CC BY
69
АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ПРОБЛЕМЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МОДЕЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТАРИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА1
В статье рассмотрены вопросы, связанные с совершенствованием математико-стати-стического инструментария, используемого при идентификации структурных параметров балансовых и факторных эконометрических моделей. На примере оценивания макроэкономической производственной функции дается изложение оригинального метода идентификации параметров статистической модели.
Разработка инструментария, обеспечивающего адекватное описание (в количественных терминах) взаимосвязей между индикаторами, характеризующими различные аспекты экономической деятельности как на уровне народного хозяйства в целом, так и отдельных его подразделений - фундаментальная проблема экономической науки.
В рамках указанной проблемы важнейшее значение имеет совершенствование известных и разработка новых методов оценивания эконометрических моделей, применяемых в аналитических и прогнозных построениях на уровне народного хозяйства в целом или отдельных его секторов и видов деятельности (отраслей).
В наиболее общем виде правомерно говорить о двух типах моделей, находящих применение в макроэкономическом анализе. Во-первых, это балансовые модели, описывающие процессы формирования и использования различных видов производственных ресурсов в натуральном или условно-натуральном выражении, а также балансы межотраслевых связей в стоимостном выражении. Во-вторых, это факторные модели, описывающие взаимосвязи: 1) темпов и факторов экономического роста (производственные функции); 2) масштабов потребления различных видов благ (и услуг) и уровня доходов отдельных групп населения (функции потребительского спроса); 3) масштабов и факторов формирования показателей внешнеторгового оборота; 4) показателей материально-вещественной и финансовой структур национальной экономики и т. д.
Актуальность и необходимость использования математико-статистических методов для построения и дальнейшего применения указанных типов моделей в макроэкономическом анализе в настоящее время определяется, по крайней мере, следующими обстоятельствами.
Во-первых, имеет место значительный дефицит экономической информации, характеризующей масштабы и динамику использования материальных ресурсов в рамках отдельных видов экономической деятельности. В частности, информация Росстата об использовании черных металлов ограничивается общим объемом внутреннего потребления металлопродукции, формируемого исходя из показателей отечественного производства, экспорта и импорта; данные о динамике масштабов потребления металлопродукции в отдельных секторах экономики (прежде всего в машиностроении и строительстве) не разрабатываются. Между тем данные о ретроспективной динамике металлоемкости машиностроения и строительства - необ-
1 Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-06-00288) и Российского гуманитарного научного фонда (проект № 13-32-11215).
ходимый фундамент прогнозно-аналитических построений на макроэкономическом и межотраслевом уровнях.
Во-вторых, информация о межотраслевых связях, разрабатывавшаяся Росстатом в 1990-х-2000-х годах, приведена в таблицах «затраты-выпуск» лишь в фактических ценах, тогда как анализ и прогноз структуры и динамики производства требует использования межотраслевых таблиц, составленных в неизменных ценах.
В-третьих, обоснованность использования тех или иных конкретных видов факторных моделей в макроэкономическом анализе в определяющей степени зависит от результатов идентификации их (моделей) параметров на отчетных статистических данных. Между тем наиболее известные и традиционно применяемые в практике эконо-метрического моделирования математико-статистические методы (например, метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и близкие к ним методы) очень часто не позволяют обеспечить успешную верификацию теоретически требуемых форм моделей на данных отечественной экономической статистики.
Таким образом, чрезвычайно актуальной представляется разработка математического инструментария, обеспечивающего успешное осуществление вычислительных процедур, связанных: 1) с дезагрегацией отчетной сводной статистической информации о динамике использования отдельных видов материальных ресурсов; 2) с построением ретроспективных данных о динамике межотраслевых связей, 3) с идентификацией теоретически оправданных конструкций разнообразных факторных макроэкономических моделей. Использование этого инструментария принципиально важно в анализе и моделировании структуры и динамики производства, изучении народнохозяйственных последствий технологических изменений и т.д.
Разработка указанного модельного аппарата должна, с одной стороны, обеспечить устойчивость и содержательную интерпретируемость численных результатов верификации эконометрических моделей на реальных статистических данных и с другой - компенсировать «узость» современной количественной базы прикладных прогнозно-аналитических исследований народнохозяйственного уровня.
Работы, проводившиеся на протяжении 1990-х-2000-х годов в лаборатории прогнозирования динамики и структуры экономики ИНП РАН, позволили получить ряд новых научных результатов в области разработки методов оценивания эконо-метрических моделей, применяемых в аналитических и прогнозных построениях. Использование этих методов в свою очередь обеспечило разработку оригинальных разновидностей факторных и балансовых эконометрических моделей.
В частности, в работах [1-3] осуществлены построение макроэкономической производственной функции и последующая количественная оценка роли различных факторов в формировании динамики отечественной экономики.
В работе [4] представлены результаты, связанные с разработкой системы аналитических расчетов, обеспечивающей генерирование переменных во времени ретроспективных коэффициентов удельной ресурсоемкости, согласованных как с отчетной динамикой производства отраслей-потребителей материальных ресурсов, так и с общими по экономике масштабами использования того или иного вида материальных ресурсов.
В работах [4; 5] сформулирован общий вид статистической модели, обеспечивающей возможность оценки на эмпирических данных коэффициентов эффективности (ресурсоемкости), дифференцированных по новой и базовой технологиям применительно к отдельным видам экономической деятельности реального сектора отечественной экономики, и осуществлена апробация указанной статистической модели применительно к ретроспективным статистическим данным о динамике выпуска и использования производственных ресурсов основных фондов, труда, а
также объемов текущих материальных затрат в отраслях (видах экономической деятельности) отечественной экономики.
Принципиально важная особенность процедур, примененных при идентификации всех перечисленных эконометрических моделей - использование регрессионной модели с переменными структурными параметрами [6].
Применение эконометрических методов базируется, как правило, на представлении изучаемого процесса в виде линейной регрессионной модели, которая в стандартном виде задается соотношениями:
y = Ха + s,
Хц ... Xi m
X = ............. , y'= (У1,...,Ут), a'= (ab...,am), s'= (sb..., sr), (1)
XT1 ... XTm
где m - число оцениваемых структурных параметров; T - число наблюдений (длина временных рядов переменных, если речь идет о динамических процессах); у -вектор значений зависимой переменной; Х - матрица наблюдений объясняющих переменных; а - вектор структурных параметров; s - вектор случайных отклонений, которые, по предположению, обладают нулевым математическим ожиданием (M(s)=0) и фиксированной дисперсией (M(ss ) = cts Е, где E — единичная матрица, oS2= const). Коэффициенты модели (1) полагаются постоянными и отражают степень влияния каждого из факторов, включенных в модель, в среднем за период 1,..., T. Условия существования оценок {ai} в модели (1) следующие: 1) число наблюдений не меньше числа оцениваемых параметров и 2) ранг матрицы X равен числу оцениваемых параметров, т.е. столбцы матрицы X линейно независимы. В регрессионном анализе рассматриваются задачи, в которых T>m, и как правило, T существенно больше m. Соответственно требование 1) предполагается выполненным заранее. Требование 2) с содержательной точки зрения означает, что имеющаяся эмпирическая информация об исследуемом процессе должна обладать достаточным разнообразием, обеспечивающем возможность идентификации модели (1). При соблюдении данных условий набор структурных параметров для (1) находится по методу наименьших квадратов (МНК):
а = (XX)-1 ХУ.
С вычислительной точки зрения модель (1) - избыточная система уравнений, точного решения которой не существует, а приближенное решение (квазирешение, если пользоваться устоявшейся математической терминологией) как раз и задается формулой МНК.
Естественное обобщение модели (1), представляющее широкий класс практически важных численных задач как в области экономико-статистических исследований, так и в технической и прочих областях, имеет вид:
yt = ^ ха + St = Xflt +st , (2)
i
где ait — суть переменные во времени величины, как и в (1), являющиеся структурными инвариантами по отношению к xit, т.е. элементы ait вектора at'=(at1,...,atm) и xti не зависят друг от друга в каждый данный момент времени t.
Очевидно, что применительно к (2) условия существования оценок МНК, указанные выше, не удовлетворяются, поскольку на каждое наблюдение приходится m оцениваемых структурных параметров. По существу, в вычислительном отношении задача в форме (2) является недоопределенной, поскольку не формализован критерий, позволяющий выбрать из числа допустимых векторов at (таких векторов
бесконечно много) набор структурных параметров, который при определенных условиях можно принять в качестве решения задачи (2).
В [6] дается изложение вычислительного метода, обеспечивающего однозначное определение искомых структурных параметров модели (2). Суть данного метода состоит во включении в модель типа (2) дополнительных соотношений, в качестве которых выступают ограничения на динамику первых разностей (для соседних моментов времени) искомых параметров. Показано также, что в методическом отношении разработанный в [6] метод базируется на принципах, аналогичных тем, которые были ранее разработаны для решения так называемых некорректно поставленных задач (наиболее известным в данной области является метод регуляризации Тихонова [7]).
Разработанный метод идентификации статистической модели с переменными структурными параметрами представляет собой двухэтапную процедуру. На первом этапе оценке подвергается регрессионное уравнение традиционного вида с постоянными структурными параметрами. Результаты оценивания традиционной модели используются далее для получения динамических рядов параметров {ай} [6].
В [6] указывается также, что модель линейной регрессии с переменными во времени структурными параметрами применима и для идентификации экономет-рических моделей, конкретный вид которых априори не известен. Единственное предварительное требование - непрерывность и дифференцируемость функциональной зависимости, описывающей моделируемый процесс.
Практическое использование модели (2) применительно к проблеме идентификации факторных моделей рассмотрено в [3; 6] на примере построения макроэкономической производственной функции (ПФ) для реального сектора экономики РФ. Оцениванию подвергалась спецификация ПФ следующего вида:
где yt, kt, lt - погодовые темпы изменения объемов выпуска, основного капитала и численности занятых реального сектора; {git} - инструментальные переменные (представляющие собой линейные комбинации темпов изменения коэффициентов текущих материальных затрат), включение которых в регрессионное уравнение позволяет отразить в обобщенном виде эффект воздействия технологических изменений, т.е. воздействие на темпы изменения производительности труда (yt - lt) факторов, не связанных непосредственно с текущими темпами изменения уровня капиталовооруженности (kt -1) .
Результаты идентификации5 модели типа (3) с неизменными во времени параметрами (величины стандартных ошибок структурных параметров, уровень коэффициента детерминации и пр.) свидетельствуют о хорошем качестве верифицированной модели. Тем не менее результаты оценивания ПФ с переменными во времени структурными параметрами показывают, что формальные показатели высокой устойчивости усредненных оценок структурных параметров вовсе не исключают наличия ярко выраженных тенденций в их (параметров) динамике [6].
С точки зрения взаимосвязи уровня производительности труда и капиталовооруженности спецификация ПФ при а = const представляет собой функцию Кобба-Дугласа. Вместе с тем, по результатам этих расчетов, правомерно сделать вывод о возможности существования гораздо более сложной взаимосвязи между динами-
2 Обоснование использования и подробное описание приводимой спецификации ПФ для моделирования взаимосвязи выпуска и производственных ресурсов (см. в [1; 2]).
3 Расчеты проводились на основе данных о динамике выпуска, основных фондов (основного капитала), численности занятых, а также данных о динамике совокупности коэффициентов затрат материальных ресурсов для реального сектора отечественной экономики за 1970-2004 гг. [3].
(3)
кой выпуска и производственных ресурсов. В прикладном плане наличие динамического ряда погодовых значений параметра эластичности производительности труда по капиталовооруженности позволяет провести проверку различных гипотез относительно вида ПФ и тем самым существенно повысить прогнозно-аналитическую ценность ПФ как эконометрической модели. Полученные результаты также позволяют проверить адекватность эмпирическим данным разнообразных форм ПФ, используемых в рамках теоретического анализа процесса производства [6].
Использование регрессионной модели с переменными во времени структурными параметрами для идентификации балансовых моделей имеет некоторые специфические особенности в сравнении с процедурой идентификации факторных эко-нометрических моделей [5].
Отчетная статистическая информация, описывающая процесс вовлечения в экономический оборот ресурсов металла, химических продуктов, продуктов деревообработки, топливных ресурсов, в настоящее время ограничена в основном данными о внутреннем производстве, экспорте, импорте. Данные о масштабах использования производственных ресурсов в отдельных сферах и видах деятельности отечественной экономики являются фрагментарными и не обеспечивают построения динамических рядов металло-, химико-, топливоемкости выпуска в сколько-нибудь дробной отраслевой номенклатуре. Все известные до настоящего времени разработки отдельных отечественных исследовательских организаций, направленные на дезагрегацию общих балансовых соотношений4 по отдельным сферам использования, основываются на совмещении информации о коэффициентах удельного расхода материальных ресурсов за какой-либо год ретроспективного периода, для которого такая информация разрабатывалась органами отечественной государственной статистики, и текущих данных о динамике выпуска в отдельных отраслях (или видах экономической деятельности). Очевидно, что оперирование в такого рода расчетах неизменными во времени коэффициентами удельной ресурсоемкости может привести к значительным погрешностям.
Недостаток статистической информации может быть (по крайней мере частично) компенсирован посредством разработки системы аналитических расчетов (включая необходимый математический инструментарий), обеспечивающей генерирование переменных во времени ретроспективных коэффициентов удельной ресурсоемкости, согласованных как с отчетной динамикой производства отраслей -потребителей материальных ресурсов, так и с общими (по экономике в целом) масштабами использования того или иного вида материальных ресурсов.
Логическая структура задач данного типа является следующей [5]: известны, во-первых, балансовые показатели (внутреннее производство, экспорт, импорт, потребление домашними хозяйствами), определяющие общие масштабы использования того или иного вида материальных ресурсов по годам ретроспективного периода; во-вторых, удельные коэффициенты ресурсоемкости за базовый (начальный) год ретроспективного периода; в-третьих, погодовая динамика выпуска отдельных отраслей экономики за ретроспективный период. Для каждого года ретроспективного периода требуется определить значения коэффициентов ресурсоемкости, обеспечивающие согласование информации о выпуске отдельных отраслей - потребителей материальных ресурсов, с одной стороны, и сводных балансовых оценок производственного потребления данного вида материальных ресурсов с другой.
В математическом виде данная задача (как и в случае оперирования факторной моделью) может быть представлена системой линейных уравнений, в которой чис-
4 Внутреннее потребление материальных ресурсов равно: отечественное производство минус экспорт плюс импорт.
ло искомых переменных, подлежащих определению (применительно к балансам материальных ресурсов это наборы погодовых значений коэффициентов ресурсо-емкости), заведомо превышает число уравнений (т.е. балансовых тождеств за каждый год ретроспективного периода). Чтобы получить однозначное решение такой системы уравнений, необходимо ввести в рассмотрение некоторые дополнительные соотношения, которые в совокупности с набором первоначальных балансовых тождеств образуют модифицированную систему уравнений, имеющую, по определению, единственное решение. Такими дополнительными соотношениями выступают ограничения на динамику первых разностей погодовых значений искомых параметров ресурсоемкости [5; 6]. Иными словами, в математической формализации вид описанной балансовой модели аналогичен виду факторной модели.
Проведенные исследования и численные эксперименты на отчетной статистической информации макроэкономического и отраслевого характера выявили ряд проблем, связанных со спецификой метода получения решения применительно к факторным и балансовым моделям.
Практическое использование вычислительных методов, аналогичных методу регуляризации Тихонова, предполагает задание одного или нескольких параметров (так называемых параметров регуляризации), обеспечивающих получение решения искомой задачи [5].
Как было отмечено выше, в факторных моделях апробированный нами метод получения временных рядов структурных параметров предполагает предварительное построение регрессионной модели традиционного вида (т.е. модели с неизменными во времени параметрами). Результаты оценивания такой традиционной модели (усредненные оценки структурных параметров и их стандартные ошибки) -исходный пункт использования собственно модели «динамической» регрессии, т.е. вычисления временных рядов структурных параметров факторной модели. При этом, как и в традиционных статистических моделях, сохраняется различие между фактическими значениями зависимой переменной и ее теоретическими значениями.
В моделях балансового типа разработанный метод получения решения (т.е. метод подбора параметров регуляризации) обеспечивает практически точное выполнение балансовых тождеств; при этом также необходимо предварительное задание коэффициентов отраслевой ресурсоемкости за какой-либо год ретроспективного периода, либо наличие усредненных оценок этих коэффициентов за анализируемый период времени [5].
Вместе с тем метод построения решения для балансовых моделей (см. [5]) в общем случае оказывается неприменимым к варианту вычислительного метода, используемого для идентификации факторных моделей. В связи с этим правомерен вывод о том, что дальнейшее совершенствование математико-статистического инструментария, используемого для целей макроэкономическом анализа, предполагает разработку «семейства» вычислительных методов, применимых к тем или иным видам эконометрических моделей.
Как отмечено выше, построение динамических рядов структурных параметров как факторных, так и балансовых моделей предполагает в качестве первого шага численное определение структурных параметров модели применительно к какому-либо моменту времени анализируемого временного интервала, либо определение средних за период значений искомых параметров. Опыт статистических расчетов на реальных эмпирических данных свидетельствует, что наиболее известные и традиционно применяемые в практике эконометрического моделирования математико-статистические методы (метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и близкие к ним методы) очень часто не позволяют обеспечить успешную верификацию теоретиче-
ски требуемых форм факторных моделей на данных отечественной экономической статистики. Равным образом, указанные методы не обеспечивают получения экономически интерпретируемых параметров моделей балансового типа (в случаях, когда информация об указанных параметрах оказывается необходимой).
В связи с этим настоятельной оказывается и разработка метода идентификации усредненных структурных параметров эконометрической модели типа (2), альтернативного методам наименьших квадратов, максимального правдоподобия или их модификациям.
Ниже приведено изложение одного из таких возможных методов. Для наглядности его суть иллюстрируется на примере расчета параметров ПФ.
Напомним некоторые исходные положения и определения, принятые в теории ПФ, существенные для последующего изложения. Как известно, конституирующей чертой работ макроэкономического направления (идет ли при этом речь об экономике в целом или об отдельных отраслях и производствах) стало представление выпуска производственной системы как функции применяемых в производственном процессе ресурсов основного капитала и ресурсов живого труда:
У = ВД, Ь, Е), (4)
где У — выпуск, представленный стоимостным (измеренным в неизменных ценах) или натуральным показателем объема производства; К - применяемый основной капитал, измеряемый, как правило, в стоимостном выражении; Ь - ресурс живого труда (измеряемый численностью занятых, количеством отработанных человеко-часов или каким-либо другим способом); Е - вектор структурных параметров ПФ; символ г означает, что все величины, фигурирующие в (4), рассматриваются в общем случае как переменные во времени, включая, возможно, и функциональную форму связи У, К и Ь.
Посредством логарифмического дифференцирования функция (4) приводится к виду, имеющему важное значение для практических приложений:
уг=аакг + аии , (5)
где (как и в выражении (3)), у, к, 1г - темпы изменения (разности натуральных логарифмов) выпуска и производственных ресурсов в году г; аКг, аьг - коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам фондов и труда; - автономный (не зависимый от динамики объема применяемых факторов производства) темп изменения выпуска, отражающий в суммарном виде эффект изменения во времени структурных параметров функции (4). В общем случае факторные коэффициенты эластичности, а также -суть переменные величины, зависящие как от К, Ь, так и от временной переменной.
Функция (4) в обобщенном виде отражает взаимодействие между факторами производства, а именно набор различных комбинаций производственных ресурсов К и Ь, в которых эти ресурсы могут быть использованы для обеспечения заданного объема выпуска. Набор альтернативных комбинаций факторов производства образует экономическую или абстрактную технологию (в отличие от конкретных технологических процессов). Изменение характеристик экономической технологии может быть результатом изменений как соотношения применяемых факторов производства, так и самой формы ПФ. Именно к изучению такого рода изменений сводится суть работ, посвященных оценке влияния технического прогресса на экономический рост.
Исследование влияния технического прогресса на экономический рост предполагает задание явного вида ПФ, в том числе принятие какой-либо гипотезы о способе воздействия фактора времени на динамику выпуска (это воздействие в данном случае и ассоциируется с эффектом технического прогресса). Тем не менее темповая запись вида (5) универсальна для всех возможных разновидностей ПФ (если
только априори предполагается непрерывность и дифференцируемость функции (4) по всем аргументам).
Предположим далее, что исходная форма ПФ - линейно однородная функция по аргументам K и L. В этом случае для каждого текущего момента времени t выражение aKt + aLt=1 и формула (5) принимает вид:
yt=atk + (1-at)/t +Xt , (6)
где at - эластичность производительности труда по его капиталовооруженности, так что 0<at <1.
Выражение (6) можно переписать в виде:
Xt=at (y -kt)+ (1-at)(y -lt). (7)
Таким образом, темп изменения эффективности использования применяемых в процессе производства трудовых и капитальных ресурсов Xt представим в виде линейной комбинации темпов изменения капиталоотдачи (yt-kt) и темпов изменения производительности труда (yt -lt). Введя дополнительное предположение о том, что at = a = const, приходим к выражению темпа «технического прогресса», соответствующего ПФ типа Кобба-Дугласа:
Xt=a (yt -k)+ (1-a)(yt -lt). (8)
Если рассматривать (8) не как теоретическую конструкцию, а статистическую модель, которая должна быть верифицирована на эмпирических данных, правомерно сделать вывод, что построение искомого временного ряда темпов «технического прогресса» {A,t} тождественно нахождению такой функции времени, которая наилучшим (в смысле определенного математического критерия) образом аппроксимирует динамику как капиталоотдачи, так и производительности труда.
Это в свою очередь означает, что задача поиска {A,t} может быть формализована следующим образом.
Пусть D - матрица размерности (T*2), составленная из временных рядов показателей темпов изменения капиталоотдачи и производительности труда:
(yi -ki) (yi -h) Xu xi2
D = (yt -kt) (yt -lt) = Xti Xt2
_ (Ут -kT) (Ут -lT) ____XT1 XT2
Необходимо определить матрицу W вида:
(9)
W =
Ui Vi Ut Vi UT Vi
Ui V2 Ut V2 UT V2
=UV ,
(i0)
которая рассматривается как аппроксимация исходной матрицы данных D.
Близость матриц D и W естественно определить аналогично методу наименьших квадратов на основе требования:
min ^ (xtj - ut у)2. (11)
j,t
Минимизация выражения (11) по переменным {иг, у} эквивалентна нахождению следа (суммы диагональных элементов) матрицы ЕЕ', где Е - матрица остатков: Е=Р-Ш. По определению, след матрицы гг(ЕЕ') есть:
гг(ЕЕ)=гг(РР )-2ггфт +г[у '(и и) V] = =гг(РР )-2гг(Рт )+(у У)(и и).
Непосредственно проверяется, что tr(Pvu ')=и Ру; соответственно минимизируемый функционал (11) есть:
гг(РР )-2и р +(v У)(и и). (12)
Приравнивание к нулю производных выражения (12) дает следующие необходимые условия экстремума:
Pv =(у V) и ; Р 'и =(и 'и)у.
Далее приведенные выражения преобразуются к виду:
Р Р =[(уV) (и ')]у; РРи =[(у V) (и Щи . (13)
Условия (13) означают, что вектор V является собственным вектором матрицы Р Р, а вектор и - собственным вектором матрицы РР'. Скалярная величина [(V V) (и и)] имеет смысл собственного числа матрицы РР или Р Р.
В силу приведенных выше соотношений член и Ру выражения (12) оказывается равным (у У)(и 'и), поэтому (12) приводится к виду:
гг(РР )-(у У)(и и).
Минимум последнего выражения достигается, очевидно, при максимальном значении (у У)(и 'и). Из теории матриц известно, что собственные значения симметрических действительных матриц неотрицательны. Отсюда следует, что V и и в (13) должны выбираться как первые собственные векторы V и и (т.е. соответствующие максимальному собственному числу).
С точки зрения экономического содержания рассматриваемой задачи, исчисление на основе исходных данных о динамике капиталоотдачи и производительности труда векторов V и и означает определение параметра эластичности производительности труда по капиталовооруженности по правилу а=у\/(у\+у2)5 и соответственно - определение временного ряда показателей темпов «технического прогресса» {Хг}. Последний задается последовательностью компонент вектора и с точностью до постоянного множителя.
Применимость изложенного метода расчетов параметров ПФ типа Кобба-Дугласа с переменным во времени темпом «технического прогресса» (этому типу моделей соответствует выражение (8)) имеет одно существенное ограничение: описанная выше расчетная процедура не гарантирует выполнения требования, согласно которому компоненты вектора V будут положительны при любом сочетании исходных данных, характеризующих динамику эффективности использования капитальных и трудовых ресурсов.
С математической точки зрения положительность, а в предельном случае - неотрицательность - компонент вектора (у1,у2) может быть гарантирована лишь при условии, когда все компоненты матрицы исходных данных Р - неотрицательные величины. Следует также учесть, что на соотношение компонент собственных векторов существенное влияние оказывает и размерность исходных данных. Например, чем более существенно элементы первого столбца матрицы Р будут превышать по абсолютной величине элементы второго столбца, тем большим по абсолютной величине будет первый элемент вектора V (т.е. V]), и наоборот.
5 Как известно из линейной алгебры, компоненты собственных векторов определены с точностью до постоянного множителя.
Сказанное позволяет заключить, что удовлетворительное с содержательной точки зрения решение рассматриваемой задачи требует предварительного преобразования исходных статистических данных. Такое преобразование, с одной стороны, должно гарантировать неотрицательность элементов искомого вектора v и с другой - обеспечивать стандартизацию исходных данных с точки зрения их размерности.
Обоим указанным выше требованиям отвечает преобразование временных рядов исходных данных по правилу:
Xst= (Xjj - Xjmin )/ (Xjmax - X;mm ), (i4)
max min
где Xj , Xj - соответственно максимальное и минимальное значения временного ряда j; {XjS} - стандартизированные значения элементов соответствующих временных рядов. В результате указанного преобразования значения временных рядов исходных переменных, во-первых, заведомо будут неотрицательными, во-вторых, будут находиться в интервале от 0 до i.
Оперирование преобразованными по правилу (i4) данными приводит к тому, что искомый коэффициент эластичности производительности труда по капиталовооруженности должен определяться по формуле:
a=qi/(qi+q2),
max min max min
где qi=vi/(Xi - Xi ), q2=v2/(X2 - X2 ), а значения компонент собственного вектора V являются результатом решения задачи минимизации (ii) при использовании в качестве элементов матрицы D числовых данных, стандартизированных в соответствии с (i4).
Тестирование описанного выше метода оценивания, который далее называется альтернативным методом линейной регрессии (АМЛР), проводилось на тех же статистических данных, что и верификация модели типа (3). Отчетные данные, на основе которых осуществлялись расчеты, были представлены динамическими рядами конечного спроса (конечного продукта в терминологии советской статистики) реального сектора, основных производственных фондов (основного капитала), среднегодовой численности занятых.
Применительно к модели типа (3) использовались также данные межотраслевого баланса в части продукции различного отраслевого происхождения, поступающей на промежуточное потребление (т.е. в качестве элементов текущих затрат); исходные данные охватывали период i970-2004 гг.
Не обсуждая подробно специфических аспектов процедуры идентификации модели (3), связанные с использованием статистических данных о показателях текущих затрат (см.[3; 6]), отметим, что среднее значение коэффициента эластичности производительности труда по капиталоворуженности за исследуемый период времени по результатам расчетов, оказалось равным 0,409. Оценка этого же коэффициента методом АМЛР дает значение 0,432, т.е. практически совпадает со значением а для модели (3). При этом во втором случае не использовалась информация о динамике коэффициентов текущих затрат.
Данный результат представляется чрезвычайно существенным в содержательном плане: по результатам проведенных расчетов обе сравниваемые модели порождают практически одинаковые оценки темпов «технического прогресса» (если абстрагироваться от статистической погрешности, присутствующей в модели типа (3)). Это означает, что воздействие на динамику выпуска факторов капитальных и трудовых ресурсов может быть определено безотносительно к той или иной гипотезе о факторах, формирующих динамику {A,t}, как это имеет место в рамках модели типа (3). Тем самым становится принципиально возможным проверить на эмпи-
рических данных различные спецификации (варианты) макроэкономических моделей технологических изменений, так сказать, в «чистом виде».
Так, в работе [8], в частности, проанализированы возможные подходы к построению эконометрической модели, предполагающей возможность количественной оценки вклада фактора «человеческого капитала» в экономический рост, и обосновано, что динамику качественных изменений в факторе трудовых ресурсов (а именно эту качественную характеристику и заключает в себе понятие «человеческий капитал») в макроэкономической ПФ правомерно связывать с темпами «технического прогресса». В силу того, что параметры эластичности выпуска по факторам труда и капитала могут быть статистически определены на основе метода АМЛР независимо от концепций, включенных в ту или иную схему расчета объема «человеческого капитала», функционирующего в национальной экономике, появляется возможность определить наиболее приемлемый как с теоретической, так и с эмпирической точки зрения метод расчета качественной характеристики фактора трудовых ресурсов.
Рассмотренный выше метод оценки линейно-однородной ПФ типа Кобба-Дугласа с переменным во времени темпом «технического прогресса» применим для оценки параметров самых разнообразных статистических моделей. Рассмотрим в качестве примера модель, включающую одну объясняемую (yt) и две объясняющих переменных (xt1 и x2), связанных в общем случае уравнением следующего вида:
yt= axxa +a2 xa+J(t), (15)
где а\, а2 - подлежащие оцениванию структурные параметры модели при соответствующих объясняющих переменных; ft) - неизвестная функция времени, также подлежащая определению. В частном случае, когда ft) = const, выражение (15) аналогично традиционной линейной регрессионной модели. Предположим, что из априорных соображений нам известны знаки искомых структурных параметров а1, а2, например, что эти параметры по природе моделируемого процесса должны быть неотрицательны. Перепишем выражение (15) в виде:
ft)= yt+ a1 (-xfl) +a2 (-xt2),
что дает
g(t)= Y1 yt+ Y2 (-xt1) +Y3 (-xt2), (16)
где g(t)=f(t)/(1+a\+a2), 71=1/(1 +a+2), 72=^/(^^2), 73= a2/(1+a1+a2).
Таким образом, оценка параметров модели (15) может быть сведена к оценке параметров модели (16) в соответствии с методом АМЛР. Единственное необходимое требование при использовании данного метода для оценки модели (15) -наличие априорных представлений о знаках структурных параметров. Из изложенного очевидно, что метод АМЛР может быть распространен на оценивание статистических моделей с самым различным количеством объясняющих переменных.
Требование априорного задания знаков структурных параметров теоретически выглядит несколько ограничительным. Однако в действительности исследователь, занимающийся оцениванием статистических моделей, как правило, заранее формулирует гипотезы о направлении воздействия тех или иных факторов (объясняющих переменных) на результирующий признак (объясняемую переменную). При отсутствии такого априорного знания возможна оценка альтернативных спецификаций модели с тем, чтобы выявить наиболее предпочтительную спецификацию.
Более того, свойство метода АМЛР - гарантировать заданные знаки структурных параметров оцениваемой модели - является его (метода) несомненным преимуществом перед традиционными математико-статистическими методами.
Отличием метода АМЛР от традиционной модели линейной регрессии является также одновременное определение структурных параметров при объясняющих переменных и временной функции g(t). По аналогии с традиционной моделью линейной регрессии данная функция может в ряде случаев рассматриваться как остаточный член статистической модели, отражающий уровень погрешности при аппроксимации используемых статистических данных. Вместе с тем, как можно видеть на примере оценивания модели ПФ, с точки зрения экономического содержания моделируемого процесса оценка темпов «технического прогресса» так же важна, как и оценка параметров эластичности выпуска по факторам труда и капитала. При этом анализ эмпирических данных с очевидностью указывает, что применительно к периоду 1990-х - 2000-х годов вклад фактора «технического прогресса» в динамику выпуска превосходил вклад факторов капитала и труда [3]. Сказанное означает, что исследование вида функции g(t) должно осуществляться индивидуально для каждой конкретной модели с обязательным учетом предметной области моделируемого процесса.
С исследованием функции-остатка g(t) связана также такая проблема, как оценка качества модели, оцененной на основе АМРЛ. На примере описания процедуры оценивания ПФ правомерно говорить о необходимости разделения g(t) на две составляющие, одна из которых отражает статистическую погрешность оцененной модели, а другая - вклад в динамику результирующего признака факторов, явно не включенных в модель.
Другой возможный вариант идентификации многомерной регрессионной модели на основе АМЛР заключается в следующем. Вернемся к рассмотрению проблемы идентификации темповой записи ПФ. Как отмечалось выше, теоретически приемлемая конструкция указанной модели имеет вид (см.(5)) уг=аК к+ац ¡г +ХЬ где коэффициенты факторной эластичности аКЬ аь заранее предполагаются положительными. Если дополнительно предполагается соблюдение условий убывающей предельной производительности, указанные коэффициенты должны находиться в интервале от 0 до 1.
Получение усредненных значений коэффициентов факторной эластичности означает, что оцениванию должно быть подвергнуто уравнение:
у=ак к + аь ¡г +Х, (17)
в котором аК, аЬ предполагаются постоянными на временной интервале, применительно к которому осуществляется оценка модели.
Перепишем (17) в виде:
Ъ=ак (у - к) + аь (у - ^)+(1-ак -аь) у1. (18)
Последнее выражение отличается от (8) наличием дополнительного слагаемого. В случае, если сумма искомых коэффициентов эластичности превышает единичное значение (т.е. имеется растущая эффективность масштабов производства) коэффициент (1-аК-аь) будет отрицательным; если же эффективность использования факторов снижается по мере расширения масштабов производства, (1-аК-аь) будет положительным.
Очевидно, что сделать какие-либо априорные предположения о степени однородности ПФ, как правило, не представляется возможным. В этой ситуации наиболее целесообразно оценить на основе АМЛР оба теоретически допустимых варианта модели типа (17).
Таким образом, оценке подлежит: либо модель
Ъ=ак (у - к) + аь (у - ¡^)+(1-ак -аь) уь, соответствующая априорным требованиям аК >0, аь >0, (аК+аь)<1,
либо модель
\=ак (у, - к) + аь (у, - ¡¿+(аК+аь-1)(- у)
соответствующая априорным требованиям ак >0, аь >0, (ак +аь)>1.
Расчет искомых параметров моделей проводится подобно оцениванию линейно однородной модели ПФ с тем отличием, что исходная матрица статистических данных, аналогичная Р из (9), имеет размерность (Т*3).
Результаты оценивания различных вариантов спецификации ПФ приведены в таблице.
Таблица
Оценки структурных параметров вариантов спецификаций ПФ на основе АМЛР
Спецификация ак аь ак+аь ак/аь
1. Х,=а(у, -к,)+ (1-а)(у, -¡,) 0,4323 0,5677 1 0,762
2. Х,=аК (у, - к,) + аь (у, - ¡,)+(ак + аь -1) у, 0,5326 0,7006 1,2332 0,760
3. Х,=ак (у, - к) + аь (у, - /()+{аж + аь -1)(- у,) 0,2782 0,3662 0,6444 0,759
4. Х,= у,+ак (-к,) + аь (-¡,) 2,3427 2,0668 4,4096 1,1334
Коэффициенты эластичности, полученные усред-
нением спецификаций 2 и 3 0,4054 0,5334 0,9388 0,760
Как следует из приведенных данных, априорные ограничения на вид статистической модели оказывают в данном случае значительное влияние на искомые структурные параметры. Так, спецификации ПФ с альтернативными условиями степени однородности имеют существенно различающиеся по абсолютным значениям коэффициенты ак и аь. Вместе с тем соотношения (ак /аь) для трех альтернативных спецификаций почти не различаются. Кроме того, усреднение коэффициентов факторной эластичности при условиях (ак +аь)>1 и (ак+аь)<1 дает результат, чрезвычайно близкий к результатам оценивания линейно однородной ПФ.
Оценивание коэффициентов факторной эластичности на основе модели:
Х,= у, +ак (- к,) + аь ( - ¡,), аналогичной по структуре модели (16), дает неудовлетворительные результаты с точки зрения экономического содержания моделируемого процесса. Коэффициенты ак и аь в этом случае примерно вдвое превышают единичные значения, а степень однородности ПФ составляет 4,4, что явно противоречит теоретическим предпосылкам.
Приведенные данные подтверждают принципиально важное значение, оказываемое априорными представлениями о спецификации регрессионной модели на результаты статистических оценок ее (модели) структурных параметров в рамках метода АМЛР. Последнее, с одной стороны, позволяет выявить непригодные с теоретической точки зрения спецификации эконометрических моделей. С другой -результаты оценивания альтернативных спецификаций ПФ (точнее - альтернативных представлений статистических моделей ПФ, возможно имеющих один и тот же набор переменных) позволяют сделать обобщения, имеющие существенное значение для использования метода АМЛР в практике эконометрического моделирования.
Наиболее общее требование применимости метода АМЛР для оценки статистических моделей - это требование совпадения знака всех оцениваемых структурных параметров модели; равенство же суммы всех оцениваемых параметров единице не является существенным.
Как было показано на примере оценки параметров ПФ, оценивание альтернативных спецификаций статистической модели и последующее сопоставление оцененных вариантов позволяет различить приемлемые и неприемлемые с содержа-
тельной точки зрения спецификации. Более того, сравнение указанных альтернативных спецификаций оцениваемых моделей - возможный источник данных о точности оценок структурных параметров, а также о точности самой модели анализируемого процесса.
Так, если принять, что результаты оценивания альтернативных спецификаций ПФ, приведенных в таблице для условий (ак+а^1)>1 и (ак+а^)<1, задают соответственно верхнюю и нижнюю границы потенциально возможных значений искомых параметров модели, получаем, что коэффициенты факторной эластичности должны находиться в диапазонах:
0,2782<ак<0,5326; 0,3662< а£<0,7006.
В рамках традиционного регрессионного анализа общепринятым является представление, что оценка параметра статистической модели - случайная величина, количественные характеристики распределения которой определяются (тем или иным методом) результатами обработки эмпирических данных. Если исходить из того, что указанные выше границы значений факторных коэффициентов эластичности исчерпывают интервал вероятного нахождения искомых коэффициентов, необходимо формализовать представление о математическом ожидании и дисперсии этих коэффициентов. Предельно возможным в этом смысле является постулирование равномерного распределения для искомых коэффициентов, что дает математическое ожидание для ак и аь соответственно 0,4054 и 0,5334, а среднеквадра-тические отклонения для них - 0,0734 и 0,0965 соответственно. Если же исходить из гипотезы нормального распределения для параметров ПФ, то указанные выше интервалы задают среднеквадратические отклонения (если руководствоваться так называемым правилом «трех сигм») на уровне 0,04240 для ак и 0,05572 - для а^.
Таким образом, с точки зрения критериев традиционного регрессионного анализа полученные оценки качества структурных коэффициентов ПФ могут служить, во-первых, подтверждением оправданности теоретической модели типа (17). Во-вторых, определение вероятных интервалов нахождения искомых параметров исследуемой модели позволяет также оценить возможную погрешность определения функции-остатка {А^}. Не задаваясь в данном случае какими-либо конкретными представлениями о вероятностной природе расхождения значений {А^} для спецификаций ПФ, отвечающих условиям (ак+а^)>1 и (ак+а^)<1 соответственно, можно сформировать оценку статистической погрешности определения {А^} исходя из предположения, что среднеквадратическое отклонение расхождений {А^} для упомянутых альтернативных спецификаций ПФ равно удвоенной величине сред-неквадратического отклонения эмпирических значений {А^} от его теоретических значений. Следует подчеркнуть, что указанный прием не позволяет построить теоретический временной ряд {А^}, однако дает возможность сформулировать общее представление о точности исследуемой регрессионной модели в целом.
Исчисление стандартных отклонений структурных параметров анализируемой модели создает основу для последующего применения метода динамической регрессии, упомянутого выше, что в принципе позволяет получить временные ряды искомых параметров.
В заключение отметим следующее.
Описанный в данной работе метод АМЛР в плане используемого математического аппарата, безусловно, имеет значительную аналогию с методами обработки данных, развитыми ранее как в математической, так и в экономической статистике. При этом следует в первую очередь упомянуть различные модификации методов так называемого факторного анализа и, прежде всего, метод главных компонент как средство анализа статистических данных самой разнообразной природы [см., в
частности, 9-11]. В этой связи следует отметить, что вектор u аппроксимирующей матрицы W из выражения (10) представляет собой первую главную компоненту матрицы исходных данных D.
Преобразование исходных статистических данных, использованное нами, применяется в многомерном статистическом анализе при агрегировании частных индексов (или шкал) для получения сводного (обобщающего) индекса.
Вместе с тем разработанный метод принципиально отличается от метода ортогональной регрессии, давно описанного как в трудах по математической статистике, так и эконометрии, и также основывающегося на методе главных компонент [12].
Как известно, в традиционной регрессионной модели типа (1) нахождение искомых структурных параметров модели основывается на минимизации суммы квадратов отклонений фактических и теоретических значений объясняемой переменной. В модели ортогональной регрессии используется иной критерий определения параметров. Например процедура определения структурных параметров модели yt = axt +b в соответствии с методом ортогональной регрессии сводится,
6
во-первых, к стандартизации входящих в модель переменных , и во-вторых, к минимизации суммы квадратов отклонений {et}
Zt=ax(yt -y )+ü2(xt -x ) при условии a2j+a22=1. В этом случае в качестве искомых коэффициентов a21, a22 должны быть приняты элементы собственного вектора матрицы, аналогичной матрице D'D из (9), соответствующего второму, т.е. минимальному собственному значению [12]. В методе АМЛР, напротив, определение искомых параметров статистической модели основывается на определении первого собственного вектора матрицы D D, что и определяет специфику разработанного метода обработки данных.
Литература
1. Суворов Н.В. Макроэкономическое описание технологических изменений //Проблемы прогнозирования. 1998. № 5.
2. Суворов Н.В. Макроэкономическое моделирование технологических изменений (теоретические, прикладные и инструментальные вопросы). М.: ГУ-ВШЭ, 2002.
3. Суворов Н.В. Инструментарий и результаты исследования эффективности производства в реальном секторе отечественной экономики // В кн.: Инновационная ориентация российских экономических институтов. М.: Изд-во «Книжный дом Либроком», 2009.
4. Суворов Н.В., Балашова Е.Е, Давидкова О.Б., Зенкова Г.В. Эконометрические методы в исследовании динамики показателей ресурсоемкости отечественной экономики (инструментарий и статистические результаты) // Проблемы прогнозирования. 2013. № 5.
5. Суворов Н.В., Балашова Е.Е., Давидкова О.Б. Теоретические и методические вопросы построения дифференцированных показателей эффективности использования производственных ресурсов // Проблемы прогнозирования. 2012. № 5.
6. Суворов Н.В. Метод построения регрессионных моделей с динамическими структурными параметрами // Проблемы прогнозирования. 2005. № 4.
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
8. Суворов А.В., Суворов Н.В., Гребенников В.Г., Иванов В.Н., Болдов О.Н., Красильникова М.Д., Бондаренко Н.В. Подходы к измерению динамики и структуры человеческого капитала и оценке его воздействия на экономический рост //Проблемы прогнозирования. 2014. № 3.
9. Лоули Д., Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод. М.: Мир, 1967.
10. Айвазян СА, Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Т. 2. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.
11. Аллен Р. Экономические индексы. М.: Финансы и статистика, 1980.
12. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика, 1976.
6В самом простом случае — центрированию, т.е. переходу к величинам {у -у), X -х)}, где у, х — средние соответствующих рядов исходных данных, с тем, чтобы исключить из оцениваемой модели свободный член.
