ALGEBRAIK MASALALARNI GEOMETRIK USULDA YECHISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛЬОЕБКЛ1К МА8АЬАЬАКОТ ОЕОМЕТК1К Ш^БА УЕСНКН O'tkirbek YaxshШkovich To'rayev

Л22ах роШехшка кайа о^11иуск181.

https://doi.org/10.5281/zenodo.6661089 Annotatsiya: Ushbu maqolada ba'zi algebraik tenglamalar va tengsizliklarni geometrik shaкllarning xossalaridan/оу^атЪ уееЫзк шпИап о '^ат^ап.

Тауап^ so^zlar: tenglama, tengsizlik, algeЪraik tenglamalar sistemasi, vektor, funksiya.

РЕШАЙТЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Аннотация: В этой статье изучены некоторые алгебраические уравнения и неравенства и методы их решения использованием свойств геометрических фигур.

Ключевые слова: уравнение, неравенство, система уравнений, векторы, функция.

Annotation: This article explores some algebraic equations and inequalities and methods for solving them using the properties of geometric shapes.

Keywords: equations, inequalities, system of equations, vectors, function.

Bugungi kun bizdan ta'lim-tarbiya berishning yangi usullarini ishlab chiqish, fanlararo bog'lanishni kuchaytirish, ijodkor va erkin hamda har tomonlama mustaqil fikrlay oladigan yoshlarni tarbiyalashdek dolzarb vazifani talab etadi.

Ushbu masalalarning ko'pchiligi matematika fanidan respublikamizning turli bosqich olimpiadalari masalasi sifatida keltirilganligi bois, ushbu usullardan dars davomida, ayniqsa matematik to'garaklarda, o'quvchilarni matematik olimpiadalarga tayyorlashda foydalansa yanada yaxshiroq samara beradi degan umiddamiz.

Geometrik bo'lmagan masalalarni geometrik usulda yechish o'quvchilarda fanlararo bog'liqlikni teran tushunib yetadi, ilmiy tafakkuri, dunyo qarashi hamda ijodiy ishlash ko'nikmasini shakllantiradi. Biz masalamizni quyidagi turlarga bo'lib ifodalaymiz.

1. Dekart koordinatasi sistemasi yordamida yechiladigan masalalar;

2. Pifagor hamda kosinuslar teoremasi yordamida yechiladigan masalalar;

3. Vektorlar yordamida yechiladigan masalalar.

Quyida bu holatlarning har biriga alohida to'xtalib, ularga oid masalalar yechimini keltirib o'tamiz.

Yechimi. x + у + Z = 3 tenglama bilan berilgan tekislik to'g'ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi o'qlarini mos ravishda j4(3; 0; 0),F(0; 3; 0), C(0; 0; 3) nuqtalarda kesib o'tadi (1-chizma).

SOLVE ALGEBRAIC PROBLEMS GEOMETRICALLY

KIRISH

TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI

Dekart koordinatasi sistemasi yordamida yechiladigan masalalar.

1-masala. Tenglamalar sistemasini yeching.

SCIENCE AND INNOVATION

INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL

2022 № 3

1-chizma.

x2 +y2 +z2 = 3 esa markazi 0(0; 0; 0) nuqtada va radiusi T = V^ bo'lgan sfera tenglamasini ifoda qiladi. 0 nuqtadan ABC uchburchak tekisligigacha bo'lgan masofani aniqlaymiz. Buning uchun OABC piramidani qaraymiz. TADQIQOT NATIJALARI Ma'lumki, piramidaning hajmi V = ~SAABC ■ H formula yordamida topiladi, Bunda

H = OD (D — ABC uchburchak markazi). Bunga ko'ra piramidaning hajmi

V = - • ''' ''' —— ■ H = —ekanini topamiz. Ikkinchi tomondan bu piramidaning

bo'ladi. Bu ikkala tengliklardan

= j , H = V3 natijani olamiz. Bundan shuni aniqlaymizki, 0 nuqtadan ABC

uchburchak tekisligigacha bo'lgan masofa OD = V3 bo'lib, sfera D nuqtada ABC-uchburchak tekisligiga urinadi. Demak, berilgan tenglamalar sistemasi yagona ildizga ega bo'ladi. Bu yechim D(x;y;z) nuqtaning koordinatalaridan iborat bo'ladi. D nuqta ABC muntazam

uchburchakning og'irlik markazi bo'lganligi bois, X = y = Z = 1 bo'ladi. U holda javob: iL-,:-, D bo'ladi.

Pifagor hamda kosinuslar teoremasi yordamida yechiladigan masalalar

2-masala. Tenglamalar sistemasini yeching

SCIENCE AND INNOVATION 2022

№ 3

INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL

Yechimi. 1) Aytaylik x,y,z - musbat sonlar bo'lsin. Katetlari x,y va gipotenuzasi z bo'lgan ABC uchburchakni yasab olamiz.

A

C

2-chizma.

Bu uchburchakni perimetri 60 ga, gipotenuzaga tushirilgan balandligi 12 ga teng (2-chizma). Sistemadagi 1 —tenglamadan (x + y)2 = (60 — z)2, sistemaning 2 — va 3 — tenglamalaridan esa (x + y)2 = Z2 + 24z tenglamalarni hosil qilamiz. Bu ikkita tenglamalarning chap qismlari tengligidan

(60 -z)2 = Z2 + 24Z => 144 = 602 => Z = 25 ekanligini topamiz. U holda,

{xy-3Q0 bo'lib, bu noma'lumlarning qiymatlari 15 va 20 bo'ladi.

Sistemaning yechimi: (15; 20; 25) va (20; 15; 25) bo'ladi.

2) Masala shartida X, y, Z —laming musbat yoki manfiyligi haqida hech narsa aytilmagan. Sistemadagi 3 —tenglamadan aytaylik noma'lumlardan ikkitasi manfiy bo'lsin. z > 0 ekanligiga biz yuqorida ishonch hosil qildik. U holda x < Ovay < 0 bo'lishi kerak. x + y = 35 ekanligidan x va y laming manfiy bo'lishi mumkin emas. Demak javob : (15; 20; 25) va (20; 15; 25).

3-masala. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

~4 + Vx2 - 3V3x +9

/(x) = Vx2^ Yechimi. Quyidagi chizmadan foydalanamiz:

A

y

B

x

D

B

C

SCIENCE AND INNOVATION 2022

№ 3

INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL

ISSN: 2181-3337

3-chizma.

XULOSA

Bunga ko'ra ACD to'g'ri burchakli uchburchakda AC = 2, CD = X, < A CD = 90° va BCD uchburchakda esa BC = 3,CD = X,< BCD = 30° munosabatlar o'rinli (3-chizma). ACD uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib AD = Vx2 + 4 BCD

uchburchakka esa kosinuslar teoremasini qo'llasak, DB = a/x2 — 3^j3x + 9 natijalarni

olamiz. U holda f (x) = min(AD + DB) = AB munosabat o'rinli bo'ladi. AABC

uchburchakka kosinuslar teoremasini tadbiq etib,

AB = V22 4- 32 - 2 ■ 2 ■ 3 ■ cos 120° = V19 ekanini topamiz. Javob: Vl9.

Vektorlar yordamida yechiladigan masalalar.

ill

4-masala. Agar a + b + C = lva a >--, b >--,c >--ekani ma'lum bo'lsa,

4 4 4

u holda v' 4 a + 1 + y4fr + 1 + y4f + 1 < V21 tengsizlikni isbotlang.

Yechimi. Biz bu masalani vektorlarning skalyar ko'paytmasidan foydalanib yechamiz. Buning uchun avval 2 ta vektor tuzib olamiz.

a(y'4a + 1; v'4i> 4- 1; v'4c + l) va b( 1; 1; 1). Bu vektorlar uchun

0. • b 0. • b tengsizlikni qo'llasak quyidagi munosabat o'rinli bo'ladi.

|a ■ b\ = V4a + 1 + V4b + 1 + V4c + 1

|a| ■ \b\ = Jy4a + l* + V'4b + + y4c + I2 ■ v'3 = V2L

| a ■ b\ < \d\ ■ |S| ga ko'ra V'4 a 4- 1 + V4/7TI + V'4c + 1 < V21 bo'ladi. Tengsizlik isbotlandi.

Mustaqil yechish uchun masalalar.

1) Agar x + y + z = 5 bo'lsa, Vx2 + 9 + jy2 + 16 + Vz2 + 25 ifodani eng kichik qiymatini toping.

2) Tenglamani yeching: a) Vx2 + 4 + Jx2 — 3xV3 + 9 = Vl9 ; b) V2x2 + 2 - 4x + xV2 + V2x2 + 2 - 2x = V6

fx + y + z = 30

I n n o

3) Tenglamalar sistemasini yeching. -i x + y = Z

xy = 6z

4) Vl +x2 -x + V 1 + X2 - xv'3 ifodaning eng kichik qiymatini toping.

5) Quyidagi tenglamani yeching. VI + X2 +v'l + X2 — Хл/З = у/3

6)Musbat a,b,c conlari uchun quyidagi tengsizlikni isbotlang:

Va2 — ab + b2 + Vü2 — bc + c2 = Vfl2 — ac + c2

7)Funksiyaning eng kichik qiymatini toping. f{x) = Vx2 + 4 + у/X2 — Зхл/З + 9

8) 10) Agar а — b + с = 6 ekani ma'lum bo'lsa, y/a + 1 + V2 — b + yjc + 3 < 6 tengsizlikni isbotlang.

9) Tenglamani yeching. xVl + X + л/3 — X = 2V1 + X2

1. С.Отакулов, А.Мусаев. Математические методы в экономике. «Издательство инновационного развития» Ташкент, 2020.-259 стр.

2. Ломкова Е.Н., Эпов А.А. Экономико-математические модели управления производством. Учебное пособие. Волгоград, РПК "Политехник". 2005.-67с.

3. У.Я.Тураев. Электронная рабочая тетрадь как средство повышения эффективности организации самостоятельной работы студентов научный вестник НамГУ-научный вестник НамГУ, № 2, 2020, С. 409-414.

4. У.Я.Тураев, Б. Ш. Рахимов. Низкая и высокая оценка игры. Принцип минимакса. Актуальные проблемы и тенденции развития современных исследований, инноваций, техники и технологии. Сборник материалов республиканской научно-технической конференции-Джизак: ДжизПИ, 10-11 апреля 2020 года. Том 1. Стр. 407-409.

5. Останов К., Тураев У. Я., Рахимов Б. Ш. Об обучении учащихся основным методам решения квадратных неравенств //European science. - 2020. - №. 1 (50).

6. Останов К., Тураев У. Я., Рахимов Б. Ш. ИЗУЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ «СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» И ЗАКОНЫ ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ //ББК 72 С127. - 2019.

7. Неъматов А. Р., Рахимов Б. Ш., Тураев У. Я. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА //Ученый XXI века. - 2016. - Т. 6.

8. Неьматов А. Р., Рахимов Б. Ш., Тураев У. Я. EXISTENCE AND UNIQUENESS OF THE DECISION OF THE NONLINEAR EQUATION VOLTERRA //Учёный XXI века. - 2016. - №. 3-1 (16). - С. 3-6.

Foydalanilgan adabiyotlar:

SCIENCE AND INNOVATION

INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL

2022 № 3

9. Rahimov B. S. H., Ne'matov A. R., Fayzullayev S. E. LAGRANJ FUNKSIYASIDAN FOYDALANIB BA'ZI MASALALARNI YECHISH HAQIDA //Archive of Conferences.

- 2022. - С. 41-43.

10. Отакулов С., Рахимов Б. Ш. ОБ УСЛОВИЯХ УПРАВЛЯЕМОСТИ АНСАМБЛЯ ТРАЕКТОРИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ //Журнал Физико-математические науки. - 2020. - Т. 1. - №. 3.

11. Отакулов С., Рахимов Б. Ш., Хайдаров Т. Т. Задача оптимизации квадратичной функции на неограниченном многогранном множестве //Science and Education. - 2020.

- Т. 1. - №. 2. - С. 11-18.

12. Останов К. и др. НЕКОТОРЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ //ББК 72 Н106. - 2018.

13. Sh.A.Alimov, O.R.Xolmuhamedov, M.A.Mirzaahmedov. Algebra 9-sinflar uchun darslik. T: "O'qituvchi", 2009.

14. I.Isroilov, Z.Pashayev. Geometriya, I qism. T., "O'qituvchi", 2004.