CC BY
0УДК 519.6 Лукманов Р.А., Губайдуллин Р.Р.
Лукманов Р.А.
преподаватель математики Уфимский государственный колледж технологии и дизайна
(г. Уфа, Россия)
Губайдуллин Р.Р.
студент
Уфимский государственный колледж технологии и дизайна
(г. Уфа, Россия)
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПРОГРАММИРОВАНИИ: ИССЛЕДОВАНИЕ ГРУПП, КОЛЕЦ И ПОЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГОРИТМАХ И СТРУКТУРАХ ДАННЫХ
Аннотация: в данной работе анализируются алгебраические структуры — группы, кольца и поля, — и их роль в программировании. Рассматриваются основные свойства этих структур и их использование в различных алгоритмах, включая шифрование, обработку данных и решение математических задач.
Ключевые слова: алгебраические конструкции, группы, кольца, поле, программирование.
Алгебраические конструкции, такие как группы, кольца и поля, являются краеугольными камнями математики и имеют значительное влияние на различные области её прикладного использования. Эти структуры исследуются в рамках абстрактной алгебры и имеют глубокие теоретические корни, восходящие к работам Галилея, который первым отметил алгебраические закономерности в движении планет. Рассмотрим каждую из этих алгебраических конструкций подробнее [1].
Группа — это множество О вместе с бинарной операцией, которая объединяет любые два элемента а и Ь из О в третий элемент с (то есть с= а*Ь), при этом удовлетворяющее следующим условиям:
1. Замкнутость: для любых а, ЬeG результат операции а*ЬеО.
2. Ассоциативность: для любых a,b,ceG выполняется равенство (а*Ь)*с=а*(Ь*с).
3. Нейтральный элемент: существует элемент eeG (называемый нейтральным элементом), такой что для любого aeG выполняется е*а=а*е=а.
4. Обратный элемент: для каждого элемента aeG существует элемент ЬeG (называемый обратным элементом к a), такой что а*Ь=Ь*а=е.
Примеры групп включают целые числа с операцией сложения и ненулевые рациональные числа с операцией умножения [2, 7 стр.].
Кольцо представляет собой набор из K операций сложения и умножения, и должно выполнять определенные условия.
1. Относительно сложения K есть абелева группа (называемая аддитивной группой кольца
2. Дистрибутивность: Умножение должно распределяться относительно сложения.
Примеры колец включают целые числа с обычными операциями сложения и умножения, а также множество полиномов [2, стр. 10].
Поле представляет собой специфический случай кольца, где каждая ненулевая величина обладает обратным элементом по отношению к операции умножения. Поле должно удовлетворять следующим условиям:
1. Кольцо: Множество должно образовывать кольцо.
2. Обратные элементы: для любого ненулевого элемента а существует элемент Ь, такой что а*Ь=1.
Примеры полей включают рациональные, действительные и комплексные числа [2, стр. 12].
Алгебраические структуры также активно используются в программировании, упоминаются в криптографии для обмена ключами, в
теории кодирования для создания кодов и в вычислительной геометрии для описания преобразований геометрических объектов. Рассмотрим несколько примеров их применения.
Группы широко используются в криптографии, особенно в алгоритмах, основанных на дискретных логарифмах. Например, алгоритм Диффи-Хеллмана использует свойства групп для обмена ключами между двумя сторонами. В этом контексте группы дают возможность создавать сложные криптографические системы, обеспечивающие безопасность передачи данных [2].
Кольца и поля применяются в теории кодирования для создания кодов, которые могут обнаруживать и исправлять ошибки. Например, коды Рида-Соломона используют свойства полей для обеспечения надежности передачи информации. Эти коды находят применение в различных областях, таких как CD/DVD, QR-коды и системы связи [3, стр. 4].
Алгебраические структуры могут быть использованы для оптимизации алгоритмов поиска и сортировки. Например, хеш-таблицы могут быть реализованы как кольца, что позволяет эффективно управлять коллизиями и обеспечивать быстрый доступ к данным [4].
Алгебраические структуры также находят применение в разработке различных структур данных. Например, бинарные деревья могут быть представлены как группы, а операции над ними (вставка, удаление, поиск) могут быть оптимизированы с использованием свойств групп [5].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Алгебраические структуры // URL: https://fastfme.ru/readyworks/referaty/vysshaya-matematika/algebraicheskie-struktury-gruppy-kolca-i-polya;
2. Алгебраические структуры // URL: https://biblio.mccme.ru/sites/default/files/bookfiles/vinberg-iz_gl1.pdf;
3. Криптографические алгоритмы с открытым ключом и их использование // URL: https://intuit. ru/studies/courses/691/547/lecture/12391;
4. Коды Рида-Соломона с точки зрения обывателя // URL: https://asvk.cs.msu.ru/wp-content/uploads/2023/04/Kody-Rida-Solomona-1.pdf;
5. Алгоритмы хеширования данных // URL: https://intuit.ru/studies/courses/648/504/lecture/11467;
6. Бинарные операции и их свойства // URL: https://intuit.ru/studies/courses/691/547/lecture/12391
Lukmanov R.A., Gubaydullin R.R.
Lukmanov R.A.
Ufa State College of Technology and Design (Ufa, Russia)
Gubaydullin R.R.
Ufa State College of Technology and Design (Ufa, Russia)
ALGEBRAIC STRUCTURES IN PROGRAMMING: STUDY OF GROUPS, RINGS AND FIELDS AND THEIR APPLICATION IN ALGORITHMS AND DATA STRUCTURES
Abstract: this paper analyzes algebraic structures — groups, rings, and fields — and their role in programming. It discusses the basic properties of these structures and their use in various algorithms, including encryption, data processing, and solving mathematical problems.
Keywords: algebraic structures, groups, rings, field, programming.
