Аксиоматический метод и обучение геометрии учащихся средних общеобразовательных учреждений Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

111!111Й1И1!Ш № 4,

таких упражнений немного и они не систематизированы [1; 2]. До сих пор не разработаны пути и формы включения эвристик в процесс обучения, поэтому имеющиеся возможности для их формирования в настоящий момент явно не реализуются.

Ниже приводится перечень видов упражнений, которым нужно уделять внимание при формировании у учащихся базовых эвристик:

1) на узнавание высказывания,

2) определение истинности высказывания,

3) понимание структуры дедуктивных умозаключений,

4) усвоение логической структуры определений,

5) распознавание понятий,

6) выделение и варьирование существенных признаков,

7) выведение из данных условий всевозможных следствий,

8) выведение следствий из факта принадлежности объекта некоторому множеству,

9) нахождение ассоциаций и сопоставлений,

10) составление задач по имеющимся данным,

11) составление задач по готовому чертежу.

Полученные учащимися знания и умения необходимо расширять и углублять на протяжении всего курса математики, в частности геометрии. Выполнение таких упражнений в дальнейшем составляет основу умения выделять и формировать идею доказательства на базе эвристик. Усвоение содержания соответствующего уровня готовит школьников к систематическому изучению эвристик и осуществлению самостоятельного поиска доказательства (решения) с их помощью. Немаловажное значение в этом принадлежит умениям, которые были заложены на предыдущих этапах изучения предмета.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика : учеб. для 5 кл. сред. шк. / Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, В. И. Жохов. — М. : Просвещение, 1990. — 300 с.

2. Математика : учеб. для 6 кл. сред. шк. / Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, В. И. Жохов. — М. : Просвещение, 1990. — 305 с.

Поступила 05.06.08.

АКСИОМАТИЧЕСКИИ МЕТОД И ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИИ

В. Н. Блинков, аспирант кафедры методики преподавания математики

МГПИ им. М. Е. Евсевъева

В статье выделены два взаимосвязанных аспекта использования аксиоматического метода при обучении школьников геометрии и две линии развития, направленные на овладение ими аксиоматическим методом. В каждой линии выявлены по три последовательных уровня аксиоматической формы мышления. Представлен анализ реализации этих уровней в практике обучения геометрии.

Ключевыге слова: аксиоматический метод, уровни геометрического развития, уровни аксиоматической формы мышления.

Одна из задач обучения математике Среди них немаловажное место занимав средних общеобразовательных учре- ет аксиоматический метод, с которым

ждениях заключается в овладении уча- связано глубокое понимание природы

щимися идеями и методами этой науки. математики. Его применение в школе

© Блинков В. Н., 2008

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

имеет большое методологическое значение: он не только является способом организации математического знания, но и иллюстрирует форму самого совершенного мышления, а кроме того, обладает высокой эвристичностью в познании. Методическая значимость метода состоит в следующем: доказываемая теорема рассматривается не изолированно, а как звено (элемент) в единой цепи знания, получаемого при изучении аксиоматическим методом определенной области математики. Учащиеся при этом получают навыки активного применения всего знания в данной области для доказательства новых теорем.

Необходимость использования аксиоматического метода в среднем общем образовании диктуется также задачей непрерывного развития математического мышления учащихся, что непосредственно связано с данным методом. В настоящей статье мы ограничимся рассмотрением развития геометрического мышления, поскольку знакомство школьников с аксиоматическим методом традиционно происходит в курсе геометрии.

Исследованиями психологов выявлены пять уровней геометрического мышления, или уровней геометрического развития. Каждому уровню соответствуют свой уровень абстракции, свой язык. Переход с одного уровня на другой осуществляется в процессе обучения и во многом зависит от содержания обучения геометрии.

Первыгй уровенъ характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются как целое и различаются только по своей форме. На втором уровне выполняется анализ воспринимаемых фигур, в результате чего экспериментальным путем выявляются их свойства. Особенностями третъего уровня являются логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур, установление логических связей между свойствами фигур с помощью определений; знакомство с дедукцией. На четвертом уровне по-

стигается значение дедукции в целом как способа построения и развития всей геометрической науки, что позволяет учащимся понять роль и сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательства. Другими словами, этому уровню соответствует усвоение содержательной аксиоматической теории. Пятыгй уровенъ характеризуется пониманием аксиоматического метода как эвристического способа познания. Его реализация предполагает знакомство учащихся с небольшими аксиоматическими теориями и их интерпретациями. В качестве таких теорий обычно выступают аксиоматики расстояний, площадей и т. д. Элементы этого уровня могут присутствовать и в предыдущих уровнях, причем в материале нематематического характера [1].

Таким образом, в проблеме применения аксиоматического метода в обучении выделяются два взаимосвязанных аспекта:

1) аксиоматический метод как способ организации учебного материала;

2) аксиоматический метод как метод эвристического познания.

На различных этапах обучения приоритет отдается то одному, то другому из этих аспектов: на младших — первому, на старших — второму.

Анализ аксиоматического метода как способа организации учебного материала позволяет выделить следующие его компоненты:

1) понимание необходимости обоснования различных фактов, стремление учащихся логически обосновать правильность предложений и наблюдений;

2) умение выделять существенные свойства изучаемых понятий;

3) умение выполнять дедуктивные выводы;

4) понимание того факта, что из одних предложений, пользуясь только рассуждениями, можно выводить новые предложения;

5) понимание необходимости определений;

№ 4, 2008

6) понимание необходимости применения эвристических приемов;

7) понимание необходимости выделять идею доказательства;

8) понимание структуры определения;

9) понимание необходимости применения методов научного познания;

10) понимание необходимости аксиоматической организации материала;

11) понимание содержательной аксиоматизации;

12) понимание полуформальной аксиоматизации;

13) понимание формальной аксиоматизации.

Компоненты 1—9 по их назначению целесообразно разделить на две группы,

соответствующие линиям развития, направленным на овладение аксиоматическим методом в 5—6 классах. Первая линия (компоненты 1; 3; 4; 6; 7; 9) ведет к пониманию необходимости аксиоматической трактовки курса геометрии. Вторая (компоненты 2; 5; 8) обеспечивает подготовку учащихся к пониманию сущности определения понятия и необходимости неопределяемых понятий. В обеих линиях можно выделить три последовательных уровня аксиоматической формы мышления. В первой группе им соответствуют компоненты 1 и 3; 4 и 6; 7 и 9; во второй — 2; 5; 8. Компоненты 10— 13 образуют последующие уровни, выходящие за рамки изучения в указанных классах (рисунок).

Система уровней аксиоматической формы мышления

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Такое выделение уровней оправданно с точки зрения методов обучения, так как очевидно, что приемы формирования аксиоматической формы мышления у учащихся 5 и 6 классов не могут быть одинаковыми.

Второй аспект проблемы применения аксиоматического метода в обучении геометрии непосредственно связан с первым. Понимание аксиоматически построенного курса геометрии (даже аксиоматического подхода) возможно только после формирования четырех выделенных нами уровней.

Рассмотрим, как обстоит дело с реализацией системы уровней аксиоматической формы мышления в обучении геометрии в настоящее время. Анализ учебников математики 5—6 классов убеждает в том, что при обучении геометрии на данной ступени не достигается даже третий уровень системы. Поэтому между обучением предмету в 5—6 и в 7 классах традиционно наблюдается логический провал, что и является причиной многих трудностей, связанных прежде всего с изучением первой темы курса планиметрии.

Сознательное усвоение систематического курса планиметрии требует усиления пропедевтического курса геометрии в логическом и содержательном отношениях. В первом случае необходимо ввести определения отдельных понятий, доказательства различных фактов. Закономерно возникает вопрос: есть ли для этого возможность, не будет ли курс математики 5—6 классов перегруженным? Анализ геометрического материала позволяет сделать вывод о том, что такая возможность имеется. Формирование многих геометрических понятий в указанных классах осуществляется на том же уровне, что и в 1—4. Так, например, представление об отрезке у пятиклассника такое же, как и у ученика начальных классов с той лишь разницей, что первый знаком с обозначением отрезка. Аналогично обстоит дело и со многими другими понятиями. Что каса-

ется усиления геометрического курса 5—6 классов в содержательном отношении, то, возможно, следует увеличить число доказательных фактов, основанных на свойствах осевой симметрии.

Итак, первый путь разрешения противоречий между обучением геометрии в 5—6 и в 7 классе заключается в логическом и содержательном усилении пропедевтического курса. Он должен обеспечить формирование четырех уровней аксиоматического метода как формы мышления; систематический курс геометрии при этом начинается так же, как и сейчас, с 7 класса.

Существуют и другие пути разрешения противоречий, а следовательно, и построения обучения геометрии в общеобразовательном учреждении. Один из них заключается в том, что геометрический материал 5—6 классов остается без изменения, а обучение геометрии в 7 классе несколько изменяется. В первом полугодии осуществляется формирование элементов 3-го и 4-го уровней аксиоматического метода. На первом уроке вводится понятие геометрической фигуры как множества точек. Учащимся сообщается, что фигуры, которые они будут изучать, являются в основном бесконечными множествами точек, поэтому важно научиться задавать их при помощи свойства. Вместо того чтобы «задавать фигуру ее характеристическим свойством», школьники учатся «определять фигуру». После этого рассматриваются определения окружности, круга и т. д.

Изучение определений конкретных понятий целесообразно сопровождать составлением их «родословных». Обзор этих «родословных» не только делает «прозрачной» структуру определения, но и способствует пониманию необходимости неопределяемых понятий. Ясно, что при первом варианте указанная работа осуществляется в 6 классе. Далее внимание учащихся обращается на то, что определение понятия раскрывает его содержание и связь с другими понятиями.

111!111Й1И1!Ш № 4,

Содержание неопределяемых понятий и связь между ними раскрываются в предложениях, которые называются аксиомами. Используя эти предложения, можно получать новые, именуемые теоремами. Если аксиомы принимаются без доказательства, то истинность теорем устанавливается только с его помощью. При доказательстве первых теорем также целесообразно составлять их «родословную», сводя все предложения к аксиомам. В связи с этим первые разделы курса геометрии 7 класса должны быть насыщены яркими теоремами и задачами на доказательство, в которых используются введенные аксиомы.

Следующий этап заключается в ознакомлении учащихся с небольшими аксиоматически построенными теориями. В качестве такой теории может, например, служить тема «Площади фигур».

На последних уроках 9 класса рекомендуется рассказать учащимся о системе аксиом курса планиметрии и о предъявляемых к ней требованиях.

Третий путь заключается в отказе от аксиоматики курса планиметрии. На этом пути курс геометрии 7—9 классов служит продолжением геометрического материала 5—6 классов. В 9 классе учащиеся знакомятся с сущностью аксиоматического метода и небольшими аксиоматически построенными теориями.

Из указанных трех путей менее эффективен последний при всей его внешней привлекательности (простота, доступность и т. д.), ибо для него характерны существенные недостатки:

а) отсутствует четкая основа курса, в результате чего доказываемые факты слабо связаны между собой (такой курс сравним со зданием без фундамента);

б) слишком долгое время геометрическое развитие учащихся осуществляется на 3-м уровне (если первые два уровня достигаются в 1—4 классах, то третий — только к концу 9-го);

в) работа учащихся над определениями понятий имеет неосознанный характер, что затрудняет формирование самого метода определения.

На данном этапе перестройки школьного геометрического образования наиболее оптимальным является второй путь: по сравнению с первым он в значительно меньшей степени затрагивает сложившуюся систему обучения геометрии в средних общеобразовательных учреждениях и нуждается в экспериментальной проверке.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 .■ Столяр, А. А. Педагогика математики : курс лекций / А. А. Столяр. — Минск : Высшая школа, 1969. — 386 с.

Поступила 05.05.08.