CC BY
30
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ ВЫДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСОВ ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ СБОЕ-И ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СЕТЯХ ЦВМ
А. В. Лобанов, д. т. н., ученый секретарь-начальник лаборатории Тел: (499) 731 8931, е-mail: lav@se.zgrad.ru ОАО «НИИ «Субмикрон» http://www.submicron.ru
A method for locating an unspecified structure of a required number of complexes with specified fault-tolerance is proposed to ensure transient fault-tolerant and fault-tolerant parallel execution of tasks with exchange of information. Sufficient conditions of existence of such complexes are found. A new algebraic approach to implementing this method is considered which is characterized by visibility and credibility of the results.
Представлен метод выделения в многомашинной вычислительной системе или сети ЦВМ произвольной структуры заданного количества комплексов требуемой отказоустойчивости с целью организации сбое- и отказоустойчивого параллельного исполнения ряда задач, взаимообменивающихся информацией. Определены достаточные условия существования таких комплексов. Предложен новый алгебраический подход к реализации представленного метода, обеспечивающий наглядность и достоверность получаемых результатов.
Ключевые слова: многомашинные вычислительные системы, репликация задач, отказоустойчивость, взаимное информационное согласование.
Keywords: multicomputer systems, task replication, fault-tolerance, reaching information agreement.
При организации многозадачных параллельных отказоустойчивых вычислений в многомашинных вычислительных системах (МВС) и сетях ЦВМ одной из важнейших является задача достижения согласованности информации в различных ЦВМ системы в условиях возникновения допустимых неисправностей, формулируемая как проблема взаимного информационного согласования (ВИС) [1].
В данной работе рассматривается МВС произвольной структуры, отображаемой ориентированным графом (орграфом) G, ЦВМ (вершины) которой соединены двухточечными симплексными каналами связи (дугами). Модель неисправности ЦВМ (вершины) - враждебная, «византийская», при которой поведение неисправной ЦВМ (вершины) может быть произвольным, неодинаковым по отношению к взаимодействующим с ней другим ЦВМ (вершинам) МВС, в том числе подобным «злонамеренному».
Комплексом k (i=1, 2,..., l) из заданного множества K={k1, k2,..., ki} называется подсистема (орподграф), удовлетворяющая достаточным условиям, состоящим из трех частей [2, 3]: Ч1) наличие в k орподграфа H, гомеоморфного полному орграфу M с количеством вершин более о ,„„min „„max
3 mi, где mi находится в диапазоне от mi до mi и задает допустимое количество неисправных ЦВМ в ki. Вершины Hi, соответствующие вершинам M, называются основными и составляют множество X Остальные вершины k называются неосновными и составляют множество N Ч2) наличие исходящих, непересекающихся далее путей из каждой неосновной вершины k к не менее чем 2тг+1 конечных основных вершин, причем в каждом пути имеется только одна основная вершина; Ч3) наличие входящих путей в каждую неосновную вершину k от не менее чем 2тг+1 основных вершин, причем эти пути пересекаются только в этой неосновной вершине и в каждом пути имеется только одна основная вершина, являющаяся начальной.
При сбое- и отказоустойчивом исполнении в системе l взаимообенивающихся параллельных задач необходимо наличие в системе K={kb k2,..., kl}, причем i-ю задачу решает kt. В таких системах процесс достижения системного ВИС можно рассматривать в виде двух последовательных этапов: 1) внутрикомплексное ВИС для каждого kh при котором после внутрикомплексного обмена во всех исправных ЦВМ ki вычисляется одинаковый вектор согласованных значений этого k, 2) межкомплексное ВИС, включающее межкомплексный
обмен согласуемой информацией и вычисление вектора системного ВИС, одинакового в каждой исправной ЦВМ системы и содержащего вектор согласованных значений всех ЦВМ системы.
Алгоритм межкомплексного ВИС в многокомплексной МВС можно построить, если в О, во-первых, выделены комплексы требуемой структуры, и, во-вторых, между каждой возможной парой этих комплексов определена достаточная среда межкомплексных пересылок, содержащая вершины и дуги, не принадлежащие этим комплексам, для которых также определен диапазон допустимого числа неисправных ЦВМ. Присутствие допустимых неисправностей в среде не должно препятствовать межкомплексному ВИС в этой паре. Ниже рассматривается только задача выделения заданного множества комплексов.
Предлагаемый метод выделения непересекающихся комплексов состоит в следующем. Пусть в некотором орграфе О системы необходимо последовательно выделить К={к\, к2,..., к}. Вначале все вершины орграфа О считаются незадействованными. Выделение к\ начинается с задания текущего значения т1=т“х. Из состава незадействованных вершин формируются
всевозможные множества 0^, 02,..., 0[ вершин-кандидатов в основные вершины к1
мощностью п1=3т1+1. Затем выбирается 01 и среди множества всевозможных пронумерованных вариантов структур-кандидатов, определяемых 01, последовательно находится вариант орподграфа Н1, удовлетворяющий достаточным условиям Ч1-Ч3 существования к1. При положительном исходе процесс выделения к1 прерывается и считается, что к1 с подорграфом Н1 выделен. Из множества незадействованных вершин О исключаются вершины из к1 и осуществляется переход к аналогичному выделению к2 в орподграфе, порожденном в графе О оставшимися незадействованными вершинами. Иначе делается вывод о
невозможности выделения к1 для заданного 01, выбирается 012 и повторяется весь анализ. Если невозможно выделение к1 также и для 01г, то делается вывод о невозможности выделения к1 при заданном т1. Тогда, если т; > т™", повторяются все действия для т1:=т1-1. Если же невозможно выделение к1 при любом допустимом значении т1, то делается вывод о невозможности выделения заданного К={к1, к2,..., к{}. Если невозможно выделение к, (/>1), делается вывод о неудачном прерывании процесса выделения к/-1 и осуществляется возврат к продолжению прерванного процесса выделения к/-1. Для сокращения объема вычислений перед переходом к выделению очередного к, (/>1) осуществляется проверка достаточности количества
незадействованных вершин для выделения оставшихся комплексов. При недостаточности выполняется переход к продолжению прерванного выделения предыдущего комплекса.
В результате применения предложенного метода осуществляется полный перебор возможных вариантов выделения К={к1, к2,..., к} и, если имеется хотя бы один успешный вариант, то он будет найден.
Проверку 0‘ ={а, у, х,..., 8} на удовлетворение Ч1-Ч3 можно осуществлять следующим образом. Будем представлять подорграф из вершины а, соединенной в орграфе О исходящими дугами с вершинами в, у,..., £, в виде ДНФ исходящей смежности для а в орграфе G (ДНФИС (а, G)): аPvаyv...vаZ. В этой ДНФ не допускается использование коммутативного закона. Построим подобные ДНФИС для всех вершин орграфа О. Выражение ДНФИС (а, О) также является выражением ДНФ путей единичной длины из а в G (ДНФП (1, а, G)) Для формирования выражения связки а^Х в орграфе G (связки (а^Х, G)), отображающей всевозможные простые пути из а в Х заменим в каждом терме из ДНФП (1, а, О) последний его символ на соответствующую ДНФИС и при помощи преобразования вида (AvB)•(CvD)=ACvADvBCvBD построим ДНФ путей двойной длины из а в G (ДНФП (2, а, G)) без применения идемпотентного и коммутативного законов, сохраняя имевшуюся последовательность символов в термах. Полученная ДНФП (1, а, О) последовательностями символов в своих термах отображает всевозможные простые пути двойной длины, исходящие в О из вершины а. В ДНФП (2, а, О) продолжим итеративно подобные подстановки и преобразования. После каждой/-й (/=1, 2,.) итерации находим в получаемой ДНФП (/, а, О) каждый терм, заканчивающийся символом Х, и переносим его (с исключением из ДНФП (/, а, О)) в виде терма в формируемое выражение ДНФ связки а^Х внутри G (ДНФС (а^Х, G). Кроме того, из полученной ДНФП (/, а, О) исключаем каждый терм, заканчи-
вающийся обозначением вершины стока орграфа О или символом, уже имеющемся в этом терме (исключение контура), а также каждый терм, в котором появляется обозначение вершины из 0.,
отличной от а и Х. В результате таких подстановок, преобразований, переносов и исключений для любого конечного орграфа О за конечное число д>0 таких итераций получаемая ДНФП (д, а, О) из-за переносов и исключений становится пустым, а в ДНФС (а^Х, О) появляются термы, каждый из которых описывает один из путей связки, термы не повторяются, и все термы отображают всевозможные простые пути в связке (а^Х, О).
Логическое выражение, отображающее всевозможные исходящие пучки (а, 0 \а, G)
путей, проходящих внутри О из вершины ае 0* во все другие вершины в, х, . . ., в, из 0/, строится
путем конъюнкции всех ДНФС (а^в, О), (а^у, О),., (а^в, О), ее преобразования к виду ДНФ без применения идемпотентного и коммутативного законов с сохранением имеющейся последовательности символов в термах и исключением каждого терма с повторяющимися символами, отличными от символа а. В результате получается выражение ДНФ исходящих пучков из а в вершины из 0‘\а внутри G (ДНФИП (а, 0‘\а, G), каждый терм которого
отображает совокупность путей одного исходящего пучка (а, 0‘\а, О), а все термы -всевозможные такие пучки.
Метод выделения в О для 0‘ ={а, в, У,. ., в} очередного к, такого, что для каждой вершины
из 0‘, например, 5е 0‘ существует хотя бы один исходящий пучок (5, 0‘\ 5, О), состоит в
следующем. Из всех ДНФИП (а, \а, О), (в, 0\в, О), (у, 0.\ у, О),..., (в, 0.\в, О) строится
конъюнкция и преобразуется к виду ДНФ без применения идемпотентного и коммутативного законов с сохранением имеющейся последовательности символов в термах из ДНФИП. В результате получается ДНФ всевозможных орподграфов в графе G, гомеоморфных полному
графу с множеством основных вершин 0/ ={а, Р, у,..., е| (ДНФОГП (0/, G)), каждый терм которой отображает один такой возможный орподграф р.’Б (8=1,...), а все термы - всевозможные такие орподграфы из множества Р- = {р.,1,р.,2,...} . Каждый р/,Б удовлетворяет Ч1. Для каждого
Л, Б /"\1 ЛГМ
р1 все вершины из р1 , не принадлежащие 0, , составляют множество N вершин-кандидатов в неосновные вершины к,. Для каждой неосновной вершины должны выполняться условия Ч2 и Ч3. Обеспечение Ч2, например, для пе N.,Б можно достичь путем успешного
построения ДНФИП (п, 0‘,у, О) (здесь 0‘,у является очередным анализируемым у-м
подмножеством мощностью 2тг+1 из всех таких пронумерованных возможных подмножеств, построенных из 0.), если все предыдущие а;',., cг' оказались безуспешными. При этом
возможно, что в найденных путях будут иметься внутренние вершины, не принадлежащие N1, Б, которые необходимо, в свою очередь, ввести в к (в N1’*) и для каждой из них аналогично обеспечить Ч2 и Ч3.
Анализ и обеспечение Ч3 для каждой вершины, принадлежащей N1’*, например, п осуществляется путем построения для очередного выбранного подмножества 0‘,у={в, У,..., в} ДНФ пучков, сходящихся в п из 0‘,у, в С (ДНФПС (п, 0‘,у, G)) из конъюнкции связок (в^П,
О), (у^П, О),..., (в^п, О), каждый терм которой отображает один из искомых пучков, а все термы - всевозможные такие пучки. При этом возможно, что в найденных путях будут иметься внутренние вершины, не принадлежащие N.,Б, которые необходимо, в свою очередь, ввести в к,
(в N., Б) и для каждой из них аналогично обеспечить Ч2 и Ч3.
Предложенный метод построения ДНФП (д, а, О) ^=1, 2,...) является, по сути, новой алгебраической формой алгоритма фронта волны [4]. При этом получаемое алгебраическое выражение можно эффективно применять для других задач анализа графов и орграфов, связанных с определением путей и их взаимоотношений.
В представленной работе рассматривается только метод выделения заданного множества комплексов. Метод определения достаточной межкомплексной среды рассматривается в [5]. Сочетание в одном алгоритме этих методов и метода построения алгоритма межкомплексного ВИС является открытой темой исследований.
Литература
1. Генинсон Б. А., Панкова Л. А., Трантенгерц Э. А. Отказоустойчивые методы обеспечения взаимной информационной согласованности в распределенных вычислительных системах // Автоматика и телемеханика. 1989. № 5. С. 3-18.
2. Ашарина И. В., Лобанов А. В., Мищенко И. Г. Взаимное информационное согласование в неполносвязных многомашинных вычислительных системах // Автоматика и телемеханика. 2003. № 5. С. 190-198.
3. Ашарина И. В., Лобанов А. В. Взаимное информационное согласование в неполносвязных гетерогенных многомашинных вычислительных системах // Автоматика и телемеханика. 2010. № 5. С. 133-146.
4. Нефедов В. Н., Осипова В. А. Курс дискретной математики: Учеб. пособие.- М.: Изд-во МАИ, 1992.-264 с.
5. Ашарина И. В. Алгебраический метод определения достаточной среды межкомплексной посылки при организации сбое- и отказоустойчивых параллельных вычислений в сетях ЦВМ // Открытое образование. № 2 (85). Ч. 2. С. 26-29.
УДК 621.377.6:004.083.72
ОЦЕНКА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЛОКАЛЬНОЙ ПОДСИСТЕМЫ ХРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
С. А. Даденков, аспирант Тел.: (909) 112 8003, e-mail:dadenkov@rambler.ru А. Н. Кокоулин, к. т. н. доцент Тел.: (902) 474 5399, e-mail: liga_asu@mail.ru Е. Л. Кон, аспирант Тел.: (909) 112 8003, e-mail: dadenkov@rambler.ru Электротехнический ф-т, кафедра «Автоматика и телемеханика»
Пермский государственный технический университет
http://pstu.ru/
The authors describe the method of the delay analyses in local storage systems (including local hard drive, controllers and interfaces and hierarchy of drivers). The method is based on the storage model with queues and several phases. This model contains the main blocks of traffic manipulations in storage systems, such as protocols, topology and equipment.
Для анализа производительности накопителя на жестких магнитных дисках разработаны многофазные модели. Для каждой модели выполнен расчет производительности и определена вычислительная сложность решаемой задачи. На основе анализа результатов моделирования сделан вывод о целесообразности использования предложенных моделей для оценки производительности накопителей информации. Для анализа производительности накопителя на жестких магнитных дисках разработаны многофазные модели. Для каждой модели выполнен расчет производительности и определена вычислительная сложность решаемой задачи. На основе анализа результатов моделирования сделан вывод о целесообразности использования предложенных моделей для оценки производительности накопителей информации
Ключевые слова: аналитическое моделирование, многофазные системы массового обслуживания, дисковые системы.
