CC BY
10PEDAGOGICAL SCIENCES
АКТУАЛИЗАЦИЯ И ВЫЯВЛЕНИЕ «ПРОБЛЕМНЫХ ЗОН» БАЗОВЫХ УЧЕБНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ УНИВЕРСИТЕТОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКОГО
ПРОФИЛЯ
Драгилева И.П.
старший преподаватель Потепалова А.Ю.
Кандидат физико-математических наук, доцент
Розанова С.А.
Доктор педагогических наук, профессор ФГБОУ ВО МИРЭА-Российский технологический университет,
Москва, Россия
ACTUALIZATION AND DISCOVARY OF «PROBLEM AREAS» OF BASIC CURRICULUM ELEMENTS IN TEACHING MATHEMATICS IN UNIVERSITIES SPECEALIZING IN
ENGINEERING AND TECNOLOGY
Dragileva I.
Senior Lecturer Potepalova A.
Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, assistant professor
Rosanova S. Dr. Sci. (Pedagogy), professor MIREA - Russian Technological University, Moscow, Russia
АННОТАЦИЯ
В данной статье актуализированы и выявлены «проблемные зоны», относящиеся к основным математическим понятиям четырех частей математического анализа, алгебры, геометрии и дифференциальных уравнений. Для некоторых «проблемных зон» проведены исследования, построены алгоритмы их разрешения и выстроены этапы адаптации студентов. Актуализация «проблемных зон», их выявление, исследование по всем разделам математических предметов, разработка комплекса алгоритмов и методов решения сложных задач, связанных с «проблемными зонами», позволит улучшить качество математического образования в технических вузах.
ABSTRACT.
This article actualizes and identifies the "problem areas" concerning the basic mathematical concepts of the 4 parts of mathematical analysis, algebra, geometry and differential equations. Research has been conducted; solution algorithms and steps for student adaptation have been designed for some of these "problem areas". Actualization of "problem areas", identifying and researching them in all parts of mathematical subjects, developing a set of algorithms and methods for solving complex problems associated with "problem areas», will improve the quality of mathematics education in technical universities.
Ключевые слова: проблемные зоны, университеты инженерно-технического профиля, базовые учебные элементы, математический анализ, алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, математическая модель, внутрипредметные и межпредметные связи, профессиональные задачи.
Keywords: problem areas, universities specializing in engineering and technology, basic curriculum elements, mathematical analysis, algebra and geometry, differential equations, mathematical model, intra- and interdisciplinary connections, professional tasks.
Постановка проблемы. В современном мире математика и ее методы играют все возрастающую роль в процессе познания действительности. Однако отечественные и зарубежные исследователи математического образования в университетах отмечают, что многие математические абстракции (понятия, процедуры, методы и др.) вызывают у студентов нематематических направлений и специальностей большие трудности, возникают «проблемные зоны» при их изучении, что приводит к формальному заучиванию этих абстракций и по-
тере учебной мотивации. Недопонимание студентами инженерно-технических вузов основных математических понятий и недооценка ее методов -одна из основных причин снижения мотивации к изучению этого предмета и, как следствие, качества математического образования. Выявление «проблемных зон» базовых учебных элементов высшей математики, нахождение способов и алгоритмов решения сложных задач, связанных с «проблемной зоной», является в настоящее время актуальной задачей в теоретических исследованиях и практике педагогов технических вузов.
В данной статье ставится проблема: повышение качества математического образования в технических университетах посредством актуализации, выявления, исследования, поиска методов, алгоритмов и технологий раскрытия математических «проблемных зон» базовых учебных элементов.
Анализ исследований и публикаций. Проведен анализ исследований и публикаций в зарубежных и российских источниках о «проблемных зонах» базовых учебных элементов высшей математики и близких к ним по тематике. В зарубежных источниках [18]-[22] рассматриваются различные аспекты университетского математического образования и существующие проблемы. Особенно это разнообразие представлено в [18].
Наиболее близкой к рассматриваемой проблеме оказывается работа [22]. В ней выявлялись «проблемные темы» по математике на первом курсе тестированием студентов и их лекторов в высших учебных заведениях Ирландии. Оказалось, что мнение студентов не всегда совпадает с мнением преподавателей. В работе [19] рассмотрена синергия, возникающая в обучении при интеграции математических и экономических знаний; разработан метод синергетической интеграции SIM для улучшения мышления студентов на более высоком уровне. В статье [20] показано, что математическое образование, как область исследования, характеризуется множеством теоретических подходов. Это разнообразие побуждает сообщество разрабатывать стратегии, позволяющие справиться его улучшить. В работе [21] приведены результаты диагностического теста сложностей в обучении высшей математике.
В российских источниках [1] - [17] также исследуются различные аспекты математического образования в средней и высшей школах. Но большинство исследований относится к возникновению синергетических эффектов при интеграции математических знаний с естественнонаучными, экономическими и гуманитарными знаниями и выявлению «проблемных зон» учебных элементов при преподавании высшей математики в школе и университетах различного профиля. При этом наибольшее число работ относится либо к школьному образованию [1; 4; 5] или к педагогическим университетам [6;9;15; 16; 17], а в [11;12;13] проведен анализ состояния школьного и университетского образования.
В источнике [10] рассмотрена проблема отбора математического образования в вузе, а в [5], [6], [9]-критерии отбора содержания математического образования в школе и вузе соответственно; в [8]-во-просы устойчивости результатов математического образования. В работах [2;3;7], исследованы вопросы междисциплинарного, интеграционного характера и введения профессиональных задач в математические курсы классических и технических университетов. В работе [9] дано определение математической «проблемной зоны», разработана технология их исследования и применена к одному из самых основополагающих учебных элементов -пределу функции по Коши с поэтапной иллюстрацией из теории фракталов. Только одним из авторов
данной статьи в работе [14] положено начало целенаправленному исследованию математических «проблемных зон» в технических университетах.
Проведенный аналитический обзор позволяет выделить нерешенные ранее части общей проблемы и сделать ряд выводов: 1) наблюдается снижение мотивации к изучению математики в современном мире; 2) ситуация осложняется еще и тем, что «математическая подготовка школьников не соответствует требованиям к абитуриентам, предъявляемым вузами» [12, c.44];
3) у студентов технических вузов больше развито инженерное мышление, а не математическое, поэтому им трудно понять математические абстракции. У многих студентов низкий уровень мотивации к изучению математики из-за недопонимания ее значимости для овладения выбранной профессией. Актуальным становится вопрос исследования «проблемных зон».
Нерешенные части общей проблемы: 1. Выявлены далеко не все «проблемные зоны» базовых учебных элементов высшей математики в технических университетах. 2. Не для всех выявленных «проблемных зон» подобран комплекс методов и технологий, обеспечивающий их разрешение. 3. Пока не использован мощный механизм для понимания и раскрытия «проблемных зон» - внутри- и -межпредметные связи; частично использованы математические модели профессиональных и прикладных задач.
Указанные нерешенные части общей проблемы, важные для повышения качества математического образования в технических университетах, -трудоемкая работа, которая может составить цель настоящего и нескольких будущих исследований.
Отмеченные недостатки и нерешенные вопросы, а также отсутствие должной организации и обеспечения адекватных когнитивных процессов в обучении математике в техническом вузе приводит к формальному запоминанию студентами сложных математических абстракций. Поэтому важно своевременно выявить плохо понятые определения и темы, то есть «проблемные зоны», и методически и организационно работать над ними, доводя студента до их полного понимания.
Все отмеченное выше определяет актуальность и цель рассматриваемой в данной статье проблемы. Цель: актуализация, выявление, исследование и разрешение основных математических «проблемных зон» через синтез классических и инновационных методов, алгоритмов и технологий в технических университетах.
Материалы и методы. Методологию исследования составляет синтез классических и инновационных методов и технологий. Кроме того, используются идеи, методы деятельностного и синер-гетического подходов и системного анализа.
Основная часть исследования. Данная статья является продолжением исследований, начатых в работе [14], в которой был выявлен ряд «проблемных зон» при преподавании математического анализа студентам технических вузов и предложены пути решения для некоторых из них.
По-прежнему положим в основу определение
Sciences of Europe # 64, (2021) «проблемной зоны» в обучении математике и критерии их выявления, рассмотренные в статьях [9] и [5;15;17] соответственно. Проблемная зона - это «комплекс содержательных, процессуальных, лич-ностно-адаптационных компонентов обучения математике, основанных на вскрытии противоречий и проблем когнитивной деятельности в конкретно определенной области, и нацеленных на поиск и исследование сущностей ее сложных учебных элементов». Критерии их выявления - вариативное це-леполагание: отсутствие инварианта структуры эффективной деятельности; практическая инновация; вероятностное прогнозирование.
Используя многолетний опыт преподавателей высшей математики в техническом университете, опросы молодых преподавателей и студентов, определение «проблемных зон» и критерии их вы-
Выявленные проблемные зоны
явления, мы свели в Таблицу 1 выделенные «проблемные зоны» в 4-х семестрах математического анализа, алгебре и геометрии, дифференциальных уравнений с учетом результатов работы [14].
Остановимся на описании реализации комплекса методов, процедур, геометрических иллюстраций, элементов математического моделирования и других подходов, позволяющих поэтапно раскрывать «проблемные зоны». Прежде всего, дополним описанием некоторых алгоритмов и новыми «проблемными зонами» выделенные в [14] «проблемные зоны» математического анализа. Затем проведем аналогичные исследования в предметах «Дифференциальные уравнения», «Алгебра и геометрия». Математический анализ в большинстве серьезных технических вузов изучается 4 семестра.
Таблица 1.
базовых учебных элементов.
№№ Раздел высшей математики в технических университетах Темы, требующие особого подхода в преподавании
11 Математический анализ, 1-й семестр - Понятие предела числовой последовательности и функции одной переменной. - Точки непрерывности и точки разрыва функции. - Дифференцирование сложных функций. - Исследование функции и построение ее графика. Точки локального экстремума и точки перегиба. Проведение касательных в точках экстремума и точках перегиба. - Семь видов неопределенностей: 0,™, 0 • го, го — го, 1™, 0о, го0. - Локальный экстремум функции нескольких переменных.
22 Математический анализ, 2-й семестр - Вычисление неопределенных интегралов, сводящихся к табличным. - Несобственные интегралы. - Определенный интеграл Римана по области. - Теорема Остроградского - Гаусса. - Формула Стокса.
33 Математический анализ, 3-й семестр - Исследование сходимости положительных числовых рядов. - Исследование знакочередующегося числового ряда на абсолютную и условную сходимость. - Построение мажорирующего числового ряда при доказательстве равномерной сходимости функционального ряда. - Приближение периодической функции частичными суммами ряда Фурье.
44 Математический анализ, 4-й семестр - Аналитические (регулярные) функции в точке и области. - Теорема Руше о числе нулей регулярной функции комплексного переменного в ограниченной замкнутой области. - Изолированные особые точки. - Вычеты - Приложения вычетов. - Интегралы, зависящие от параметра. - Специальные функции.
55 Линейная алгебра - Матрицы и их применение. - Решение систем линейных уравнений. - Линейная зависимость и независимость векторов. - Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
66 Дифференциальные уравнения - Решение нелинейных дифференциальных уравнений. Случаи понижения порядка. Выделение интегрируемых комбинаций. - Понятие устойчивости решения дифференциального уравнения. - Исследование устойчивости точки покоя с использованием функции Ляпунова. - Теорема Штурма. Определение числа нулей нетривиального решения линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами.
Математический анализ, 1 семестр. Как уже
отмечалось в работах [9], [14], основополагающее понятие «предел функции по Коши», изучаемое в 1 семестре и записываемое на символическом языке, является абстракцией, трудно воспринимаемой многими студентами, больше склонными к развитию инженерного мышления, чем математического, т.е. является «проблемной зоной». Так как это понятие используется в других определениях математического анализа (непрерывности, производной, определенных интегралов по области и интеграла от функции комплексного переменного), применяется в различных ситуациях и в других учебных предметах, то тем более важно достичь его понимания всеми студентами в самом начале первого семестра. Этого можно добиться, как показывает многолетняя практика сочетанием развития алгоритмического мышления студентов с геометрической наглядностью изучаемого понятия. Тем более, что, изучая информатику, программирование, студенты владеют умением работать с алгоритмами. Этот вопрос был подробно рассмотрен в работе [14]. В дополнение к [14] целесообразно рассмотреть в качестве важнейшей «проблемной зоны» математического анализа (1 семестр) - исследование функции и построение ее графика. Алгоритм раскрытия этой «проблемной зоны» предполагает последовательные действия студента в виде трех этапов:
1. Проведение элементарного исследования (области определения и значения функции; наличие симметрии; точки разрыва и пределы функции на границе области определения; асимптоты; точки пересечения с координатными осями) и построение эскиза графика.
2. Дифференциальное исследование по 1 и 2 производной.
3. Уточнение (сглаживание) эскиза графика в результате дифференциального исследования функции. Здесь полезно предложить студентам провести касательные в точках экстремума и точках перегиба. Особенно часто студенты затрудняются в проведении касательных в точках перегиба.
Изображение предельного поведения функций и построение их графиков вручную позволяет студентам проникнуть в суть понятий предела, асимптоты, экстремума и перегиба графика функции и
овладеть умением проводить анализ, исследования, заканчивающиеся видом графика, повышает интерес к изучаемому предмету. КТ целесообразно в этом разделе анализа применять как вспомогательное средство для контроля полученного результата, например, используя MATHCAD.
Математический анализ 3 семестр. В третьем семестре это, прежде всего, понятия различных видов сходимости рядов.
1. Особого внимания заслуживает тема из 3 -й части курса математического анализа «Исследование знакочередующегося числового ряда на абсолютную и условную сходимость». Несомненно, изучение этой темы способствует развитию навыков анализа и логического мышления у студентов. Напомним основные определения и теоремы.
1) Числовой ряд Ym=i ап называется знакопеременным, если он содержит слагаемые произвольного знака (как положительные, так и отрицательные). 2) Числовой ряд называется знакочередующимся, если в нем положительные и отрицательные слагаемые перемежаются. Его краткая запись: Y,'^=1(—1)n+1an,an > 0. 3) Числовой ряд называется сходящимся абсолютно, если ряд
|а„ | сходится. 4) Числовой ряд ап называется сходящимся условно, если он сходится, но не сходится абсолютно. 5) Знакочередующийся числовой ряд )п+1ап, в котором lim ап =
0, К+1| < |аи|, сходится и называется рядом Лейбница. 6) Если ряд 2n=1 lan I сходится, то и ряд 2п=1 ап сходится.
Имея «на входе» исследуемый числовой ряд и положения 1)-6), студент должен получить «на выходе» тип сходимости этого ряда. Однако конкретная последовательность действий для решения этой задачи здесь пока не определена. Положение усугубляется тем, что признаками сходимости положительных рядов студенты пользуются неуверенно. Помочь студентам освоить эту нелегкую процедуру может алгоритм, подразумевающий определенные этапы исследования. Понятие «алгоритм» близко студентам, разработке алгоритмов их обучают их в университете.
Можно предложить студентам следующую развернутую схему алгоритма (см. рис. 1).
0 -^ нет Ряд расходится
Ряд из модулей сходится
да
Ряд сходится абсолютно
Ряд Лейбница
Ряд сходится условно
да
Рис. 1. Развернутая схема исследования алгоритма знакочередующихся рядов.
Sciences of Europe # 64, (2021)_
Из схемы алгоритма вытекает (на этом факте надо акцентировать внимание студентов), что алгоритм начинается с исследования на абсолютную сходимость. Если она имеет место, то исследование заканчивается. Если нет абсолютной сходимости, то исследование продолжается и ряд исследуется на условную сходимость.
Студенты иногда спрашивают, что делать, если получен ответ «нет» на последнем этапе алгоритма. Рекомендуем в этом случае исследовать сходимость ряда непосредственно по определению или применить признаки Абеля и Дирихле, которые могут быть использованы и для знакопеременных рядов.
Эффективность алгоритмического подхода при изучении данной темы подтверждается выполнением контрольных работ, типовых расчетов и результатами итогового тестирования.
2. Частой причиной возникновения «проблемных зон» при изучении высшей математики является необходимость выбора одного из возможных методов решения задачи.
Студенты хорошо справляются с заданием, если им предварительно сообщен алгоритм решения задач данного типа. Алгоритм может требовать сложных вычислений, быть громоздким, но он не должен быть вариативным. В ситуации выбора студенты теряются. Чтобы помочь им выбрать оптимальный метод решения, нужно акцентировать их внимание на тех особенностях задачи, при которых этот метод применим.
В качестве примера вариативной задачи из курса математического анализа рассмотрим построение мажорирующего числового ряда в процессе применения теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема утверждает, что функциональный ряд En=iип(х) сходится равномерно и абсолютно в замкнутой области D с R, если найдется сходящийся положительный числовой ряд, т.е.
1) ЕП=1 ап , ап >0 (мажоранта), такой что
2) Vn6 N,Vx 6 D \ип(х)\ < ап
3) Zn=1 ап сходится.
Теорема не дает способа построения мажоранты. Однако, наводящими соображениями в процессе ее построения являются: а) монотонность или б) ограниченность функций ип(х) и сравнение ее модуля с известными числовыми сходящимися рядами или с числовым положительным рядом, сходимость которого надо доказать; в) к методам построения мажоранты следует отнести также вычисление локального максимума функции ип(х) с помощью производной и исследованием на сходимость числового ряда, полученного подстановкой точки максимума в ип(х). Предлагая эти три аспекта задачи, мы от состояния неопределенности приводим студентов к осознанному выбору метода решения.
3. Проблемной зоной аналогичного типа является исследование сходимости положительных числовых рядов ТПП=1 ап. Исследователь должен выбрать один из пяти (!) признаков сходимости для
данного числового ряда. Не имея четкой последовательности действий, студенты затрудняются решить простые, в общем-то, задачи. Однако радикальным признаком Коши удобно воспользоваться, если извлекается корень . Признак Даламбера часто применяется в выражениях, содержащих факториал. Воспользоваться предельным признаком сравнения поможет знание таблички эквивалентных бесконечно малых. Интегральный признак Коши применяем, когда удобно исследовать на сходимость несобственный интеграл [(х)йх,[(п) = ап. Несомненно, большое число решенных примеров, особенно решенных самостоятельно, также помогает преодолеть описанную проблемную зону.
4. Следует особо рассмотреть в качестве «проблемной зоны» ряды Фурье. Этот раздел имеет важное теоретическое и прикладное значение для студентов всех направлений и специальностей технических университетов. В результате изучения этой темы студенты должны научиться: приближать функцию частичными суммами тригонометрического ряда Фурье (гармониками) и обобщенным рядом Фурье по другим ортогональным системам; не только получать аналитически эти решения, но и изображать геометрически эти приближения на одном чертеже с графиком заданной функции; правильно определять виды сходимости. Качественно раскрыть эту «проблемную зону» целесообразно: применением поэтапно алгоритмов получения аналитического решения и построения графиков частичных сумм. Это возможно с помощью программы МАТИСАО и в динамике - с помощью специально созданной компьютерной программы; рассмотрением математической модели профессиональной задачи.
Введение в этом семестре в самостоятельную работу профессиональных задач (типовые расчеты, лабораторные, исследовательские работы) позволяет достичь умения составлять и решать математические модели профессиональных задач, развивать творческое мышление.
Нами разработана исследовательская лабораторная работа с профессиональной задачей «Аппроксимация сигналов с помощью ортогональных полиномов и специальных функций» [7]. В ней рассмотрены часто встречающиеся в теории и практике передачи информации формы сигналов. Предлагается: приблизить их частичными суммами тригонометрического и обобщенного ряда Фурье (ортогональными полиномами и специальными функциями); выбрать наилучшее приближение в смысле среднего квадратичного; изобразить результат геометрически; исследовать профессиональные и другие прикладные области, в которых может быть использована задача аппроксимации сигналов.
Студенты с лучшими работами делали доклады на семинарах и конференциях. Ряд профессиональных задач, подобранных нами для радиотехнических и гуманитарных специальностей, опубликован в работах [2;3]. Эта проблема услож-
няется еще и тем, что в большинстве случаев формированию умения создавать математические модели профессиональных задач не уделяют должного внимания ни математические, ни специальные кафедры. Основу сущности этого умения составляет синтез двух разных стилей мышления - математического и профессионального. Необходимо, чтобы в течение двух лет, когда в технических вузах идет фундаментальная подготовка студентов, математические и естественнонаучные кафедры актуализировали метод математического моделирования в своих учебных программах. Конечно, достичь организации этого идеального учебного процесса на основе принципов непрерывности и преемственности по разным причинам сложно, но стремиться к этому важно, так как это приведет к получению мотивационного, профессионального, интеллектуального и других видов синергетиче-ского эффекта.
Математический анализ 4 семестр. В четвертом семестре «проблемными зонами» становятся понятия: особые точки, интегралы, зависящие от параметра, специальные функции и умения составлять математические модели более сложных профессиональных задач. Возможности теории вероятностей и математической статистики открывают более широкие горизонты для раскрытия сущности и формирования умения «составление математической модели профессиональной задачи» [14].
Проблемные зоны, возникающие при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии.
1. Матрицы и их применение. С матрицами студенты сталкиваются в самом начале изучения курса. Они должны понять и принять, что матрицы - это объекты иной (по сравнению с числами) природы и почувствовать, какие преимущества дает применение матричного исчисления. Часто студенты задают вопрос: «Зачем нужны матрицы?» и, слыша в ответ, что матрицы нужны, например, для решения систем линейных уравнений, первокурсники не бывают особенно удовлетворены. Следует объяснить студентам, что матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В физике и других прикладных науках матрицы являются средством записи данных и их преобразования. В программировании (где матрицы называются массивами) - в написании программ. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране - это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек. В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но взамен математических объектов подразумеваются некие "психологические объекты" - например, тесты. Кроме того, матрицы имеют широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге. Существует ещё особая разновидность матриц, называемая магическим квадратом. Магический квадрат пришел к нам из древнего Китая, интерес к нему вспыхнул с новой силой в 19 и в 20 веках, когда были разработаны методы высшей алгебры и опе-
рационного исчисления. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра - имеют чрезвычайно большое значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное - компактной матричной форме.
Поначалу действия над матрицами вызывают у студентов недоумение. Особенно странной и трудоемкой им кажется операция умножения матриц, поскольку операция с таким названием применялась ими только по отношению к числам. Имеет смысл привести пример понятной всем экономической задачи.
Экономическая постановка задачи: предприятие выпускает четыре вида продукции (столы, стулья, табуретки и тумбочки). Известно: количество продукции каждого вида, выпускаемое за январь, февраль и март; установленная на квартал стоимость каждого вида изделия. На какую сумму фабрика выпустила продукции в каждом из 3-х месяцев?
Математическая модель экономической задачи. Обозначим а^ - количество продукции вида У, выпускаемое за месяц с номером ¿. Имеем матрицу А = (ау). Например, а13= 100 означает, что в январе предприятие выпускает 100 табуреток. Установленную на квартал стоимость каждого вида изделия обозначим к. Имеем вектор-столбец К = (к]). Обозначим через Вг стоимость продукции, которую фабрика выпустила в каждом из 3-х месяцев; В = (В1, В2, В3)Т вектор - столбец.
Решение математической модели. Решение в виде произведения матриц становится достаточно убедительным: А • К = В. Или с указаниями размерностей: А3Х4 • К4Х1 = В3Х1.
Сразу после этого примера можно предложить студентам другой: известна матрица А = (ау), где опять а^ - это количество продукции вида]', выпускаемое за месяц с номером ¿, известна матрица-столбец В - вектор ежемесячной стоимости продукции, выпускаемой фабрикой. Необходимо назначить цену каждому виду продукции. И мы сразу выходим на систему линейных уравнений А • К = В с неизвестным вектором-столбцом К = (к^). Можно предложить подумать, в каких случаях система будет совместна или несовместна. Стоит также обратить внимание, что в левой части уравнения вектор длины 4, а в правой части - вектор длины 3 и что помощью умножения на матрицу А мы осуществляем линейное преобразование четырехмерного пространства в трехмерное. Таким образом, в этом простом примере студенты уже сталкиваются с понятиями и проблемами, которые будут рассмотрены далее в курсе (линейная независимость, совместность, линейные пространства, решение матричных систем), т.е. осуществляется пропедевтика последующих разделов курса.
2. Решение систем линейных уравнений. Геометрическая интерпретация. Понятие линейной зависимости/независимости. Методы решения систем линейных уравнений часто кажутся студентам набором неких рецептов, при этом студенты не
очень хорошо осознают, для чего эти рецепты применяются. Чтобы учащиеся понимали, что представляет собой решение системы линейных уравнений и как решение связано с рангом основной и расширенной матрицы (теорема Кронекера-Капелли), предлагается рассмотреть задачу из аналитической геометрии, связанную с взаимным положением трех плоскостей. Зададим каждую плоскость своим общим уравнением и запишем 3 уравнения в систему линейных уравнений.
гА1х + В1у + С1г + Б1 = 0 \А2х + В2у +С2г + 02=0 \А3х + В3у + С3г + Б3 = 0
Или
(А1х + В1у + С^т. = —01 {А2Х + В2У + С2г = —Б2 \А3х + В3у + С3г = —03 Если обозначить основную матрицу системы /А1 В1 Сл А = ( А2 В2 В2), столбец переменных X = (у
,А3 В3 С
3
столбец правой части В = ( —Б2 ), то мы имеем
\—03/
матричное уравнение АХ = В. Вычисляем йеЬА и рассматриваем возможные случаи: а) йеЬА Ф 0, имеем единственное решение или (на языке геометрии) плоскости пересекаются в одной точке (нормальные векторы плоскостей некомпланарны). Систему можно решать методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. б) йеЬА = 0, ранги основной и расширенной матриц совпадают и равны единице. Нормали коллинеарны. Система совместна и множество ее решений есть плоскость. Систему можно решать только методом Гаусса.
в) Ранги основной и расширенной матриц совпадают и равны двум. Нормали неколлинеарны, но компланарны. Система совместна и множество ее решений - прямая, по которой эти три плоскости пересекаются. Систему можно решать только методом Гаусса. г) Ранг основной матрицы равен единице, а расширенной - трем. Нормали коллинеарны. Три плоскости параллельны. Система несовместна. д) Ранг основной матрицы равен двум, а расширенной - трем, при этом две из трех нормалей коллинеарны. Две плоскости параллельны между собой и пересекают третью плоскость по двум параллельным прямым. Система несовместна. е) Ранг основной матрицы равен двум, а расширенной -трем, при этом все три нормали неколлинеарны, но компланарны. Плоскости пересекаются попарно по трем различным прямым. Система несовместна. ж) Ранг основной матрицы равен единице, а расширенной - двум. Нормали коллинеарны. Две плоскости совпадают (т.е. это одна плоскость), третья параллельна ей. Система несовместна.
Отметим, что в рассмотренной задаче хорошо прослеживается внутрипредметная связь между двумя разделами математики: линейной алгебры и аналитической геометрии.
Известно, что ключевыми понятиями курса являются «линейная зависимость/независимость системы векторов». Без этих понятий невозможно
освоить данный курс, да и другие математические курсы тоже.
Рассмотренная выше задача о взаимном расположении трех плоскостей помимо того, что она развивает пространственное воображение, помогает справиться с трудностями, возникающими при ознакомлении студентов с линейной независимостью. Легко представить и изобразить все 7 случаев, например, случай а) - векторы нормалей некомпланарны, следовательно, линейно независимы, случай б) - три нормали коллинеарны, следовательно, линейно зависимы и т.д.
3. Построение кривой второго порядка в канонических координатах в случае, если исходное уравнение второго порядка включает в себя квадратичную часть неканонического вида. Эта задача, по мнению авторов, заслуживает особого внимания, хотя обычно в курсе рассматривается очень поверхностно или вообще не рассматривается. Для ее решения необходимо овладеть всеми разделами курса линейной алгебры и аналитической геометрии. Поэтому ее можно предложить только в самом конце изучаемого курса. При этом кажущиеся разрозненными знания, полученные в ходе изучения курса, складываются в головах студентов в изящную целостную картину.
Итак, рассмотрим уравнение
А(Х,Х) + 2(Ь, Г)+с=0 (1)
Или в координатном виде
а^х^ + £1=1 Ъкхк + с = 0 (2) Если п=2, то уравнение задает на плоскости линию второго порядка. Для решения сначала рассматривается первая сумма - квадратичная часть, представляющая собой квадратичную форму. Приводим квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, геометрически соответствующего повороту или отражению. Переходим к собственному ортонормиро-ванному базису 6 1,6 2, в котором старые координаты х^ X] выражаются через новые х'^ х' ^ . Строим новую систему координат. Новые оси направлены по собственным векторам, начало координат прежнее (О' = О). В исходном уравнении (2) переходим к новым координатам х'^ х'^ . Получаем уравнение
1Ик(х1)2+£Пк=1Ъ'кх'к+с = 0 (3) С помощью выделения полных квадратов преобразуем уравнение (3) к каноническому виду уравнения действительной или мнимой кривой второго порядка. Геометрически это соответствует параллельному переносу в новое начало координат. Переходим в новое начало координат О' '(к новому базису е' \,е"2), координаты х'\ х'выражаем через координаты х''^ х''' ^. После выяснения вида и параметров кривой (если это действительная кривая), строим ее на координатной плоскости в последнем новом базисе. Заметим, что можно было предварительно выяснить тип кривой, вычислив Д - определитель матрицы квадратичной формы, точнее, знак определителя. Если Д > 0, то это эллиптический тип, если Д < 0, то гиперболический тип, если Д = 0, то параболический тип.
г
При решении задачи использовалось знание следующих разделов курса: матрицы и определители, линейное пространство и его базис, квадратичные формы, линейный оператор и его матрица, евклидово пространство, матрица самосопряженного оператора, нахождение базиса из собственных векторов линейного оператора, ортогональное преобразование и его матрица, канонический вид кривых второго порядка (гипербола, парабола, эллипс), распадающееся уравнение.
Проблемные зоны при изучении курса дифференциальных уравнений.
1. Случаи понижения порядка при решении нелинейных дифференциальных уравнений высшего порядка F(x,y,y', ...,у(п)) = 0.
В рамках курса, читаемого на факультете кибернетики, рассматривается пять основных типов таких уравнений. (Для простоты рассмотрим уравнения второго порядка F(x,y,y',y'') = 0.)
1) Уравнения у(п) = f(x), решаемые -кратным интегрированием;
2) Уравнения, не содержащие y: F(x,y',y'') = 0, решаются с помощью замены z = у';
3) Уравнения, не содержащие x: F(y,y',y'') = 0, решаются с помощью замены у' = р,р =
Р(У),У''=Р%.
4) Уравнения с однородной функцией. Если функция F(x, у,у',у") однородна относительно переменных у,у',у'', то замена переменной у' = yz понижает его порядок на единицу.
5) Уравнения в точных производных, имеющие вид F(x,y,y',у'') = ^Ф(х,у,у') (выделение интегрируемых комбинаций).
Студент не всегда может определить, к какому из пяти типов принадлежит данное уравнение. Особенную трудность представляет выделение интегрируемой комбинации, ведь ее нужно «увидеть».
Для решения проблемы можно привести примеры часто встречающихся интегрируемых комбинаций:
2уу' = (у2)'; уу'' + (у')2 = (уу')'; У'' У-(У ')2 = d /у'\ (у')2-уу"
у2 dy\yj (у')2 dy\y',
На начальном этапе обучения предлагается сообщать студенту тип уравнения и соответствующий метод понижения порядка. По мере приобретения навыков решения нелинейных уравнений можно перейти к сложной ситуации выбора.
2. Рассмотрим теперь такую «методически неопределенную» задачу, как построение функции Ляпунова при исследовании устойчивости системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Рассматривается автономная система
= fi(x1,...,xn),i = l,2,...,n (4)
Функции fi(xi, ...,хп) непрерывно дифференцируемы в некоторой области G с Rn. Будем считать, что точка х=(0,...,0) - положение равновесия системы (4). Как известно, положение равновесия может быть устойчивым или неустойчивым.
= ±(L) dv w )
Введем для некоторой функции У(хг,... ,хп) производную в силу системы (4): У(х) =
Ж=1^(хШх).
Функция У(х), непрерывно дифференцируемая в окрестности и точки (0,...,0), называется функцией Ляпунова системы (1), если У(х) > 0 для всех значений х Е У\{0], 7(0) = 0 и У(х) < 0для всех х Е и.
Известна теорема Ляпунова об устойчивости: если в некоторой окрестности положения равновесия х=0 системы (4) существует функция Ляпунова У(х), то положение равновесия х=0 является устойчивым по Ляпунову.
Применяются также теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости и теорема о неустойчивости, в которых также предполагается наличие функции У(х1,... ,хп) с заданными свойствами. Однако теоремы не дают способа построения этих функций!
На практике задача построения функции Ляпунова хорошо изучена. В частности, для системы второго порядка она ищется в виде
У(х,у) = ах2 + Ьу2, где а и Ь - неопределенные коэффициенты. Часто используется функция У(х,у) = х2 + у2.
Для линейной системы —х = Ах, х =
" м '
(х1,.,хп) с помощью функции Ляпунова У(х) = х1 + ■■■ можно показать, что положение равновесия х = 0 является асимптотически устойчивым, если квадратичная форма
А(х,х) = хТАх
отрицательно определена, и неустойчивым, если она положительно определена.
Само понятие устойчивости по Ляпунову представляет определенную сложность для студентов. В преодолении этой проблемной зоны важную роль играет установление связей между предметами: математики, физики и электротехники.
Покажем студентам колебания реального маятника, то есть грузика на нити. Обратим их внимание, что амплитуда колебаний зависит от начальных условий. Укажем, что <р = 0 - устойчивое положение равновесия, а <р = п - неустойчивое. Обсудим, что будет, если погрузить маятник в вязкую жидкость (устойчивое положение равновесия превратится в асимптотически устойчивое). Отметим, что с математической точки зрения колебания маятника идентичны колебаниям грузика на пружине, так как они описываются одним и тем же уравнением. Не забудем упомянуть также о колебаниях в электромагнитном контуре, которые описываются таким же уравнением.
3. Очевидными примерами использования для разрешения математических проблемных зон внутри - и -межпредметных связей являются приближенное решение линейных дифференциальных уравнений и приближенное вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов. Представление функции в виде степенного ряда позволяет вычислить приближенно определенный интеграл, когда получение первообразной в элементарных функциях невозможно. Такое же
Sciences of Europe # 64, (2021)_
представление позволяет найти решение сложного дифференциального уравнения с требуемой точностью. При требовании большой точности вычислений целесообразно использовать КТ.
Приведенные примеры являются своеобразным «мостиком» от академических упражнений к реальным проблемам, которые студенты технических университетов будут решать в своей профессиональной деятельности.
Выводы и предложения.
1. Проведенный аналитический обзор зарубежной и отечественной литературы в области высшего математического образования позволяет констатировать: математические абстракции вызывают у студентов нематематических специальностей большие затруднения при изучении университетского курса математики, что влечет снижение мотивации к изучению этого предмета и, как следствие, ухудшение качества математического образования; в связи с этим, выявление, исследование и разрешение «проблемных зон» при преподавании математики студентам нематематических специальностей в вузах различного профиля с помощью различных подходов, методов, технологий становится актуальной проблемой.
2. В данном исследовании эта проблема рассматривается при преподавании математики в вузах инженерно-технического профиля; у студентов таких вузов, как правило, больше развито инженерное мышление, чем математическое. С учетом этого важного факта и критериев отбора проводилось выявление «проблемных зон» базовых учебных элементов в курсах математического анализа, алгебры и геометрии, дифференциальных уравнений.
3. В результате проведенных мероприятий (тестирования студентов, интервью с преподавателями, контрольных мероприятий и собственного многолетнего опыта авторов этой статьи) выделен ряд «проблемных зон» в указанных выше курсах, представленный в виде Таблицы 1.
4. Выделенные «проблемные зоны» раскрыты с помощью синтеза различных педагогических методов, приемов, технологий (алгоритмы, схемы, геометрическая наглядность, математические модели профессиональных и других прикладных задач, решение которых целесообразно аналитически или с помощью КТ, внутрипредметные и межпредметные связи).
5. Результаты данного исследования ввиду их универсальности могут быть использованы при преподавании математики студентам нематематических специальностей в вузах различного профиля.
6. Авторы ставят своей целью продолжить данное исследование в направлениях: 1) выявление и разрешение «проблемных зон» по всему курсу высшей математики в техническом университете; 2) создание экспериментального интегративного базового курса высшей математики на основе педагогического принципа - оптимального сочетания фундаментальности и прикладной направленности преподавания математики в техническом универси-
тете; 3) продолжить поиск педагогических стратегий и приемов с целью улучшения качества математического образования в технических университетах.
7. Актуализация рассматриваемой проблемы и ее решение помогут формированию математического стиля мышления, математической интуиции студентов технических вузов и приведет к успешному применению математического аппарата в их профессиональной деятельности.
Литература
1. Дворяткина С.Н. Технологическое сопровождение креативной деятельности студентов при исследовании «проблемных зон» высшей математики // Сборник материалов международной научно-практической конференции - Елец, 2018 - С. 3-11.
2. Дворяткина С.Н., Дякина А.А., Розанова С.А. Синергия гуманитарного и научного знания как педагогическое условие решения междисциплинарных проблем. // Интеграция образования. Саранск, 2017. Т.21, №1. С.8-18.
3. Дворяткина С.Н., Розанова С.А. Разработка интегративных курсов на основе синергетического подхода при решении профессиональных и прикладных задач. // Ярославский педагогический вестник. Серия «Психолого-педагогические науки». 2016. №6. С.128-133.
4. Дворяткина С.Н., Сафронова Т.М. Интеграция инновационных и классических образовательных технологий при выявлении «проблемных зон» в содержании выпускных экзаменов по математике.СОЭТГЫииМ. Математика. Информатика. Образование. Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, №1(13), 2019, С.45-52.
5. Дворяткина С.Н., Симоновская Г.А. Актуализация синергетических эффектов в «проблемных зонах» школьного математического образования на основе шахматной игры (на примере изучения комбинаторики) //Ярославский педагогический вестник. Серия «Психолого-педагогические науки» - 2018, №6. С.89-97.
6. Зыкова Т. В., Кузнецова И. В., Тихомиров С. А., Смирнов Е. И.. Критерии отбора содержания обучения математике студентов педвуза на основе синергетического подхода. Ярославский педагогический вестник - 2017 - № 5. - С.75-81
7. Кузнецова Т.А., Мироненко Е.С., Розанова С.А. и др. Высшая математика. / Под ред. С.А. Розановой. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 168с.
8. Л.Б. Райхельгауз. К вопросу об устойчивости результатов математического образования. // Мир науки, культуры, образования - Горно-Алтайск, №5 (78), 2019.
9. Осташков В.Н., Смирнов Е.И. Синергия исследования «проблемной зоны» базового учебного элемента «предел функции». // Научное обозрение: гуманитарные исследования. - М., 2017, январь, С.33-42.
10. Панцева Е. Ю., Шалугина Т. В. Проблема отбора математического образования в вузе // Научно-методический электронный журнал
«Концепт». - 2016. - Т. 15. - C.481-485. - URL: http://e-koncept.ru/2016/96000. htm.
11. Пентин А.Ю., Ковалева Г.С., Давыдова Е.И., Смирнова Е.С. Состояние естественнонаучного образования в российской школе по результатам международных исследований TIMSS и PISA // Вопросы образования. 2018, №1. С.79-107.
12. Поликарпов С.А., Розанова С.А., Ягола А.Г. и др. Проблемы школьного математического образования глазами учителей и преподавателей вузов: результаты опросов. // Математика в школе. -М., 2017. №2. С.36-44.
13. Розанова С.А, Карапетян В.С., Смирнов Е.И. и др. Развитие мотивации к изучению математики в современном мире. Монография. -М.: РУДН, 2015, 283 с.
14. Розанова С.А. К вопросу о синергии исследования «проблемных зон» базовых учебных элементов при преподавании математики в университетах инженерно-технического профиля. Сборник статей 7 международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные научные исследования. Актуальные вопросы, достижения. Инновации», состоявшейся 16 ноября 2017 г., г. Пенза. Международный центр научного сотрудничества (МЦНС) «Наука и просвещение» C.77-81.
15. Смирнов Е.И. Синергия исследования «проблемной зоны» базового учебного элемента содержания математического образования // Ярославский педагогический вестник. 2017, №5. С. 82-90.
16. Смирнов Е.И., Абатурова В.С. Синергия "проблемных зон" как средство освоения высшей математики. Материалы конференции «Чтения
Ушинского. Математика и информатика, астрономия и физика, экономика и совершенствование их преподавания». Издательство: Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского (Ярославль), 2017, C.43-48.
17. Смирнов Е.И., Смирнов Н.Е., А.Д. Уваров А.Д. Этапы технологического сопровождения процесса самоорганизации в математическом образовании будущего педагога // Ярославский педагогический вестник. 2017, №3. С. 102-111.
18. Home - Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (archives-ouvertes.fr) (TWG14: University mathematics education). Prague, 2015.
19. David Hudgins, Teaching integration of economics and mathematics - ProQuest University of Oklahoma //Journal of Economics and Economic Educational Research, Volume 11, Number 1, 2010, pp. 43-52.
20. Mirko Maracci, Claire Cazes, Claire Cazes, Synergies between theoretical approaches to mathematics education with technology: A case study through a cross-analysis methodology | SpringerLink Educational Studies in Mathematics volume 84, (2013), pp. 461-485.
21. Johan Lithner. University Mathematics Students' Learning Difficulties: Education Inquiry: Volume 2, 2011, No 2 (tandfonline.com) pp. 289-303.
22. Caitríona Ní Shé, Ciarán Mac an Bhaird, Eabhnat Ní Fhloinn. Problematic topics in first-year mathematics: lecturer and student views: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology: Vol 48, No 5, 2017, pp. 715-734 (tandfonline.com).
АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ КАЗАХСТАНСКОГО ПЕРЕВОДОВЕДЕНИЯ
Емельянова Е.В.
Казахско-Русский международный университет,
Актобе, к.п.н., доцент
TOPICAL ISSUES OF KAZAKHSTAN TRANSLATION
Yemelyanova E.
Kazakh-Russian International University, Aktobe, Ph.D., associate professor
АННОТАЦИЯ
В статье автор поднимает вопрос об актуальных проблемах как теории переводоведения в Казахстане в целом, так и практической подготовки специалистов-переводчиков к будущей профессиональной деятельности, анализирует эти проблемы и делится личным опытом организации психологической подготовки переводчиков.
ABSTRACT
In the article, the author raises the issue of topical problems of both the theory of translation studies in Kazakhstan in general, and the practical training of translators for future professional activities, analyzes these problems and shares his personal experience in organizing the psychological training of translators.
Ключевые слова: межъязыковая коммуникация, социокультурная компетенция, переводоведение, трансформационная теория перевода, экстра-лингвистические факторы, безэквивалентная лексика.
Keywords: interlingual communication, socio-cultural competence, translation studies, transformational theory of translation, extra-linguistic factors, non-equivalent vocabulary.
