравнении Аррениуса задавался интервально:
Л1 =[8,4х 107, 4,2х108] , Л2 =[1,8х104,9х104] и
Л3 = [5,8х 107, 2,9 х108] . Остальные коэффициенты
скоростей реакций взяты из [3], а коэффициенты, задающие термодинамические свойства веществ, - из справочника [4].
Введенные неопределенности соответствуют отличиям кинетических механизмов, приведенных в работах [3; 5].
Решетневские чтения. 2018
10 30 50 70 10 30 50 70 10 30 50 70 10 30 50 70
t, МКС t, МКС t, МКС t г МКС
Рис. 1. Зависимость мольно-массовых концентраций от времени
Полученная система ОДУ является жесткой, и для ее интегрирования используется неявный метод Розенброка с заморозкой матрицы Якоби [6]. На рис. 1 представлены верхние и нижние оценки для концентраций некоторых компонентов смеси. Неопределенность в константах скоростей реакций приводит к неопределенности важного параметра - времени задержки воспламенения в диапазоне от 22 до 29 мкс.
Для данной модели характерным является переход в равновесное состояние, которое никак не зависит от констант скоростей реакций, о чем свидетельствует совпадение верхних оценок концентраций с нижними оценками после определенного момента времени.
На рис. 2 показаны разбиения пространства, получающиеся в процессе работы алгоритма.
Для решения представленной задачи также применялся метод Монте-Карло. Все решения, полученные им, содержатся в найденных интервальных оценках. При одинаковой точности алгоритм адаптивной интерполяции работает на порядки быстрее, чем метод Монте-Карло. Апробация алгоритма на задачах химической кинетики демонстрирует его эффективность и широкую область применения. В рамках моделирования процессов горения рассматриваемый подход позволяет исследовать зависимость времени задержки воспламенения от констант скоростей химических реакций.
Библиографические ссылки
1. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 5. С. 102-116.
2. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции на основе kd-дерева для численного интегрирования систем ОДУ с интервальными начальными условиями // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54, № 7. С. 963-974.
3. О механизме окисления синтез-газа / А. М. Старик, Н. С. Титова, А. С. Шарипов и др. // Физика горения и взрыва. 2010. Т. 46, № 5. С. 3-19.
4. Глушко В. П., Гурвич Л. В., Вейц И. В. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Т. 1. М. : Наука, 1978-2004. 327 с.
5. Варнатц Ю., Маас У., Диббл Р. Горение. Физические и химические аспекты, моделирование, эксперименты, образование загрязняющих веществ / пер. с англ. Г. Л. Агафонова ; под ред. П. А. Власова. М. : Физматлит, 2003. 352 с.
6. Новиков E. А., Голушко М. И. (m, 3)-метод третьего порядка для жестких неавтономных систем ОДУ // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 3. С. 48-54.
References
1. Rogalev A. N. [Guaranteed methods for solving systems of ordinary differential equations based on the transformation of symbolic formulas]. Vychislitel'nye tekhnologii. 2003. Vol. 8, No. 5. P. 102-116. (In Russ.)
2. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Adaptive interpolation algorithm based on a kd-tree for numerical
integration of systems of ordinary differential equations with interval initial conditions. Differential Equations. 2018. Vol. 54, No. 7. P. 945-956.
3. Starik A. M., Titova N. S., Sharipov A. S., Kozlov V. E. [On the Mechanism of Oxidation of Synthesis Gas]. Fizika goreniya i vzryva. 2010. Vol. 46, No. 5. P. 3-19. (In Russ.)
4. Glushko V. P., Gurvich L. V., Vejc I. V. et al. Ter-modinamicheskie svojstva individual'nyh veshchestv
[Thermodynamic properties of individual substances]. Vol 1. Nauka Publ., Moscow, 1978-2004. 327 p.
5. Warnatz J., Maas U., Dibble R. W. Physical and Chemical Fundamentals, Modeling and Simulation, Experiments, Pollutant Formation. Springer, 2001. 388 p.
6. Novikov E. A., Golushko M. I. [(m, 3)-method of the third order for rigid non-autonomous ODE systems]. Vychislitelnye tekhnologii. 1998. Vol. 3, No. 3. P. 48-54. (In Russ)
© Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л., 2018
