Алгебраические методы получения и преобразования изображений при технической диагностике сложных систем в условиях неполной определенности (часть 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ X

УДК 519.2:519.7

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ (Часть 2)

А. Е. Городецкий,

доктор техн. наук, профессор И. Л. Тарасова,

канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник Институт проблем машиноведения РАН

Предлагается использовать логико-вероятностные модели для диагностики структурно-сложных систем. Показано, что тогда оптимизация стратегий и тактик поиска неисправностей может быть сведена к вычислению матриц систем алгебраических уравнений по модулю два с минимальным количеством единиц и упорядочиванию строк таких матриц по убыванию вероятностей решений. Рассматриваются проблемы аппроксимации логико-вероятностных изображений сложных систем, построения, верификации, классификации и редуцирования адекватных логико-вероятностных моделей, а также проблемы распознавания изображений неисправных систем с указанием причин неисправностей.

Ключевые слова — техническая диагностика, неполная определенность, логико-вероятностные модели, сложные системы, нечеткая задача принятия решения, обработка изображений, алгебраические методы.

(Окончание. Начало см. в № 5, 2008)

Процедуры отображения алгебры данных в логико-вероятностную алгебру изображений

При построении логико-вероятностной модели системы, т. е. при отображении Ф: Аё^А1, необходимо исходные данные перевести в логическую форму алгебры по модулю 2. При этом входная информация преобразуется в логическую форму или набор логических переменных х;, из которых создается фундаментальный вектор логической системы F типа (10).

Зная фундаментальный вектор F системы, можно вычислить любую логическую функцию

П = С?, (11)

характеризующую ее поведение. Причем идентификационные строки С;, состоящие из комбинации 0 и 1 и имеющие размерность вектора F (например: Сь = / 0 0 0 1 1 0.0 /), будут характе-

ризовать объекты и отношения системы или ее элементы и связи между ними. При этом оптимизация получаемой при таком отображении Ф: Аё ^ А1 модели I* системы будет состоять в поиске оптимального набора идентификационных строк.

При преобразовании исходных данных в логическую форму могут возникнуть следующие подзадачи [7].

Получение логических переменных х1 вектора F путем квантования входных величин и присвоения полученным квантам qi имен логических переменных х, принимающих значения истина «1» или ложно «0». Например, если входная переменная — температура Т — может изменяться в пределах от -20 до +20 °С, то, введя квант в 10 °С, можно весь диапазон изменения температуры разбить на четыре кванта q1 = [-20, -10], q2 = [-10, 0], q3 = [0, +10], q4 = [+10, +20] (рис. 1, а). Тогда кванту q1 можно присвоить имя х1 {очень холодно}, кванту q2 - х2 {холодно}, кванту q3 - х3 {прохладно} и кванту q4 - х4 {тепло}. Теперь, если, например, температура на входе Т = +5 °С, то значения логических переменных будут следующими: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0. Если кванты, образующие смежные логические переменные, например «холодно» и «прохладно», будут частично перекрываться («холодно» — [-15, +5], а «прохладно» — [-5, +15]), (рис. 1, б), то этим квантам можно также поставить в соответствие логические переменные таких же наименований. При этом степень принадлежности входной величины хь к тому

а)

[ 4і

І І I

][ 42 ][ 4з

I I I I

][ 44 ]

I I I I

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Т, °С

б [ 41 ][ 4з ]

___ __I ___I_______I __I ___I_____I __I _!______I __I

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Т, °С

[ 42 ][ 44 ]

■ Рис. 1. Фазификация

или иному кванту (к той или иной логической переменной) будет характеризоваться вероятностью, вычисляемой как отношение перекрывающегося промежутка Ь^пд] к протяженности кванта (см. рис. 1, б):

Р(х1 = 1) = / Ь^п] (12)

Полученные описанным способом переменные принято называть логико-вероятностными [3]. Тогда фундаментальный вектор F будет иметь значительную избыточность, которая может быть уменьшена, если часть логических функций fi известна заранее и нет необходимости поиска соответствующих им идентификационных строк Сь.

Уменьшить избыточность F также можно, если известны функциональные зависимости между входными величинами.

Пусть, например, имеется функциональная зависимость входных величин У2(У1), показанная на рис. 2. Для перевода линейной зависимости 1 в систему логических функций (уравнений) вначале надо, исходя из требуемой точности 5i представления входных величин, разбить диапазоны

их изменения Б1 = У1тах - У1т1п и Б 2 = У2шах - У2ш1п

на N и Ы2 квантов:

Чи = \Х 1ш1п + У 1ш1п + (i + i = 0> 1 2> •••> ^ 1;

42] = \У2ш1п + ]] У2ш1п + (] + 1)§/ ], ] = 0, 1 2 •••> N2.

Таблица 1

*21 *22 *23 *24 *25 *26 *27 *28 *29

*11 1 0 0 0 0 0 0 0 0

*12 0 1 0 0 0 0 0 0 0

*13 0 0 1 0 0 0 0 0 0

*14 0 0 0 1 0 0 0 0 0

*15 0 0 0 0 1 0 0 0 0

*16 0 0 0 0 0 1 0 0 0

*17 0 0 0 0 0 0 1 0 0

*18 0 0 0 0 0 0 0 1 0

*19 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Затем в соответствии с рис. 2 можно составить табл. 1 для вывода логических функций умножения по модулю 2 или конъюнкции между логическими переменными Хи и Х2], которым соответствуют кванты и д2] (рис. 3), либо — импликаций между Хи и Х2] (рис. 4).

Выбор конкретной логической функции из представленного на рис. 3 и 4 набора, отражающей приведенную на рис. 2 линейную зависимость У2(У1), определяется содержательной частью решаемой задачи. В большинстве случаев указанную зависимость можно представить в виде системы логических уравнений типа (17).

Очевидно, что все логические уравнения (13)-(17) могут быть переведены в стандартную форму (11).

В случае нелинейной зависимости У2(У1) (см. рис. 2, кривая 2) нельзя каждому кванту поставить в соответствие один квант д2]. При этом какому-либо кванту могут соответствовать: либо один полный квант д2], либо один неполный квант д2], либо два и более полных кванта д2], д2]+1, либо один или несколько полных кванта д2], д2й, либо один или несколько неполных кванта д2]-1, Ц2/,+1 и т. д. (табл. 2). При этом, если такие нелинейные зависимости (см. рис. 2) отображать, как и преж-

Х„

►

Х2І У ►

►

У

• их

У ^ Хи Ф X.

2/

(13)

(14)

Рис. 3. Логическое умножение

У ^ Хц ^ Х2/, (15)

или

>У ^-Хи уХ2/, (16)

или

У о Хи Ф Х2/ Ф Хи/ Ф1 (17)

Рис. 2. Функциональные зависимости входных величин

Рис. 4. Импликация

■ Таблица 2

Х21 Х22 Х23 Х24 Х25 Х26 Х27 Х28 Х29

Х11 1/1 1/1 1/0,5 0 0 0 0 0 0

Х12 0 0 1/0,5 1/1 1/0,2 0 0 0 0

Х13 0 0 0 0 1/0,8 1/0,4 0 0 0

Х14 0 0 0 0 0 1/0,6 1/0,5 0 0

Х15 0 0 0 0 0 0 1/0,6 1/0,1 0

Х16 0 0 0 0 0 0 0 1/0,8 0

Х17 0 0 0 0 0 0 0 1/0,1 1/0,5

Х18 0 0 0 0 0 0 0 0 1/0,7

Х19 0 0 0 0 0 0 0 0 1/0,1

де, только системой логических уравнений, т. е. без учета степени принадлежности какого-либо кванта д2] кванту ди, то будет вводиться большая погрешность отображения, зависящая от вида кривой 2. Улучшить эту ситуацию можно путем введения вероятностей Р{ХИ^Х2] = 1}, вычисляемых подобно вероятности в уравнении (12) и приведенных в табл. 2 (в знаменателях), например: Р{Х12^Х2э = 1} = 0,5.

Нами рассмотрена простейшая, монотонная гладкая возрастающая зависимость. Замена более сложных функциональных зависимостей на логические функции, очевидно, будет приводить к большим погрешностям, уменьшение которых потребует дополнительных усилий. Тем не менее, приведенные примеры показывают, что имеется принципиальная возможность построения вектора F логико-вероятностной модели системы в целом, позволяющего получать решения многих практических задач с достаточной точностью при некотором увеличении их размерности и интерпретировать и объяснять получаемые результаты.

Редуцирование логико-вероятностных моделей

Полученные в результате аппроксимации исходных данных логико-вероятностные модели типа (5) сложных систем, как правило, получаются чрезвычайно большой размерности и плохо пригодны к реализации задач реального времени. Например, даже перевод простого алгебраического выражения у = ах при шаге квантования к = = Хшах/100, т. е. при точности отображения 1 % , приводит к 100 логическим уравнениям типа х^у. Поэтому встает задача сжатия полученного после аппроксимации исходных данных изображения I* или редуцирования моделей типа (5) таким образом, чтобы при замене идеального изображения I на редуцированное изображение I* терялось незначительное количество информации.

Сократить размерность можно за счет подбора элементов разбиения (квантования) и тщательного выбора типа разбиения (квантования). Например, разбиение может быть с постоянным шагом к

либо с функционально изменяющимся к(х, #) в зависимости от типа решаемой задачи и цели моделирования. Кроме того, редуцировать модели типа (5) можно введением минимально допустимой вероятности решения Рш1п и отбрасыванием ^х строк, дающих решение уг с вероятностью ру = 1} — Рш1п. Очевидно, что указанные процедуры редуцирования следует проводить очень осторожно при решении задач диагностики, так как даже маловероятные события могут приводить к серьезным, а иногда и к катастрофическим последствиям, связанным с выходом из строя сложной системы.

Распознавание изображений

Существенно ускорить процесс принятия решения при диагностике сложных систем можно за счет распознавания полученного изображения I*, т. е. отнесения его к тому или иному классу образов С идеального изображения I е С]. В случае, если класс С], к которому мы отнесли рассма-

Г Т*

триваемое изображение Ir, хорошо изучен и для него получено оптимальное решение, тогда для модели Ir можно использовать метод ситуации привычности [8], т. е. искомое решение заменить аналогом.

Процедура распознавания изображений I*г в случае представления их в алгебре по модулю 2, т. е. в виде модели типа (5), требует задание правил или алгоритмов обработки лингвистической атрибутной части, характеризующей логические переменные, при проведении над ними операций сложения и умножения по модулю 2.

Каждое решение у(к) системы уравнений (5) будет иметь некоторый лингвистический атрибут, его характеризующий и образующий в общем случае неметризуемое множество В1. При распознавании выбор наилучшего класса из множества альтернативных может опираться на процедуру поиска бинарных отношений В^Вср где ВС] — множество, характеризующее решение из рассматриваемого класса С], к которому мы хотим максимально приблизиться, а g — двуместный предикат на анализируемых множествах, который может быть задан, например, путем указания формул логико-математического языка или путем задания формализованного лингвистического выражения [3]. При этом проблема выявления наилучшего приближения сводится к двум задачам. Первой является задача получения множеств В1, ВС], а второй — конструирование оптимальной процедуры g, позволяющей получить количественную оценку близости В1 к В]•

Создание исходной базы для конструирования g целесообразно начинать с выделения в каждом из сравниваемых множеств метризуемых подмножеств (например, подмножества вероятностей решений), для элементов которых могут быть указаны отношения и числовые меры близости. Следующим, наиболее сложным шагом является упо-

рядочивание элементов неметризуемых подмножеств. Весьма вероятно, что для решения этой задачи понадобится построение новой системы логических уравнений, решение которой приведет либо к метризуемым множествам, либо к упорядоченным. В первом случае мы сразу получаем числовые меры близости. Во втором эти меры придется строить заново. В качестве возможных числовых оценок могут быть использованы мощности множеств, количество совпадающих элементов, число групп совпавших элементов и др. Каких-либо рекомендаций по выбору тех или иных оценок в настоящее время рекомендовать нельзя в связи со слабой изученностью подобных моделей. В случае невозможности упорядочивания не-метризуемых множеств решение о наибольшей близости какого-либо множества к эталону должен принимать сам исследователь, исходя из своих предпочтений, опыта и интуиции.

Заключение

Использование алгебраического подхода для решения задач технической диагностики сложных систем позволит представлять их изображения, описывающие модели отказов, как линейные структуры и для анализа и синтеза их свойств использовать математический аппарат векторно-матричной алгебры.

Учитывая, что при диагностике сложной системы в условиях неполной определенности получение ее изображения или математической модели осуществляется в целях синтеза оптимального алгоритма поиска неисправностей в системе, последнюю целесообразно рассматривать как нечеткую, неопределенности в которой описываются вероятностями случайных логических переменных.

Литература

1. Grenander U. Pattern analysis // Lectures in Pattern Theory. N. Y.: Springer-Verlag; Berlin: Heidelberg. 1978. Vol. 11.

2. Городецкий А. Е., Дубаренко В. В., Ерофеев А. А.

Принципы создания моделей для прогноза отказов в нечетких системах // Управление в условиях неопределенности / Под ред. А. Е. Городецкого. СПб.: СПбГТУ, 2002.

3. Городецкий А. Е., Тарасова И. Л. Управление и нейронные сети. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005.

4. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Inform. Contr. 1965. Vol. 8. P. 338-353.

5. Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука, 1989.

При моделировании сложных систем мы сталкиваемся с тем, что, чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практическое значение суждения о ее поведении. Поэтому точный количественный анализ поведения сложных систем для практического исследования реальных задач, по-видимому, недостаточен. Задачи диагностики таких систем целесообразно решать с использованием методов логико-вероятностного математического моделирования, а вычисления вероятностей производить приближенно на ЭВМ с параллельной архитектурой вычислений, например на нейронных сетях.

Практически всегда имеется принципиальная возможность построения логико-вероятностной модели сложной системы в целом, позволяющей получать решения многих практических задач с достаточной точностью при некотором увеличении их размерности и интерпретировать и объяснять получаемые результаты. Однако при решении задач реального времени необходима редукция получаемых моделей за счет подбора шага квантования и отбрасывания решений с низкой вероятностью.

Кроме того, отнесение полученного изображения (модели) к одному из хорошо изученных классов позволяет значительно уменьшить время принятия решения за счет использования ситуации привычности, т. е. замещения искомого решения аналогом. При этом проблема выявления наилучшего приближения сводится к двум задачам: получения достаточного множества изображений и конструирования оптимального бинарного отношения, позволяющего получить количественную оценку близости сравниваемых изображений.

6. Городецкий А. Е., Дубаренко В. В. Комбинаторный метод вычисления вероятности сложных логических функций // ЖВТ и МФ. 1999. Т. 39. № 7. С. 12461248.

7. Городецкий А. Е., Тарасова И. Л. Логически прозрачные сети // Информационно-управляющие системы. 2003. № 5. С.18-20.

8. Городецкий А. Е. Об использовании ситуации привычности для ускоренного принятия решения в интеллектуальных информационно-измерительных системах // Физическая метрология: теоретические и прикладные аспекты. СПб.: Изд. К^ 1996. С. 141-15І.