CC BY
13Алгебраик тенгламалар ва тенгсизликларни декарт координаталар системасидан фойдаланган ^олда укитиш
методлари
А.Бегматов Н.Рахимов nasriddin.raximov@inbox.ru Узбекиетон-Финляндия педагогика институти
Аннотация: Маколада баъзи алгебраик тенгламалар ва тенгсизликларни декарт координаталар системасидан фойдаланган х,олатда укитиш методлари курсатиб утилган. Алгебраик тенгламалар ва тенгсизликларни бу усуллардан фойдаланган х,олда укитганимизда укувчилар тенгламалар ечимларини тенгсизликлар исботларини геометрик шакллар ёрдамида жуда осон узлаштириб оладилар.
Калит сузлар: Декарт координаталар системаси, тенглама, тенгсизлик, функция, энг кичик ва энг катта кийматлар, модул, ечим хдмда учбурчак.
Methods for teaching algebraic equations and inequalities using the decorte coordinate system
A.Begmatov N.Rakhimov nasriddin.raximov@inbox.ru Uzbekistan - Finnish Pedagogical Institute
Abstract: The article shows methods for teaching some algebraic equations and inequalities using the Cartesian coordinate system. When we teach algebraic equations and inequalities using these methods, students can easily learn how to solve equations and prove inequalities using geometric shapes.
Keywords: Cartesian coordinate system, equation, inequality, function, minimum and maximum values, modulus, solution, and triangle.
_ _ \x - a\ + \x - b\ = c „
^aeraao, 1 11 1 KypHHHmgara Mogy.nnH TeHraaMaHH KOopgHHaTa ycymga ennm anropHTMHHH Ha3apHH ^Hx,aTgaH acooramra x,apaKaT KH.raMH3.
WWW.0PENSCIENCE.UZ / ISSN 2181-0842 759
Берилган тенглама ечимга эга булиши учун с- номанфий сон булиши лозим. Айтайлик, а- манфий сон, b- мусбат сон булсин. Мос чизмани чизиб оламиз.
Маълумки, модул тушунчаси масофа маъносида кулланилади, яъни х a деганда x нуктадан а нуктагача булган масофа тушунилади. Бунда куйидаги холатлар булиши мумкин.
1) х <=[*; ь]
булсин, у холда, Ь а = c текширилади. Тенглик тугри булса, ечим х е [а b], акс холда тенглама ечимга эга булмайди.
х Ь] х > Ь ёки х < а л- - х > Ь
2) L ' J булсин, у холда булади. Аитайлик
7 c + а + Ь х - Ь + х - а = c ^ х =-
булса, берилган тенгламанинг ечими 2 , иккинчи
холда х <а булса, берилган тенгламанинг ечими
7 а + Ь - c Ь - х + а - х = c ^ х =-
2 формула ёрдамида аникланади(Т. В.
Автономова, 1993г.).
Энди бунга оид битта масала ечимини келтириб утамиз.
, , |х + 2 + |х -1 = 7
Масала. 1 1 1 1 тенгламани ечинг.
Ечим. Юкоридаги каби дастлаб масала шартига мос чизма чизиб оламиз.
-э>
-2 0 1
[- 2;1]
х с *_ 2 1|
Куриниб турибдики, L ' J холатда тенглама ечимга эга эмас. Шу
сабабли иккинчи холатни текширамиз. х ^ [ 2;1] булсин. У холда, х > 1 булса,
7 + (- 2)+1 _
х — ^ х — 3
тенгламани ечими 2 булади. Иккинчи холда х < -2
^ [ 2;1] булсин У холда х > 1
- 2 +1 - 7 х =- ^ х = -4
булса, берилган тенгламанинг ечими 2 булади.
Демак, жавоб х = 3 х =-4.
х - а+х - ь > c .. х - а+х - Ь < c „
ёки куринишдаги модулли
тенгсизликларни хам координаталар методи ёрдамида ечиш усулларини юкоридаги каби курсатиб утиш мумкин(П., 1981г.).
Навбатдаги кадамда функциянинг энг кичик (энг катта) кийматини топишда координаталар системасидан фойдаланиш усули (Н.Рахимов., 7-8 march 2016. ).
Намуна сифатида f (x) = + ax + b +^x + cx + d куринишдаги функциянинг энг кичик кийматини топиш алгоритмини караб чикамиз. Бунинг учун берилган функцияни куйидагича шакл алмаштирамиз.
f (x) = j(x - xl )2 +(0 ± y )2 +yl(x - x2 )2 +(0 + y2 )2 У х,олда, f(x) - функциянинг охирги ифодасидан координаталар системасида учлари берилган нукталарда булган АВС учбурчакни ясаб оламиз(1-расм).
У '
Ж >
s.
о Cfx.
yj
1-расм. Масала шартига мос шакл. Чизмадан куришимиз мумкинки, берилган функция АВ ва АС кесмалар
f (x) = |AB| + \AC\
узунликларининг йотиндисига тенг, |BC| < |AB| + \AC\
яъни
Учбурчак
тенгсизлигидан 1 ~1 1 1 " 1 1 муносабат уринли булади. Демак, берилган функция узининг энг кичик кийматига А нукта ВС кесмада ётган х,олатда
эришади, яъни f (x)min = \BC. У х,олда, энг кичик киймат
f (x)min =V(x2 - xi )2 +(У2 - У1 )2
формула ёрдамида аникланади. Куйида бу формула ёрдамида функциянинг энг кичик кийматини топишга оид мураккаб математик масалалардан бирининг кулай ечимини келтириб утамиз (И.Гельфанд., 2007).
Масала. f W=Vx2 -6x +13 Wx2 -14x + 58 функциянинг энг кичик кийматини топинг. (Н.Рахимов, 2017).
Ечим. Берилган функцияни куйидаги куринишда ёзиб оламиз.
f (x)=Vx2 - 6x +13 Wx2 -14x + 58 =-sl(x - 3)2 + 22 + ^(x - 7)2 + 32
Бундан куринадики берилган функция М(х;0) нуктадан А(3;2) ва В(7;3) нукталаргача булган масофалар йиFиндисига тенг.
Бунда нукта А нуктага Ох укига нисбатан симметрик булган нукта,
яъни AM + MB = ÄM + MB. Бу йотиндининг энг кичик киймати учбурчак тенгсизлигига кура
ва В(7;3) нукталар орасидаги масофага тенг булади. Функция узининг энг кичик кийматига А, М ва В нукталар бир туFри чизикда
.. n \A'B = V(7-3)2 +(3 +2)2 = >/41
eTraH xo^garHHa эрнmаgн. ^eMaK, 1 1 vv ' v ' 1996).
булади. (А.,
2-расм. Масала шартига мос шакл. Куйида параметрга боFлик квадрат тенгламаларни координаталар системасидан фойдаланиб укитишга оид бир нечта тавсияларни бериб утамиз. Дастлаб, баъзи - бир асосий тасдикларни келтириб утамиз.
ш;2 + Ъх+с (bunda а * 0) ифода квадрат учхад; f(x) = ^ + bx+ с (bunda а * 0) -
квадрат функция; унинг графиги эса y =ах параболани параллел кучириш натижасида хосил килиниши бизга маълум.
ах2 + Ъх + с = а
х2 + 2---х + | — I -I —
2а
2а
2а
+ с = а| х +
2а
Ъ2 - 4ас
Ъ
хо =
4а
Уо =
— - 4ас
эканлигидан парабола учининг координаталари 0 2а 0 4а
булади. Квадрат функцияда а>0 (парабола шохлари юкорига йуналган) ва D > 0 (
D = Ъ 2 - 4ас - дискриминант) булса, квадрат функция графигининг ох укига нисбатан вазияти куйидагича куринишда булади:
У \ ха 1
\ 1 / "л
■ 1 1 / \ 1 /
Ч 1
Маълумки,
D > 0
3-расм. Масала шартига мос шакл.
шартда квадрат тенглама иккита хакикий илдизга эга
булади.
Бизга f (х) = ахх + Ъх + с (bunda а > 0) квадрат функция берилган булсин.
Агар кандайдир т сони учун f (m)< 0 тенгсизлик уринли булса, ах + Ъх + с = 0 тенглама иккита турли илдизга эга булади (А.А., 1996г).
Куйида квадрат функциянинг координаталар системасидаги графиги, яъни парабола учун баъзи - бир мухим хоссаларни келтириб утамиз
2
Ъ
(Kh.K.Khaknazarova., N.N.Rakhimov and Kh.K.Khaknazarova. Methods of using the parabola quadratic equations to solve a parameter. SOI: 1.1/Year:2019).
1-хосса. Берилган f (x)_ ax + bx + c квадрат функциянинг иккала илдизи хам М дан катта булган хол учун куйидаги муносабатлар ва чизма уринли булади, яъни
D > 0
| Xj > M
[x2 > M
X > M a■ f (M)> 0
\X1 V .
m\ у X
м/ хв\ .
Ух1 ХЛ X
a>0
a<0
2-хосса. Берилган f (x)= ax + bx + c квадрат функциянинг иккала илдизи хам (M;N) интервалда жойлашган холат учун куйидаги муносабат ва чизма уринли булади.
D > 0
x^, x 2 ^
(m; n)
Xo e(M; N) a■ f (M)> 0 a ■ f (N)> 0
\Х1
М\х /n х
м/
Ух1 хД х
a>0
a<0
3-хосса. Берилган f (x)_ ax +bx +c квадрат функция хамда унинг илдизлари орасида олинган М нукта учун куйидаги тенгсизлик ва чизма уринли булади.
Xj < M < х2 << a ■ f (M )< 0
a>0 a<0
4-хосса. Берилган f (х) =ax +bx+c квадрат функция хамда унинг илдизлари орасида олинган М ва N нукталар учун куйидаги тенгсизлик ва чизма уринли булади.
fa■ f (M)< 0
Xj < M < N < х2 <
a
■ f (N )< 0
5-xocca. EepHnraH f (x) ax +bx+c KBagpaT ^yH^HA x,aMga Ox yKuga
onHHraH M Ba N HyKTanap ynyH Xl < M < "*2 < N MyHOcaöaT öa^apnnca, ynap ynyH KyÖHgarH TeHrcronHK Ba HH3Ma ypHHnH öynagH.
a • f (M )< 0 a • f(N )> 0
6-xocca. EepHnraH f (x) ax +bx+c KBagpaT ^yH^HA x,aMga Ox yKuga
onHHraH M Ba N HyKTanap ynyH M < Xl < N < MyHOcaöaT öa^apnnca, ynap ynyH KyHHgarn TeHrcronHK Ba HH3Ma ypHHnH öynagu.
[a• f (M)> 0 a • f (N )< 0
3Hgu roKopngarH Ha3apHH MatnyMOTnap acocnga Kyönga ömra Macana eHHMHHH Kenrapnö yraMH3.
Macana. a napaMeTpHHHr KaHgaö KHHMaTnapHga ax 2 + 2x + 2a +1 = 0 TeHrnaMa HngronapngaH önpn 1 gaH khhhk, hkkhhhh HngH3H эca 1 gaH KaTTa öynagH (H.PaxHMOB K. , 2017).
Ehum. Macana mapTHgaH a ^ 0 . Arap a>0 öynca, napaöona moxnapH roKopnra fiyHanraH öynnö, f (1)< 0 , aKcHHna a<0 öynca, f (1)> o
öynagH. Ey HKKHTa x,on ynyH
KyHHgarn HH3MaHH hh3hö onaMH3.
4-pacM. Macana mapTHra moc maKn.
1- холда а>0 ва f (1)< 0 , 2- холда эса а<0 ва f (1)> 0 муносабатлар уринли булгани учун иккала хол учун умумий булган
a■ f (1)< о
тенгсизликни еза
оламиз. У холда, a(3a + з)< 0 ^ -1 < a < 0 натижани оламиз. Демак, жавоб.
a е(-1;0)
. (Kh.K.Khaknazarova., N.N.Rakhimov and Kh.K.Khaknazarova. Methods of using the parabola quadratic equations to solve a parameter. SOI: 1.1/Year:2019).
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Практикум по методике преподавания математики в средней школе. Учеб. пособие для студентов физ. -мат. фак. пед. ин-тов./Т. В. Автономова, С. Б. Верченко, В. А. Гусев и др.- Под ред. В. И. Мишина. М.: Просвещение, 1993г.-192 с.
2. N.N.Rakhimov and Kh.K.Khaknazarova. Methods of using the parabola quadratic equations to solve a parameter. SOI: 1.1/TAS DOI: 10.15863/TAS International Scientific Journal, ISSN: 2308-4944, Year:2019, Issue: 06, Vol:74 Impact Factor: ESJI(KZ)=8.716, IBI(India)=4.260, SIS(USA)=0.912, ICV(Poland)=6.630. Philadelphia,USA.
3. Н.Рахимов, Ж.Абдуллаев. Параметрли квадрат тенгламаларни координаталар системаси ердамида укитиш методлари. Аник фанларни касбга йуналтириб укитиш муоммолари ва ечимлари. Республика илмий-амалий анжуманининг илмий макола ва тезислари туплами. Навоий давлат педагогика институти, 23-ноябрь 2018 йил.
4. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами. - М.: Школа-Пресс, 1996г.
5. Н.Рахимов. Solving problems using coordinate planes / Решение задач с использованием координатных плоскостей. International scientific review NEW YORK. USA 7-8 march 2016. № 3 (13)
6. Рашукина Л. П. Координатный метод решения задач в восьмилеткой школе: Дисс.. канд. пед. наук. М., 1981г.- 301 с.
7. И.Гельфанд., Е.Глаголева., А.Кириллов. Метод координат. М., 2007
8. Кушнир И. А. Координатный и векторный методы решения задач. Киев: Астарта, 1996г. — 414 ст.
9. Н.Рахимов, Н.Турсунов, У.Абдуллаев. Масалаларни декарт координаталар системаси ердамида ечиш методлари. Аник фанларни касбга йуналтириб укитиш муоммолари ва ечимлари. Республика илмий-амалий анжуманининг илмий макола ва тезислари туплами. Навоий давлат педагогика институти, 23-ноябрь 2018 йил.
